Sinyal dan Sistem

Transformasi Laplace
 Ditemukan oleh Pierre-Simon Laplace
(1749-1827), pakar matematika Perancis.
 Prinsipnya mentransformasi sinyal/sistem
kontinyu dari ranah waktu ke ranah-s
 Mirip dengan transformasi Fourier, hanya
jw digantikan oleh s.
Tujuan
 Transformasi Laplace digunakan untuk menyelesaikan
suatu persamaan diferensial (PD) yang rumit dan
persoalan nilai awal.
 Prosedur utama dalam penyelesaiannya adalah:
1. Mentransformasi (Laplace) persamaan diferensial
yang sulit menjadi persamaan yang lebih
sederhana yang disebut persamaan pengganti.
2. Menyelesaikan persamaan pengganti dengan
manipulasi aljabar biasa.
3. Mentransformasikan kembali (invers Laplace)
solusi dari persamaan pengganti untuk
mendapatkan solusi dari persamaan semula.
Prosedur tersebut bisa digambarkan sbb.:
 Proses transformasi Laplace pada prinsipnya sama dengan
proses penggunaan logaritma (ingat, logaritma adalah
merupakan bentuk transformasi juga).
 Penggunaan logaritma akan menyederhanakan operasioperasi seperti perkalian, pembagian, pangkat, akar, dlsb.
 Contoh : Misalkan kita ingin mendapatkan perkalian dari dua
bilangan 25.45 dan 15.14 dengan menggunakan logaritma.
Maka yang pertama dilakukan adalah mentransformasikan
kedua bilangan ini dengan mengambil nilai logaritmanya.
Hasilnya dijumlahkan, lalu dilakukan proses transformasi balik
(inverse transformation) dengan mengambil nilai antilogaritmanyai. Hasilnya merupakan perkalian dari dua bilangan yang
diinginkan.
 Waktu yang diperlukan untuk melakukan manipulasi logaritma
pada umumnya lebih cepat dibanding perkalian langsung.
Proses penyelesaian persamaan diferensial menggunakan
transformasi Laplace :
s
Langkah-langkah :
 Dari persamaan diferensial yang diberikan, dicari nilai
transformasi Laplace yang bersesuaian dari tabel
transformasi Laplace.
 Kondisi awal disisipkan dan transformasi yang telah didapat
dimanipulasikan lagi secara aljabar sehingga menghasilkan
nilai yang telah direvisi.
 Akhirnya ditentukan inverse transformasi Laplace dari nilai
yang telah direvisi, juga dengan menggunakan tabel.
 Merupakan nilai yang diinginkan.
 Pada umumnya, cara dengan transformasi Laplace
sangat menghemat waktu jika dibandingkan dengan
cara klasik.
Transformasi Laplace f(t) yang Umum Dijumpai
 Transformasi Laplace dari fungsi f(t) adalah :
(3.1)
 Di mana s merupakan bilangan kompleks dengan nilai s = s
+ jw . Simbol £ menunjukkan “transformasi Laplace dari”.
 Tidak semua fungsi f(t) bisa ditransformasikan ke dalam
Laplace. Sebuah fungsi dapat ditransformasikan ke dalam
Laplace jika :
untuk s1 positip dan real (3.2)
Tabel Transformasi Laplace
Tabel
Transf.
Laplace
Tabel
Sifat
Transf.
Laplace
Contoh :
Contoh :
Contoh :
Contoh :
Aplikasi Transf. Laplace
pada Rangk. Listrik
Aplikasi Transf. Laplace pada Rangk. Listrik
Hitung arus simpal i(t) dari rangkaian di samping ini.
Solusi : pertama rangkaian diubah ke ranah frekuensi
sbb.:
• Tegangan dan arus direpresentasikan dengan
transf. Laplace.
• Tegangan 10u(t) digantikan dengan 10/s dan i(t)
oleh I(s).
• Semua elemen rangkaian direpresentasikan
dengan impedansi yang sesuai.
• Induktor 1 Henry direpresentasikan oleh s,
kapasitor ½ Farad direpresentasikan oleh 2/s dan
resistor 3 ohm direpresentasikan oleh 3.
• Maka tegangan pada masing-masing komponen merupakan
I(s) dikalikan impedansinya. Total impedansi pada simpal
adalah sebesar :
• Arus simpal :
• Inverse transformnya :