Model linear - Binus Repository

Model linear
Teori model linear merupakan dasar bagi analisis statistik seperti analiais regresi,
anova dalam perancangan percobaan.
Regresi linier sederhana y = a + bx, atau model regresi berganda.
Anova dalam model y= u + ti + eij.
Model linier umum ditulis dalam
bentuk matrik y = X β + ε , dimana y = vektor pengamatan,
X = matrik desain, ε = vektor galat , dengan asumsi E(ε )=0 dan V(ε )= Ơ2In
Tujuan:
1. Menduga (penduga titik atau interval) bagi parameter b1, b2 …, bp jika mungkin
atau paling tidak menduga kombinasi linier dari parameter tersebut.
2. menduga Ơ2
3. menguji hipotesis yang berkaitan dengan β atau paling tidak fungsi dari β
Model full rank dan not full rank
Rank dari matrik X sama dengan r, r <min (n,p)
Jika r=p<n maka model y=XB + e disebut full rank model dan lainnya disebut not full
rank model.
Untuk menduga β , penduganya B merupakan fungsi dari y dan variable lain yang
diketahui yaitu X, sehingga B dekat dengan β . variabel y didekati dengan XB dan
sisaan/ bedanya e = y- XB disebut vector residual
Penduga β yaitu B
B dipilih sehingga jumlah kuadrat sisaan e minimum.
Dengan metode kuadrat terkecil
e’ e= (y-XB)’(y-XB)
= y’ y – 2 B’X y + B’ X’ X B
ingat B’X y = y X B
sehingga turunan d(e’ e)/dB = - 2 X’ y + 2 X’ X B = 0
atau X’ y = X’ X B disebut persamaan normal.
Persamaan normal bersifat konsisten jika rank (X’X|X’y) = rank (X’ X). Solusi
persamaan normal X’ y = X’ X B dapat ditentukan:
 Jika S = X’ X maka B = S- X’ y, dan S- = matrik invers (umum) X’X
Bagi model not full rank adak banyak solusi bagi B, sehingga B tidak bersifat unik dan
E(B) = E(S- X’ y)
= S- X’ XB
= H B tidak sama dengan B, sehinggaa bukan penduga tak bias bagi B.
Sumber Pustaka
Kshirsagar A.M. 1983. A coursein linear models. Marcel Dekker, Inc.New York
Estimable function
Definisi fungsi parameter yang dapat diduga:
Fungsi linier parameter λ (lambda) λ’B dimana λ = λ 1, λ 2, …, λp) dikatakan dapat
diduga jika ada paling sedikit ada satu fungsi linier u’ y dimana u= (u1, u2, .., un)
sehingga E (u’ y) = λ’ B
u’ XB = λ’ B atau u’ X = λ’
BLUE
Fungsi linier b’ y dari model y = X B dikatakan Best Linear Unbiased Estimate
(BLUE) dari fungsi parameter λ’ B, jika merupakan penduga tak bias bagi λ’ B dan
memilki ragam minimum diantara semua penduga linier tak bias bagi λ’ B.
Teori Gauss-Markoff.
Bagi model y = X β + ε, E(ε )=0 dan V(ε )= Ơ2 I, y = nilai pengamatan, X= variabel
diketahui dan B dan Ơ2 tidak diketahui, BLUE bagi fungsi linier yang dapat diduga λ’ B
(λ diketahui) adalah λ’ B, B sembarang solusi bagi persamaan normal X’ y = X’ X B,
yang diperoleh dengan meminimumkan (y-XB)’ (y-XB) dengan menurunkan
(deferensial) terhadap B.
Jika λ’ β merupakan fungsi parameter yang dapat diduga,, maka λ’B adalah BLUE dan
ragamnya V (λ’B) = λ’V(B) λ
= λ’ S- λ σ .
Sumber Pustaka
Kshirsagar A.M. 1983. A coursein linear models. Marcel Dekker, Inc.New York