Sinyal dan Sistem

Transformasi Laplace
 Ditemukan oleh Pierre-Simon Marquis de
Laplace (1749-1827), pakar matematika
dan astronomi Perancis.
 Prinsipnya mentransformasi sinyal/sistem
kontinyu dari ranah waktu ke ranah-s
 Mirip dengan transformasi Fourier, hanya
jw digantikan oleh s.
Tujuan
 Transformasi Laplace digunakan untuk
menyelesaikan suatu persamaan diferensial (PD)
yang rumit dan persoalan nilai awal.
 Prosedur utama dalam penyelesaiannya adalah:
1. Mentransformasi (Laplace) persamaan diferensial
yang sulit menjadi persamaan yang lebih
sederhana yang disebut persamaan pengganti.
2. Menyelesaikan persamaan pengganti dengan
manipulasi/perhitungan aljabar biasa.
3. Mentransformasikan kembali (invers Laplace)
solusi dari persamaan pengganti untuk
mendapatkan solusi dari persamaan semula.
Prosedur tersebut bisa digambarkan sbb.:
 Proses transformasi Laplace pada prinsipnya sama dengan
proses penggunaan logaritma (ingat, logaritma adalah
merupakan bentuk transformasi juga).
 Penggunaan logaritma akan menyederhanakan operasioperasi seperti perkalian, pembagian, pangkat, akar, dlsb.
 Contoh : Misalkan kita ingin menghitung perkalian dari dua
bilangan 25.735 dan 15.147 dengan menggunakan logaritma.
Maka yang pertama dilakukan adalah mentransformasikan
kedua bilangan ini dengan mengambil nilai logaritmanya.
 log (25.735) = 1,4105 ; log (15.147) = 1.1803
 Hasilnya dijumlahkan : 1,4105 + 1.1803 = 2.5908
 Lalu dilakukan proses transformasi balik (inverse
transformation) dengan mengambil nilai antilogaritmanya : 102.5908 = 389.7624
 Hasilnya merupakan perkalian dari dua bilangan yang
diinginkan.
 Waktu yang diperlukan untuk melakukan manipulasi
logaritma pada umumnya lebih cepat dibanding perkalian
langsung.
Proses penyelesaian persamaan diferensial menggunakan
transformasi Laplace :
s
Langkah-langkah :
 Dari persamaan diferensial yang diberikan, dicari nilai
transformasi Laplace yang bersesuaian dari tabel
transformasi Laplace.
 Kondisi awal disisipkan dan transformasi yang telah
didapat dimanipulasikan lagi secara aljabar sehingga
menghasilkan nilai yang telah direvisi.
 Akhirnya ditentukan inverse transformasi Laplace dari
nilai yang telah direvisi, juga dengan menggunakan tabel.
 Merupakan nilai yang diinginkan.
 Pada umumnya, cara dengan transformasi Laplace
sangat menghemat waktu jika dibandingkan dengan
cara konvensional.
Transformasi Laplace f(t) yang Umum Dijumpai
 Transformasi Laplace dari fungsi f(t) :
(3.1)
 Di mana s merupakan bilangan kompleks dengan nilai s = s +
jw . Simbol £ menunjukkan “transformasi Laplace dari”.
 Tidak semua fungsi f(t) bisa ditransformasikan ke dalam
Laplace. Sebuah fungsi dapat ditransformasikan ke dalam
Laplace jika :
untuk s1 positip dan real (3.2)
Tabel Transformasi Laplace
Tabel
Transf.
Laplace
Tabel
Sifat
Transf.
Laplace
Contoh :
Contoh :
Contoh :
3.
Contoh :
4.
lain
Penyederhanaan Laplace pada komponen
Langkah untuk mengaplikasikan transformasi Laplace
dalam menyelesaikan masalah rangkaian listrik :
1. Tentukan persamaan diferensial dalam ranah t dari
rangkaian listrik dengan menggunakan hukum Ohm atau
hukum Kirchoff;
2. Bentuk persamaan pembantu dalam ranah s dengan
menggunakan transformasi Laplace;
3. Substitusikan nilai awal atau syarat batas yang diberikan
(kalau ada) ke dalam persamaan pembantu;
4. Selesaikan persamaan pembantu dengan perhitungan
aljabar, termasuk dengan metode jumlahan pecahan
parsial;
5. Finalisasi menggunakan invers transformasi Laplace untuk
menentukan solusi akhir .
Penyederhanaan Laplace pada komponen
Penyederhanaan Laplace pada komponen
Contoh-Contoh dalam Rangkaian Listrik
Soal 1 : Tentukan besar arus yang mengalir dalam rangkaian berikut ini
jika saklar ditutup pada saat t = 0.
Penyelesaian : dengan menggunakan
hukum Kirchoff-II diperoleh :
Jadi, besarnya arus yang mengalir
adalah sebesar :
Soal 2 : Tentukan besar arus yang mengalir jika saklar ditutup pada saat t
=0 dalam rangkaian berikut ini.
Penyelesaian : dengan menggunakan
hukum Kirchoff-II diperoleh :