Metode Statistika (STK211)

Metode Statistika (STK211)
Pertemuan V
Konsep Peubah Acak dan Sebaran
Peluang (Random Variable Concept and
Probability Distribution)
Konsep Peubah Acak
• Peubah acak merupakan suatu fungsi yang
memetakan ruang kejadian (daerah fungsi) ke
ruang bilangan riil (wilayah fungsi).
• Fungsi peubah acak merupakan suatu langkah
dalam statistika untuk mengkuantifikasikan
kejadian-kejadian alam.
• Pendefinisian fungsi peubah acak harus mampu
memetakan SETIAP KEJADIAN DALAM
RUANG CONTOH dengan TEPAT ke SATU
BILANGAN bilangan riil.
• Sebagai ilustrasi dalam percobaan pelemparan sebuah
dadu bersisi enam yang seimbang. Ruang contohnya
dapat disenaraikan sebagai berikut:
a = {S1,S2,S3,S4,S5,S6}
Salah satu peubah acak yang dapat dibuat adalah:
X = munculnya sisi dadu yang bermata genap
= {0, 1}
Pemetaan fungsi X dapat digambarkan sebagai berikut:
Daerah fungsi
S1 .
S2 .
S3 .
S4 .
S5 .
S6.
Wilayah fungsi
X(ei)
.0
.1
Kuis
• Jelaskan apa yang dimaksud dengan ruang
contoh ! Berikan minimal dua contoh untuk
ruang contoh!
• Jelaskan apa yang dimaksud dengan ruang
kejadian ! Berikan minimal dua contoh untuk
ruang kejadian
Tipe Peubah Acak
• Diskret
 Segugus nilai dari suatu peubah acak yang
dapat dicacah (countable)
 Misalkan X = banyaknya tendangan penalti yang
berhasil dilakukan oleh pemain A
• Kontinu
 Nilai-nilai dari peubah acak tersebut tidak dapat
dicacah (uncountable)
 Nilai dalam peubah acak tersebut berupa selang
interval
 Misalkan X = tinggi badan (cm)
Peubah Acak Diskret
• Misalkan X adalah suatu peubah acak diskret
• Fungsi peluang dari peubah acak diskret
menampilkan nilai dan peluang dari peubah
acak tersebut
• Jumlah total nilai peluang dari semua
kemungkinan nilai peubah acak tersebut sama
dengan 1
• Peluang dari sembarang kejadian dapat
dibentuk dengan menambahkan peluang dari
kejadian-kejadian yang membentuk sembarang
kejadian tersebut
• Sebaran Peluang Peubah Acak X tergantung
dari sebaran peluang kejadiannya.
Kembali ke Ilustrasi Pelemparan sebutir dadu yang
setimbang
SEBARAN PELUANG dari peubah acak X dapat dijabarkan
sebagai berikut:
p(x=0) = p(S1)+p(S3)+p(S5)
= 1/6 +1/6 +1/6= 3/6
p(x=1) = p(S2)+p(S4)+p(S6)
= 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6
Sisi yang muncul
Kejadian
x
S1
S2
S3
S4
S5
S6
Peluang
kejadian
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
X
0
1
0
1
0
1
0
1
P(X=x)
1/2
1/2
X
0
1
Latihan (1)
Dua buah mata uang dilempar bersamasama. Jika masing-masing memiliki sisi
yang seimbang, senaraikanlah ruang
contohnya. Jika kita ingin melihat
munculnya sisi muka pada kedua mata
uang, maka definisikan peubah acak
tersebut. Lengkapi dengan sebaran
peluang dari peubah acak tersebut.
Nilai Harapan Peubah Acak
Diskret
• Nilai harapan dari peubah acak adalah
pemusatan dari nilai peubah acak jika
percobaannya dilakukan secara berulang-ulang
sampai tak berhingga kali.
• Secara matematis nilai harapan dapat
dirumuskan sebagai berikut:
n
( X )   xx p( xi ), jika X p.a diskret
i 1
Sifat-sifat nilai harapan:
• Jika c konstanta maka E(c ) = c
• Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c
maka E(cX) = c E(X)
• Jika X dan Y peubah acak
maka E(XY) = E(X)  E(Y)
Ragam Peubah Acak
• Ragam dari peubah acak X didefinisikan sebagai berikut:
V(X) = E(X-E(X))2
= E(X2) – [E(X)] 2 tunjukkan !
• Sifat-sifat dari ragam
 Jika c konstanta maka V(c ) = 0
 Jika p.a. X dikalikan dengan konstanta c maka V(cX) =
c2 V(X)
 Jika X dan Y peubah acak maka,
V(XY) = V(X) + V(Y)  Cov(X,Y)
Dimana: Cov(X,Y) = E(X-E(X))E(Y-E(Y)), Jika X dan Y
saling bebas maka Cov(X,Y) = 0
Contoh:
• Jika diketahui distribusi peluang dari peubah
acak X seperti tabel di bawah
• Dengan demikian nilai harapan p.a X adalah:
E(X) = 0 + 1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 = 15/6
E(3X) = 3 E(X) = 45/6
Nilai peubah Acak X
X
0
1
2
3
4
5
P(X=xI)
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
Xip(xi)
0
1/6
2/6
3/6
4/6
5/6
V(X) = (0+1/6+4/6+9/6+16/6+25/6) - (15/6)2
= 55/6 - 225/36 = 105/36
Beberapa sebaran peluang diskret
• Bernoulli
• Binomial
• Poisson
Sebaran Peluang Bernoulli
Kejadian yang diamati merupakan
kejadian biner yaitu sukses atau gagal
Peubah acaknya (X) bernilai 1 jika
kejadian sukses dan 0 jika kejadian
gagal
Misal, p=p(sukses) dan q=p(gagal) maka
fungsi peluang Bernoulli dapat dituliskan
sebagai:
P(x,p)=pxq(1-x), x=0,1
E(X) = p
var(X)= p(1-p)
Akan melakukan lemparan bebas. Jika
peluang bola tersebut masuk ring
sebesar 80% maka peluang bola tidak
masuk ring adalah 20%
Akan melakukan tendangan pinalti. Jika
peluang bola masuk sebesar 95% maka
peluang bola tidak masuk sebear 5%.
Sebaran Peluang Binomial
Terdiri dari n kejadian Bernoulli yang
saling bebas
Peubah acak Binomial merupakan
jumlah dari kejadian sukses,
X=0,1,2,….,n
Fungsi peluang dari kejadian Binomial
dapat dituliskan sebagai:
P(x,n,p)=C(n,x)pxq(n-x), x=0,1,2,…,n
dimana C(n,x) = n!/x!(n-x)!
E(X) =np
var(X)=np(1-p)
Jika peubah acak X didefinisikan
sebagai banyaknya lemparan
bebas yang sukses dari 3
lemparan
S
S
S
G
S
S
S
S
G
S
G
S
S
G
G
G
S
G
G
G
p= peluang sukses untuk sekali
melakukan lemparan bebas
 3
x=3
P( X  3)    p 3 (1  p)33
 3
x=2
 3
P( X  2)    p 2 (1  p)32
 2
G
G
S
x=1
 3
P( X  1)    p1 (1  p)31
1
G
x=0
 3
P( X  0)    p 0 (1  p)30
 0
Rata-rata sukses melakukan lemparan E(X) = np = 3p
Latihan
Peluang turun hujan per hari diketahui
p=0,6. Jika pengamatan dilakukan
dalam satu minggu, hitunglah:
a. Berapa peluang tidak turun hujan
dalam satu minggu?
b. Berapa peluang paling sedikit turun
hujan satu hari dalam satu minggu?
Peubah Acak Kontinu
• Misalkan X adalah suatu peubah acak kontinu
• Fungsi peluang dari peubah acak kontinu
merupakan fungsi kepekatan peluang
• Integral fungsi kepekatan peluang dari semua
kemungkinan nilai sama dengan 1
• Peluang dari suatu selang nilai dapat dibentuk
dengan mengintegralkan fungsi kepekatan
peluang dalam selang nilai tersebut
Beberapa sebaran peluang kontinu
• Normal
• Weibull
• Gamma
• Beta
Sebaran Normal
Bentuk sebaran simetrik
Mean, median dan modus berada dalam satu titik
Fungsi kepekatan peluang dapat dituliskan sebagai
berikut:
2
1 x

 
1
2
f ( x,  ,  ) 
e 2
2 


 
Peluang merupakan luasan dibawah kurva kepekatan
b
normal:
p(a  x  b)   f ( x)dx  F (b)  F (a)
a
• P ( -  < x <  +  ) = 0.683
• P ( - 2 < x <  + 2 ) = 0.954
Peubah acak (X) dengan mean () dan ragam (2)
menyebar normal sering dituliskan sebagai X ~ N (, 2)
Bentuk sebaran normal dengan
berbagai nilai ragam
Variable
ragam 1
ragam 3
ragam - 5
ragam -10
60
50
Percent
40
30
20
10
0
-36
-24
-12
0
Data
12
24
36
Semakin besar ragam dari sebaran normal
maka semakin landai bentuk sebarannya
Nilai Harapan Peubah Acak
Kontinu
• Nilai harapan dari peubah acak tersebut dalam
jangka panjang
• Secara matematis nilai harapan dapat
dirumuskan sebagai berikut:

( X ) 
 x f ( x )dx, jika X p.a kontinu
i

i
• Setiap peubah acak normal memiliki
karakteristik yang berbeda-beda perhitungan
peluang akan sulit
• Lakukan transformasi dari X  N( , 2)
menjadi peubah acak normal baku Z  N(0 , 1)
dengan menggunakan fungsi transformasi
• Distribusi peluang dari peubah acak normal
baku Z  N(0 , 1) sudah tersedia dalam bentuk
tabel peluang normal baku
Z
X 

Cara penggunaan tabel normal baku
 Nilai z, disajikan pada
kolom pertama (nilai z
sampai desimal
pertama) dan baris
pertama (nilai z
desimal kedua)
 Nilai peluang didalam
tabel normal baku
adalah peluang
peubah acak Z kurang
dari nilai k (P(Z<k)).
Nilai Z
0.00
0.01
0.02
0.03
-2.6
0.005
0.005
0.004
0.004
-2.5
0.006
0.006
0.006
0.006
-2.4
0.008
0.008
0.008
0.008
P(Z<-2.42)=0.008
Latihan
Curah hujan dikota Bogor diketahui menyebar
normal dengan rata-rata tingkat curah hujan
25 mm dan ragam 25 mm2. Hitunglah,
1. Curah hujan di kota Bogor kurang dari 15
mm?
2. Curah hujan di kota Bogor antara 10 mm
sampai 20 mm?
3. Curah hujan di kota Bogor di atas 40 mm?
4. Jika dikatakan Bogor mempunyai peluang
10% curah hujan tertinggi, berapa batas
curah hujan tersebut!
Contoh Soal
• Dalam suatu bagian terdapat tiga orang
karyawan laki-laki dan dua orang karyawan
wanita. Manajer ingin memutasi dua orang
karyawan dari bagian tersebut. Jika
didefinisikan peubah acak X sebagai
banyaknya karyawan wanita yang dimutasi :
• Tentukan sebaran peluang dari peubah acak X
tersebut!
• Tentukan E(X)!
• Tentukan V(X)!
Latihan Soal
• Diketahui bahwa gaji menyebar normal dengan
nilai tengah 2,5 juta dan standar deviasi 0,5
juta. Jikaseorang dipilih secara acak:
• Tentukan peluang gaji lebih dari 3,2 juta?
• Tentukan peluang gaji antara 2,3 juta sampai
3,2 juta?
• Jika 23% orang mempunyai gaji tertinggi,
tentukan batas bawah dari range tersebut!