Transformasi Laplace - elista:.

Transformasi Laplace
Metode transformasi Laplace adalah suatu metoda operasional, yang dapat
digunakan secara mudah untuk menyelesaikan “Persamaan Deferential Linear”
Maka dengan mengunakan Transformasi Laplace kita dapat mengubah beberapa
fungsi umum :
1. Fungsi sinusoidal
2. Fungsi sinusoidal teredam
3. Fungsi Exponensial menjadi aljabar variable kompleks
Sedangkan untuk operasi-operasi seperti deferential dan integral dapat diganti
dengan, operasi aljabar bidang komplek dan selanjutnya dapat diselesaikan dengan
menggunakan table transformasi Laplace
L f t   F s    f t  e  st dt
Defenisi transformasi Laplace :

0
f(t) = fungsi waktu, adalah nol (0) untuk t< 0
F(s) = fungsi komplek (TL dari f(t)
L = simbul operasional yang menunjukkan bahwa besaran yang dikehendakinya
ditransformasikan dengan integral laplace.
Keuntungannya menggunakan Transformasi Laplace:
1. Kondisi awal akan tercakup secara otomatis mis:
S
+
Vi
i
-
2.
3.
4.
5.
C
Pada saat t = 0, lihat rangkaian listrik
tersebut disini capasitor sudah dianggap
bermuatan hal, semacam ini disebut kondisi
awal.
Dapat menyelesaikan persamaan aljabar biasa
Lebih sistematis
Sudah tersedianya table
Semua macam input mudah untuk diselesaikan
Dalil- dalil Transformasi Laplace :
1. Dalil Lenearity :
f(t)

F(s)
af(t)

a F(s)
Laf t   aF s 
2. Dalil Superposisi :
f1(t)
f2(t)


F1(s)
f1(t) ± f2(t)
L [f1(t) ± f2(t) ]
F2(s)
=
=
F1(s) ± F2(s)
F1(s) ± F2(s)
3. Deferensiasi :
 df t 
 Kondisi awal dimana harga f(0), harga awal
L
 S  F s   f 0   
 dt 
f(t)
pada saat t = 0
 d 2 f t 
df
2
L
  S  F s   Sf 0    (t  0)
2
dt
 dt 
 d n f t 
d n1 f
n
n 1
n  2 df
L
          n1 (t  0)
  S  F s   S f 0    S
n
dt
dt
 dt 
4. Dalil Integrasi
t

0
t

0
f
t dt

1
F s 
S
1
1
f t dt 
F s  
S
S
0
 f t dt

t 0
TABEL ANALOGI BESARAN SEKIAS DARI MEKANIS
No
Sistem Mekanis
Model Sistem
1
2
3
4
5
6
Sistem Listrik
Analogi
Analogi
Gaya ke
Gaya ke
Arus
Teganga
I(t)
V (t)
Simbol
F
Gaya ( P ), ( F )
Torsi ( T )
Kecepatan ( X )
Kecepatan sudut ( θ )
Massa ( M ) atau
Momen Inersia ( J )
Koefisien Gesek
viskos
( f/D)
Konstanta Pegas ( k )
V
F
mv



F
f ,D
mua tan  q
Contoh :
V (t )
I (t )
C
L
G
v
v      
Perpindahan (x)
Perpindahan (θ )
LISTRIK
F
1
R
1
L
Ψ
R
1
C
q
Persamaan..geraknya :
dx
d 2x
F (t )  f
 KX  M
dt
dt 2
D/f
K
X(t
F (t )  M
d 2x
dx
 f
Kx
2
dt
dt
M
F(t)
Jika dibawa ke rangkaian listrik :
 GAYA..  .. ARUS
F (t )..  i (t )
Maka.. persamaan..geraknya..adalah. :
C
i(t)
C
R
L
d 2V (t ) 1 dV (t ) 1
di (t )

 V (t ) 
dt
R dt
L
dt
dV V (t ) 1

  V (t )d (t )  i (t )
dt
R
L
Sebab.......V  d
dt
C
 GAYA..  ..TEGANGAN
F (t )..  V (t )
R
L
Maka.. persamaan..geraknya
di (t )
1
 R  i (t )   i (t )  dt  V (t )
dt
C
dim ana...i (t )  sumber..arus
L
+
C
i(t)
Vi(t)
Vo(t)
 v(t )  sumber..tegangan
Soal : Sebagaimana diperlihatkan pada gambara rangkain mekanis sebagai berikut :
F(t)
M
K
X(t
D/f
a. Carilah/tuliskan persamaan gerak dar Sistem.
b. Tentukan bentuk transfer fuction G(s) adalah
Merupakan fungsi dari output/input
.
ref
Penyelesaian :
L f (t )  F ( s ) 


f (t ) e  st dt
0
d 2 X (t )
dX (t )
a.Maka.. persamaan..geraknya..  F (t )  M
f
 K  X (t )
2
dt
dt
b...Perbandingan..
output X ( s)

 G(s)
inout
F ( s)
 d 2 X (t )

dX (t )
L f (t )  L  M
 f
 K  X (t )
2
dt
dt


L f (t )  F ( s )


 d 2 X (t ) 
2
0
L M

M
(
S
X
(
s
)

S
(
X
)

S
X
(
0

)
( 0 ) .. dim ana..semua ..sarat ..awal  0

dt 2 

Maka..nilainya  M  S 2  X ( s )


 dX (t ) 
L f
 f S  X (s)  S 0 X (0 )  f  S  X (s)

dt 

LK . X (t )  K . X ( s )
Oleh ..karena..itu..F ( s )  MS 2 X ( s )  f .S . X ( s )  K . X ( s )
Watak..Sistem..  G ( s ) 
X (s)
1

2
F ( s ) M .S  S . f  K