( )2 { } } { } )2 - E-Journal

Delta-Pi: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 2, No. 1, April 2013
ISSN 2089-855X
OPERATOR KOMPAK
Mustafa A. H. Ruhama
Program Studi Pendidikan Matematika, Universitas Khairun
ABSTRAK
Diketahui H1 dan H 2 dua ruang Hilbert, B( H1 , H 2 ) merupakan koleksi semua
operator (fungsi linear kontinu) dari H1 ke H 2 . Jika H1 separabel dengan basis
orthonormal en : n  N maka T  B( H1 , H 2 ) disebut operator Hilbert-Schmidt jika

 Te
n 1
n
2
  . Koleksi semua operator Hilbert-Shcmidt dari ruang Hilbert separabel
H1 ke ruang Hilbert separabel H 2 dinotasikan dengan B2 H1 , H 2  . T  B( H1 , H 2 )
disebut operator kompak jika untuk setiap barisan xn   H1 yang terbatas, terdapat
barisan bagian T ( xnk )  T ( xn ) yang konvergen. Koleksi semua operator kompak
dari ruang Hilbert H1 ke ruang Hilbert H 2 dinotasikan dengan B0 H1 , H 2  . Akan
ditunjukan setiap T  B2 ( H1 , H 2 ) merupakan operator kompak.
Kata Kunci: Ruang Hilbert Separabel, Operator Hilbert-Schmidt, dan Operator Kompak
PENDAHULUAN
Himpunan yang terdiri atas elemen - elemen
yang memenuhi aksioma -
aksioma tertentu disebut ruang. Di dalam analisis modern, beberapa ruang yang sering
dibicarakan adalah ruang linear, ruang metrik, ruang bernorma, ruang Banach, ruang
pre-Hilbert dan ruang Hilbert.
Salah satu topik yang juga menarik dibahas dalam analisis modern adalah
teori operator. Pengertian operator adalah fungsi linear kontinu atau linear terbatas dari
suatu ruang Hilbert ke ruang Hilbert yang lain. Ruang Hilbert yang mempunyai barisan
yang total disebut ruang Hilbert separabel. Pada penelitian ini yang dibicarakan adalah
operator kompak dari suatu ruang Hilbert separabel ke ruang Hilbert separabel yang
lain. Barisan terbatas pada ruang Hilbert dan konvergen sangat penting dalam
membicarakan operator kompak.
METODE PENELITIAN
Metode penelitian yang digunakan adalah studi literatur, yaitu mengumpulkan materimateri penelitian yang dimbil dari beberapa buku analisis yang memuat tentang ruang
Hilbert dan operator kompak. Selanjutnya mempelajari dan membahas materi tersebut.
93
Delta-Pi: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 2, No. 1, April 2013
ISSN 2089-855X
PEMBAHASAN
1.1. Landasan Teori
3.1.1 Operasi Biner
Secara intuitif suatu operasi biner atas suatu himpunan 𝑆 adalah suatu aturan yang
menggabungkan dua unsur dari 𝑆 menjadi satu unsur dari 𝑆. Sebelum mendefinisikan
operasi biner dalam konteks yang lebih umum, perlu diberikan definisi tentang relasi
suatu himpunan sebagai berikut:
Definisi 3.1.1.1. Diketahui 𝐴 dan 𝐵 masing-masing dua himpunan yang tak kosong.
Suatu relasi R dari 𝐴 ke 𝐵 adalah himpunan bagian dari 𝐴 × 𝐵 = {(𝑥, 𝑦): 𝑥 ∈ 𝐴 & 𝑦 ∈
𝐵}. Dengan perkataan lain suatu relasi R dari 𝐴 ke 𝐵 adalah suatu aturan yang
menghubungkan unsur dari 𝐴 ke 𝐵.
Andaikan 𝑅 adalah relasi dari 𝐴 ke 𝐵, dan misalkan 𝑅 menghubungkan 𝑥 ∈ 𝐴 ke
𝑦 ∈ 𝐵. Hubungan ini dinotasikan dengan 𝑥𝑅𝑦 atau (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅.
Definisi 3.1.1.2. Suatu operasi biner ∗ atas suatu himpunan 𝑆 adalah suatu relasi yang
menghubungkan setiap pasangan berurutan (𝑥, 𝑦) dari unsur-unsur di 𝑆 ke tepat satu
𝑧 ∈ 𝑆, dan dinotasikan dengan 𝑥 ∗ 𝑦 = 𝑧.
3.1.2
Ruang Linear
Sebelum membahas ruang linear (ruang vektor) terlebih dahulu diberikan tentang
pengertian grup komutatif dan lapangan (filed).
Definisi 3.1.2.1. 𝑉 himpunan tak kosong dengan operasi biner ∗ merupakan grup
komutatif (abelian) jika memenuhi:
(i). Untuk setiap 𝑣1 , 𝑣2 ∈ 𝑉 berlaku 𝑣1 ∗ 𝑣2 = 𝑣2 ∗ 𝑣1 .
(ii). Untuk setiap 𝑣1 , 𝑣2 , 𝑣3 ∈ 𝑉 berlaku 𝑣1 ∗ (𝑣2 ∗ 𝑣3 ) = (𝑣1 ∗ 𝑣2 ) ∗ 𝑣3 .
(iii). Terdapat unsur 𝑒 sehingga untuk setiap 𝑣 ∈ 𝑉 berlaku
𝑣 ∗ 𝑒 = 𝑒 ∗ 𝑣 = 𝑣. 𝑒
disebut unsur identitas terhadap operasi ∗.
(iv). Untuk setiap 𝑣 ∈ 𝑉 terdapat 𝑣 −1 ∈ 𝑉
sehingga berlaku 𝑣 ∗ 𝑣 −1 = 𝑣 −1 ∗ 𝑣 = 𝑒.
𝑣 −1disebut invers terhadap operasi ∗.
Suatu grup 𝑉 dengan operasi biner ∗ dinotasikan dengan (𝑉,∗).
Definisi 3.1.2.2. 𝐹 himpunan tak kosong dengan dua operasi biner, yang dinotasikan
dengan ⨁ dan ∙ merupakan lapangan jika memenuhi:
(i). (𝐹, ⨁) grup komutatif.
(ii). (𝐹, ∙) grup komutatif.
(iii). Untuk setiap 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝐹 berlaku
94
Delta-Pi: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 2, No. 1, April 2013
ISSN 2089-855X
𝑎 ∙ (𝑏⨁𝑐) = 𝑎 ∙ 𝑏⨁𝑎 ∙ 𝑐 dan (𝑎⨁𝑏) ∙ 𝑐 = 𝑎 ∙ 𝑐⨁𝑏 ∙ 𝑐.
Contoh 3.1.2.3
1. ℝ merupakan himpunan bilangan real (nyata) dengan operasi penjumlahan biasa
merupakan grup komutatif, sebab
(i).
Untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ berlaku 𝑥 + 𝑦 = 𝑦 + 𝑥.
(ii). Untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ berlaku 𝑥 + (𝑦 + 𝑧) = (𝑥 + 𝑦) + 𝑧.
(iii). Terdapat unsur 0 ∈ ℝ sehingga untuk setiap 𝑥 ∈ ℝ berlaku 𝑥 + 0 = 0 + 𝑥 = 𝑥.
0 disebut unsur identitas terhadap operasi penjumlahan.
(iv). Untuk setiap 𝑥 ∈ ℝ terdapat −𝑥 ∈ ℝ sehingga berlaku
𝑥 + (−𝑥) = (−𝑥) + 𝑥 = 0. – 𝑥 disebut invers terhadap operasi penjumlahan.
2. ℝ dengan operasi penjumlahan (+) dan perkalian (∙) biasa merupakan lapangan ,
sebab
(i). (ℝ, +) grup komutatif.
(ii). (ℝ, ∙) grup komutatif.
(iii). Untuk setiap 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ berlaku
𝑥 ∙ (𝑦 + 𝑧) = 𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑥 ∙ 𝑧 dan (𝑥 + 𝑦) ∙ 𝑧 = 𝑥 ∙ 𝑦 + 𝑦 ∙ 𝑧.
Definisi 3.1.2.4. Diketahui (𝑉, +) grup komutatif dan (𝐹, ⨁,∙) lapangan. 𝑉 disebut
ruang linear (linear space) atau ruang vektor (vector space) atas 𝐹 jika terdapat
operasi ∗ antara keduanya sehingga untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑉 dan 𝛼 ∈ 𝐹 menentukan dengan
tunggal 𝛼 ∗ 𝑥 yang memenuhi sifat-sifat:
(i). 𝛼 ∗ (𝑥 + 𝑦) = 𝛼 ∗ 𝑥 + 𝛼 ∗ 𝑦,
(ii). (𝛼⨁𝛽) ∗ 𝑥 = 𝛼 ∗ 𝑥 + 𝛽 ∗ 𝑥,
(iii). (𝛼 ∙ 𝛽) ∗ 𝑥 = 𝛼 ∗ (𝑥 ∗ 𝛽),
(iv). 1 ∗ 𝑥 = 𝑥,
untuk setiap 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑉 dan 𝛼, 𝛽 ∈ 𝐹.
Untuk penyederhanaan penulisan 𝛼 ∗ 𝑥 cukup ditulis 𝛼𝑥 , 𝛼⨁𝛽 cukup ditulis 𝛼 + 𝛽,
dan 𝛼 ∙ 𝛽 cukup ditulis dengan 𝛼𝛽, asalkan tak ada salah pengertian. Anggota ruang
vektor disebut vektor sedangkan anggota 𝐹 disebut skalar.
Contoh 3.1.2.5
1. Diberikan
sebarang
bilangan
asli
𝑛
atau
𝑛∈ℕ
dan
dibentuk
ℝ𝑛 = {𝑥̃ = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ): 𝑥𝑖 ∈ ℝ, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛}. Operasi penjumlahan dan perkalian
skalar didefinisikan sebagai berikut:
𝑥̃ + 𝑦̃ = (𝑥1 + 𝑦1 , 𝑥2 + 𝑦2 , … , 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛 )
95
Delta-Pi: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 2, No. 1, April 2013
ISSN 2089-855X
𝛼𝑥̃ = (𝛼𝑥1 , 𝛼𝑥2 , … , 𝛼𝑥𝑛 )
untuk
𝑥̃ = (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ),
setiap
𝑦̃ = (𝑦1 , 𝑦2 , … , 𝑦𝑛 ) ∈ ℝ𝑛
dan
𝛼 ∈ ℝ.
ℝ𝑛
merupakan ruang vektor real.
2. 𝑉 = 𝐶[𝑎, 𝑏], yaitu koleksi semua fungsi kontinu dari [𝑎, 𝑏] ke ℝ. Operasi
penjumlahan (+) pada 𝐶[𝑎, 𝑏] didefinisikan sebagai berikut: Untuk setiap 𝑓, 𝑔 ∈
𝐶[𝑎, 𝑏], fungsi 𝑓 + 𝑔 didefinisikan sebagai
(𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥), 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏]
maka 𝑉 merupakan grup komutatif, dengan (−𝑓)(𝑥) = −𝑓(𝑥) untuk setiap
𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏].Jika untuk setiap 𝑓 ∈ 𝑉 = 𝐶[𝑎, 𝑏] dan 𝛼 ∈ ℝ didefinisikan fungsi 𝛼𝑓,
dengan rumus (𝛼𝑓)(𝑥) = 𝛼𝑓(𝑥), 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] maka dapat dilihat bahwa 𝛼𝑓 ∈ 𝑉. 𝑉
merupakan ruang vektor real.
3.1.3 Ruang Bernorma
Definisi 3.1.3.1. Diberikan ruang linear X . Fungsi x  X  x   , yang mempunyai
sifat-sifat:
( N1 ) . x  0 , untuk setiap x  X .
x  0 , jika dan hanya jika x   , (  vektor nol).
( N 2 ) . x   x , untuk setiap skalar  dan x  X .
( N 3 ) . x  y  x  y , untuk setiap skalar x, y  X
disebut norma (norm) pada X dan bilangan nonnegatif x disebut norma
vektor
x . Ruang linear X yang dilengkapi dengan norma . disebut ruang bernorma dan
dituliskan singkat dengan X , .  atau X saja asalkan normanya telah diketahui.
Contoh 3.1.3.2
Koleksi semua barisan bilangan kompleks dituliskan dengan S. Untuk
didefinisikan koleksi barisan :
l 2  x : x  xk S dan

x
k 1
2
k
  .
l 2 merupakan ruang bernorma terhadap norma
1
x
2

2 2
  xk  , untuk setiap x  xk  l 2 .
 k 1

96
p2
Delta-Pi: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 2, No. 1, April 2013
ISSN 2089-855X
Definisi 3.1.3.3. Diketahui ruang bernorma X , .  dan barisan vektor xn   X .
(i ) .Barisan xn   X dikatakan konvergen, jika terdapat x  X sehingga untuk setiap
bilangan   0 terdapat bilangan asli n0 sehingga untuk setiap bilangan asli n
dengan n  n0 berlaku xn  x   , dalam hal ini dinotasikan dengan
xn  x ,
untuk n   atau lim xn  x atau lim xn  x  0 .
n
n
(ii ) .Barisan xn   X disebut barisan Cauchy, jika untuk setiap bilangan
 0
terdapat bilangan asli n0 sehingga untuk setiap dua bilangan asli m, n dengan
m, n  n0 berlaku xm  xn   .
(iii). Barisan
xn   X
dikatakan terbatas, jika
terdapat bilangan real M  0
sehingga xn  M .
3.1.4 Fungsi Linear Kontinu
Definisi 3.1.4.1. Diketahui X dan Y masing-masing ruang bernorma dan T : X  Y .
(i ) . T dikatakan linear jika untuk setiap x, y  X dan sebarang skalar  berlaku sifat-
sifat T ( x  y )  T ( x)  T ( y ) dan T (x)  T ( x).
(ii ) . T dikatakan kontinu di x0  X jika untuk setiap bilangan   0 terdapat bilangan
  0 sehingga untuk setiap x  X dengan x0  x   berlaku T ( x0 )  T ( x)  
. Selanjutnya T kontinu pada X jika T kontinu di setiap x  X .
(iii ) . T dari ruang bernorma X ke ruang bernorma Y dikatakan terbatas jika ada
bilangan M  0 sehingga T x   M x , untuk setiap x  X .
Teorema 3.1.4.2. Diketahui
X
dan Y
masing-masing ruang bernorma. Jika
T : X  Y fungsi linear, maka pernyataan berikut ekuivalen:
(i ). T kontinu pada X .
(ii ). T kontinu di x0  X .
(iii ). T kontinu di   X .
(iv ). T ( x) : x  X dan x  1 terbatas.
(v). T terbatas.
97
Delta-Pi: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 2, No. 1, April 2013
ISSN 2089-855X
3.1.5 Ruang Pre-Hilbert
Definisi 3.1.5.1. Diketahui ruang linear P . Fungsi .,. : PxP  C yang memenuhi :
( I1 ) . x, y  y, x , untuk setiap x, y  P
( I 2 ) . x  y, z  x, y  x, z , untuk setiap x, y, z  P
( I 3 ) . x, y   x, y , untuk setiap x, y  P dan sebarang skalar 
( I 4 ) . x, x  0 jika dan hanya jika x   , untuk setiap x  P
disebut produk skalar(scalar product/inner product). Ruang linear
P
yang
Koleksi semua barisan bilangan kompleks dituliskan dengan S. Untuk
p2
diperlengkapi dengan produk skalar disebut ruang pre-Hilbert.
Contoh 3.1.5.2
didefinisikan koleksi barisan l 2  x : x  xk S dan

x
k 1
2
k
  merupakan ruang
pre-Hilbert terhadap inner product:

x , y   xk y k , untuk setiap x  xk , y  y k  l 2 .
k 1
Bukti. l 2 merupakan ruang linear. Tinggal menunjukan l 2 merupakan ruang preHilbert. Untuk setiap x  xk , y  y k  l 2 dan skalar  , diperoleh


k 1
k 1
( I1 ) . x , y   xk y k   y k xk  y, x


k 1
k 1
( I 2 ) . x , y  xk y k    xk y k   x , y




k 1
k 1
k 1
k 1
( I 3 ) . x  y, z   ( xk  y k ) z k   ( xk z k  y k z k )   xk z k   y k z k
 x, z  y, z


k 1
k 1
( I 4 ) . x  0  ada i sehingga xi  0  x, x   xk xk   xk
2
 0.
Teorema 3.1.5.3. Setiap ruang pre-Hilbert P merupakan ruang bernorma terhadap
norma
:
x 
x, x , untuk setiap x  P
98
Delta-Pi: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 2, No. 1, April 2013
ISSN 2089-855X
Definisi 3.1.5.4. Ruang pre-Hilbert dikatakan lengkap jika setiap barisan Cauchy di
dalamnya konvergen.
Definisi 3.1.5.5. Diketahui ruang pre-Hilbert P . Himpunan S  P dikatakan total
jika vektor yang tegak lurus dengan semua anggota S hanyalah vektor  . Barisan
vektor xn   P dikatakan barisan total jika vektor yang tegak lurus dengan setiap
xn  P hanyalah vektor  .
Definisi 3.1.5.6. Diketahui P suatu ruang pre-Hilbert. Dua vektor x, y  P dikatakan
saling tegak lurus (orthogonal) , dan dinotasikan dengan x  y , jika x, y  0 .
Definisi 3.1.5.7. Diketahui P suatu ruang pre-Hilbert. Barisan xn   P dikatakan
tegak lurus (orthogonal) jika x j  xk , untuk setiap j  k .
Definisi 3.1.5.8. Diketahui P ruang pre-Hilbert dan barisan xn   P . xn  disebut
barisan orthonormal jika xn  orthogonal dan xn  1 , untuk setiap bilangan asli k .
3.1.6 Ruang Hilbert dan Operator Hilbert-Schmidt
Definisi 3.1.6.1. Ruang pre-Hilbert yang lengkap disebut ruang Hilbert. Pada
pembicaraan selanjutnya ruang Hilbert selalu dinotasikan dengan H .
Contoh 3.1.6.2
l 2 merupakan ruang Hilbert.
Bukti. Pada Contoh 3.1.5.2, l 2 merupakan ruang pre-Hilbert terhadap inner product:

x , y   xk y k , untuk setiap x  xk , y  y k  l 2 .
k 1
Tinggal membuktikan l 2 lengkap. Diambil sebarang barisan

Cauchy
x  l
( n)

2
dengan x ( n)  x1( n) , x2( n) ,... , untuk setiap n . Jadi untuk setiap bilangan   0 terdapat
bilangan asli n0 sehingga untuk setiap bilangan asli m, n dengan m, n  n0 berlaku
1
x ( m)  x ( n)
2
2 2


  xi( m )  xi( n )   .
3
 i 1

Hal ini berakibat bahwa untuk setiap m, n  n0 berlaku
xi( m)  xi( n ) 

3
99
, untuk setiap i .
Delta-Pi: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 2, No. 1, April 2013
ISSN 2089-855X
 
Dengan kata lain diperoleh untuk setiap xi(n) barisan Cauchy di dalam  atau C .
 
Karena  dan C lengkap maka xi(n) konvergen, artinya terdapat xi  (C) sehingga
lim xi( n)  xi atau lim xi( n )  xi  0 , untuk setiap i .
n
n
Dari hal tersebut diperoleh pula
(a). xi  xi(n)  lim xi( m)  xi( n ) 
m

3
(b). Barisan x  xi  dengan
1
1
2 2


2 2
x 2   xi    xi  xi( n )  xi( n ) 
 i 1

 i 1

1
1
2 2
2 2


  xi  xi( n )    xi( n ) 
 i 1

 i 1

1

2 2

   xi( n ) 
3  i 1


dengan kata lain terbukti x  xi  l 2 …… (2.1)
Untuk setiap n  n0 , diperoleh
1
x
( n)
2 2

 x   xi( n )  xi 
2
 i 1

1
2 2

  lim xi( n )  xi( m ) 
 i 1 m

1
2 2

 lim  xi( n )  xi( m ) 
m
 i 1



3

 
dengan kata lain x (n) konvergen ke x …… (2.2)
Berdasarkan (2.1) dan (2.2) disimpulkan bahwa l 2 lengkap atau l 2 merupakan ruang
Hilbert.
Definisi 3.1.6.3. Diketahui
ruang Hilbert H . Barisan
orthonormal jika xn  barisan orthonormal dan total.
100
xn   H disebut
basis
Delta-Pi: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 2, No. 1, April 2013
ISSN 2089-855X
Definisi 3.1.6.4. Ruang Hilbert H dikatakan separable jika H mempunyai barisan
total.
H1 dan H 2 ruang Hilbert separabel. Operator
Definisi 3.1.6.5. Diketahui
T  BH1 , H 2  disebut operator Hilbert-Schmidt jika

 Ten
2

n 1
dengan en : n  N basis orthonormal H1 .
Koleksi semua operator Hilbert-Shcmidt dari ruang Hilbert separabel H1 ke
ruang Hilbert separabel
H 2 dinotasikan dengan B2 H1 , H 2  . Selanjutnya akan
ditunjukan setiap T  B2 ( H1 , H 2 ) merupakan operator kompak. Untuk keperluan
tersebut dibicarakan dulu apa yang dimaksud operator kompak.
3.1.7 Operator Kompak
Definisi 3.1.7.1. Diberikan dua ruang Hilbert H1 dan H 2 . Operator T  B( H1 , H 2 )
disebut operator kompak jika untuk setiap barisan xn   H1 yang terbatas, terdapat
barisan bagian T ( xnk )  T ( xn ) yang konvergen .
Koleksi semua operator kompak dari ruang Hilbert H1 ke ruang Hilbert H 2
dinotasikan dengan B0 H1 , H 2  .
Teorema 3.1.7.2. Diberikan dua ruang Hilbert H1 dan H 2 . Jika S , T  B0 ( H1 , H 2 )
maka
T dan S  T
merupakan operator kompak, untuk
sebarang  ; jadi
B0 (H1 , H 2 ) ruang linear.
Bukti: Diambil sebarang barisan xn   H1 terbatas, untuk memudahkan dianggap
xn  1 untuk setiap n  N . Karena T kompak maka terdapat barisan bagian
T ( xnk )  T ( xn ) yang konvergen. Oleh karena itu
1. T ( xnk )  T ( xn ) konvergen, untuk sebarang  dan
2. Terdapat barisan bagian xmk   xnk , sehingga S ( xmk )  S ( xnk )  S ( xn ) yang
konvergen sehingga diperoleh (T  S )( xmk )  T ( xmk ) S ( xmk )
101
konvergen.
Delta-Pi: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 2, No. 1, April 2013
ISSN 2089-855X
Definisi 3.1.7.3. Diketahui H1 dan H 2 ruang Hilbert . Operator T  B( H1 , H 2 )
dikatakan berdimensi hingga jika T ( H1 )  H 2 berdimensi hingga.
ruang Hilbert H1 dan H 2 . Setiap operator
Teorema 3.1.7.4. Diberikan dua
T  B( H1 , H 2 ) berdimensi hingga merupakan operator kompak.
Bukti:
Karena operator T berdimensi hingga, maka terdapat basis orthonormal
z1 , z2 ,..., zn 
pada ruang Hilbert T ( H 1 ) sehingga untuk setiap y  T ( H1 ) (tentu ada
x  H1 sehingga y  T (x) terdapat 1 , 2 ,..., n   C sehingga
T ( x)  1 z1   2 z 2  ...   n z n
T ( x)  f1 ( x) z1  f 2 ( x) z 2  ...  f n ( x) z n
n
T ( x)   f i ( x) z i
i 1
dengan  i  f i (x) untuk setiap i  1,2,.., n merupakan skalar-skalar yang ditentukan
dengan tunggal untuk setiap x  H1 . Jadi, untuk setiap i  1,2,.., n , f i merupakan
fungsional linear kontinu pada H1 dan
f i ( x)  Tx, zi  x, T  zi
untuk setiap
i  1,2,.., n . f i merupakan operator kompak, sebab untuk sebarang xm   H1 terbatas,
yaitu terdapat M  0 sehigga xm  M , untuk setiap m  N berlaku
f i ( xm )  Txm , zi  Txm
maka terdapat barisan bagian
 Tx
mk
, zi    Txm , zi
terdapat bilangan  sehingga barisan
Txmk    Txmk , zi zi 
zi  T xm zi  M T zi
 Tx
mk
, zi
 yang konvergen. Oleh karena itu
 konvergen ke  dan barisan
konvergen ke  z i , untuk setiap k  1,2,..., n . Jadi, menurut
Teorema 3.1.7.2 diperoleh T merupakan operator kompak.
Teorema 3.1.7.5. Diberikan H ruang Hilbert. Jika S , T  B( H ) dengan T
operator
kompak, maka ST dan TS operator kompak.
Bukti: Menurut yang diketahui, untuk sebarang barisan
xn   H
dengan xn  1
untuk setiap n  N terdapat barisan T ( xnk ) yang konvergen ke suatu y  H . Hal ini
berakibat barisan ST ( xnk ) konvergen ke S ( y ) atau terbukti ST kompak. Untuk
sebarang barisan
xn   H
dengan
xn  1 untuk setiap n  N terdapat barisan
102
Delta-Pi: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 2, No. 1, April 2013
S ( xn ) didalam H . Karena T
ISSN 2089-855X
kompak maka barisan TS( xn ) konvergen atau terbukti
TS kompak.
Teorema 3.1.7.6. Diketahui H1 dan H 2 ruang Hilbert. Jika
Tn   B(H1, H2 )
merupakan barisan operator kompak yang konvergen ke suatu T  B( H1 , H 2 ) , maka T
merupakan operator kompak.
Bukti: Bukti dengan memanfaatkan prosedur diagonalisasi. Diambil sebarang barisan
xn   H1 terbatas, dianggap
xn  1 untuk setiap n  N . Menurut yang diketahui
(1) . T1 operator kompak, berarti terdapat barisan bagian
x   x 
1, n
n
sehingga
T x   T1 xn   H 2 konvergen,
( 2) . T2 operator kompak dan x   H yang terbatas, berarti terdapat barisan bagian
x   x sehingga T x   H konvergen, dan seterusnya.
Secara umum untuk setiap k , x  terbatas dan Tk operator kompak, maka terdapat
barisan bagian x   x  sehingga T x   H konvergen.
Diambil (diagonalisasi) barisan x , diperoleh T x   H konvergen, untuk setiap
1 1, n
2, n
2, n
1, n
2
1
2, n
2
k 1, n
k 1, n
k ,n
k
k ,n
n,n
2
k
n,n
2
k . Menurut yang diketahui Tn  konvergen ke T , artinya untuk setiap bilangan   0
terdapat bilangan asli n0 sehingga untuk setiap bilangan asli n dengan n  n0 berlaku
Tn  T 

6
.
Hal ini berakibat, untuk setiap n  n0
Tn ( xn,n )  T ( xn,n )  Tn  T ( xn,n ) 

.
3
Oleh karena itu untuk setiap k  n0 , diperoleh
T ( xm,m )  T ( xn,n )  T ( xm,m )  Tk ( xm,m )  Tk ( xm,m )  Tk ( xn,n )  Tk ( xn,n )  T ( xn,n )
 T ( xm,m )  Tk ( xm,m )  Tk ( xm,m )  Tk ( xn,n )  Tk ( xn,n )  T ( xn,n )

  
   .
6 3 6
Jadi, barisan Txn,n  merupakan barisan Cauchy di dalam ruang Hilbert H 2 . Oleh
karena itu Txn,n  konvergen. Dengan kata lain T merupakan operator kompak.
103
Delta-Pi: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 2, No. 1, April 2013
ISSN 2089-855X
Akibat 3.1.7.7. Diketahui H1 dan H 2 ruang Hilbert. Jika Tn   B( H1 , H 2 ) barisan
operator berdimensi hingga yang konvergen ke suatu T  B( H1 , H 2 ) maka T
merupakan operator kompak.
Teorema 3.1.7.8. Diketahui H1 dan H 2 dua ruang Hilbert yang separabel . Jika
T  B2 ( H1 , H 2 ) maka T  B0 ( H1 , H 2 ) ; oleh karena itu B2 (H1 , H 2 )  B0 (H1 , H 2 ) .
Bukti: Menurut yang diketahui, terdapat barisan orthonormal en : n  N didalam H1
. Karena T  B2 ( H1 , H 2 ) maka
2

 Te
  . Karena H 2 ruang Hilbert separabel
n
n 1
maka H 2 mempunyai basis orthonormal, katakan
d k : k  N.
Jadi, untuk setiap
x  H1 diperoleh

T (x)  H 2 dan T ( x)   Tx, d k d k
k 1
Untuk setiap n  N , dibentuk Tn : H1  H 2 dengan
n
Tn ( x)   Tx, d k d k
k 1
 Tx, d1 d1  Tx, d 2 d 2  …  Tx, d n d n
 T1 ( x)d1  T2 ( x)d 2  ...  Tn ( x)d n
dengan Tk ( x)  Tx, d k  x, T  d k , untuk setiap k , k  1,2,..., n . Terlihat bahwa
lim Tn ( x)  T ( x) , untuk setiap x  H1 . Karena
n
Tn 
merupakan barisan operator
berdimensi hingga dan konvergen ke T  B2 ( H1 , H 2 ) , maka menurut Teorema 3.1.7.6
dan
Akibat
3.1.7.7,
T
merupakan
operator
kompak.
Oleh
karena
itu
B2 (H1 , H 2 )  B0 (H1 , H 2 )
KESIMPULAN
Berdasarkan pembahasan, H , H1 , dan H 2 tiga ruang Hilbert diperoleh
kesimpulan sebagai berikut:
1. Jika S , T  B0 ( H1 , H 2 ) maka T dan S  T
merupakan operator kompak, untuk
sebarang  ; jadi B0 (H1 , H 2 ) ruang linear.
2. Setiap operator T  B( H1 , H 2 ) berdimensi hingga merupakan operator kompak.
104
Delta-Pi: Jurnal Matematika dan Pendidikan Matematika
Vol. 2, No. 1, April 2013
ISSN 2089-855X
3. Jika S , T  B( H ) dengan T operator kompak, maka ST dan TS operator kompak.
4. Jika Tn   B( H1, H2 ) merupakan barisan operator kompak yang konvergen ke suatu
T  B( H1 , H 2 ) , maka T merupakan operator kompak.
5. Jika Tn   B( H1 , H 2 ) barisan operator berdimensi hingga yang konvergen ke suatu
T  B( H1 , H 2 ) maka T merupakan operator kompak.
6. Diketahui H1 dan H 2 dua ruang Hilbert yang separabel. Jika T  B2 ( H1 , H 2 ) maka
T  B0 ( H1 , H 2 ) ; oleh karena itu B2 (H1 , H 2 )  B0 (H1 , H 2 ) .
DAFTAR PUSTAKA
Berberian, S.K., 1961. Introduction to Hilbert Space, Oxford University Press, New York.
Conway, J. B., 1990. A Course in Functional Analysis, Springer-Verlag, New York.
Debnath, L and Mikusiński, P., 1999. Introduction to Hilbert Spaces with Applications,
Academic Press.
Kreyszig, Erwin.,1978. Introductory Functional Analysis with Applications, John Wiley
& Sons, New York.
Royden, H.L., 1989. Real Analysis, Macmillan Publishing Company, New York.
Saih Suwilo, dkk. 1997. Aljabar Abstrak, Suatu Pengantar, USU Press, Medan.
Soeparna Darmawijaya, 2007. Pengantar Analisis Abstrak, Jurusan Matematika FMIPA
Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta.
Weidmann, Joachim., 1980. Linear Operator in Hilbert Space, Springer-Verlag, New York.
105