Bab III Matematika I..

BAB III
SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN KUADRAT
1. Sistem persamaan linier dua variabel
2. Sistem persamaan linier tiga variabel
3. Penyelesaian sistem persamaan linier dan kuadrat dua variabel
4. Sistem persamaan kuadrat dua variabel
5.
Penyelesaian masalah yang model matematikanya sistem persamaan linier
60
LEMBAR KERJA SISWA 1
Mata Pelajaran
Uraian Materi Pelajaran
Kelas / Semester
Waktu
:
:
:
:
Matematika
Sistem Persamaan Linier Dua Variabel
X /Gasal
3 x 45 menit
MATERI :
SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL
Bentuk umum persamaan linier dua variabel dalam x dan y adalah
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
Penyelesaian persamaan linier dua variabel dapat diselesaikan dengan metode :
1. Grafik
2. Eliminasi
3. Subtitusi
4. Gabungan eliminasi dan subtitusi
5. Determinan
A. Penyelesaian sistem persamaan linier dua variable dengan metoda grafik
Contoh : tentukan himpunan penyelesaian persamaan linier dua variabel
x - y
= 2
2x + y = 7
Jawab :
Persamaan x - y = 2
…… (1)
2x + y = 7
…… (2)
Langkah : - menentukan pasangan titik pada persamaan (1) dan (2)
- gambarkan pasangan titik yang didapat pada koordinat kartesius
- menentukan titik potong kedua garis yang merupakan himpunan
penyelesaian
pers 1
x
0
….
y
….
0
pers 2
61
x
0
y
….
…..
0
gambar grafik
X
Y
Titik potong kedua grafik adalah
( … , …. )
Jadi himpunan penyelesaiannya  ( … , … ) 
Latihan 1
Tentukan hinpunan penyelesaian persamaan linier dua variable dengan
metode grafik.
a.
2x + y = 7
b.
5x - 3y = 1
2x + y
= 4
6x + 3y = 18
B. Penyelesaian system persamaan linier dan linier dua variable dengan
metode subtitusi
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaiaan persamaan linier dengan metode subtitusi.
x - y = 2
2x + y = 7
Jawab :
x - y = 2 ...…… (1)
2x + y = 7 ……… (2)
Dari persamaan (1)
 x = … + 2 ………. *)
*) subtitusi ke pers (2)
62
2x + y = 7
 2 ( …. + 2 ) + y = 7

………. + y

= 7
….y = 7

y = …..
subtitusi y = ….. ke pers …. *) di dapat
jadi x = …. dan y = …..
x = …………..
maka HP =  ( … , … ) 
Latihan 2
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan linier dua variabel dengan
metode subtitusi
a. 2x + 2y = 3
b.
x - 2y = 5
x + 3y = 6
2x + 6y = 12
c. 3x + 5y – 7 = 0
d.
2x + 3y – 4 = 0
2x – 3y + 8 = 20
4x + 2y -7 = 13
C. Penyelesaian sistem persamaan linier dan linier dua variable dengan
metoda eliminasi
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan linier
x - y = 2
2x + y = 7
Jawab :
Persamaan linier
x - y = 2
……….. (1)
2x + y = 7
……….. (2)
eliminasi x pada persamaan (1) dan (2)
x - y = 2
 x …. 

…. x - …. y = ……
2x + y = 7
 x …. 

….x + …. y = ……
…..y = …….
y = ……
63
eliminasi y pada persamaan (1) dan (2)
 x …..

…. x - …. y = …….
2x + y = 7  x …. 

…..x + …. y = ……
x - y = 2
….x = ……
x = ……
jadi x
= …. dan y = …..
HP
=
(…,…) 
Latihan 3
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan linier dua variable dengan
metode eliminasi
a.
2x + y = 7
b.
5x - 3y = 1
c.
4x – 3y +6 = 0
1/x + 2/y = -1
3/x + 10/y = 4
4x – 3y – 8 = -19
d.
x – 2y -1 = 0
2x + y + 9 = 16
D. Penyelesaian system persamaan linier dan linier dua variable dengan
metode gabungan subtitusi dan eliminasi.
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan linier
x - y = 2
2x + y = 7
Jawab :
Eliminasi salah satu variabel , misal y
x - y = 2
2x + y = 7
…. x = ….
x = …..
Subtitusi x = ….. ke salah satu persamaan di atas :
misal pers.
x - y = 2
…. - y = 2
y = …..
jadi x = ….. dan y = ….. maka HP =  ( … , … ) 
64
Latihan 4
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan linier dengan menggunakan
metode gabungan subtitusi dan eliminasi.
1.
3x - 4y = 8
2.
4x - 3y + 6 = 0
6x + 2y - 11 = 0
3.
x - 2y - 1 = 0
0,3x + 0,5y = 4
4. 1/2x + 1/3 y = 1
0,2x + 1,5y = 5
¾ x -2/3 y = 5
E. Penyelesaian sistem persamaan linier dua variable dengan determinan
Persamaan linier dua variabel bentuk
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
a1
b1
Determinan persamaan di atas ditulis D =
,
a2
b2
c1
b1
Determinan untuk variabel x ditulis Dx =
,
c2
b2
a1
c1
Dx = c1.b2 – c2.b1
, Dy = a1.c2 – a2.c1
Determinan untuk variabel y ditulis Dy =
a2
Maka nilai x =
D = a 1 b2 - a2. b1
c2
DX
DY
dan y =
D
D
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan linier dengan determinan
2x - 3y = 9
x + y = 2
65
Jawab :
2
-3
= 2.1 – (-3).1 = 2 +3 = 5
D=
1
2
9
-3
Dx =
= 9.1 - (-3).2 = 9 + 6 = 15
2
1
2
9
= 2.2 – 9.1 = 4 – 9 = -5
Dy =
1
2
15
DX
=
= 3 dan
5
D
Jadi x =
y=
DY
-5
=
= -1
5
D
Maka HP = {(3,-1)}
Latihan 5
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan linier dengan menggunakan
determinan
1.
3x - 4y = 8
2.
4x - 3y + 6 = 0
6x + 2y - 11 = 0
3.
4x – 3y +6 = 0
x - 2y - 1 = 0
4x – 3y – 8 = -19
4.
x – 2y -1 = 0
2x + y + 9 = 16
66
LEMBAR KERJA SISWA 2
Mata Pelajaran
: Matematika
Uraian Materi Pelajaran : Sistem persamaan linier tiga variabel
Kelas / Semester
: X / Gasal
Waktu
: 3 x 45 menit
________________________________________________________________
MATERI :
SISTEM PERSAMAAN LINIER TIGA VARIABEL
Bentuk umum dari persamaan linier tiga variable dalam x , y , dan z adalah :
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
Persamaan linier tersebut dapat diselesaikan dengan menggunakan metoda :
1. Eliminasi
2. Subtitusi
3. Gabungan eliminasi dan subtitusi
4. Determinan
A. Penyelesaian persamaan linier tiga variabel dengan metode eliminasi
Contoh :
a. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan linier dengan metode
eliminasi.
2x + 3y - z = 1
x + y + z
= 4
3x - y + 2z = 14
Jawab :
……….. (1)
……….. (2)
……….. (3)
2x + 3y - z = 1
x + y + z = 4
3x - y + 2z = 14
> eliminasi variable z dari pers (1) dan (2)
2x + 3y - z
x + y + z
= 1
= 4
+
3x + … y
= 5
…….… (4)
67
> eliminasi variable z dari pers 1 dan 3
2x + 3y - z = 1
x ….
 …. x + … y - ….z = …..
3x - y + 2z = 14
x ….
 …. x - ….y + … z = …..
+
…. x + … y = ……
…..(5)
> eliminasi variable y dari (4) dan (5)
3x + … y = 5
x ….

…. x + …y = ….
…. x + … y = ….
x ….

….x + …y = ….
…. x = ….
x = …
> eliminasi variable x dari (4) dan (5)
3x + … y = 5
…. x + … y
= ….
x ….

…. x + …y = ….
x ….

….x + …y = ….
-
…. y = ….
y = …..
> eliminasi variable x dari (1) dan (2)
2x + 3y - z = 1
x ….

…. x + …y - …z = ….
x + y + z
x ….

…. x + …y + ….z = ….
= 4
…y + …z = ….
….… (6)
> eliminasi variable x dari (1) dan (3)
2x + 3y - z = 1
x ….

…. x + …y - …z = ….
3x - y + 2z = 14
x ….

…. x - …y + ….z = …. …y - .…z = ….
> eliminasi variable y dari (6) dan (7)
…y - …z = ….
…y - …z = ….
x ….

…y - …z = ….
x ….

…y - …z = ….
….z = …
z = ….
Jadi didapat x = …. , y = …. dan z = ….
HP =  ( … , … , …. ) 
68
+
……(7)
Latihan :
Selesaikan persamaan linier tiga variabel berikut dengan metode eliminasi
3x + 5y - z
= 11
x - 3y + 4z = 12
4x + 2y - 5z = -1
B. Penyelesaian persamaan linier tiga variabel dengan metode subtitusi
Contoh :
a. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan linier
subtitusi.
x - 3y + 2z = 8
2x + y - 2z = 0
3x + 5y - z = 17
Jawab :
x - 3y + 2z = 8
……… (1)
2x + y - 2z = 0
……… (2)
3x + 5y - z = 17
………. (3)
Dari persamaan 1
x - 3y + 2z = 8  x = 3y - 2z + 8
…………. (4)
(4) subtitusi ke (2)
2 ( ………………) + y - 2z = 0
 …. y - … z + …. + y - 2z
= 0

…y - …. z
= ….

…y

y
= … z - ….
= …..
………….. (5)
dari (4) disubtitusi ke (3)
3x + 5y - z = 17
 3 ( ……………….) + 5y - z
= 17

= 17

… y - z + … + 5y - z
…. y - … z
= ….. ……..…… (6)
dari (5) disubtitusi ke (6)
69
dengan metode
…. y - … z = …..
…. (……. …. ) - ….z = …..
(…… z - …. ) - …. z = …..
…. z = ….
z = ….
Nilai z = ….. disubtitusikan ke (5)
y = ……
Nilai y = …. , z = …. Disubtitusikan ke (4)
x = 3y - 2z + 8
= 3 …. - 2 …. + 8
= ……
x = ……
HP =  ( … , … , …. ) 
Jadi
Latihan :
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan linier tiga variable berikut
dengan metode subtitusi
x + 3y - z = -15
3x + 2y + 5z = 15
2x - y + 3z = 0
C. Penyelesaian persamaan linier tiga variabel dengan metode gabungan
eliminasi dan subtitusi
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan linier dengan menggunakan
metode gabungan eliminasi dan subtitusi.
x - 3y + 2z = 8
2x + y - 2z = 0
3x + 5y - z
= 17
70
Jawab :
x - 3y + 2z = 8
….… (1)
2x + y - 2z = 0
……. (2)
3x + 5y - z = 17
……. (3)
> eliminasi variable z pada (1) dan (2)
x - 3y + 2z = 8
2x + y - 2z = 0 +
… x - … y = …..
……… (4)
> eliminasi variable z pada (1) dan (3)
x - 3y + 2z = 8
x ….

…. x - …y + …z = ….
3x + 5y - z = 17
x ….

…. x + …y - ….z = ….+
…x + …y = …. ………(5)
> eliminasi variable x pada (4) dan (5)
… x - … y = ….. x ….

…. x - …y
… x + … y = ….. x ….

…. x + …y = ….
= ….
───────────────
…y = ….
y = ….
Nilai y = …. disubtitusikan ke (4)
… x - … y = …..
… x - … (…… ) = …..
….. x
x
= …..
= …..
nilai x = …. , dan y = …. Subtitusi ke (1)
x - 3y + 2z = 8
( …..) - 3 ( ……) + 2z = 8 
z = ….. jadi HP =  ( … , … , …. )
Latihan :
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan linier dengan metode gabungan
eliminasi dan subtitusi
2x + 3y - z
= 1
x + y + z = 4
3x - y + 2z = 14
71
D. Penyelesaian persamaan linier tiga variabel dengan metode determinan
Persamaan linier tiga variabel
a1x + b1y + c1z = d1
a2x + b2y + c2z = d2
a3x + b3y + c3z = d3
a1
b1 c1
Deterniman persamaan di atas ditulis D = a2
b2 c2
a3
b3
c3
D = a1.b2.c3 + b1.c2.a3 + c1.a2.b3 - a3.b2.c1 – b3.c2.a1 – c3.a2.b1
d1 b1 c1
Determinan untuk variabel x ditulis Dx =
d2 b2 c2
d3 b3 c3
Dx = d1.b2.c3 + b1.c2.d3 + c1.d2.b3 – d3.b2.c1 – b3.c2.d1 – c3.d2.b1
a1
d1 c1
Determinan untuk variabel y ditulis Dy = a2
d2 c2
a3
d3 c3
Dy = a1.d2.c3 + d1.c2.a3 + c1.a2.d3 – a3.d2.c1 – d3.c2.a1 – c3.a2.d1
a1 b1
d1
Determinan untuk variabel z ditulis Dz = a2 b2
d2
a3 b3
d3
Dz = a1.b2.d3 + b1.d2.a3 + d1.a2.b3 – a3.b2.d1 – b3.d2.a1 – d3 .a2.b1
Maka x =
DX
DY
, y =
D
D
dan z =
72
DZ
D
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan linier dengan neggunakan
determinan.
3x + 5y – z = 11
x + 3y + 4z = 12
4x + 2y - 5z = -1
Jawab :
3 5 -1
D = 1 -3 4
4 2 -5
= 3.(-3).(-5) + 5.4.(-5) + (-1).1.2 – 4.3.(-1) -2.4.3 –(-5).1.5
= 45 +80 -2 - 12 – 24 + 25
= 112
11 5 -1
Dx = 12 -3 4
-1
2 -5
= 11.(-3).(-5)+ 5.4.(-1)+(-1).12.2-(-1).(-3).(-1)-2.4.11-(-5).12.5
= 165 – 20 -24 + 3 – 88 +300 = 336
3 11 -1
Dy = 1 12
4
4 -1 -5
3
= -180 + 176 + 1 + 48 + 12 + 55 = 112
5 11
Dz = 1 -3 12
4
= 3.12.(-5)+11.4.4 +(-1).1(-1) – 4.12.(-1) – (-1).4.3- (-5).1.11
2
Maka x =
-1
= 3.(-3).(-1)+5.12.4+11.1.2 - 4.(-3).11 – 2.12.3 – (-1).1.5
= 9 + 240 + 22 + 132 – 72 + 5 = 336
DX
DY
D Z 336
336
112
=
= 3, y =
=
= 1 dan z =
=
=3
112
112
112
D
D
D
Jadi HP = {(3,1,3)}
73
Latihan :
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan linier dengan menggunakan
determinan.
1.
2x – 3y + z = 2
3.
x – 2y = -10
x - 2y + 3z = 6
3x + z = 22
x + y–z
2y + 5z = 64
=2
2. x + 2y – 3z = -14
3x + z = 14
5y – 2z = -15
74
LEMBAR KERJA SISWA 3
Mata Pelajaran
: Matematika
Uraian Materi Pelajaran : Penyelesaian sistem persamaan linier dan kuadrat dua
variabel
Kelas / Semester
: X / Gasal
Waktu
: 2 x 45 menit
MATERI :
SISTEM PERSAMAAN LINIER DAN KUADRAT DUA VARIABEL
Bentuk umum sistem persamaan linier dan kuadrat dua variabel adalah :
y = ax + b
y = px2 + qx + r
→ bentuk linier
→ bentuk kuadrat
Bentuk grafik persamaan linier y = ax + b adalah garis lurus
Bentuk grafik persamaan kuadrat y = px2 + qx + r adalah parabola
Yang menjadi penyelesaian pada kedua persamaan tersebut adalah titik potong
garis dan parabola, caranya dengan mensubtitusikan y = ax + b pada persamaan
y = px2 + qx + r didapat:
px2 + qx + r = ax + b
px2 + qx + r – ax – b = 0
px2 + ( q-a)x + ( r – b) = 0
adalah bentuk persamaan kuadrat dengan nilai diskriminan D = b2 – 4ac dengan
a = p, b= q –a , dan c = r – b
Ada tiga kemungkinan himpunan penyelesaian jika dilihat dari nilai diskriminan
yaitu :
1. Jika D > 0, maka garis dan parabola berpotongan di dua titik yang
merupakan himpunan penyelesaian.
2. Jika D = 0, maka garis dan parabola berpotongan di satu titik yang
merupakan himpunan penyelesaian.
3. Jika D < 0, maka garis dan parabola tidak berpotongan sehingga tidak
mempinyai himpunan penyelesaian.
75
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan linier dan kuadrat di bawah ini dan
tunjukkan dalam gambar.
y = 2x – 7
y = x2 – 2x – 3
Jawab :
y = 2x – 7
…….. (1)
y = x2– 2x – 3
…….. (2)
Persamaan (1) subtitusi ke (2)
x2 – 2x -3 = 2x – 7
x2 – 2x – 3 – 2x + 7 = 0
x2 – 4x + 4 = 0
Nilai D = b2 – 4ac = (-4) 2 – 4.1.4 = 16 – 16 = 0
Jadi nilai D = 0 , maka kedua grafik mempunyai satu titik potong.
Titik potong grafik diperoleh dengan cara memfaktorkan persamaan :
x2 - 4x + 4 = 0
(x – 2) (x – 2) = 0
x1 = 2 atau x2 = 2
nilai x1 = x2 = 2 subtitusi ke persamaan y = 2x – 7 didapat y = -3
jadi himpunan penyelesaian adalah x = 2 dan y = -3
HP = {(2,-3)}
Penyelesaian di atas akan ditunjukkan dalam gambar
a. grafik persamaan y = 2x – 7 adalah berupa garis lurus
cara : dengan menentukan pasangan titik-titik dengan menggunakan tabel.
x
y = 2x -7
0
31/2
-7
0
Grafik melalui titik (0, -7) dan ( 31/2 , 0)
76
b. Grafik persamaan y = x2 – 2x – 3 adalah berupa parabola
Cara :
- menentukan titik puncak grafik
P(
b D
 (2)  {( 2) 2  4.1.(3)}
,
) = (
) = ( 1, -4)
,
2a 4a
2.1
4.1
- menentukan beberapa titik-titik bantu
x
y = x2 – 2x- 3
-2
-1
0
1
2
3
4
…..
….
-3
…..
-3
….
….
Gambar grafik
Latihan
1. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan linier dan kuadrat di bawah ini
dan tunjukkan dalam gambar.
a.
y=x–3
b.
y = x2 – 4x + 3
y = 2x – 6
y = x2 + 3x – 4
2. Diketahui sistem persamaa y = x2 + px – 3 dan y = x – 4 , tentukan nilai p
agar sistem persamaan tersebut hanya mempunyai satu penyelesaian saja.
77
3. Tentukan nilai k agar sistem persamaan y = x2 – 4x + 7 dan y = 2x + k tidak
mempunyai himpunan penyelesaian.
4. Titik potong fungsi kuadrat y = ax2 + bx – 2 dan y = 2x – 1 , berordinat -3
dan 5 , tentukan nilai a dan b fungsi tersebut.
78
LEMBAR KERJA SISWA 4
Mata Pelajaran
: Matematika
Uraian Materi Pelajaran : Sistem persamaan kuadrat dua variabel
Kelas / Semester
: X / Gasal
Waktu
: 2 x 45 menit
MATERI :
SISTEM PERSAMAAN KUADRAT DUA VARIABEL
Bentuk umum persamaan kuadrat dua variabel adalah :
y = ax2 + bx + c
,a≠0
y = px2 + qx + r
, p ≠ 0 , a,b,c,p,q,r adalah bilangan real
Bentuk grafik persamaan kuadrat y = ax2 + bx + c adalah parabola
Bentuk grafik persamaan kuadrat y = px2 + qx + r adalah parabola juga.
Titik potong atau titik persekutuan kedua parabola tersebut merupakan himpunan
penyelesaian kedua persamaan kudrat tersebut.
Cara menentukan himpunan penyelesaian dari kedua persamaan tersebut
dengan cara mensubtitusikan (1) ke (2) yaitu :
y = ax2 + bx + c
….. (1)
y = px2 + qx + r
….. (2)
Didapat ax2 + bx + c = px2 + qx + r
ax2 + bx + c – px2 – qx – r = 0
(a – p)x2 + (b – q)x + (c – r) = 0
bentuk di atas merupakan bentuk persamaan kuadrat dengan nilai diskriminan
D = b2 – 4.a.c dengan koefisien-koefisien a = (a – p) , b= (b – q) dan c = (c – r).
Ada tiga kemungkinan himpunan penyelesaian , jika dilihat nilai diskriminan yaitu :
1. Jika D > 0, maka kedua parabola berpotongan di dua titik yang merupakan
himpunan penyelesaiannya.
2. Jika D = 0, maka kedua parabola berpotongan di satu titik yang merupakan
himpunan penyelesaiannya.
3. Jika D < 0, maka kedua parabola tidak berpotongan sehingga tidak
mempunyai himpunan penyelesaian.
79
Contoh :
y = x2 – 4x + 3
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan
y = 2x2 – 12x + 15
Jawab :
y = x2 – 4x + 3
……. (1)
y = 2x2 – 12x + 15
……. (2)
Persamaan (1) subtitusi ke persamaan (2) didapat
x2 – 4x + 3 = 2x2 – 12x + 15
x2 – 4x + 3 – 2x2 + 12x – 15 = 0
-x2 + 8x – 12 = 0
Nilai D = b2 – 4.a.c = 82 – 4.(-1).(-12) = 64 – 48 = 16
Jadi D = 16 > 0, maka kedua grafik berpotongan di dua titik.
Titik potong grafik diperoleh dengan cara memfaktorkan persamaan
-x2 + 8x – 12
=0
(-x + 6) (x – 2) = 0
x1 = 6 atau x2 = 2
untuk x1 = 6 subtitusi ke persamaan y = x2 – 4x + 3 didapat y1 = 15
untuk x2 = 2 subtitusi ke persamaan y = x2 – 4x + 3 didapat y2 = -1
jadi himpunan penyelesaian adalah {(6,15) , (2,-1)}
Penyelesaian di atas akan ditunjukkan dalam gambar :
1. menggambar grafik persamaan y = x2 -4x + 3
cara : a. menentukan titik puncak parabola P (
b D
,
) = (2,-1)
2a 4a
b. menentukan titik bantu
x
y = x2 – 4x + 3
-1
….
0
1
2
3
….
….
80
3
0
4
5
6
…..
….
…..
2. menggambar grafik persamaan y = 2x2 – 12x + 15
cara : a. menentukan titik puncak parabola P (
b D
,
) = (3,-3)
2a 4a
b. menentukan titik bantu
x
y = 2x2 – 12x + 15
0
1
15
2
…..
3
…..
4
…..
5
……
6
……
…..
Gambar grafik
Latihan
1.Tentukan himpunan penyelesaian persamaan kuadrat di bawah ini dan
tunjukkan dengan gambar grafiknya.
a.
y = x2 – 2x – 3
b.
y = -x2 – 10x – 11
y = x2 + 4x – 7
y = 9 – x2
81
2. Tentukan nilai a agar persamaan y = ax2 + 2x – 7 dan y = 3x2 – 4x + 8 tidak
mempunyai himpunan penyelesaian.
3. Diketahui sistem persamaan y = 2x2 – 3x – 5 dan y = px2 + x – 10, tentukan
nilai p agar persamaan mempunyai satu himpunan penyelesaian dan tentukan
himpunan penyelesaiannya.
4. Buktikan bahwa persamaan y = x2 – 2x + 5 dan y = -x2 – x – 7 tidak
mempunyai himpunan penyelesaian.
5. Diketahui persamaan parabola y = x2 + 2x + c dan y = -x2 – 2x + q, jika kedua
parabola tersebut berpotongan pada satu titik di (c – q). Tentukan nilai (c – q).
82
LEMBAR KERJA SISWA 5
Mata Pelajaran
: Matematika
Uraian Materi Pelajaran
: Penyelesaian masalah yang model matematikanya
sistem persamaan linier.
Kelas / Semester
: X / Gasal
Waktu
: 2 x 45 menit
MATERI :
MODEL MATEMATIKA PADA SISTEM PERSAMAAN LINIER
Model matematika : adalah suatu rumusan matematika yang berbentuk
persamaan
yang
diperoleh
dari
hasil
penafsiran
seseorang,
ketika
menterjemahkan suatu masalah kedalam bahasa matematika.
Contoh :
Beny membeli 6 buku tulis dan 8 pensil di suatu toko buku, untuk itu Beny harus
membayar Rp 6.900,00, sedangkan Anik hanya membeli buku tulis dan pensil
masing-masing sebuah, untuk itu ia harus membayar Rp 1.050,00. Kalau harga
sebuah buku tulis dan sebuah pensil masing-masing x rupiah dan y rupiah.
Buat model matematika untuk persoalan itu dan berapa harga buku tulis dan
pensil.
Jawab :
Jumlah uang yang dibayar Beny →
6x + 8y = 6900
Jumlah uang yang dibayar Anik →
x+y
= 1050
Sehingga model matematikanya adalah
6x + 8y = 6900
x + y = 1050
Model matematika di atas adalah bentuk persamaan linier dua variabel yang
dapat diselesaikan dengan banyak cara kita dapat mengambil salah satu cara
yang sudah dipelajari di depan.
83
Menggunakan cara gabungan eliminasi dan subtitusi didapat :
6x + 8y = 6900
|…x1|
→ 6x + 8y = 6900
x + y + 1050
|…x6|
→ 6x + 6y = 6300
2y = 600
y = 300
y = 300 subtitusi ke persamaan x + y = 1050
diperoleh x = 750
jadi harga buku tulis Rp 750,00 dan harga pensil Rp 300,00
Latihan
1. Diketahui dua buah bilangan x dan y jika jumlah kedua bilangan tersebut sama
dengan perkalian keduanya dan jika selisih bilangan x dengan dua kali
bilangan y sama dengan
dua kali perkalian keduanya. Tentukan bilangan-
bilangan tersebut.
2. Sebuah pabrik sepatu memproduksi sepatu wanita dan pria. Penerimaan dari
penjualan 100 sepatu pria dan 140 sepatu wanita adalah Rp 8.200.000,00,
penerimaan dari penjualan 150 sepatu pria dan 80 sepatu wanita adalah Rp
8.400.000,00. Hitunglah harga jual satu pasang sepatu pria dan sepatu wanita.
3. Sepuluh tahun yang lalu umur kakek enam kali adikku, lima tahun yang akan
datang jumlah umur kakek dan adikku sama dengan 92 tahun. Jika umur
nenek enam tahun lebih muda dari pada umur kakek, maka berapakah umur
nenek sekarang?
4. Diketahui persamaan garis px + qy = 8. Tentukan nilai p dan q bila garis
tersebut melalui titik (4,2) dan (2,3) !
5. Jumlah tiga bilangan adalah 22, bilangan pertama 15 kurangnya dari bilangan
kedua. Dua kali jumlah bilangan pertama dan bilangan kedua 8 kurangnya dari
bilangan ketiga. Berapakah bilangan – bilangan tersebut.
84
6. Persamaan lingkaran x2 + y2 + ax + by + c = 0 , tentukan nilai a,b, dan c , jika
lingkaran tersebut melalui titik-titik (1,5), (-1,-3) dan (1,-1).
7. Yogi dan Dewi bersama-sama dapat menyelesaikan suatu pekerjaan dalam 7
hari. Jika Yogi dan Adit bekerja bersama-sama pekerjaan itu selesai dalam 5
hari, serta jika Dewi dan Adit bekerja bersama-sama pekerjaan itu selesai
dalam 4 hari, berapa hari Yogi menyelesaikan pekerjaan itu sendirian?
8. Delapan tahun yang lalu usia ayah dibanding usia ibu adalah 6 : 5, Selisih usia
ibu dan usia aku adalah 23 tahun, jumlah usia ayah, usia ibu dan usiaku adalah
97 tahun. Berapakah usia ayah, usia ibu dan usiaku sekarang?
85