Templat tesis dan disertasi

3
2 TINJAUAN PUSTAKA
Ruang vektor, Kombinasi Linier, Basis, dan Ortogonalitas
Definisi 2.1 (Ruang Vektor)
Suatu himpunan 𝑉 disebut ruang vektor (real) dan anggota-anggotanya
disebut vektor jika 𝑉 tak kosong dan untuk setiap 𝐮, 𝐯 ∈ 𝑉 dan setiap bilangan
real 𝑐 , penjumlahan 𝐮 + 𝐯 ∈ 𝑉 dan perkalian 𝑐𝐮 digabungkan, memenuhi 8
aturan-aturan berikut:
1. (Komutatif penjumlahan) 𝐮 + 𝐯 = 𝐯 + 𝐮,
2. (Asosiatif penjumlahan) (𝐮 + 𝐯) + 𝐰 = 𝐮 + (𝐯 + 𝐰),
3. (Eksistensi Vektor nol) Ada vektor 𝟎 ∈ 𝑉 sehingga 𝐮 + 𝟎 = 𝐮 untuk setiap
𝐮,
4. (Invers Penjumlahan) Untuk setiap vektor 𝒖 ada vektor negatif –u sehingga
𝐮 + (−𝐮) = 𝟎,
5. (Perkalian dengan 1) 1𝐮 = 𝐮,
6. (Asosiatif perkalian dengan skalar) 𝑎(𝑏𝐮) = (𝑎𝑏)𝐮,
7. (Distribusi kiri) (𝑎 + 𝑏)𝐮 = 𝑎𝐮 + 𝑏𝐮,
8. (Distribusi kanan) 𝑎(𝐮 + 𝐯) = 𝑎𝐮 + 𝑎𝐯.
(Schay 2010)
Definisi 2.2 (Sifat tertutup terhadap penjumlahan dan perkalian dengan
skalar)
Suatu himpunan 𝑆 dikatakan tertutup terhadap penjumlahan jika setiap
pasangan dari elemen-elemen 𝐮, 𝐯 ∈ 𝑆 , penjumlahan 𝐮 + 𝐯 didefinisikan dan
merupakan anggota dari 𝑆. Himpunan 𝑆 dikatakan tertutup pada perkalian dengan
skalar jika untuk setiap skalar 𝑐 dan 𝐩 ∈ 𝑆, perkalian 𝑐𝐩 didefinisikan dan
merupakan anggota dari 𝑆.
(Schay 2010)
Definisi 2.3 (Subruang Vektor)
Suatu subhimpunan 𝑈 dari suatu ruang vektor 𝑋 disebut subruang dari 𝑋 jika
𝑈 adalah ruang vektor yang memenuhi sifat penjumlahan vektor dan perkalian
dengan skalar yang sama dengan 𝑋.
(Schay 2010)
Definisi 2.4 (Kombinasi Linier)
Suatu ruang vektor 𝑣 disebut kombinasi linier dari vektor-vektor
𝐯1 , 𝐯2 , … , 𝐯n jika dapat dituliskan dalam bentuk 𝑣 = 𝑎1 𝐯1 + 𝑎2 𝐯2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝐯n
dimana 𝑎1 , 𝑎2 , … , 𝑎𝑛 adalah skalar dan disebut koefisien dari 𝐯1 , 𝐯2 , … , 𝐯n .
(Nicholson 1995)
Definisi 2.5 (Merentang/Span)
Jika {𝐯1 , 𝐯2 , … , 𝐯n } adalah sebarang vektor-vektor dalam ruang 𝑉, himpunan
semua kombinasi linier dari vektor-vektor ini disebut rentangannya (span),
dinyatakan sebagai 𝑠𝑝𝑎𝑛{𝐯1 , 𝐯2 , … , 𝐯n }. Jika 𝑉 = 𝑠𝑝𝑎𝑛{𝐯1 , 𝐯2 , … , 𝐯n } maka
vektor-vektor ini disebut himpunan yang merentang untuk 𝑉.
4
(Nicholson 1995)
Definisi 2.6 (Bebas Linier dan Tak Bebas Linier)
Suatu himpunan {𝐯1 , 𝐯2 , … , 𝐯n } disebut bebas linier jika memenuhi kondisi
berikut: Jika 𝑎1 𝐯1 + 𝑎2 𝐯2 + ⋯ + 𝑎𝑛 𝐯n = 𝟎 maka 𝑎1 = 𝑎2 = ⋯ = 𝑎𝑛 = 0. Suatu
himpunan vektor-vektor yang tidak bebas linier dikatakan terpaut linier.
(Nicholson 1995)
Definisi 2.7 (Basis)
Suatu himpunan {𝐯1 , 𝐯2 , … , 𝐯n } dari vektor-vektor dalam ruang vektor 𝑉
disebut basis dari 𝑉 jika memenuhi dua kondisi berikut:
1. {𝐯1 , 𝐯2 , … , 𝐯n } bebas linier,
2. 𝑉 = 𝑠𝑝𝑎𝑛{𝐯1 , 𝐯2 , … , 𝐯n }.
(Nicholson 1995)
Definisi 2.8 (Hasil kali skalar di ℝ𝒏 )
𝑥1
𝑦1
𝑦
𝑥
Misalkan 𝐱, 𝐲 ∈ ℝ𝒏 dengan 𝐱 = [ 2 ] dan 𝐲 = [ 2 ], maka hasil kali skalar
⋮
⋮
𝑥𝑛
𝑦𝑛
dari 𝒙 dan 𝒚 adalah
𝐱 T 𝐲 = 𝑥1 𝑦1 + 𝑥2 𝑦2 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑦𝑛 .
(Leon 1998)
Definisi 2.9 (Norm dari Suatu Ruang Vektor di ℝ𝒏 )
𝑥1
𝑥
Misalkan 𝐱 ∈ ℝ𝒏 dengan 𝐱 = [ 2 ], maka norm dari vektor 𝐱 di ℝ𝒏 adalah
⋮
𝑥𝑛
‖𝐱‖ = √𝐱 T 𝐱 = √𝑥12 + 𝑥22 + ⋯ + 𝑥𝑛2 .
(Leon 1998)
Definisi 2.10 (Proyeksi Vektor di ℝ𝒏 )
Misalkan 𝐱, 𝐲 ∈ ℝ𝒏 dan 𝐲 ≠ 𝟎. Proyeksi vektor x pada y adalah vektor 𝐩 =
𝒚𝑇 𝒙
𝐲.
‖𝒚‖2
(Leon 1998)
Definisi 2.11 (Ortogonalitas di ℝ𝒏 )
Vektor-vektor 𝐱 dan 𝐲 disebut ortogonal jika 𝐱 T 𝐲 = 0.
(Leon 1998)
Definisi 2.12 (Komplemen Ortogonal)
Misalkan 𝑋 adalah subruang dari ℝ𝑛 . Himpunan semua vektor-vektor di ℝ𝑛
yang ortogonal dengan setiap vektor di 𝑋 dinotasikan dengan 𝑋 ⊥ , yaitu 𝑋 ⊥ =
{𝐲 ∈ ℝ𝑛 |𝐲 T 𝐱 = 0, ∀𝐱 ∈ 𝑋}.
(Leon 1998)
5
Lema 2.1 (Pertidaksamaan Cauchy-Schwarz)
Untuk sebarang dua vektor, 𝐱, 𝐲 ∈ ℝ𝒏 berlaku‖𝐱. 𝐲‖ ≤ ‖𝐱‖‖𝐲‖.
(Bremner 2012)
Definisi 2.13 (Ortogonalisasi Gram-Schmidt)
Misalkan 𝐱1 , 𝐱 2 , … , 𝐱 n adalah basis dari ℝ𝒏 . Ortogonalisasi Gram-Schmidt
(Gram Schmidt Ortogonalization) dari 𝐱1 , 𝐱 2 , … , 𝐱 𝑛 adalah basis 𝐱1∗ , 𝐱 2∗ , … , 𝐱 𝑛∗ :
𝐱1∗ = 𝐱1
𝐱 2∗
𝐱 2 . 𝐱1∗
= 𝐱 2 − ( ∗ ∗ ) 𝐱1
𝐱1 . 𝐱1
j−1
𝐱 i∗
= 𝐱 𝑖 − ∑ 𝜇𝑖𝑗 𝐱𝑗∗ ,
j=1
𝒙𝑖 .𝒙∗
dengan 𝜇𝑖𝑗 = 𝒙∗.𝒙𝑗∗ untuk (1 ≤ 𝑗 < 𝑖 ≤ 𝑛).
𝑗
𝑗
(Bremner 2012)
Analisis Algoritme, Running Time
Definisi 2.14 (Analisis Algoritme)
Analisis algoritme dilakukan untuk menduga besarnya sumber daya waktu
yang dibutuhkan untuk sebarang ukuran input n.
(Cormen et al. 1990)
Definisi 2.15 (Komplesitas Waktu)
Kompleksitas waktu, 𝑇(𝑛) didefinisikan sebagai waktu yang dibutuhkan
oleh suatu algoritme untuk menyelesaikan proses dengan input berukuran n.
(Cormen et al. 1990)
Definisi 2.16 Running Time
Running time dari suatu algoritme didefinisikan sebagai ukuran operasi
primitif atau tahapan proses yang dieksekusi.
(Cormen et al. 1990)
Jika ditinjau dari sisi waktu, maka running time dapat didefinisikan sebagai
waktu total yang dibutuhkan untuk melakukan seluruh operasi primitif atau
tahapan proses yang dieksekusi.