Bab 2. Fungsi Kompleks
Yudiari
BAB 2.
FUNGSI KOMPLEKS
Sebelum membahas fungsi kompleks ,berikut ini diberikan beberapa
konsep dan istilah yang akan banyak digunakan dalam pembahasan selanjutnya.
2.1 Daerah di bidang kompleks
Bagian berikut ini kita akan membahas beberapa kurva dan daerah penting dan
sejumlah konsep terkait yang akan sering kita gunakan.
Lingkaran C dengan pusat z 0 dan berjari-jari R, C : z − z 0 = R , merupakan
tempat kedudukan titik-titik yang berjarak R dari z 0 .
y
R
. z0
x
Lingkaran satuan, adalah lingkaran berjari-jari satu dan berpusat di titik asal,
direprentasikan dengan z = 1 .
Cakram lingkaran, adalah interior lingkaran C, yaitu z − z 0 < R , atau lebih
tepat disebut cakram lingkaran terbuka dan disebut juga lingkungan dari z 0 .
Cincin lingkaran terbuka atau anulus terbuka, adalah daerah antara dua
lingkaran sepusat dengan jari-jari R1 dan R2, direprentasikan dengan
R1 < z − z 0 < R2 .
Himpunan titik-titik pada bidang kompleks berarti sembarang koleksi titik-titik
pada bidang kompleks.
Sebuah himpunan S dikatakan terbuka jika setiap titik di dalam S mempunyai
suatu lingkungan yang seluruhnya terletak di dalam S.
11
Bab 2. Fungsi Kompleks
Yudiari
Suatu himpuan S dikatakan terhubung jika sebarang dua titik di dalam himpunan
ini dapat dihubungkan dengan suatu garis patah-patah yang terdiri atas terhingga
banyaknya ruas garis yang seluruhnya terletak di dalam S.
Domain adalah himpunan terbuka yang terhubungkan.
Komplemen himpunan S adalah himpuan semua titik yang tidak terletak di dalam
S.
Titik Batas himpunan S adalah titik yang setiap lingkungannya mengandung titiktitik di dlam S maupun di luar S.
Wilayah atau region adalah sebuah himpunan yang terdiri atas sebuah domain
ditambah sebagian atau seluruh titik batasnya.
2.2 Fungsi Kompleks
Perhatikan fungsi f : I → C , dengan I merupakan sub himpunan bilangan real
dan C himpunan bilangan kompleks. Maka fungsi f ini merupakan fungsi bernilai
kompleks. Fungsi ini merupakan bentuk penyederhanaan fungsi yang memetakan
sub himpuan bilangan real ke bidang, atau lebih dikenal sebagai fungsi bernilai
vektor. Sebagai contoh, diberikan fungsi f (t ) = cos t + i sin t , 0 ≤ t ≤ 2π . Maka
kurva dari fungsi kompleks ini berupa lingkaran satuan, yaitu lingkaran yang
berpusat di pisat koordinat dan berjari-jari satu. Sedangkan fungsi g (t ) = t + it 2 ,
− 1 ≤ t ≤ 1 , akan berupa parabola y = x 2 , dari x = – 1 sampai x = 1, seperti gambar
berikut.
Selanjutnya akan dibahas tentang fungsi kompleks dengan domain bilangan
kompleks. Misalkan S merupakan sub himpunan bilangan kompleks dan fungsi f
12
Bab 2. Fungsi Kompleks
Yudiari
pada S adalah aturan yang menetapkan setiap z di dalam S dengan tepat satu unsur
di C dan dituliskan sebagai
f :S →C .
z → w = f (z ) .
Pada rumus di atas, z adalah bilangan kompleks, jadi S merupakan domain definisi
fungsi f dan himpunan yang merupakan seluruh nilai fungsi f disebut sebagai
range (jangkauan) dari f. Sedangakn w adalah juga bilangan kompleks, sehingga
dapat ditulis sebagai w = u + iv , yang bergantung pada bilangan kompleks
z = x + iy. Jadi w dapat ditulis sebagai w = f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) .
f(z)
z = x + iy
w = f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y )
Domain
Range
Dengan demikian fungsi kompleks f(z) ekuivalen dengan pasangan fungsi u ( x, y )
dan v( x, y ) yang keduanya bergantung pada dua peubah x dan y.
Himpunan S disebut daerah asal (domain) dari f, ditulis Df dan f(z) disebut
nilai dari f atau peta dari z oleh f. Range atau daerah hasil (jelajah) dari f ditulis Rf
, yaitu himpunan f(z) untuk setiap z anggota S.
Contoh 1 :
a)
w=z+1–i
b)
w = 4 + 2i
c)
w = z2 – 5z
3− z
f(z) =
2z +1
d)
Contoh 1(a),1(b),1(c) adalah fungsi kompleks dengan domain semua titik pada
bidang Z. Sedangkan contoh 1(d) adalah fungsi kompleks dengan domain semua
1
titik pada bidang Z , kecuali z = − .
2
13
Bab 2. Fungsi Kompleks
Yudiari
Jika z = x + iy, maka fungsi w = f(z) dapat diuraikan menjadi w = u(x,y) + iv(x,y)
yang berarti Re(w) dan Im(w) masing-masing merupakan fungsi dengan dua
variabel real x dan y.
Apabila z = r(cosθ + i sinθ), maka w = u(r, θ) + iv(r, θ).
Contoh 2: Tuliskan f(z) = 2z2 – i dalam bentuk u dan v !
Penyelesaian.
Misal z = x + iy, maka fungsi w = f(z) = 2z2 – i
= 2(x + iy )2 – i
= 2(x2+2xyi-y2) – i
= 2(x2-y2) + i(2xy-1).
Jadi u = 2(x2-y2) dan v = 2xy-1.
Contoh 3. Jika z = r(cosθ + i sinθ), tentukan u dan v jika f(z) = z2 + i
Penyelesaian.
f(z) = z2 + i
= [r (cosθ+i sinθ)]2 + i
= r2[cos2θ - sin2θ + 2isinθ cosθ] + i
= r2 (cos2θ - sin2θ) + r2i sin2θ + i
= r2 (cos2θ - sin2θ) +(1+r2sin2θ)i
berarti u = r2(cos2θ - sin2θ) dan v = 1+r2sin2θ) .
Komposisi Fungsi
Diberikan fungsi f(z) dengan domain Df dan fungsi g(z) dengan domain Dg.
Jika Rf ∩ Dg ≠ φ, maka ada fungsi komposisi (g⃘f) (z) = g (f (z)), dengan domain
Df.
14
Bab 2. Fungsi Kompleks
Yudiari
f
z
g
g( f ( z)) = ( g o f )(z)
f (z )
gof
Tidak berlaku hukum komutatif pada (g⃘f) (z) dan (f⃘g)(z).
Contoh 4. Misal f(z) = 3z – i dan g(z) = z2 + z –1 + i, maka
‣
Jika Rf ∩ Dg ≠ φ,
maka (g⃘f) (z) = g (f (z))
= g(3z – i)
= (3z – i)2 + (3z – i) –1 + i
= 9z2 – 6iz – 1 + 3z – i – 1 + i
= 9z2 – 3z – 2 – 6iz
‣
Jika Rg ∩ Df ≠ φ,
maka (f⃘g) (z) = f (g (z))
= f(z2 + z –1 + i)
= 3z2 + 3z – 3 + 3i – i
Karena 9z2 – 3z – 2 – 6iz ≠ 3z2 + 3z – 3 + 3i – i.
Jadi
(g⃘f) (z) ≠ (f⃘g)(z) atau (g⃘f) ≠ (f⃘g) (tidak komutatif).
Interpretasi Geometris
Untuk setiap variabel bebas z = x + iy anggota domain ada satu dan hanya
satu variabel tak bebas w = u + iv yang terletak pada suatu bidang kompleks.
Masing-masing variabel terletak pada suatu bidang kompleks, z pada bidang Z dan
w pada bidang W. Karena pasangan (z,w) mengandung 4 dimensi, maka kita tidak
dapat menggambarkannya pada satu sistem. Tetapi kita dapat melihat gambaran
dari w = f(z). Caranya dengan memandang fungsi f tersebut sebagai pemetaan
15
Bab 2. Fungsi Kompleks
Yudiari
(transformasi) dari titik di bidang Z ke titik di bidang W dengan aturan f. Untuk
suatu titik z maka f(z) disebut peta dari z.
Contoh 5. Diketahui fungsi w = 2z – 1 + i. Untuk setiap variabel bebas z = x + iy
didapat nilai w = (2x – 1) + (2y + 1)i. Misalnya untuk z1 = 1 + i , dan z2 = 2 – 3i ,
berturut-turut diperoleh : w1 = 1 + 3i , dan w2 = 3 – 5i. Gambar dari z1, z2, w1 , dan
w2 dapat dilihat pad gambar berikut.
V
Y
bidang Z
3
1
O
w1
bidang W
z1
1
−3
2
X
O
1
3
U
z2
−5
w2
Contoh 6. Diketahui fungsi w = z2.
Dengan menggunakan z = r (cosθ+i sinθ), maka diperoleh w = z2 = r2
(cos2θ+i sin2θ).
Jika sebuah lingkaran pusat O berjari-jari r pada bidang Z, maka dapat
dipetakan ke bidang W menjadi sebuah lingkaran pusat O berjari-jari r2. Daerah
0 ≤ arg z ≤ α dipetakan menjadi daerah
0 ≤ arg w ≤ 2α.
Gambar keduanya dapat dilihat di bawah ini.
16
Bab 2. Fungsi Kompleks
Yudiari
bidang W
bidang Z
r2
r
2α
α
2.3 Limit dan kekontinuan
Pengertian limit dan kekontinuan fungsi kompleks secara esensi sama dengan
pengertian limit dan kekontinuan fungsi real.
y
y
δ
z
. z0
ε
x
f(z)
.l
x
Suatu fungsi f(z) dikatakan mempunyai limit l untuk z mendekati z 0 jika untuk
sebarang ε > 0 terdapat bilangan positif
δ sehingga untuk 0 < z − z 0 < δ
berlaku f ( z ) − l < ε dan ditulis sebagai
lim f ( z ) = l .
z → z0
17
Bab 2. Fungsi Kompleks
Yudiari
Perlu diperhatikan bahwa :
1. Titik zo adalah titik limit domain fungsi f.
2. Titik z menuju zo melalui sebarang lengkungan K, artinya z menuju zo dari
segala arah.
3. Apabila
z
menuju
zo
melalui
dua
lengkungan
yang
berbeda,
mengakibatkan f(z) menuju dua nilai yang berbeda, maka limit fungsi f
tersebut tidak ada untuk z mendekati zo.
Contoh 7. Buktikan bahwa :
2 z 2 − 3z − 2
=5
z →2
z−2
lim
Bukti:
Misalkan diberikan bilangan ε > 0, kita akan mencari δ > 0 sedemikian, sehingga:
0 <| z − 2 |< δ ⇒|
2 z 2 − 3z − 2
− 5 |< ε
z−2
, untuk z ≠ 2
Lihat bagian sebelah kanan
Dari persamaan kanan diperoleh:
2 z 2 − 3z − 2
(2 z + 1)( z − 2)
− 5 |< ε ⇔|
− 5 |< ε
z−2
( z − 2)
(2 z + 1 − 5)( z − 2)
⇔|
|< ε
( z − 2)
⇔| 2( z − 2) |< ε
⇔| z − 2 |<
Hal ini menunjukkan bahwa δ =
ε
2
ε
2
telah diperoleh.
Bukti Formal :
Jika diberikan ε > 0 , maka terdapat δ =
ε
2
, sehingga untuk z ≠ 2, diperoleh
18
Bab 2. Fungsi Kompleks
Yudiari
2 z 2 − 3z − 2
−5|
z−2
(2 z + 1)( z − 2)
=|
−5|
( z − 2)
= | 2( z − 2) |< 2δ = ε
0 <| z − 2 |< δ ⇒ |
Jadi |
2 z 2 − 3z − 2
− 5 |< ε
z−2
apabila 0 < | z − 2 | < δ =
ε
2
2 z 2 − 3z − 2
= 5.
z →2
z−2
Terbukti lim
Teorema Limit
Teorema 1 :
Jika fungsi f mempunyai limit untuk z menuju zo , maka nilai limitnya tunggal.
Bukti:
Misal limitnya w1 dan w2, maka
f ( z ) − w1 = w1 − f ( z ) =
f ( z ) − w2 =
ε
ε
2
2
w1 − f ( z ) + f ( z ) − w2 ≤ w1 − f ( z ) + f ( z ) − w2 =
ε
2
+
ε
2
=ε
sehingga w1 − w2 ≤ ε
jadi w1 = w2
Teorema 2 :
Misalkan z = (x,y) = x+iy dan f(z) = u(x,y) + iv(x,y) dengan domain D. Titik zo =
(xo,yo) = xo+iyo di dalam D atau batas D.
Maka lim f ( z ) = xo + iyo
z → zo
jika dan hanya jika lim u ( x, y ) = xo
z → zo
dan
lim v( x, y ) = yo .
z → zo
Teorema 3 :
Misalkan fungsi f dan g limitnya ada.
lim f(z) = a dan lim g(z) = b, maka
1. lim (f(z) + g(z)) = a + b (untuk z → zo)
19
Bab 2. Fungsi Kompleks
Yudiari
2. lim (f(z) . g(z)) = a . b (untuk z → zo)
3. lim (f(z) / g(z)) = a / b (untuk z → zo)
Tugas : Buktikan ketiga teorema limit tersebut !
Contoh 8. Hitunglah : lim
z →i
z2 +1
z −i
Penyelesaian.
lim
z →i
z2 +1
( z + i )( z − i )
= lim
z →i
z −i
z −i
= lim ( z + i )
z →i
= 2i
Contoh 9. Jika f ( z ) =
x2
2 xy
i . Buktikan
+
x2 + y 2 y +1
lim f ( z ) tidak ada !
z→0
Penyelesaian.
Kita tunjukkan bahwa untuk z menuju 0 di sepanjang garis y = 0, maka
lim f ( z ) =
z →0
lim
( x , 0 ) → ( 0, 0 )
f ( z ) = lim x 2i = 0
x →0
Sedangkan di sepanjang garis y = x,
lim f ( z ) =
z →0
lim
( x , x ) → ( 0, 0 )
f ( z ) = lim (1 +
x →0
x2
i) = 1
x +1
Karena dari dua arah nilainya berbeda, maka terbukti
lim f ( z ) tidak ada.
z→0
Kekontinuan Fungsi
Definisi :
Misalkan fungsi f(z) terdefinisi di D pada bidang Z dan titik zo terletak pada
interior D, fungsi f(z) dikatakan kontinu di zo jika untuk z menuju zo,
maka lim f(z) = f(zo).
Jadi, ada tiga syarat fungsi f(z) kontinu di zo, yaitu :
1. f ( zo ) ada
2. lim f ( z ) ada
z → zo
3. lim f ( z ) = f ( zo )
z → zo
20
Bab 2. Fungsi Kompleks
Yudiari
Fungsi f(z) dikatakan kontinu pada suatu daerah R, jika f(z) kontinu pada setiap
titik pada daerah R tersebut.
Teorema 4 :
Jika f(z) = u(x,y) + iv(x,y), f(z) terdefinisi di setiap titik pada daerah R, dan
zo = xo+ i yo titik di dalam R, maka fungsi f(z) kontinu di zo jika dan hanya jika
u(x,y) dan v(x,y) masing-masing kontinu di (xo,yo).
Teorema 5 :
Andaikan f(z) dan g(z) kontinu di zo, maka masing-masing fungsi :
1. f(z) + g(z)
2. f(z) . g(z)
3. f(z) / g(z), g(z) ≠ 0
4. f(g(z)); f kontinu di g(zo),
juga kontinu di zo.
Contoh 10.
⎧ z2 + 4
, z ≠ 2i
⎪
⎪ z − 2i
, apakah kontinu di 2i
Fungsi f(z) = ⎨
⎪
⎪
⎩ 3 + 4 z , z = 2i
Penyelesaian
f(2i) = 3 + 4(2i) = 3 + 4i, sedangkan untuk z mendekati 2i, lim f(z) = z + 2i,
sehingga lim f ( z ) ≠ f (2i ) . Jadi f(z) diskontinu di z = 2i.
z →2i
Contoh 11. Dimanakah fungsi g ( z ) =
z2 +1
kontinu ?
z 2 − 3z + 2
Penyelesaian.
Perhatikan bahwa g(z) diskontinu di z = 1 dan z = 2. Jadi g(z) kontinu
{
}
di daerah z z > 2 .
21
Bab 2. Fungsi Kompleks
Yudiari
2.4. Turunan
Diberikan fungsi f yang didefinisikan pada daerah D dan zo ∈ D.
Jika diketahui bahwa nilai lim
z → zo
f ( z ) − f ( zo )
ada, maka nilai limit ini dinamakan
z − zo
turunan atau derivatif fungsi f di titik zo.
Dinotasikan : f’(zo)
Jika f’(zo) ada, maka f dikatakan terdifferensial atau diferensiabel di zo.
∆f
f ( z o + ∆z ) − f ( z o )
= lim
.
∆z → 0 ∆z
∆z → 0
∆z
Dengan kata lain : f ' ( zo ) = lim
Jika f terdifferensial di semua titik pada D, maka f terdifferensial pada D
Contoh 12. Buktikan f(z) = z2 terdifferensiasi diseluruh ℂ
Penyelesaian.
Perhatikan bahwa ditinjau sebarang titik zo ∈ ℂ
f ' ( z o ) = lim
z → zo
f ( z) − f ( zo )
z → zo
= lim
z 2 − z o2
z − zo
= lim
( z + z o )( z − z o )
z − zo
z → zo
z → zo
= 2zo
Karena zo sebarang maka f(z) = z2 terdefferensial
di seluruh ℂ
Teorema 6
Jika f fungsi kompleks dan f’(zo) ada, maka f kontinu di zo
Bukti :
Diketahui
f’(zo) ada
Akan dibuktikan f kontinu di zo atau lim f ( z ) = f ( zo )
z → zo
22
Bab 2. Fungsi Kompleks
Yudiari
⎞
⎛ f ( z ) − f ( zo )
lim ( f ( z ) − f ( zo )) = lim ⎜⎜
⋅ ( z − zo ) ⎟⎟
z → zo
z → zo
⎠
⎝ ( z − zo )
f ( z ) − f ( zo )
= lim
⋅ lim ( z − zo )
z → zo
z → zo
( z − zo )
= f ' ( z) ⋅ 0
=0
sehingga lim f ( z ) = lim f ( zo ) = f ( zo ) . Dengan kata lain f kontinu di zo.
z → zo
z → zo
Contoh 13. Buktikan f(z) = |z|2 kontinu di seluruh bidang kompleks
tetapi hanya terdifferensial di z = 0
Bukti :
f(z) = |z|2 = x2 + y2
berarti
u(x,y) = x2 + y2 dan v(x,y) = 0
u dan v kontinu di D, maka f(z) kontinu di D
| z |2
f ( z ) − f ( 0)
= lim
z →0
z →0
z−0
z
zz
= lim
=0
z →0 z
f ' (0) = lim
Jadi f(z) terdifferensial di z = 0.
2.5 Syarat Chauchy-Riemann
Syarat yang diperlukan agar fungsi f terdiferensial di
zo = xo + i yo
adalah syarat Chauchy-Riemann, yang menghubungkan derivatif-derivatif parsial
tingkat pertama dari fungsi bagian real dan fungsi bagian imajiner dari f.
Teorema 7 (Syarat Chauchy-Riemann)
Jika f(z) = u(x,y) + i v(x,y) terdifferensial di zo = xo + i yo, maka u(x,y) dan
v(x,y) mempunyai derivatif parsial pertama di (xo,yo) dan di titik ini dipenuhi
persamaan Cauchy – Riemann
∂u ∂v
∂u
∂v
dan
=
=−
∂x
∂x ∂y
∂y
derivatif f di zo dapat dinyatakan dengan f ' ( zo ) = u x ( xo , yo ) + i v x ( xo , yo )
Jika persamaan C-R tidak dipenuhi di (xo,yo) maka
23
Bab 2. Fungsi Kompleks
Yudiari
f(z) = u(x,y) + i v(x,y) tidak terdifferensial di zo = xo + i yo
Contoh 14. Buktikan f(z) = |z|2 tidak terdifferensiasi di z ≠ 0
Bukti : f(z) = x2 + y2 sehingga
u(x,y) = x2 + y2
v(x,y) = 0
Persamaan Cauchy – Riemann
∂u
∂u
= 2 x dan
= 2y
∂x
∂y
∂u
∂u
= 2 x dan
= 2y
∂x
∂y
∂u ∂v
=
⇔ 2x = 0
∂x ∂y
∂u
∂v
= − ⇔ 2y = 0
∂y
∂x
Dua persamaan terakhir tidak dipenuhi jika x ≠ 0 atau y ≠ 0,
jadi pasti f tidak terdeferensial di z ≠ 0
Catatan :
Syarat C-R hanya syarat perlu untuk keterdifferensialan
Contoh 15. Buktikan fungsi f(z) =
x 3( 1 + i) − y 3( 1 − i)
x2 + y2
dan f(0) = 0, tidak
terdifferensial di 0, memenuhi C-R
Bukti :
u=
x3 − y3
dengan u(0,0) = 0
x2 + y2
v=
x3 + y3
dengan v (0,0) = 0
x2 + y2
u ( x,0) − u (0,0)
=1
x
u (0, y ) − u (0,0)
= −1
u y (0,0) = lim
y →0
y
u x (0,0) = lim
x →0
24
Bab 2. Fungsi Kompleks
Yudiari
v( x,0) − v(0,0)
=1
x
v(0, y ) − v(0,0)
= −1
v y (0,0) = lim
y →0
y
v x (0,0) = lim
x →0
Jadi persamaan Cauchy – Riemann terpenuhi tetapi
lim
z →0
f ( z ) − f ( 0)
x 3( 1 + i) − y 3( 1 − i)
= lim 2
z → 0 (x + y 2 )(x + iy)
z
Sepanjang garis real y = 0 → lim
x 3( 1 + i)
= 1 + i.
x3
Sepanjang garis real y = x Æ lim
i
2ix 3
.
=
3
1+ i
2(1 + i ) x
x →0
x →0
Jadi lim
z →0
f ( z ) − f (0)
tidak ada, sehingga f tidak terdifferensial di 0 meskipun
z
persamaan C-R dipenuhi di (0,0).
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa :
i. Syarat perlu
f(z) = u(x,y) + iv(x,y), zo = xo + i yo
f’(z) ada maka u x , u y , v x , v y ada di ( x0 , y 0 ) berlaku Persamaan C-R, yaitu
: u x = v y dan v x = −u y dan f’(z0) = ux(x0,y0) + i vx(x0,y0).
ii. Syarat cukup
u(x,y), v(x,y), ux(x,y), vx(x,y), uy(x,y), vy(x,y) kontinu
pada kitar zo = xo + i yo dan di (xo,yo) dipenuhi C-R
maka f f(zo) ada.
Contoh 16.
Buktikan f(z) = ex(cos y + i sin y) terdiferensial untuk setiap z dalam ℂ
Bukti : u(x,y) = excos y →
ux(x,y) = excos y
uy(x,y) = -exsin y
v(x,y) = exsin y →
vx(x,y) = exsin y.
vy(x,y) = excos y
Perhatikan bahwa u x , u y , v x , v y ada dan kontinu di setiap (x,y) ∈ ℂ.
25
Bab 2. Fungsi Kompleks
Yudiari
Berdasarkan persamaan C-R :
ux = vy dan uy = -vx dipenuhi di ∀ (x,y) ∈ ℂ, dan ada persekitaran dimana keenam
fungsi kontinu dan C-R dipenuhi di (x,y).Jadi f’(z) ada ∀ z ∈ ℂ dan f’(z) = ux(x,y)
+ i vx(x,y) = excos y + i exsin y.
Syarat C-R Pada Koordinat Kutub
Jika f(z) = u(x,y) + i v(x,y) dapat diilustrasikan dalam koordinat kartesius
maka dengan menggunakan hubungan x = r cos ϕ dan y = r sin ϕ , diperoleh
z = r cos ϕ + i sin ϕ , sehingga f(z) = u(r, ϕ) + i v(r, ϕ) dalam sistem koordinat
kutub.
Teoreama 8.
Jika f(z) = u(r, ϕ) + i v(r, ϕ) terdiferensial dan kontinu pada suatu kitar (ro,
ϕo) dan jika dalam kitar tersebut
ur, uϕ, vr, vϕ ada dan kontinu di (ro, ϕo) dan dipenuhi
1
1
Persamaan C-R yaitu: u r = vϕ dan v r = − uϕ , r ≠ 0 .
r
r
maka f’(z) ada di z = zo dan f’(z) = (cos ϕo – i sin ϕo) [ur(ro, ϕo) + i vr(ro, ϕo)].
Contoh 17.
Diketahui f(z) = z-3, tentukan f’(z) dalam bentuk kootdinat kutub.
Penyelesaian.
f(z) = z-3 = r-3 (cos 3ϕ - i sin 3ϕ), maka :
u = r-3 cos 3ϕ , sehingga ur = -3r-4 cos 3ϕ dan uϕ = -3r-3 sin 3ϕ, v = -r-3 sin 3ϕ ,
sehingga
vr = 3r-4 sin 3ϕ dan vϕ = -3r-3 cos 3ϕ
keenam fungsi ini kontinu dan syarat C-R dipenuhi untuk semua z ≠ 0
Jadi f(z) = z-3 terdiferensial untuk z ≠ 0
Dengan demikian f f(z) dalam koordinat kutub adalah :
f’(z) = (cos ϕ – i sin ϕ) (-3r-4 cos 3ϕ + i 3r-4 sin 3ϕ)
= cis(-ϕ) (-3r-4) cis(-3ϕ)
= -3r-4 cis(-4ϕ).
26
Bab 2. Fungsi Kompleks
Yudiari
Aturan Pendiferensialan
Jika f(z), g(z) dan h(z) adalah fungsi- fungsi kompleks serta f’(z), g’(z) dan h’(z)
ada, maka berlaku rumus-rumus :
1.
2.
3.
4.
5.
dc
d(z)
= 0,
=1
dz
dz
d [cf ( z )]
= cf ' ( z )
dz
d
[ f ( z ) ± g ( z )] = f ' ( z ) ± g ' ( z )
dx
d
[ f ( z ) g ( z )] = f ' ( z ) g ( z ) + f ( z ) g ' ( z )
dx
d ⎛ f ( z) ⎞ f ' ( z) g ( z) − f ( z) g ' ( z)
⎜
⎟=
dx ⎜⎝ g ( z ) ⎟⎠
[g ( z )]2
dz n
= nz n −1
dz
7. Jika h( z ) = g[ f ( z )] maka h' ( z ) = g '[ f ( z )] f ' ( z ) biasa disebut dengan komposisi
dw dw dϕ
(aturan rantai)
=
. .
dz dϕ dz
6.
2.6 Fungsi Analitik
Definisi
Fungsi f dikatakan analitik di zo, jika ada r > 0 sedemikian, hingga f’(z) ada
untuk setiap z ∈ N(zo,r) (persekitaran zo). Fungsi yang analitik untuk setiap z∈ ℂ
dinamakan fungsi utuh (entire).
Contoh 18
1. f(z) = f ( z ) =
1
analitik kecuali di z = 0.
z
2. f(z) = x3 + iy3
diperoleh : u = x3 ; v = y3 sehingga ux = 3x2 ; vx = 0 ; uy = 0 ; vy = 3y2
dengan menggunakan persamaan C-R :
3x2 = 3y2 ⇒ y = ± x dan vx = uy = 0
persamaan C-R dipenuhi dan kontinu digaris y = ± x berarti f’(z) ada
hanya di y = ± x.
Jadi f(z) tidak analitik dimanapun karena tidak ada persekitaran.
27
Bab 2. Fungsi Kompleks
Yudiari
Sifat sifat fungsi analitik
Misalnya f dan g analitik pada D, maka :
1. f ± g merupakan fungsi analitik
2. fg merupakan fungsi analitik
3. f/g merupakan fungsi analitik dengan g ≠ 0
4. h = g ∘ f merupakan fungsi analitik
5. berlaku aturan L’hospital yaitu :
f (z ) f' (z )
, dengan g ( z ) ≠ 0 g ' ( z ) ≠ 0
=
z → z o g (z )
g' (z )
lim
2.7. Titik Singular
Definisi
Titik z1 disebut titik singular dari f jika f tidak analitik di z1 tetapi untuk setiap
persekitaran dari z1 memuat paling sedikit satu titik dimana f analitik.
Jenis kesingularan f(z) atau titik singular antara lain :
1. Titik singular terisolasi
Titik zo dinamakan titik singular terisolasi dari f(z) jika terdapat δ > 0 demikian
sehingga lingkaran |z – zo| = δ hanya melingkari titik singular lainnya. Jika δ
seperti itu tidak ada, maka z = zo disebut titik singular tidak terisolasi.
2. Titik Pole (titik kutub)
Titik z = zo disebut titik pole tingkat n, jika berlaku lim ( z − zo ) n f ( z ) = A ≠ 0
z → zo
Jika n = 1, zo disebut sebagai titik pole sederhana.
3. Titik Cabang
Dari fungsi bernilai banyak dapat menjadi titik singular.
4. Titik Singular dapat dihapuskan
Titik singular zo disebut titik singular dapat dihapuskan dari f(z) jika
lim f(z) ada.
z →0
28
Bab 2. Fungsi Kompleks
Yudiari
5. Titik Singular Essensial
Titik singular z = zo yang tidak memenuhi syarat titik singular pole titik cabang
atau titik singular yang dapat dihapuskan disebut titik singular essensial.
6. Titik Singular tak hingga
Jika f(z) mempunyai titik singular di z = ∞, maka sama dengan menyatakan
f(1/w) mempunyai titik singular di w = 0.
Contoh 19
1. g(z) =
1
berarti titik z = i adalah titik pole tingkat 2 dari g(z).
( z − 1) 2
2. h(z) = |z|2 tidak merupakan titik singular
3. k(z) = ln (z2 + z – 2) maka titik cabang adalah z1 = 1 dan z2 = –2 karena
(z2 + z – 2) = (z – 1) (z + 2) = 0.
2.9 Fungsi Harmonik
Jika f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada D maka u dan v mempunyai
derivatif parsial di semua orde yang kontinue pada D. Jadi dalam D berlaku C-R ,
ux = vy dan uy = –vx. Karena derifatif-derivatif parsial dari u dan v kontinue dalam
D, maka berlaku vxy = vyx. Jika dalam ux = vy dan uy = –vx diderivatifkan parsial
terhadap x dan y maka ∀(x,y) ∈D berlaku
uxx + uyy = 0
vxx = vyy = 0.
Jika f analitik pada D maka u dan v pada D memenuhi persamaan differensial
Laplace dalam 2 dimensi.
∂ 2ϕ ∂ 2ϕ
+
= 0,
∂x 2 ∂y 2
u dan v dimana f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada suatu domain maka f(z)
dikatakan harmonik pada domain tersebut.
29
Bab 2. Fungsi Kompleks
Yudiari
Dua fungsi u dan v sedemikian sehingga f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik dalam
suatu domain dinamakan dua fungsi yang harmonik konjugat dalam domain
itu.
Contoh 20.
Diberikan u(x,y) harmonik pada D dan tentukan fungsi v yang harmonik konjugat
dengan u = 4xy3 – 12x3y, (x,y) ∈ℂ
Penyelesaian :
Misal konjugatnya adalah v(x,y). Jadi f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik pada ℂ
sedemikian sehingga berlaku C-R ux = vy dan uy = -vx .
ux = 4y3 – 12x2y , vy = 4y3 – 12x2y
uy= 12xy2 – 4x3,
v = y4 – 6x2y2 + g(x)
karena vx = –uy maka –12xy2 + g f(x) = –12xy2 + 4x3 sehingga g f(x) = 4x3
diperoleh g(x) = x4 + C
Jadi v = y4 – 6x2y2 + x4 + C.
Soal latihan:
1. Nyatakan hubungan/ implikasi antara fungsi seluruh (entire), fungsi
analitik, fungsi diferensiabel, dan fungsi kontinu.
2. Diberikan f ( z ) = xy − ixy .
a. Apakah f merupakan fungsi seluruh.
b. Jika bukan fungsi seluruh, apakah f analitik di suatu titik.
c. Jika tidak analitik di suatu titik, apakah ada titik yang
menyebabkan fungsi f terdiferensial di titik tersebut.
3. Diberikan u ( x, y ) = 2 x − x 3 + kxy 2
a. Tentukan k agar u ( x, y ) merupakan fungsi harmonik
b. Tentukan fungsi analitik f ( x, y ) = u ( x, y ) + i ( x, y ) .
4. Tunjukkan bahwa u = x 3 − 3 xy 2 + 3 x 2 − 3 y 2 + 1 merupakan fungsi
harmonik dan tentukan fungsi analitik u + iv yang sesuai.
30
