bab 4 fungsi transfer dan diagram blok sistem

BAB 4
FUNGSI TRANSFER DAN DIAGRAM BLOK SISTEM
Bab 4 membahas tentang fungsi transfer dan diagram blok sistem serta
peranannya dalam pemodelan, analisis, dan sintesis sistem kendali.
Uraiannya meliputi pengertian fungsi transfer, penurunan fungsi transfer
dari sebuah sistem yang diketahui model matematisnya, serta membuat
diagram blok dari model sistem.
Setelah mempelajari bab ini, mahasiswa memiliki kompetensi untuk :
• mendefinisikan fungsi transfer.
• menurunkan fungsi transfer dari sebuah sistem yang dinyatakan
dalam bentuk persamaan diferensial.
• memahami diagram blok sistem dan menurunkan bentuk diagram
blok dari model sistem yang diketahui fungsi transfer masing-masing
subsistemnya.
• Membangun diagram blok untuk sistem-sistem dalam rangkaian
listrik, elektromekanis, sistem termal, atau sistem fluida.
1. Fungsi transfer
Fungsi transfer didefinisikan sebagai perbandingan transformasi Laplace
sinyal output terhadap transformasi Laplace sinyal input dengan
menganggap seluruh kondisi mulanya nol. Dengan mengetahui fungsi
transfer sistem, maka kita dapat mengetahui ”relasi” langsung antara
masukan dan keluaran dari sistem. Untuk menurunkan fungsi transfer
sistem yang dimodelkan dengan persamaan diferensial, kita memanfaatkan
sifat transformasi Laplace berikut :
f ⇒ F (s )
f ′ ⇒ sF (s )
f ′′ ⇒ s 2 F (s )
M
1
∫ f (τ) dτ ⇒ s F (s )
(1)
Perhatikan rangkaian listrik berikut.
Asep Najmurrokhman – Catatan Kuliah Sistem Kendali
1|
Gambar 1. Rangkaian seri RLC
Dengan menggunakan hukum Kirchhoff tentang tegangan pada rangkaian
tersebut didapat persamaan
L
di
1
+ Ri + ∫ i dt = ei
dt
C
(2)
dan
1
i dt = e0
C∫
(3)
Transformasi Laplace persamaan (2) berbentuk sLI (s ) + RI (s ) +
I (s )
= Ei (s )
sC
atau
1 

(4)
 sL + R +
 I (s ) = Ei (s )
sC 

serta transformasi Laplace persamaan (3) berbentuk
I (s )
= E0 (s )
(5)
sC
Dengan membagi persamaan (5) dan (4) didapat fungsi transfer rangkaian
E0 (s )
1
(6)
= 2
Ei (s ) s LC + sRC + 1
Contoh lainnya, perhatikan model mekanis sistem pegas dengan u(t) adalah
perpindahan dari dasar, y(t) adalah perpindahan massa, k konstanta pegas, m
massa total sistem, dan b koefisien gesekan, yang digambarkan secara
skematik sebagai berikut :
Gambar 2. Model Sistem Suspensi
Persamaan diferensial untuk sistem tersebut berbentuk
my ′′ + by ′ + ky = bu ′ + ku
(7)
Asep Najmurrokhman – Catatan Kuliah Sistem Kendali
2|
Dengan mengambil transformasi Laplace persamaan (7) didapat bentuk
ms 2Y (s ) + bsY (s ) + kY (s ) = bsU (s ) + kU (s )
atau
(ms
2
)
+ bs + k Y (s ) = (bs + k )U (s )
(8)
sehingga fungsi transfer sistem mekanis tersebut berbentuk
Y (s )
bs + k
=
2
U (s ) ms + bs + k
(9)
2. Diagram Blok Sistem
Representasi sebuah proses dalam sistem dapat digambarkan melalui
diagram blok. Sebuah diagram blok dapat menginformasikan urutan proses
yang terjadi dalam sistem secara kualitatif. Selain itu, secara kuantitatif
sebuah diagram blok menyatakan fungsi transfer suatu sistem. Dengan
pengertian tersebut, rangkaian listrik pada gambar 1 dapat digambarkan
dengan diagram blok berikut
Ei
G(s)
Eo
Gambar 3. Diagram blok rangkaian
dengan G(s) menyatakan fungsi transfer rangkaian seperti yang ditunjukkan
oleh persamaan (6). Variabel yang dituliskan dalam representasi diagram
blok adalah bentuk transformasi Laplace dari sinyal-sinyalnya. Seperti pada
gambar 3, input Ei adalah transformasi Laplace dari sinyal input ei(t) dan
output Eo adalah transformasi Laplace sinyal output eo(t). Sementara itu,
sistem suspensi pada gambar 2 dapat dituliskan dalam bentuk diagram blok
berikut
U
Y
K(s)
Gambar 4. Diagram blok sistem suspensi
dengan K(s) menyatakan fungsi transfer sistem yang ditunjukkan oleh
persamaan (9).
Visualisasi diagram blok memudahkan kita dalam memahami sistem
kompleks yang tersusun oleh lebih dari satu subsistem atau komponen.
Misalnya sistem elektromekanis dalam motor listrik yang menggabungkan
Asep Najmurrokhman – Catatan Kuliah Sistem Kendali
3|
subsistem elektrik dengan subsistem mekanis (gerak). Gambar skematik
sebuah motor listrik arus searah (motor DC) dengan pengendalian arus
bagian jangkar (armature) beserta variabel dan parameternya diperlihatkan
pada gambar 5.
Gambar 5. Motor DC dengan pengendalian arus jangkar
Persamaan rangkaian pada bagian jangkar (sisi input) berbentuk
Rm ia + Lm
dia
+ em = ea
dt
(10)
em adalah tegangan yang muncul di bagian rotor akibat perputaran
konduktor yang menembus daerah bermedan magnet, yang disebut back
electromotive force (gaya gerak listrik balik), dan besarnya berbanding lurus
dengan kecepatan putar motor. Karena simpangan sudut putar adalah θo,
maka gaya gerak listrik balik dapat dituliskan menjadi
em = k m
dθ 0
dt
(11)
dengan km menyatakan konstanta tegangan motor. Torsi (T) yang dihasilkan
oleh motor berbanding lurus dengan besar arus jangkar ia, sehingga dapat
dituliskan menjadi
T = k T ia
(12)
dengan kT adalah konstanta torsi.
Sementara itu, pada beban berlaku persamaan
d 2 θ0
dθ
J
+B 0 =T
(13)
2
dt
dt
Asep Najmurrokhman – Catatan Kuliah Sistem Kendali
4|
dengan J menandai inersia beban, B koefisien redaman/gesekan, dan T
adalah torsi yang dihasilkan oleh motor.
Untuk mendapatkan fungsi transfer sistem elektromekanis tersebut, yaitu
Θ (s )
bentuk 0 , langkah pertama adalah menyatakan transformasi Laplace
E a (s )
dari persamaan (10) – (13), kemudian lakukan langkah-langkah berikut :
•
Substitusi persamaan (11) ke (10) sehingga didapat
Rm I a (s ) + Lm sI a (s ) + k m sΘ 0 (s ) = E a (s )
atau
(Rm + Lm s )I a (s ) + k m sΘ 0 (s ) = E a (s )
•
(14)
Substitusi persamaan (12) ke (13) sehingga dihasilkan
Js 2 Θ 0 (s ) + BsΘ 0 (s ) = k T I a (s )
atau
(Js
•
2
+ Bs )Θ0 (s ) = kT I a (s )
(15)
Ganti suku Ia pada persamaan (14) dengan bentuk yang diperoleh dari
persamaan (15), sehingga didapat fungsi transfer berikut
Θ 0 (s )
kT
=
3
E a (s ) JLm s + (Rm J + Lm B )s 2 + (Rm B + k m k T )s
Diagram blok sistem elektromekanis tersebut dapat digambarkan dengan
langkah-langkah sebagai berikut :
• Diagram blok persamaan (10)
Ea-Em
dengan G (s ) =
•
G(s)
Ia
1
R m + Lm s
Diagram blok persamaan (11)
Θ0
M(s)
Em
Asep Najmurrokhman – Catatan Kuliah Sistem Kendali
5|
dengan M (s ) = k m s
•
Diagram blok persamaan (12)
T
Ia
•
kT
Diagram blok persamaan (13)
T
N(s)
dengan N (s ) =
Θ0
1
Js + Bs
2
Dari bentuk-bentuk diagram blok tersebut didapat skema keseluruhan
sebagai berikut :
Ea
+
G(s)
Ia
kT
_
T
Θ 0 (s )
N(s)
Em
M(s)
Asep Najmurrokhman – Catatan Kuliah Sistem Kendali
6|
Soal latihan :
Tentukan bentuk fungsi transfer
representasi diagram bloknya.
untuk
sistem-sistem
berikut
dan
1. Rangkaian listrik
2. Gerak rotasi
Variabel-variabel
dan
parameternya adalah sebagai
berikut :
• T menyatakan torsi motor
• J adalah momen inersia
• w adalah kecepatan putar
dalam satuan rad/s
•b
menyatakan
koefisien
gesekan
• θ adalah sudut putaran
dalam radian
3. Sistem elektromekanis
4. Sistem termal
cairan panas
pemanas
cairan
dingin
Asep Najmurrokhman – Catatan Kuliah Sistem Kendali
7|