Lesson 2 Matematika Dasar.indd

Persiapan SBMPTN 2017
matematika dasar
FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS
A. Definisi Fungsi
Fungsi dari himpunan A ke himpunan B adalah relasi yang memetakan setiap anggota
A dengan tepat satu anggota B.
B. Domain, Kodomain, dan Range
Jika fungsi f memetakan A ke B (f : A → B) dan jika x ∈ A dan y ∈ B, maka f : x → y atau
f(x) = y. Dengan demikian, berlaku hal-hal berikut.
1.
Domain (daerah asal) adalah himpunan semua anggota A dari pasangan terurut
(x, y) dengan notasi Df = { x y terdefinisi} = A.
g( x )
→ Df = { x | h ( x ) ≠ 0}.
a.
Jika f ( x ) =
b.
Jika f ( x ) = h ( x ) → Df = { x | h ( x ) ≥ 0}.
c.
Jika f ( x ) = g( x )log h ( x ) → Df = { x | h ( x ) > 0 , g( x ) > 0 , g( x ) ≠ 1}.
h( x )
2.
Kodomain (daerah kawan) adalah himpunan semua anggota B.
3.
Range (daerah hasil) adalah himpunan semua anggota B dari pasangan terurut
(x, y) dengan notasi Rf = { y | y = f ( x ), x ∈ Df }.
C. Operasi Aljabar Fungsi
1. Penjumlahan dan Pengurangan Fungsi
( f ± g )( x ) = f ( x ) ± g ( x ) ; Df ± g = Df ∩ Dg
2.
Perkalian Fungsi
a.
b.
3.
( k ⋅ f )( x ) = k ⋅ f ( x )
( f .g )( x ) = f ( x ) .g ( x ) ; Df . g = Df ∩ Dg
Pembagian Fungsi
f (x)
f 
; D f = Df ∩ Dg dengan g(x) ≠ 0
 ( x ) =
g( x ) g
g
4.
Perpangkatan
( f ( x ))
n
= f n ( x ) , x ∈ Df
D. Fungsi Komposisi
1. Definisi Fungsi Komposisi
Jika f suatu fungsi dari A ke B (f : A → B) dan g suatu fungsi dari B ke C (g : B → C), maka h
suatu fungsi dari A ke C (h : A → C) disebut fungsi komposisi yang dinyatakan dengan
h = (g  f ) (dibaca: g bundaran f(x)).
A
B
f
x
C
g
f(x)
g(f (x))
h = (g  f ) (x)
Fungsi komposisi (g  f)(x).
Secara matematis, definisi fungsi komposisi dapat ditulis sebagai berikut.
( f  g )( x ) = f ( g ( x ) ) → f
( g  f )( x ) = g ( f ( x ) ) → g
komposisi g x
komposisi f x
2
g
x
f
g (x)
f (g(x))
(f  g)(x) = f (g(x))
Fungsi komposisi (f  g)(x).
2.
Sifat-Sifat Fungsi Komposisi
Sifat-sifat fungsi komposisi antara lain sebagai berikut.
a.
b.
c.
3.
Tidak komutatif: ( f  g )( x ) ≠ ( g  f )( x )
Asosiatif: ( f  ( g  h ) ) ( x ) = ( ( f  g )  h ) ( x )
Terdapat unsur identitas ( I )( x ) : ( f  I )( x ) = ( I  f )( x ) = f ( x )
Syarat Fungsi Komposisi
Syarat fungsi komposisi (f  g)(x) adalah sebagai berikut.
4.
a.
Irisan antara daerah hasil fungsi g dengan daerah asal fungsi f bukan himpunan
kosong (Rg ∩ Df ≠ φ).
b.
Daerah asal fungsi komposisi (f  g)(x) adalah himpunan bagian dari daerah asal
fungsi g (D(f  g) ⊆ Dg).
c.
Daerah hasil fungsi komposisi (f  g)(x) adalah himpunan bagian dari daerah hasil
fungsi f (R(f  g) ⊆ Rf).
Menentukan Fungsi Jika Fungsi Komposisi dan Sebuah Fungsi Lain
Diketahui
Jika fungsi f dan fungsi komposisi (f  g)(x) atau (g  f)(x) diketahui, kamu dapat menentukan
fungsi g, demikian juga sebaliknya.
Contoh Soal 1
Diketahui fungsi komposisi (f  g)(x) = –4x + 4 dan f(x) = 2x + 2. Tentukan fungsi g(x).
Pembahasan
( f  g )( x ) = −4 x + 4
⇔ f ( g ( x ) ) = −4 x + 4
⇔ 2 ( g ( x ) ) + 2 = −4 x + 4
⇔ 2g ( x ) = −4 x + 2
−4 x + 2
2
⇔ g( x ) = −2 x + 1
⇔ g( x ) =
3
( f  g )( x ) = −4 x + 4
⇔ f ( g ( x ) ) = −4 x + 4
⇔ 2 ( g ( x ) ) + 2 = −4 x + 4
⇔ 2g ( x ) = −4 x + 2
−4 x + 2
2
⇔ g( x ) = −2 x + 1
⇔ g( x ) =
Jadi, fungsi g(x) = –2x + 1.
E.
1.
Fungsi Invers
Definisi Fungsi Invers
Fungsi f : A → B mempunyai fungsi invers f –1 : B → A jika dan hanya jika f merupakan fungsi
bijektif/korespondensi satu-satu.
2.
Menentukan Fungsi Invers
Langkah-langkah menentukan fungsi invers adalah sebagai berikut.
3.
a.
Ubahlah persamaan y = f(x) dalam bentuk x sebagai fungsi y.
b.
Misalkan x sebagai fungsi y ini adalah x = f –1 (y).
c.
Gantilah variabel y pada y–1 (y) dengan x untuk mendapatkan f –1 (x).
Sifat-Sifat Fungsi Invers
a.
b.
c.
d.
4.
( f  g )−1 ( x ) = ( g −1  f −1 ) ( x )
( g  f )−1 ( x ) = ( f −1  g −1 ) ( x )
( f  f −1 )( x ) = ( f −1  f )( x ) = I ( x )
−1
( f −1 ( x )) = f ( x )
Invers Operasi Aljabar
Operasi
Invers Operasi
Penjumlahan (+)
Pengurangan (–)
Perkalian (×)
Pembagian (:)
 1
Perpangkatan  a n 
 
 
Akar pangkat
Eksponen (ab = c)
Logaritma (alog c = b)
n
a
Operasi dan Invers Operasi Aljabar
4
5.
Menentukan Fungsi Invers
SUPER "Solusi Quipper"
a.
f(a) = b ⇔ f −1 ( b ) = a
b.
f(x) = ax ± b ⇔ f −1 ( x ) =
c.
f (x) =
x b
a
ax + b
−dx + b
⇔ f −1 ( x ) =
cx + d
cx − a
5