BAB2 FUNGSI LIMIT DAN KEKONTINUAN

KALKULUS I
Dr. Wuryansari Muharini Kusumawinahyu
Program Sarjana Matematika
Universitas Brawijaya
Definisi: Misalkan A dan B adalah himpunan tak kosong.
Fungsi f dari A ke B adalah suatu ATURAN
yang MEMADANKAN SETIAP ELEMEN di
A dengan tepat satu dan hanya satu elemen di B
Dalam definisi tersebut,
 A disebut DOMAIN / DAERAH ASAL/ DAERAH
DEFINISI untuk fungsi f, dinotasikan dengan 𝒟𝑓
 B disebut KODOMAIN / DAERAH KAWAN fungsi f
 DAERAH HASIL / DAERAH JELAJAH / RANGE
adalah semua elemen di B yang berpasangan dengan
elemen di A, dinotasikan dengan ℛ𝑓
•
Pada Kalkulus I hanya dipelajari fungsi REAL,
yaitu fungsi dengan domain dan kodomain
subhimpunan bilangan real. Dengan demikian
𝐴 ⊆ ℝ dan B ⊆ ℝ
•
Bila daerah asal tidak disebutkan, ambillah daerah
asal ALAMI / NATURAL sebagai daerah asal,
yaitu 𝒟𝑓 = 𝑥 ∈ ℝ 𝑓(𝑥) ∈ ℝ
Grafik fungsi f(x) adalah kumpulan titik-titik di
bidang koordinat Cartesius yang memenuhi
𝑦 = 𝑓 𝑥 . Grafik fungsi f(x) berupa kurva di
bidang koordinat yang TIDAK SALING
MENGATAPI
•
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Fungsi Identitas, yaitu f(x) = x
Fungsi Ganjil, yaitu f(-x) = - f(x)
Fungsi Genap, yaitu f(-x) = f(x)
Fungsi harga mutlak 𝑓 𝑥 = 𝑥
Fungsi yang memiliki asimtot. Asimtot
fungsi f adalah garis di bidang koordinat
yang DIDEKATI oleh grafik y = f(x).
Fungsi bilangan bulat terbesar 𝑦 = 𝑥 =
bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau
sama dengan x.

Operasi Aljabar Fungsi
 𝑓 ± 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 , 𝒟𝑓±𝑔 = 𝒟𝑓 ∩ 𝒟𝑔
 𝑓𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 , 𝒟𝑓𝑔 = 𝒟𝑓 ∩ 𝒟𝑔


𝑓
𝑔
𝑥 =
𝑓(𝑥)
, 𝒟𝑓
𝑔(𝑥)
𝑔
= 𝒟𝑓 ∩ 𝒟𝑔 ∧ 𝑔(𝑥) ≠ 0.
Komposisi Fungsi:
 𝑓 ∘ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔(𝑥 ), 𝒟𝑓∘𝑔 =?
 𝑓∘𝑔 𝑥 ≠ 𝑔∘𝑓 𝑥
 Fungsi invers dari f(x), dinotasikan dengan 𝑓 −1 𝑥 adalah
fungsi yang bersifat:(𝑓 ∘ 𝑓 −1 ) 𝑥 = 𝑓 −1 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑥
 Grafik 𝑦 = 𝑓 −1 𝑥 simetris dengan grafik y = f(x) terhadap
garis y = x.

Operasi Grafis Fungsi: pergeseran dan pencerminan
Operasi grafis terhadap suatu fungsi
Bila grafik fungsi f(x) diketahui maka dapat disketsa grafik
fungsi baru yang diperoleh dari fungsi f(x) dengan melakukan
beberapa operasi secara grafis (geometris)
NO.
FUNGSI BARU
OPERASI
1.
f(x) + k, k > 0
Geser ke atas k satuan.
2.
f(x+k), k > 0
Geser ke kiri k satuan.
3.
- f(x)
Cerminkan terhadap sumbu x.
4.
f(-x)
Cerminkan terhadap sumbu y.
5.
| f(x) |
Abadikan bagian grafik f(x) yang di atas sumbu x, bagian
grafik yang di bawah sumbu x dicerminkan terhadap sumbu x.
6.
f( | x | )
Abadikan bagian grafik f(x) yang di sebelah kanan sumbu y,
bagian grafik yang di sebelah kiri sumbu y dihapus, diganti
dengan hasil pencerminan bagian sebelah kanan terhadap
sumbu y.
Contoh :
Sketsa grafik fungsi y  x 2  6 x  8 dapat diperoleh dari grafik fungsi y  x 2 ,
sebab y  x 2  6 x  8  ( x  3) 2  1.
Langkah  langkah : grafik y  x 2 digeser ke kiri 3 satuan, lalu digeser
ke bawah 1 satuan.
Selanjutny a bagian grafik yang di bawah sumbu x dicerminka n
terhadap sumbu x.
y  ( x  3) 2
y  ( x  3) 2  1
y  x2
y  ( x  3)2  1
ALJABAR
Fungsi yang diperoleh
dari fungsi konstan dan
fungsi indentitas melalui
operasi-operasi aljabar
+, −,∗,
,
1. Fungsi Polinom
2. Fungsi Rasional


TRANSENDEN
1. Fungsi Trigonometri
2. Fungsi Eksponensial
3. Fungsi Logaritma
4. Fungsi Hiperbolik

Limit fungsi di suatu titik
 Limit-limit sepihak
 Eksistensi Limit

Limit yang nilainya tak berhingga

Limit di ketakhinggaan
LIMIT FUNGSI DI SUATU TITIK
Misalkan f(x) fungsi dengan daerah asal 𝒟𝑓 ⊆ ℝ dan a ∈ ℝ, dengan a
tidak harus termuat di 𝒟𝑓
lim f ( x)  L
Notasi
x a
dibaca
“limit f(x) bila x mendekati a sama dengan L”
atau
“f(x) mendekati L bila x mendekati a “
berarti bahwa
nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin dengan L bila x cukup dekat
dengan a, tetapi x tidak sama dengan a.
Perhatikan bahwa dalam definisi tersebut nilai fungsi f(x) di x = a, yaitu
f(a), tidak harus terdefinisi karena kita hanya memandang x di sekitar a.
10
Situasi yang mungkin terjadi:
y
y
f(x)
f(x)
L
L
a
0
a
0
x
y
x
f(x)
L
f(a)
0
a
x
11
Contoh: f ( x) 
x2
2
x 4
, x2
0
f(x)
2
x 2 x 2
4
?
Karena x  2 maka
x2
lim
x 2 x 2  4
x2
 lim
x2 ( x  2)( x  2)
1
1
 lim
  f ( 2)
x  2 ( x  2) 4
y
0,25
lim
x2
x
12
Jika didefinisikan
 x2
, x2
 2
f ( x)   x  4
1
, x2

y
x2
1
lim
  f (2)  1
2
x 2 x  4 4
1
f(x)
0,25
0
2
x
13
Jika didefinisikan
 x2
, x2
 2
f ( x)   x  4
1
, x2
 4
y
x2
1
lim
  f (2)
2
x 2 x  4 4
f(x)
0,25
0
2
x
14
LIMIT SEPIHAK
Notasi
lim  f ( x)  L
x a


lim
f
(
x
)

L



 xa

Dibaca
“limit f(x) bila x mendekati a dari kiri (kanan) sama dengan L”
atau
“f(x) mendekati L bila x mendekati a dari kiri (kanan)“
berarti bahwa
Nilai f(x) dapat dibuat sedekat mungkin dengan L bila x cukup dekat
dengan a dan x < a (x > a).
lim f ( x)  L jika dan hanya jika lim f ( x)  lim f ( x)  L


x a
x a
x a
15
Contoh 1. Fungsi bilangan bulat terbesar
f ( x)y  x
lim f ( x)  ?
x2
f(x)
3
2
1
x
-3
-2
-1
0
-1
1
2
3
-2
-3
1, 1  x  2
f (x)  
2, 2  x  3
lim f ( x )  1, sedangkan lim f ( x )  2
x2
x2
lim f ( x) TIDAK ADA, sebab lim f ( x)  lim f ( x)
x2
x2
x2
Contoh 2.
lim sin
x 0

x
?
1

 n
Bila x  , n bilangan bulat tak nol maka
n
x

sehingga sin
 sin n  0
x
2
 
, n bilangan bulat maka   2n ,
Namun bila x 
x 2
4n  1
sehingga
sin

x
 sin

2
 2 n  1
𝜋
Perhatikan bahwa bila 𝑛 → ∞ maka 𝑥 → 0, sehingga nilai 𝑠𝑖𝑛
𝑥
berubah-ubah semakin cepat di antara -1, 0, dan 1 bila 𝑥 → 0
y  f ( x)  sin

y
f(x)
x
1
-1
1
0
x
-1
EKSISTENSI NILAI LIMIT
Berdasarkan contoh 1 dan contoh 2 dapat disimpulkan bahwa nilai limit
fungsi di suatu titik tidak selalu ada. Hal ini disebabkan oleh
1. Nilai limit kiri tidak sama dengan nilai limit kanan atau
2. Nilai fungsi berfluktuasi sangat cepat
LIMIT YANG NILAINYA TAK BERHINGGA
DEFINISI
Misalkan f suatu fungsi yang terdefinisi di seluruh bilangan riil kecuali
pada x = a sendiri. Maka
lim f ( x)  
xa


lim
f
(
x
)




 x a

berarti bahwa nilai f(x) dapat dibuat positif (negatif) sebesar mungkin,
dengan mengambil x cukup dekat dengan a, tetapi x tidak sama dengan
19
a.
Contoh :
1
lim
 
x 1 x  1
y
1
f ( x) 
x 1
1
0
1
2
x
Perilaku limit yang bernilai tak hingga (baik positif
maupun negatif) dapat berlaku pula pada limit sepihak
20
Situasi yang mungkin terjadi:
y
y
f(x)
0
f(x)
a
0
x
a
0
a
x
x
f(x)
lim f ( x)  
lim f ( x)  
y
xa
xa
y
f(x)
y
f(x)
0
lim f ( x)  
xa
f(x)
a
x
lim f ( x)  
xa
0
a
a
x
lim f ( x)  
xa 
x
0
lim f ( x)  
xa
21
Jika sekurang-kurangnya satu di antara keenam
situasi tersebut terjadi pada grafik fungsi f(x)
maka garis x = a disebut asimtot tegak dari
grafik y = f(x).
Contoh :
1
lim
 
x 1 x  1
1
lim
 
x 1 x  1
1
1
1
lim
 TIDAK ADA, sebab lim
 lim
x 1 x  1
x 1 x  1
x 1 x  1
Garis x = 1 adalah asimtot tegak dari grafik 𝑦 =
1
𝑥−1
.
LIMIT DI KETAKHINGGAAN
Notasi
lim f ( x)
x


 lim f ( x) 
 x

disebut limit f(x) di ketakhinggaan, mengkaji bagaimana perilaku nilai
f(x) manakala x membesar positif (negatif).
Kemungkinan yang dapat terjadi:
 

lim f ( x )   L
x 
tidak ada

Contoh:
1. lim x 2  1  
x  
2x  1
1
2. lim
 lim 2   2
x
x x
x
3. lim cos x  tidak ada
x
23
y
y
y
Situasi yang mungkin terjadi:
f(x)
f(x)
f(x)
x
0
x
0
lim f ( x)  
lim f ( x)  
lim f ( x)  
x
x
x
0
x
y
y
f(x)
f(x)
L
0
x
0
x
L
0
x
f(x)
lim f ( x)  L
x
lim f ( x)  L
lim f ( x)  tidak ada
x
x
24
Jika lim f ( x)  L atau lim f ( x)  L maka garis y = L disebut asimtot
x
x
datar
dari grafik y = f(x).
Contoh:
f ( x) 
x 1
x 2  5x  6
x 1
x 1
3
1. lim f ( x)  lim
 lim

 
2
lim ( x  3)( x  2)
x 2
x2 x  5 x  6 x2 ( x  3)( x  2)
x 2
2. lim f ( x)  lim
x 2
x 2
x 1
x 2  5x  6
x 1
3

 
lim ( x  3)( x  2)
x2 ( x  3)( x  2)
 lim
x 2
Maka garis x = 2 adalah asimtot tegak dari grafik y = f(x). Demikian pula halnya dengan
garis x = 3.


1

1
x2  1  1 2 

 x
2
x
x 1
x
x

  lim 

3. lim
 lim



x x 2  5 x  6 x 2 
x 1  5  6 2  x 1  5  6 2 
x
x
x 
x 



0  0

0
1  0  0
Garis y = 0 adalah asimtot datar dari grafik y = f(x).
25
Asimtot tegak
y
x 1
x 2  5x  6
Asimtot datar
26
Teorema-teorema tentang limit
1. Jika k suatu konstanta dan nilai lim f ( x) dan lim g ( x) ada, maka
x a
a. lim  f ( x)  g ( x)  lim f ( x)  lim g ( x)
x a
x a
xa
x a
b. lim  f ( x) g ( x)  lim f ( x). lim g ( x)
xa
x a
x a
lim f ( x)
 f ( x )  x a
c. lim 
, asalkan lim g ( x)  0

lim g ( x)
x a  g ( x ) 
x a
x a
d. lim kf ( x)  k lim f ( x)
x a
x a
2. Prinsip Apit : Jika f ( x)  g ( x)  h( x) untuk nilai x di sekitar a
(kecuali mungkin di a)
dan
jika lim f(x)  lim h( x)  L, maka lim g ( x)  L
x a
x a
x a
27
Trik menentukan limit di suatu titik
lim f ( x)
xa
1. Jika memungkinkan, substitusikan a ke f(x), alias hitung f(a)
2. Jika timbul masalah lakukan manipulasi yang memungkinkan
nilai limit ditentukan, atau gunakan prinsip apit, atau periksa
limit-limit sepihak.
Contoh
1.
lim x  4   4  4  0
x 4
 1
 x 1 2 
2 
  lim 

2. lim 

2
2
x 1 x  1 x  1  x 1 x  1 


 1  1
x 1
  lim 
 
 lim 
x1 ( x  1)( x  1)  x1 ( x  1)  2
28
3.


lim  x 2 sin   ?
x
x0
Jawab: karena

2
 x  x sin  x .
x
2
maka
Diketahui bahwa
maka

 1  sin  1
x
2
lim ( x 2 )  lim x 2  0
x 0
x 0
2
2
 

lim  x  lim x sin  lim x 2
x x 0
x 0
x 0

2
 0  lim x sin  0
x
x 0

2
 lim x sin  0
x
x 0
29
lim f ( x)  ?
4. f(x) = [ x ] + [-x]
y
x2
3
2
1
-3
-2
-1
0
-1
1
2
x
3
-2
-3
1  ( 2)  1,

f ( x )  2  2 
0,
2  (-3)  1,

1 x  2
x2
2x3
lim f ( x)  lim f ( x)
x 2
x 2
 1
 lim f ( x)
x 2
30
LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
lim sin x  0,
lim cos x  1,
lim tan x  0,
x0
x0
x0
lim sin x  1,
lim cos x  0,
lim tan x  tidak ada
x 2
x 2
x 2
y = tan x
31
sin x
lim
 1,
x0 x
sin x
lim
 0,
x x
sin x
lim
0
x x
32
2.5 KEKONTINUAN
Definisi: fungsi f(x) yang terdefinisi pada selang buka yang memuat a
dikatakan kontinu di x = a jika
lim f ( x)  f (a)
xa
Dengan perkataan lain:
f(x) kontinu di x = a jika
f(a) terdefinisi
Nilai limitnya di x = a ada
Nilai limit sama dengan nilai fungsinya, yaitu
lim  f ( x)  lim  f ( x)  f (a)
xa
xa
Contoh
 x2
, x2
 2
f ( x)   x  4
1
, x2
 4
y
x2
1
lim
  f (2)
x 2 x 2  4 4
Jadi f(x) kontinu di x = 2.
f(x)
0,25
2
0
Akibat: jika f kontinu di x = a maka lim f ( x) ada
xa
x
Teorema fungsi kontinu:
1. Jika f dan g kontinu di x = a, dan k suatu konstanta, maka fungsifungsi f + g, f – g, kf, fg, dan f/g ( jika g (a)  0) juga kontinu di x = a.
2. fungsi polinom kontinu di ℝ, sedangkan fungsi rasional kontinu di
daerah definisinya.
3. Jika g kontinu di x = a dan f kontinu di g(a), maka fungsi ( f  g )( x)
kontinu di x = a.
Contoh:
1, x  0
 2
Jika f ( x)  ax  b, 0  x  3
 x  2,
x  3,

tentukan a dan b agar f ( x) kontinu di setiap bilangan riil.
Jawab:
karena f(x) berupa polinom untuk x < 0, 0 < x < 3, dan x > 3, maka
f(x) pasti kontinu untuk x pada selang-selang tersebut. Jadi cukup
diperiksa kekontinuan f(x) di x = 0 dan di x = 3
Agar f(x) kontinu di x = 0:
• f(0) terdefinisi, yaitu f(0) = 1
• Nilai limitnya di x = 0 ada dan nilai limitnya di x = 0
sama dengan f(0), yaitu
lim f ( x)  lim f ( x)  f (0), yaitu
x 0
x 0
1
 a.0 2  b
 1
b=1
36
Agar f(x) kontinu di x = 3:
• f(3) terdefinisi, yaitu f(3) = 5
• Nilai limitnya di x = 3 ada dan nilai limitnya di x = 3
sama dengan f(3), yaitu
lim f ( x)  lim f ( x)  f (3), yaitu
x3
x3
a.32  b 
5
 5
4
a
9
 9a  b  5  9a  1  5  9a  4
Jadi f(x) kontinu di mana-mana bila b = 1 dan a = 4/9.
Teorema Nilai Antara (TNA):
misalkan f(x) kontinu pada selang tutup [a,b] dan f(a) < M < f(b).
Maka terdapat c, a < c < b sedemikian sehingga f(c) = M.
y
f(x)
f(b)
M
f(a)
0
a
c
b
x