bab i pendahuluan

BAB I
PENDAHULUAN
Pada bab ini akan dijelaskan mengenai latar belakang permasalahan,
tujuan penulisan, tinjauan pustaka, metode penelitian, dan sistematika penulisan.
1.1.
Latar Belakang Permasalahan
Dalam kehidupan sehari-hari, terjadi berbagai peristiwa yang berubah-
ubah terhadap ruang dan waktu secara terus menerus yang dalam berbagai kasus
dapat dimodelkan secara matematis. Model tersebut dapat berubah-ubah yang
bergantung pada beberapa faktor, contoh : struktur atom benda, jenis bahan yang
digunakan, cuaca, dan sebagainya. Untuk itu, diperlukan variabel-variabel yang
merepresentasikan masalah-masalah dan faktor-faktor yang mempengaruhi untuk
pembentukan model matematika. Model tersebut dapat dinyatakan dengan suatu
persamaan diferensial, baik dalam bentuk persamaan diferensial biasa atau parsial,
linear atau non linear, dengan order tertentu. Solusi khusus dapat diperoleh
dengan membentuk masalah syarat awal (MSA), masalah syarat batas (MSB),
ataupun masalah syarat awal dan batas (MSAB) yang merupakan persamaan
diferensial dengan syarat-syarat atau kondisi-kondisi tertentu. Untuk mencari
solusi model yang telah direpresentasikan dalam bentuk MSA, MSB, dan MSAB
tersebut, dapat digunakan berbagai metode dalam matematika terapan, salah
satunya adalah transformasi Laplace.
Transformasi Laplace adalah salah satu penemuan yang penting dalam
bidang matematika. Transformasi ini diperkenalkan oleh Pierre-Simon Laplace,
salah seorang matematikawan dan astronom asal Perancis, pada tahun 1785.
Secara umum, transformasi ini mentransformasikan suatu fungsi 𝑓 terhadap
variabel waktu 𝑡 ke suatu fungsi 𝐹 terhadap variabel bernilai kompleks, namakan
𝑠. Selanjutnya, untuk mencari solusi, digunakan invers transformasi Laplace yang
1
2
mengembalikan fungsi ke variabel awal, yaitu 𝑡 , dengan menggunakan teori
integral lintasan (contour integration) dan residu. Transformasi Laplace banyak
digunakan untuk mencari solusi MSA, MSB dan MSAB. Langkah yang dilakukan
adalah menghitung transformasi Laplace dari persamaan diferensial linear pada
MSA, MSB dan MSAB. Pada proses penghitungan, syarat-syarat atau kondisikondisi awal dan batas dalam MSA, MSB dan MSAB yang memenuhi persamaan
dapat digunakan.
Pada perkembangannya, dikenal transformasi Laplace dimensi- 𝑛 .
Transformasi Laplace dimensi- 𝑛 dapat digunakan untuk menyelesaikan MSA,
MSB, dan MSAB yang melibatkan persamaan diferensial parsial di dalamnya
hingga turunan ke- 𝑛 . Dalam transformasi Laplace dimensi- 𝑛 , teknik
pengintegralan dilakukan sebanyak 𝑛 kali. Selanjutnya, untuk mencari solusi,
dicari invers transformasi Laplace dimensi- 𝑛 yang dilakukan sebanyak 𝑛 kali.
Beberapa jurnal, disertasi, dan buku yang telah diterbitkan yang membahas
transformasi Laplace dimensi- 𝑛 dan juga yang secara khusus membahas
transformasi Laplace dimensi dua antara lain adalah Debnath (1988), Buschman
(1996), Aghili dan Moghaddam (2011), dan Aghili dan Zeinali (2013). Dalam
transformasi Laplace dimensi-𝑛, dimensi yang digunakan tidak hanya terhadap
dimensi waktu 𝑡, namun dapat pula dimensi ruang.
Dalam skripsi ini secara khusus dibahas transformasi Laplace dimensi dua
dan beberapa teorema yang berlaku. Sebagai catatan, untuk membedakan dengan
transformasi Laplace dimensi dua, transformasi Laplace yang telah dikenal
sebelumnya, disebut transformasi Laplace dimensi satu, yaitu terhadap dimensi 𝑡.
Untuk mengetahui beberapa kegunaan dari transformasi Laplace dimensi
dua, diberikan dua contoh aplikasi transformasi Laplace dimensi dua yang
digunakan untuk menyelesaikan MSAB persamaan panas dan gelombang dimensi
satu yang melibatkan dimensi 𝑥 dan 𝑡 , dengan 𝑥 dimensi ruang dan 𝑡 dimensi
waktu. Sebenarnya dapat juga mencari solusi dengan menggunakan transformasi
Laplace dimensi satu dengan cara mentransformasikan persamaan diferensial
3
parsial tersebut beserta syarat awal dan batasnya terhadap variabel 𝑡, kemudian
diperoleh MSB baru dan dicari solusi menggunakan metode nilai eigen SturmLiouville dengan menggunakan syarat awal dan batasnya terhadap variabel 𝑥 .
Namun, dengan menggunakan transformasi Laplace dimensi dua lebih efisien,
sebab cara yang dilakukan adalah langsung menerapkan transformasi Laplace
dimensi dua ke persamaan diferensial dan dengan menggunakan syarat awal dan
batas yang sesuai, kemudian dicari inversnya sebanyak 2 kali. Kelebihan lain dari
penggunaan transformasi Laplace dimensi dua adalah dapat menyelesaikan MSA,
MSB, atau MSAB tanpa perlu menghitung terlebih dahulu solusi dari persamaan
diferensialnya dengan metode tertentu, misalnya metode Euler atau variasi
parameter.
1.2.
Maksud dan Tujuan Penulisan
Maksud dari penulisan skripsi ini adalah untuk memenuhi syarat kelulusan
Program Strata-1 (S1) Program Studi Matematika Universitas Gadjah Mada.
Adapun tujuan dari penulisan skripsi ini adalah untuk lebih memahami
penggunaan transformasi Laplace, khususnya transformasi Laplace dimensi dua,
mulai dari definisi dan teorema-teorema yang berlaku. Selanjutnya, transformasi
Laplace dimensi dua diharapkan dapat digunakan untuk menyelesaikan MSAB
dari beberapa permasalahan dalam kehidupan sehari-hari, seperti pada MSAB
persamaan panas dan gelombang dimensi satu yang dibahas dalam skripsi ini.
1.3.
Tinjauan Pustaka
Dasar teori dalam skripsi ini penulis ambil dari buku Humi (1992) dan
Schiff (1999). Humi banyak membahas mengenai persamaan diferensial,
sedangkan Schiff banyak memaparkan secara khusus tentang transformasi
Laplace dimensi satu. Selain itu, penulis juga banyak mengacu pada buku Ross
(1984) yang di dalamnya terdapat pembahasan transformasi Laplace dimensi satu
beserta beberapa sifat dan teoremanya. Untuk invers transformasi Laplace dimensi
satu, penulis mengacu satu, penulis mengacu kepada jurnal Debnath (1988) dan
4
Schiff (1999). Untuk materi integral lintasan, penulis mengacu pada buku
Churchill dan Brown (1990) yang dilengkapi dengan berbagai sumber lain.
Pembahasan skripsi ini, yaitu transformasi Laplace dimensi dua,
menggunakan buku Buschman (1996), Debnath (1988) dan berbagai jurnal-jurnal
yang telah diterbitkan, seperti Aghili dan Zeinali (2013), Dahiya dan
Vinayagamoorthy (1990), dan lain-lain. Adapun untuk penerapan transformasi
Laplace dimensi dua, penulis menggunakan jurnal Debnath (1988) dan Dhunde
dan Waghmare (2013).
1.4.
Metode Penelitian
Langkah pertama yang dilakukan penulis dalam penyusunan skripsi ini
adalah melakukan studi literatur tentang persamaan diferensial. Selain itu, penulis
mencari beberapa referensi lain yang dapat diambil sebagai bahan untuk skripsi
yang berhubungan dengan aplikasi persamaan diferensial, seperti persamaan
panas dan persamaan gelombang. Penulis juga mempelajari tentang masalah
syarat awal dan batas pada suatu persamaan diferensial.
Dalam pencarian materi dan literatur, penulis menemukan beberapa jurnal
yang membahas mengenai transformasi Laplace dimensi- 𝑛 dan dimensi dua.
Selanjutnya, penulis mengkhususkan materi skripsi, yaitu transformasi Laplace
dimensi dua. Sebagian besar pokok bahasan mengenai transformasi Laplace
dimensi dua dalam skripsi ini mengacu pada jurnal Debnath (1988) dan Aghili
dan Zeinali (2013).
Untuk aplikasi transformasi Laplace dimensi dua, penulis mengambil
contoh MSAB persamaan panas dan gelombang dimensi satu. Penyelesaiannya
dengan transformasi Laplace dimensi dua. Sebab, persamaan panas dan
persamaan gelombang melibatkan dua dimensi 𝑥 dan 𝑡, dengan 𝑥 dimensi ruang
dan 𝑡 dimensi waktu.
1.5.
Sistematika Penulisan
Pada penulisan skripsi ini, penulis menggunakan sistematika sebagai
berikut.
5
BAB I PENDAHULUAN
Pada bab ini dibahas tentang latar belakang permasalahan, maksud dan tujuan
penulisan, tinjauan pustaka, metode penelitian, dan sistematika penulisan.
BAB II DASAR TEORI
Pada bab ini dibahas dasar teori yang diperlukan untuk mempelajari
transformasi Laplace dimensi dua antara lain : persamaan diferensial, syarat
awal dan syarat batas, transformasi Laplace dimensi satu dan inversnya, serta
beserta teorema-teorema dan sifat-sifat yang berlaku di dalamnya. Selain itu,
dibahas tentang penurunan rumus invers transformasi Laplace dimensi satu.
Selanjutnya, dibahas mengenai integral lintasan, singularitas, dan residu yang
digunakan untuk menghitung invers transformasi Laplace. Penulis melengkapi
dengan pembahasan mengenai fungsi Dirac Delta dan fungsi Gamma yang
digunakan untuk menyelesaikan persamaan panas dan gelombang dimensi
satu dengan teknik transformasi Laplace dimensi dua.
BAB III TRANSFORMASI LAPLACE DIMENSI DUA
Pada bab ini dibahas khas tentang transformasi Laplace dimensi dua dan
inversnya, beserta beberapa teorema yang berlaku di dalamnya. Selanjutnya,
diberikan contoh aplikasi transformasi
Laplace dimensi dua untuk
menyelesaikan MSAB persamaan panas dan gelombang dimensi satu,
terhadap variabel 𝑥 dan 𝑡 . Penulis juga melengkapi pembahasan dengan
fenomena secara fisik tentang persamaan panas dan gelombang dimensi satu,
juga penurunan rumusnya.
BAB V PENUTUP
Pada bab ini berisi kesimpulan dari pembahasan transformasi Laplace dimensi
dua dan aplikasinya pada penyelesaian persamaan panas dan gelombang
dimensi satu.