Definisi : Transformasi Linier

Transformasi Linier
Definisi : Transformasi
Transformasi (pemetaan atau fungsi) T dari Rn(domain)
Rm
ke Rm (codomain) dituliskan : T : Rn
w = T(v)
v : variabel tak bebas
vektor
w : variabel bebas
Sebagai suatu fungsi f : R
R, contoh : f(x) = x2
Misalkan :
1 0 
 1


A   2 -1 dan v   
-1

3 4 
1 0 
 1
1
 
Av   2 -1     3
-1

3 4 
-1
Menunjukkan transformasi v ke w dari matrik A
Secara umum persamaan matrik transformasi :
1 0 
 x

 2 -1  x    2x  y 

 y 

3 4    3x  4y 
Transformasi matrik A oleh vektor
vektor
 x

 2x  y 


3x  4y 
x 
y
 
dalam R2 menjadi
dalam R3.
 x

 x   

T

2x

y
Dituliskan sebagai berikut : A     

y



 3x  4y 


R3
T : R2
A
 1
 1

Bayangan v    adalah w  TA (v)  
3
 
-1

-1

 x

1 
 0
x  





Range TA     2x  y   x  2   y -1
y 
3 
 4 
3x  4y 
Dengan kata lain : range(jarak) TA merupakan ruang
kolom dari matrik A
Definisi : Transformasi Linier
Transformasi T : Rn
Rm disebut transformasi linier
Jika :
1. T(u + v) = T(u) + T(v) untuk semua u dan v dalam Rn
2. T(cv) = cT(v) untuk semua v dalam Rn dan skalar c
Contoh :
T : Rn
 x

x  
m
R dinyatakan dengan T     2x  y 
y 
3x  4y 
Buktikan bahwa T adalah transformasi linier.
 x1 
x2 
Jawab : Misalkan: u    dan v   
 y1 
 y2 
Syarat 1 : T(u + v) = T(u) + T(v)
x1  x 2


  x1   x 2  
  x1  x 2   

T(u  v)  T         T  

2(x

x
)

(y

y
)
  1 2
1
2 

y
y
y

y
 1  2 
  1 2   3(x  x )  4(y  y ) 
1
2 
 1 2
x1  x 2
x1  x 2

 

  2x1  2x 2  y1  y 2   (2x1  y1 )  (2x 2  y 2 ) 
3x1  3x 2  4y1  4y 2  (3x1  4y1 )  (3x 2  4y 2 ) 
x1  
x2 

 x1   x 2 




 (2x1  y1 )   (2x 2  y2 )   T    T    T(u)  T(v)
y1   y2 

(3x1  4y1 )  (3x 2  4y 2 ) 
x 
Misalkan: v    dan c  skalar
y
Syarat 2 : T(cv) = cT(v)
 x  
 cx  
T(cv)  T  c     T    
 y 
 cy  
cx
cx 

 
  2(cx)  (cy)   c(2x  y) 
3(cx)  4(cy)  c(3x  4y) 
 x 
x 


 c  2x  y   cT    cT(v)
y

3x  4y 
Karena 2 syarat terpenuhi, maka T terbukti merupakan
transformasi linier
Definisi transformasi linier juga dapat ditentukan dengan
mengkombinasikan kedua syarat yaitu :
Transformasi T : Rn
Rm disebut transformasi linier
jika :
T(c1v1 + c2v2) = c1T(v1) + c2T(v2)
untuk semua v1, v2 dalam Rn dan skalar c1, c2
Matrik transformasi (TA) adalah transformasi linier.
Bukti :
x


1 
 0  1 0 
x 
  x  2   y -1    2 -1  x 
T   
2x

y


 
  
 y
y
  
 







3x

4y
3
4
3
4


 
  

sehingga :
T = TA dengan A =
1 0 
 2 -1


 3 4 
 Transformasi TA: Rn
linier jika :
TA(x) = Ax
Rm disebut transformasi
untuk x dalam Rn dan A adalah matrik m x n
Bukti : misalkan u dan v adalah vektor dalam Rn dan
c : skalar,
kemudian :
TA(u + v) = A(u + v)= Au + Av = TA(u)+TA(v)
dan TA(cv) = A(cv) = c(Av) = cTA(v)
Dengan demikian : TA merupakan transformasi linier.
 Misalkan T: Rn
Rm merupakan transformasi linier.
Kemudian T adalah matrik transformasi, khususnya
T = TA dengan A adalah matrik m x n
Maka :
A  T(e1 ) T(e2 ) ............ T(en )
disebut sebagai matrik standar dari transformasi linier T
Bukti : x adalah vektor dalam Rn dapat dituliskan:
x = x1e1 + x2e2 + ……….+ xnen
Jadi T(x) = T(x1e1 + x2e2 + ……….+ xnen)
= x1T(e1 )+x2T(e2 )+ ……..+xnT(en )
 x1 
x 
  T(e1 ) T(e 2 ) ......... T(e n )   2   Ax




x

 n

Contoh :
Sifat-sifat transformasi linier :
Jika T : V
W adalah transformasi linier, maka :
1. T(0) = 0
2. T(– v) = – T(v) untuk semua v dalam V
3. T(u – v) = T(u) – T(v) untuk semua u dan v dalam V
Contoh :
Anggap T adalah transformasi linier dari R2 ke P2 seperti
1
 2
T    2  3x  x 2 dan T    1  x 2
1
3 
 1
a 
Carilah : T   dan T  
 2
b
Jawab :
1  2 
Karena : B    ,    adalah basis dari R2 , sehingga
1 3  
setiap vektor dalam R2 berada dalam jangkauan (B)
Maka :
1
 2  -1
c1    c2     
1
3   2 
Diperoleh nilai c1= – 7 dan c2= 3, sehingga :
 1
 1 
 2 
1
 2
T    T  7    3     7T    3T  
 2
3  
1
3 
 1
 7(2  3x  x 2 )  3(1  x 2 )  11  21x  10x 2
Dengan cara yang sama diperoleh bahwa :
a 
1
 2
 b   (3a  2b) 1  (b  a) 3 
 
 
 

a 
1
 2 
Maka : T    T  (3a  2b)    (b  a)   
b
1
3  

1
 2
 (3a  2b)T    (b  a)T  
1
3 
 (3a  2b)(2  3x  x 2 )  (b  a)(1  x 2 )
 (5a  3b)  (9a  6b)x  (4a  3b)x 2
Komposisi dari suatu transformasi
Komposisi dari dua transformasi T: Rm
diikuti S: Rn
Rp dituliskan : S T
Rm
Rn
v
T
S
T(v)
S T
Rn dan S: Rn
Rn yang
Rp
S(T(v)) = (S T)(v)
Rp transformasi linier,
Jika : T: Rm
Rp adalah transformasi linier,
kemudian S T: Rm
maka matrik standarnya adalah : S T  ST
Contoh :
Transformasi linier T: R2
T
x1
x2
R3 didefinisikan sebagai :
x1


  2x1  x 2 
3x1  4x 2 
Transformasi linier S: R3
 2y1  y3

y1 

3y

y
2
3

S y2  
 y1  y 2

y3 

 y1  y 2  y3 
Cari : S T : R2
R4
R4 didefinisikan sebagai :
Jawab :
Matrik standar :
2
0
S  
1

1
0 1
3 -1
-1 0 

1 1
dan
2
0
S T  ST  
1

1
1 0 
 T    2 -1 
3 4 
0 1
5
1 0  

3 -1 
3


2 -1  

-1
-1 0 
 3 4  
1 1
6
4
-7 
1

3
 5

 x1   3
S T     
-1
x2 

6
4
 5x1  4x 2 
-7   x1   3x1  7x 2 



1   x 2    x1  x 2 



3
 6x1  3x 2 
Cara lain :
x1
 y1 


 y   T  x1    2x  x 
2 
x   1
 2
 2 
 y3 
3x1  4x 2 
Dengan mensubstitusikan ke S, maka diperoleh :
2

 x1   0
S T     
x2  1

1
0 1
 5x1  4x 2 
x1  



3x

7x
3 -1 
2 
 1
2x

x
1
2 
  x1  x 2 
-1 0  

 3x1  4x 2  
1 1
 6x1  3x 2 
Anggap : T : R2
S : P1
P1
P2
transformasi linier
yang ditunjukkan oleh :
a 
T    a  (a  b)x dan S(p(x))  xp(x)
b
Carilah :
 3
a 
S T   dan S T  
 2
b
Jawab :
  3 
 3
S T    S  T     S(3  (3  2)x)  3x  x 2
 2
  2 
 a  
a 
S T    S  T     S(a  (a  b)x)  ax  (a  b)x 2
b
 b 
Invers dari Transformasi Linier
Definisi :
Transformasi linier T: V W memiliki invers jika ada
transformasi linier T: W V sehingga T’ T = Iv dan T T’ = Iw
Maka : T’ disebut invers dari T
Contoh :
Tunjukkan bahwa pemetaan T : R2 P1 dan T’: P1
dinyatakan sebagai :
R2 yang
a 
 c 
T    a  (a  b)x dan T c  dx   

b
d

c
 


merupakan invers !
Jawab :
 a  
a 
T T    T  T     T(a  (a  b)x) 
b
 b 
a

 a 
(a  b)  a    b 

  
 c 
Dan : T T(c  dx)  T(T(c  dx)  T 

d

c


c +(c+(d – c))x= c + dx
Jadi : T T  I R dan T T  I P
2
1
Oleh karena itu : T dan T’ merupakan invers
Kernel dan range transformasi linier
Definisi :
Jika T : V
W adalah transformasi linier
Kernel T yang ditulis ker(T) adalah himpunan semua
vektor dalam V yang merupakan pemetaan hasil T ke 0
dalam W.
ker (T) = {v dalam V : T(v)= 0
Range T yang ditulis range(T) adalah himpunan semua
vektor dalam W yang merupakan bayangan vektor V
hasil T
range (T) = {T(v) : v dalam V}
= {w dalam W: w = T(v)
untuk semua v dalam V}
Jika T : V
W adalah transformasi linier
Maka :
a. Kernel T merupakan subruang V dan dimensi
kernel dikenal sebagai nulity : nullity (T)
b. Range T merupakan subruang W dan dimensi
range dikenal sebagai rank : rank (T)
ker(T)
V
range(T)
0
0
T
Kernel dan range dari T : V
W
W
Transformasi satu - satu
T:V
W adalah transformasi linier satu - satu jika
T merupakan pemetaan vektor dalam V ke vektor
dalam W
T
T
V
W
T : satu - satu
Untuk semua u dan v dalam V
u≠v
T(u) ≠ T(v)
T(u) = T(v)
u=v
V
W
T : bukan satu - satu
Transformasi Onto :
T:V
W adalah transformasi linier onto untuk semua
w dalam W jika minimal terdapat 1 v dalam V sehingga :
w = T(v)
T : onto
T : bukan onto
 Misalkan dim V = dim W = n dan transformasi linier
W adalah satu – satu, jika dan hanya jika :
T: V
onto.
Bukti :
Jika T adalah satu – satu, maka nulity (T) = 0
Teorema rank : rank (T) = dim V – nulity(T) = n – 0 = n
Oleh karena itu T adalah onto.
Sebaliknya, jika T adalah onto, maka rank(T)= dim W = n
Teorema rank : nulity (T) = dim V – rank (T) = n – n = 0
Sehingga ker (T) = {0} dan T adalah satu -satu
Contoh :
Transformasi T : R2
R3 dinyatakan dengan :
 2x  merupakan transformasi satu-satu atau
x  
T     x  y  onto ?
y
 
 0 
Jawab :
 2x1   2x 2 
 x1 
x2 
Misalkan : T    T   ,maka :  x1  y1    x 2  y2 
 y1 
 y2 

 

 0

Sehingga diperoleh : x1 = x2 dan y1 = y2
Jadi :
 x1   x 2 
y   y 
 1  2 
maka T adalah satu-satu
 0

T bukan onto, karena range tidak semua dari R3 menjadi
nyata. Terdapat besaran bukan vektor dalam R2 seperti :
0
x   
T    0
 y  1 
 
Contoh : Tunjukkan bahwa T : R2
sebagai :
P1 dinyatakan
a 
T    a  (a  b)x adalah transformasi linier satu - satu
b
Jawab :
a 
a 
Jika   adalah ker (T), maka : 0  T    a  (a  b)x
b
b
a  0
Sehingga diperoleh :     
 b  0
 0 
Akibatnya : ker (T) = 0 
  
dan T adalah satu - satu
Dengan menggunakan teorema rank :
Rank(T) = dim R2 – nulity(T) = 2 – 0 = 2
Oleh karena range (T) dimensi 2 dalam sub-ruang R2
Maka T adalah onto
Kesamaan bentuk (isomorph) ruang vektor
Definisi :
W dikatakan isomorph, jika
Transformasi linier T : V
satu – satu dan onto. Jika V dan W merupakan ruang vektor
yang memiliki kesamaan bentuk disebut V isomorph W dan
dituliskan : V  W
Sifat-sifat isomorph :
1. Jika T merupakan isomorph, maka demikian juga T-1
2. T merupakan isomorph jika dan hanya jika ker(T) = {0} dan
range (T) = W
3. Jika v1, v2 ……..vk adalah basis dalam V, maka T(v1), T(v2)…..T(vk)
adalah basis dalam W
4. Jika V dan W adalah ruang vektor berdimensi terbatas, maka V
isomorph W jika dan hanya jika dim(V) = dim (W).
Latihan :
1. Tunjukkan apakah T : R3
 a  
dalam :    
P2 yang dinyatakan
T  b    ( abc )  ( a  b) x  ( a  c ) x 2
 c  
 
merupakan transformasi linier !
M2x2 yang dinyatakan
2. Tunjukkan apakah T : R3
 a  
dalam :

 
T 
b
 
 c  
 
a  b c  b 
 a  b 2b  c 


merupakan transformasi linier !