Grup S TUKTUR ALJABAR Dosen Pengampu : Kusbudiono, S.Si. M. Si. NAMA ANGGOTA NADYA ANUGRAH PERMATASARI 191810101002 NINA ALMIRA AZARIA 191810101015 ALYA KHALIF 191810101110 ROYDATUL JAMILA 191810101093 M. ABDULLAH FAIZ RAHMAN 191810101106 AHMAD YUSRON BAHRUN NAJA 191810101023 DEVINISI 1.1.2 Sebuah grup (G, ∗ ) merupakan grup komutatif (grup abelian) jika untuk (∀a, b ∈ G ), a ∗ b = b ∗ a CONTOH 1.1.2 Himpunan bilangan bulat terhadap operasi penjumlahan merupakan grup komutatif BUKTI Misal Z adalah himpunan bilangan bulat, dan + merupakan operasi penjumlahan, maka 1. 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 , ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑍……..(asosiatif) 2. Ada di Z, sehingga 𝑎 + 0 = 0 + 𝑎 = 𝑎, ∀𝑎 ∈ 𝑍…….. (ada identitas) 3. Ada (−𝑎) di Z , sehingga 𝑎 + −𝑎 = −𝑎 + 𝑎 = 0, ∀𝑎 ∈ 𝑍 ……(mempunyai invers) 4. 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎, ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑍 …. (komutatif) Jadi, (Z,+) adalah grup komutatif BUKTI Ambil sebarang grup G dan misalkan 𝑒1 ,𝑒2 ∈ G merupakan unsur identitas pada G. Akan ditunjukkan 𝑒1 = 𝑒2 . Karena 𝑒1 dan 𝑒2 unsur identitas, maka untuk sebarang 𝑎 ∈ G berlaku : 𝑒1 𝑎 = 𝑎 𝑎𝑒2 = 𝑎 Teorema 1.2.1 Elemen identitas dari suatu grup adalah tunggal (1) (2) Dengan mengganti 𝑎 pada persamaan (1) dan (2) secara berturut-turut dengan 𝑒2 dan 𝑒1 diperoleh : 𝑒1 𝑒2 = 𝑒2 (3) 𝑒1 𝑒2 = 𝑒1 (4) Berdasarkan persamaan (3) dan (4) diperoleh 𝑒1 = 𝑒2 . Jadi, terbukti bahwa unsur identitas pada grup bersifat tunggal. BUKTI Misalkan grup G dengan unsur identitas 𝑒. Ambil Sembarang 𝑎 ∈ G, dengan 𝑏, 𝑐 ∈ G merupakan invers dari 𝑎. Akan ditunjukan 𝑏 = 𝑐. Karena 𝑏 dan 𝑐 invers dari 𝑎, maka berlaku 𝑏𝑎 = 𝑎𝑏 = 𝑒 𝑐𝑎 = 𝑎𝑐 = 𝑒 (1) (2) Teorema 1.2.2 Invers dari setiap elemen dalam suatu grup adalah tunggal Dari kedua pernyataan tersebut diperoleh: 𝑏 = 𝑏𝑒 = 𝑏 𝑎𝑐 = 𝑏𝑎 𝑐 = 𝑒𝑐 =𝑐 𝑒 𝑢𝑛𝑠𝑢𝑟 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑡𝑎𝑠 [𝑏𝑒𝑑𝑎𝑠𝑎𝑟𝑘𝑎𝑛 2] 𝑠𝑖𝑓𝑎𝑡 𝑎𝑠𝑜𝑠𝑖𝑎𝑡𝑖𝑓 [𝑏𝑒𝑑𝑎𝑠𝑎𝑟𝑘𝑎𝑛 1] 𝑒 𝑢𝑛𝑠𝑢𝑟 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑡𝑎𝑠 Jadi dapat dibuktikan 𝑏 = 𝑐, dan dapat disumpulkan bahwa setiap 𝑎 ∈ G memiliki invers yang tunggal. Teorema 1.2.3 Jika 𝐺 adalah grup dengan operasi biner ∗, maka dalam 𝐺 berlaku hukum kanselasi kiri dan hukum kanselasi kanan. Yaitu, 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 ∗ 𝑐 berimplikasi 𝑏 = 𝑐 dan 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑐 ∗ 𝑏 berimplikasi 𝑎 = 𝑐, ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺 BUKTI 𝐺 adalah grup, dan 𝑒 ∈ 𝐺 adalah elemen identitas dari grup 𝐺 . Diambil sebarang 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺 , dimana terdapat 𝑎−1 ∈ 𝐺 merupakan invers dari 𝑎 . Diketahui 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 ∗ 𝑐. Akan dibuktikan 𝑏 = 𝑐. Perhatikan bahwa 𝑎∗𝑏 = 𝑎∗𝑐 𝑎−1 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 −1 ∗ (𝑎 ∗ 𝑐) 𝑎−1 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏 = (𝑎−1 ∗ 𝑎) ∗ 𝑐 𝑒∗𝑏 = 𝑒∗𝑐 𝑏=𝑐 [Diketahui] [Kedua ruas dioperasikan dengan 𝑎−1 dari kiri] [Sifat asosiatif] [𝑎−1 ∗ 𝑎 = 𝑒] [𝑒 unsur identitas] Dengan demikian, terbukti bahwa dalam grup 𝐺 berlaku hukum kanselasi kiri. BUKTI 𝐺 adalah grup, dan 𝑒 ∈ 𝐺 adalah unsur identitas dari Grup 𝐺. Diambil sebarang 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐺, dimana terdapat 𝑏 −1 ∈ 𝐺 merupakan invers dari 𝑏. Diketahui 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑐 ∗ 𝑏 kan dibuktikan bahwa berimplikasi dengan 𝑎 = 𝑐. Dapat diperhatikan bahwa : 𝑎∗𝑏 =𝑐∗𝑏 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑏 −1 = (𝑐 ∗ 𝑏) ∗ 𝑏 −1 𝑎 ∗ (𝑏 −1 ∗ 𝑏) = 𝑐 ∗ (𝑏 −1 ∗ 𝑏) 𝑎∗𝑒 =𝑐∗𝑒 𝑎=𝑐 [ Diketahui ] [ Operasikan 𝑏 −1 ∈ 𝐺 masing-masing dari sebelah kanan ] [ Karena operasi ∗ dalam 𝐺 berlaku asosiatif ] [ Karena 𝑏 −1 ∗ 𝑏 = 𝑒 ] [ Karena 𝑒 merupakan unsur identitas ] Dari pembuktian diatas, maka terbukti bahwa dalam grup 𝐺 berlaku Hukum Kanselasi Kanan. Terima Kasih
