tautologi, kontradiksi dan kontingen

TAUTOLOGI,
KONTRADIKSI,
CONTINGENT
Fuzy Yustika
Manik ,
S.Kom.,
M.Kom
CAPAIAN PEMBELAJARAN
Setelah mengikuti matakuliah Logika Komputer
mahasiswa Program Studi S1 Ilmu Komputer
semester satu akan dapat menerapkan kaidah dan
aturan logika untuk penyelesaikan masalah
pengembangan algoritma pemrograman.
KEMAMPUAN AKHIR YANG DI
HARAPKAN
Membuktikan suatu argument dengan tabel
kebenaran yang menghasilkan tautology atau
yang bukan tautology (kontradiksi dan
contingent)
MATERI
KONTRADIKSI
TAUTOLOGI
CONTIGENT
IMPLIKASI DAN APLIKASINYA
TAUTOLOGI
Tautologi adalah suatu bentuk kalimat yang
selalu bernilai benar (T), tidak peduli
bagaimana pun nilai kebenaran masingmasing kalimat penyusunnya.
Dalam tabel kebenaran, suatu Tautologi
selalu bernilai benar (T/B) pada semua
barisnya,
TUNJUKKKAN BAHWA (P V Q) V [(-P)  (-Q)]
p
q
~p
~q
PVq
~p  ~q
(p v q) v [(~p)  (~q)]
T
T
F
F
T
F
T
T
F
F
T
T
F
T
F
T
T
F
T
F
T
F
F
T
T
F
T
T
KONTRADIKSI
 Kontradiksi adalah :suatu bentuk kalimat yang
selalu bernilai salah (F), tidak peduli bagaimana
pun nilai kebenaran masing-masing kalimat
penyusunnya.
 Dalam tabel kebenaran kontradiksi selalu bernilai
salah(F) pada semua barisnya.
TUNJUKKAN BAHWA (P V Q)  [(~P) (~Q)]
p
q
~p
~q
pvq
~p  ~q
(pvq)  [(~p)  (~q)]
T
T
F
F
T
F
F
T
F
F
T
T
F
F
F
T
T
F
T
F
F
F
F
T
T
F
T
F
CONTINGENT
 Jika pada semua nilai kebenaran menghasilkan
nilai F/S dan T/B, maka disebut formula
campuran (contingent).
TUNJUKKAN BAHWA [(PQ) → R] → P
ADALAH CONTINGENT!
P
Q
R
PQ
(PQ)R
((PQ)R) P
F
F
F
F
T
F
F
F
T
F
T
F
F
T
F
F
T
F
F
T
T
F
T
F
T
F
F
F
T
T
T
F
T
F
T
T
T
T
F
T
F
T
T
T
T
T
T
T
LATIHAN 1
Tentukan pernyataan dibawah ini Tautologi,
Kontradiksi atau bukan keduanya !
a.
b.
c.
d.
e.
(( p  q )  q )  p
(p  q)  p
(q  r) ( q  r )
p(pq)
(p  q) (p  q)
SIFAT OPERATOR LOGIKA IMPLIKASI
•Operator logika implikasi memiliki sifat
yang sangat unik dan khas.
•Misalkan p: saya lapar, q: saya haus, maka
secara aturan disjungsi bias dikatakan p v q :
saya lapar atau haus.
•Sedangkah q v p : saya haus atau lapar,
kedua kalimat tersebut memiliki makna
yang sama.
SIFAT OPERATOR LOGIKA IMPLIKASI
• Misalkan diberikan p : anda memiliki password yang benar,
q : anda bias login ke akun facebook. Kita dapat
membentuk 4 macam implikasi:
• p  q : Jika anda memiliki password yang benar maka
anda bisa login ke akun facebook.
• q  p : Jika anda bisa login ke akun facebook maka anda
memiliki password yang benar.
• ¬p  ¬q : Jika anda tidak memiliki password yang
benar maka anda tidak bisa login ke akun facebook.
• ¬q  ¬p : Jika anda tidak bisa login ke akun facebook
maka anda tidak memiliki password yang benar.
SIFAT OPERATOR LOGIKA IMPLIKASI
 Bentuk diatas memiliki nama khusus yaitu
pq
Implikasi
qp
Konvers
¬p  ¬q
Inverse
¬q  ¬p
Kontraposisi
TABEL KEBENARAN
p
q
IMPLIKASI
pq
KONVERS
qp
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
T
T
T
F
T
INVERS KONTRAPOSISI
~p  ~q
~q ~p
T
T
F
T
T
F
T
T
SIFAT OPERATOR LOGIKA IMPLIKASI
Contoh:
• Jika Amir mempunyai mobil maka ia orang kaya
• Konvers : Jika Amir orang kaya maka ia mempunyai mobil
• Invers : Jika Amir tidak mempunyai mobil maka ia bukan orang kaya.
• Kontraposisi : Jika Amir bukan orang kaya maka ia tidak mempunyai
mobil
• Jika Nina menangis maka ia sakit perut
• Konvers : Jika Nina sakit perut maka ia menangis
• Invers : Jika Nina tidak menangis maka ia tidak sakit perut
• Kontraposisi : Jika Nina tidak sakit perut maka ia tidak menangis
IMPLIKASI PADA PEMROGRAMAN
• Program komputer sangat erat kaitannya dengan logika.
• Cara kerja komputer sebagian besar menggunakan
konsep implikasi.
• Tetapi implikasi logika yang kita pelajari berbeda dengan
implikasi pada program komputer. Berikut skema singkat
implikasi pada program komputer.
 if C then S
• C : Ekspresi logika yang menyatakan syarat/kondisi
• S : Satu atau lebih pernyataan
IMPLIKASI PADA PEMROGRAMAN
• S dieksekusi jika C yang diberikan bernilai benar, dan S
tidak dieksekusi jika C yang diberikan bernilai salah.
• Kedudukan logika matematika yang dipelajari terletak
pada eksperesi logika yang menyatakan syarat/kondisi
(C).
• Ekspresi logika pada komputer hanya dikenal tiga
operator logika yaitu Konjungsi, Disjungsi, dan
Exclusive-OR (XOR).
IMPLIKASI PADA PEMROGRAMAN
Contoh:
• Misalkan didalam sebuah program yang ditulis dalam
Bahasa Pascal terdapat pernyataan berikut:
if x > y then y := x + 10
Akan diberikan nilai x = 2 dan y = 1, x = 3 dan y = 5.
Jika x = 2 dan y = 1 maka ekspresi x > y bernilai benar karena
faktanya 2 > 1, sehingga pernyataan y := x + 10 dilaksanakan.
Nilai y sekarang menjadi y := 2 + 10 = 12.
•
•
•
• Jika x = 3 dan y = 5 maka ekspresi x > y bernilai salah karena
faktanya 3 < 5, sehingga pernyataan y := x + 10 tidak
dilaksanakan.
IMPLIKASI PADA PEMROGRAMAN
 Contoh:
• Misalkan didalam sebuah program terdapat pernyataan
berikut:
• if 1-2 = 3 then x := 2x + 1
• Secara mudah bias dinyatakan C : 1-2 = 3 bernilai salah,
karena 1-2 = -1.
• Perhatikan bahwa C selalu bernilai salah sehingga apapun
x yang diinputkan tetap tidak diproses.
CONTOH
 Misalkan sebuah program komputer diberikan
pernyataan-pernyataan berikut:
• if (1 + x = 3) v (2 + x = 4) then x := x + 5.
• if (x > 2)  (1+2 = 3) then x := x/2
 Tentukan nilai kebenaran (benar/salah) dari peryataanpernyataan logika diatas
PEMBAHASAN
 if (1 + x = 3) v (2 + x = 4) then x := x + 5
• Diberikan nilai x = 1, 2, 3, 4 sebagai x input maka akan
ditentukan x output.
• Perhatikan bahwa C : (1 + x = 3) v (2 + x = 4) dan S : x :=
x + 5.
• Misalkan p : (1 + x = 3) dan q : (2 + x = 4). Maka C = p v
q.
• Jika x = 1 maka p: (1 + 1 = 2 ≠ 3)  p bernilai salah dan
q : (2 + 1 = 3 ≠ 4)  q juga bernilai salah. Maka p = F
dan q = F, C = F v F = F.
• Jadi S tidak dilaksanakan, nilai x output = x input  1
PEMBAHASAN
• Jika x = 2 maka p : (1 + 2 = 3) sehingga p bernilai benar
dan q : (2 + 2 = 4) sehingga q juga bernilai benar.
• Maka C : p v q bernilai True sehingga pernyataan S
dilaksanakan menjadi x := x + 5  2
 + 5 = 7. x output = 7.
• Jika x = 3 maka p : (1 + 3 = 4 ≠ 3) sehingga p bernilai
salah dan q : (2 + 3 = 5 ≠ 4) sehingga q juga bernilai
salah.
• Maka C : p v q bernilai False sehingga pernyataan S
tidak dapat dilaksanakan sehingga x output = x input,
x=3
PEMBAHASAN
 if (x > 2)  (1+2 = 3) then x := x/2
• Diberikan nilai x = 1, 2, 3, 4 sebagai x input maka akan
ditentukan x output.
• Perhatikan bahwa C : (x > 2)  (1+2 = 3) dan S : x := x/2
• Misalkan p : (x > 2) dan q : (1+2 = 3). Maka C = p  q.
• Jika x = 1 maka p : (1 > 2) sehingga p bernilai salah dan
q selalu bernilai benar. Berdasarkan table xor, S
dilaksanakan.
• Nilai x output = x/2 = ½.
PEMBAHASAN
• Jika x = 2 maka p : (2 > 2) sehingga p bernilai salah dan
q selalu bernilai benar.
• Berdasarkan table xor, maka S akan selalu dilaksanakan,
x output = x/2 = 1
• Jika x = 3 maka p : (3 > 2) sehingga p bernilai benar dan
q selalu bernilai benar.
• Berdasarkan table xor, maka S tidak dilaksanakan
dikarenakan C = T  T = F. maka x output = x input  3
LATIHAN 2
• Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari
pernyataan berikut:
• Jika saya merasa bosan belajar maka saya akan
mendengarkan music jazz.
• Kami akan pergi berkemah hari ini apabila hari tidka hujan.
• Syarat cukup untuk menjadi seorang programmer adalah
mampu membuat program sederhana.
• Periksalah dengan table kebenaran. Apakan kedua
pernyataan ini memiliki nilai kebenaran yang sama.
• ¬p q dan ¬q  p
• p  (q  p) dan ¬(q  p)  ¬p
LATIHAN 3
•Misalkan pada sebuah program diberikan
pernyataan berikut.
•if (x ≥ 3)  (8-x = 4) then x := x2 + 1
•if (x ≤ 2)  (2 + x2 = 3) then x := x/5
Bila diberikan nilai x = 1, 2, 3, 4 sebagai x input
maka akan ditentukan x output. Lengkapi table
dibawah ini.
x input
x output
1
2
3
4
KOLEKSI FORMULA YANG KONSISTEN
 suatu koleksi/ kumpulan formula {A1;A2; … ;An} dikatakan
konsisten (consistent) bila terdapat suatu interpretasi I yang
mengakibatkan
 I (A1) = I (A2) = I (An) = T.
CONTOH MASALAH KONSISTENSI
SPESIKASI SISTEM
Seorang software engineer diminta oleh manajernya untuk
membuat suatu sistem informasi dengan spesikasi berikut:
1. Ketika system software di-upgrade, user tidak dapat
mengakses file system;
2. Jika user dapat mengakses file system, maka user dapat
menyimpan filebaru;
3. Jika user tidak dapat menyimpan file baru, maka system
software tidak sedang di-upgrade.
Apakah spesikasi di atas konsisten?
PENYELESAIAN
 Untuk memeriksa konsistensi spesikasi sistem, pertama perlu
menerjemahkan setiap kalimat spesifkasi menjadi formula
logika proposisi.
 Agar sistem konsisten, formula-formula spesikasi sistem
tidak boleh kontradiktif. Hal ini berarti konjungsi dari
formula-formula pada tersebut harus bernilai benar untuk
suatu interpretasi.
 Akibatnya, jika sistem memiliki n buah formula spesikasi
A1;A2; … ;An maka haruslah terdapat interpretasi I yang
memberikan
I (A1) = I (A2) = ... = I (An) = T
 U n t u k m e n j awa b p e r m a s a l a h a n ko n s i s te n s i s i s te m ya n g d i d e s k r i p s i kan
s e b e l u m nya , k i t a p e r l u m e n te r j e m a h ka n s p e s i fi ka s i s i s te m ke d a l a m fo r m u l a
l o g i ka p ro p o s i s i .
M i s a l ka n p : s y s te m s o f t wa r e s e d a n g d i - u p g r a d e . ,
q : u s e r d a p a t m e n g a k s e s fi l e s y s te m . ,
r : u s e r d a p a t m e ny i m p a n fi l e b a r u . .
A k i b a t nya ket i g a ka l i m a t s p e s i fi ka s i s i s te m d a p a t d i t u l i s m e n j a d i
A1 := p →⌐q
A2 := q → r
A3 := ⌐r → ⌐p
S e l a n j u t nya a ka n d i p e r i k s a a p a ka h te r d a p a t i n te rp r et a s i I s e h i n g g a I ( A 1 ) = I
( A 2 ) = I ( A 3 ) = T.
 T i n j a u b a h wa d e n g a n m e m i l i h I ( p ) = F, I ( q ) = F, d a n I ( r ) = T d i p e ro l e h
I (A1) = I (p → ⌐ q) = F → T = T
I (A2) = I (q → r) = F → T = T
I (A3) = I (⌐ r → :p) = F → T = T
 J a d i d a p a t d i s i m p u l ka n b a h wa s p e s i . ka s i s i s te m b e r s i f a t ko n s i s te n .





LATIHAN 4
 Periksa apakah spesifikasi sistem berikut
konsisten.
”Sistem berada dalam state multiuser jika dan
hanya jika beroperasi secara normal. Jika sistem
beroperasi secara normal, maka kernel sistem
sedang berfungsi. Kernel sistem tidak sedang
berfungsi atau sistem dalam interrupt mode.
Sistem tidak berada dalam interrupt mode”
DISKUSI
DISKUSI