Fungsi Invers, Eksponensial, Logaritma, dan Trigonometri 1 JENIS-JENIS FUNGSI Fungsi Fungsi aljabar Fungsi irrasional Fungsi non-aljabar (transenden) Fungsi rasional F. Polinom F. Linier F. Kuadrat F. Kubik F. Bikuadrat F.Pangkat F. Eksponensial F. Logaritmik F. Trigonometrik F. Hiperbolik 2 FUNGSI TRANSENDEN • Fungsi invers • Fungsi logaritma dan eksponen • Turunan dan integral fungsi eksponen dan logaritma • Fungsi invers trigonometri • Turunan dan integral fungsi invers trigonometri 3 Fungsi Invers Definisi Jika fungsi f dan g memenuhi dua kondisi f ( g ( x)) x untuk setiap x dalam domain g g ( f ( x)) x untuk setiap x dalam domain f Maka dikatakan bahwa f adalah invers dari g dan g adalah invers dari f, Atau f dan g adalah fungsi-fungsi invers. 4 5 Definisi Jika fungsi f mempunyai invers, maka dikatakan bahwa y f (x) dapat diselesaikan untuk x sebagai fungsi dari y dan dikatakan x f 1 ( y) merupakan penyelesaian dari y f (x) untuk x sebagai fungsi y. 6 Teorema Jika f fungsi satu-satu, maka grafik dari y f (x) 1 y f ( x) adalah pencerminan dari fungsi dan satu dengan fungsi yang lain terhadap garis y x Contoh suatu fungsi dan inversnya: 7 8 9 10 11 Contoh: Carilah invers dari f ( x) 3x 2 y 3 x 2 , kemudian x dan y ditukar x 3y 2 x2 3y 2 y 1 2 x 2 3 Maka f 1 ( x) 1 2 x 2 , x >0 3 12 13 f(x) = x2 Syarat apa yang harus dipenuhi agar f mempunyai invers? 14 15 16 Latihan Tunjukkan bahwa fungsi-fungsi di bawah ini mempunyai invers tentukan fungsi inversnya jika ada. 1. f ( x) 2 x x 2 2. f ( x) x3 3x 2 3x 1 3. f ( x) e1/ x 3 x 4. f ( x) x 2 1 17 Turunan fungsi invers Andaikan dapat diturunkan, monoton murni pada interval I, dan bila f’(x) ≠ 0 pada suatu titik x dalam interval I, maka invers f dapat diturunkan di titik y = f(x) dan berlaku 1 ( f )' ( y ) f ' ( x) 1 18 1. Jika f ( x) x 2 x 1 5 maka tentukan f 1 ' (4)! 2. Misal f ( x) x 2 3 ' (6)! maka tentukan f 1 19 20 Fungsi Logaritma Natural dan Eksponensial Natural 21 22 23 24 25 26 27 28 Fungsi Eksponensial Natural 29 30 31 32 33 34 FUNGSI LOGARITMA DAN EKSPONENSIAL UMUM 35 36 37 38 39 40 41 42 43 Fungsi Invers Trigonometri Definisi 1 sin Fungsi invers sinus, dinotasikan , didefinisikan sebagai invers dari fungsi sin x, / 2 x / 2 Fungsi invers cosinus, dinotasikan cos ,1 didefinisikan sebagai invers dari fungsi cos x, 0 x 1 tan Fungsi invers tangen, dinotasikan , didefinisikan sebagai invers dari fungsi tan x, / 2 x / 2 Fungsi invers secan, dinotasikan sec ,1 didefinisikan sebagai invers dari fungsi sec x, 0 x / 2 atau x 3 / 2 44 Teorema 1 x 1 y sin x sin y x jika / 2 y / 2 1 x 1 1 y cos x cos y x jika 0 y x 1 y tan x tan y x jika / 2 y / 2 x 1 x 1 1 y sec x sec y x jika atau 0 y / 2 y 3 / 2 1 45 Fungsi Domain sin 1 x 1,1 Range / 2, / 2 Hubungan sin 1 (sin x) x jika / 2 x / 2 sin sin 1 x x jika 1 x 1 cos 1 x 1,1 0, cos 1 (cos x) x jika 0 x cos(cos 1 x) x jika 1 x 1 tan 1 x , / 2, / 2 tan 1 (tan x) x jika / 2 x / 2 tan(tan 1 x) x jika x sec 1 x ,1 1, 0, / 2 ,3 / 2 sec 1 (sec x) x jika 0 x / 2 at x 3 / 2 sec(sec 1 x) x jika x 1at x 1 cot 1 x , 0, cot 1 (cot x) x jika 0 x cot(cot 1 x) x jika x csc 1 x ,1 1, , / 2 0, / 2 csc 1 (csc x) x jika x / 2 at 0 x / 2 csc(csc 1 x) x jika x 1at x 1 46 47 48 Turunan & Integral Fungsi Invers Trigonometri Teorema d 1 1 sin x dx 1 x2 d 1 1 tan x dx 1 x2 d 1 1 sec x dx x x2 1 d 1 1 cos x dx 1 x2 d 1 1 cot x dx 1 x2 d 1 1 csc x dx x x2 1 49 d 1 du 1 sin u dx 1 u 2 dx d 1 du 1 tan u dx 1 u 2 dx d 1 du 1 sec u dx u u 2 1 dx d 1 du 1 cos u dx 1 u 2 dx d 1 du 1 cot u dx 1 u 2 dx d 1 du 1 csc u dx u u 2 1 dx 50 du 1 sin u C 1 u du 1 tan u C 1 u2 du 1 sec u C u u 2 1 2 du u a 2 u 2 sin a C du 1 1 u a 2 u 2 a tan a C du 1 1 u u u 2 a 2 a sec a C 1 51 Contoh Hitunglah Substitusi ex 1 e 2x dx u e x , du e x dx ex 1 e2 x dx du 1 u2 sin 1 u C sin 1 (e x ) C 52 Latihan 1. Carilah dy/dx dari a. y sin 1 ( x 3 ) 1 x y sec ( e ) b. c. sin 1 ( xy) cos 1 x y x e 2. a. dx 1 e 3 b. 1 2x dx x x 1 53
