final report - WordPress.com

Fungsi Pembangkit
(Generating Functions)
Fungsi pembangkit
Fungsi pembangkit digunakan untuk
merepresentasikan barisan secara efisien
dengan mengkodekan unsur barisan
sebagai koefisien dalam deret pangkat
suatu variabel x .
Fungsi pembangkit dapat digunakan untuk:
 memecahkan berbagai masalah
counting,
 memecahkan relasi recurrence, dan
 membuktikan identitas kombinatorik.
Definisi dan contoh
Definisi.
Fungsi pembangkit (generating function) untuk barisan
bilangan real: a0, a1, …, ak, … adalah deret pangkat tak

hingga:
G ( x)  a0  a1 x  ...  a k x k  ...   a k x k .
k 0
Contoh 1.
a. Fungsi pembangkit dari barisan {an} dengan ak = 5

adalah
k
5
x

k 0
b. Fungsi pembangkit dari barisan {an} dengan ak = k+3

adalah
k
(
k

3
)
x

k 0
c. Fungsi pembangkit dari barisan {an} dengan ak = 3k

adalah
k k
3
 x
k 0
Contoh 2
Tentukan fungsi pembangkit dari barisan
1, 1, 1, 1, 1, 1
Solusi.
Fungsi pembangkit dari barisan 1,1,1,1,1,1
adalah:
6
x 1
2
3
4
5
1+x+x +x +x +x 
x 1
Contoh
Contoh 3.
Fungsi pembangkit dari barisan
1, 1, 1, 1, …
adalah
1
2
3
1+x+x +x +… 
, jika | x | 1
1 x
Contoh 4.
Fungsi pembangkit dari barisan
1, a, a2, a3, …
adalah
1 + ax + a2x2 + a3x3 + … 
1
, jika | ax | 1
1  ax
Teorema 1
Misal f ( x)  k 0 ak x k dan g ( x)  k 0 bk x k . Maka,


f ( x)  g ( x)  k 0 (ak  bk ) x k

f ( x ) g ( x )  k  0


k

dan
k
a
b
x
.
j 0 j k  j
Contoh 5.
Misal f(x) = 1/(1-x)2.
Tentukan koefisien a0, a1, … dalam ekspansi f(x) =  akxk.
Solusi.
  k
 k 
1
1
1
k





1
x

(
k

1
)
x
.



2


(1  x)
(1  x) (1  x) k 0  j 0 
k 0
Jadi, ak = k+1.
Koefisien Binomial Diperluas
Misalkan u bilangan real dan k bilangan bulat tak
negatif.
Maka koefisien binomial diperluas didefinisikan
sebagai:
u (u  1)...(u  k  1)
u  

, jika k  0,
   
k!
k
  
, jika k  0.
1
Contoh 6.
Tentukan nilai dari:
  2  (2)( 3)( 4)
a.   2 
  
 4.
 
3!
 3 
 3 
1/ 2
1 / 2  (1 / 2)(1 / 2  1)(1 / 2  2)(1 / 2  3)(1 / 2  4)
b.  

 
.
5


5!
 5 
Teorema Binomial Diperluas
Teorema 2.
Misal x bilangan real dengan |x| < 1 dan
u bilangan real.

Maka,
u  k
u
(1  x)     x .
k 0  k 
Catatan.
Jika u bilangan bulat positif maka Teorema
Binomial Diperluas menjadi Teorema
Binomial.
Contoh 7
Tentukan fungsi pembangkit untuk
(1+x)-n dan (1-x)-n,
dengan n bilangan bulat positif.
Solusi.

 n k
n
Menurut Teorema 2, (1  x)     x .
k 0  k 

Maka, (1  x)  n   (1) k C (n  k  1, k ) x k
k 0
Dengan mengganti x dgn  x :
(1  x)
n

  C (n  k  1, k ) x k
k 0
Soal 1
Tentukan koefisien x10 dalam deret pangkat
fungsi-fungsi berikut ini:
a. 1/(1+x)2
b. 1/(1-2x)
c. x4/(1-3x)3
Masalah Counting dan Fungsi Pembangkit
Contoh 8.
Tentukan banyaknya solusi dari n1 + n2 + n3 = 17, bila n1,
n2 dan n3 bilangan bulat taknegatif dengan 2  n1  5, 3 
n2  6 dan 4  n3  7.
Solusi.
Banyaknya solusi dinyatakan oleh koefisien x17 dalam
ekspansi:
(x2+x3+x4+x5) (x3+x4+x5+x6) (x4+x5+x6+x7).
Setiap bentuk x17 dalam perkalian ini didapat dengan
mengalikan
xn1 pada faktor pertama dengan
xn2 pd faktor kedua dan
xn3 pada faktor ketiga
yang memenuhi: n1 + n2 + n3 = 17.
Bila dihitung, didapat koefisien x17 adalah 3.
Jadi, ada tepat 3 solusi.
Contoh 9
Ada berapa cara untuk membagikan 8 kue yang identik
kepada 3 anak jika setiap anak menerima sedikitnya 2 kue
dan tidak lebih dari 4 kue?
Solusi.
Misalkan cn: banyaknya cara membagikan n kue.
Karena setiap anak menerima sedikitnya 2 kue dan tidak
lebih dari 4 kue, maka untuk setiap anak ada suatu faktor
yang berbentuk:
(x2 + x3 + x4)
dalam fungsi pembangkit barisan {cn}.
Karena ada 3 anak maka fungsi pembangkitnya adalah:
(x2 + x3 + x4)3.
Cara untuk membagikan 8 kue adalah koefisien dari x8,
yakni 6. Jadi, ada 6 cara untuk membagikan 8 kue kepada
3 anak tadi.
Soal 2
Gunakan fungsi pembangkit untuk
menentukan
banyaknya
cara
mendistribusikan 25 donat identik
kepada 4 polisi sehingga setiap polisi
mendapatkan sedikitnya 3 dan tidak
lebih dari 7 donat.
Contoh 10
Gunakan fungsi pembangkit untuk menentukan banyaknya
cara memilih pecahan mata uang bernilai Rp. 100, Rp. 500
dan Rp. 1000 jika kita ingin membayar suatu barang yang
bernilai Rp. r, apabila:
a. urutan pemilihan diperhatikan atau
b. tidak diperhatikan.
Contoh.
Untuk membayar Rp. 600, ada 2 cara bila urutan tidak
diperhatikan, yaitu
(Rp. 100, Rp. 100, Rp. 100, Rp. 100, Rp. 100, Rp. 100)
atau (Rp. 100, Rp. 500)
dan ada 3 cara bila urutan diperhatikan, yaitu
(Rp. 100, Rp. 100, Rp. 100, Rp. 100, Rp. 100, Rp. 100),
(Rp. 100, Rp. 500), atau
(Rp. 500, Rp. 100)
Contoh 10…
b. Jika urutan pemilihan tidak diperhatikan.
Karena masing-masing pecahan dapat dipergunakan
berkali-kali, maka
• faktor yang merepresentasikan penggunaan Rp. 100
adalah
1 + x + x2 + x3 + …,
• faktor yang merepresentasikan penggunaan Rp. 500
adalah
1 + x5 + x10 + …,
• faktor yang merepresentasikan penggunaan Rp. 1000
adalah
1 + x10 + x20 + …
Jadi, banyaknya cara pemilihan pecahan mata uang untuk
membayar seharga Rp. r adalah koefisien dari xr/100 dalam
fungsi pembangkit
(1 + x + x2 + x3 + …) (1 + x5 + x10 + …) ( 1 + x10 + x20 + …)
Contoh 10…
a. Jika urutan pemilihan diperhatikan.
Banyaknya cara untuk menggunakan tepat n
pecahan untuk membayar seharga Rp. r adalah
koefisien xr/100 dalam
(x + x5 + x10)n
Karena kita dapat menggunakan berapa pun
jumlah pecahan, maka banyaknya cara pemilihan
pecahan mata uang untuk membayar seharga Rp. r
adalah koefisien dari xr/100 dalam
1 + (x + x5 + x10) + (x + x5 + x10)2 + …
1
1


2
5
1  ( x  x  x ) 1  x  x 2  x5
Soal 3
Gunakan fungsi pembangkit untuk
menentukan banyaknya cara untuk menukar
uang $100 dengan menggunakan pecahan:
a) $10, $20 dan $50
b) $5, $10, $20 dan $50
c) $5, $10, $20 dan $50; bila setiap pecahan
digunakan sedikitnya sekali.
d) $5, $10 dan $20; bila setiap pecahan
digunakan sedikitnya sekali tapi tidak lebih
dari 4 kali.
Contoh 11
Gunakan fungsi pembangkit untuk menghitung banyaknya
cara memilih r obyek dari n jenis benda berbeda jika kita
harus memilih sedikitnya satu obyek dari setiap jenisnya.
Solusi.
Misalkan ar: banyaknya cara memilih r obyek dari n jenis
benda bila dari setiap jenis terpilih
sedikitnya satu
objek.
Karena kita perlu memilih sedikitnya satu obyek dari setiap
jenis, maka setiap jenis menyumbangkan faktor
(x + x2 + x3 + …)
pada fungsi pembangkit.
Akibatnya, fungsi pembangkit G(x) dari barisan {ar} adalah
G(x) = (x+x2 + x3 + …)n
= xn(1+x+x2 + x3 + …)n = xn / (1-x)n .
Contoh 11…
Dengan menggunakan Teorema Binomial Diperluas:
xn
n
n
G ( x) 

x
.(
1

x
)
(1  x) n


n


 x n r 0  ( x) r  x n  (1) r C (n  r  1, r )( 1) r x r
r 0
 r 



r 0
t n
  C (n  r  1, r ) x n  r   C (t  1, t  n) x t

  C (r  1, r  n) x r .
r n
Jadi, ada C(r-1,r-n) cara memilih.
Fungsi Pembangkit dan Solusi Relasi
Recurrence
Contoh 12.
Cari solusi relasi recurrence ak = 3ak-1 untuk k = 1, 2, 3, …
dengan kondisi awal a0 = 2.
Solusi.

Misal G(x): fungsi pembangkit untuk barisan {ak}, G( x)  k 0 ak x k
Maka, xG( x)   a x k 1   a x k .

k 0

k
k 1
k 1
G ( x)  3xG( x)  k 0 ak x  3k 1 ak 1 x k

k

 a0  k 1 (ak  3ak 1 ) x k  2.

Jadi, G ( x) 
2
.
1  3x
2


 k 0 a k x k maka G ( x)  2k 0 3k x k .
1  ax
Jadi, ak  2  3k .
Karena,
Fungsi Pembangkit dan Pembuktian
Identitas
Contoh 13.
Gunakan fungsi pembangkit untuk membuktikan:
2
C
(
n
,
k
)
 C (2n, n), bila n bulat.
k 0
n
Solusi.
C(2n,n) adalah koefisien xn dlm ekspansi (1+x)2n.
Akan tetapi, (1+x)2n = [(1+x)n]2.
= [C(n,0)+C(n,1)x+ … + C(n,n)xn]2.
Koefisien dari xn dlm ekspansi ini:
C(n,0)C(n,n) + C(n,1)C(n,n-1) + … + C(n,n)C(n,0).
Ini sama dgn  C(n,k)2, krn C(n,n-k) = C(n,k).
Karena C(2n,n) dan  C(n,k)2 menyatakan koefisien xn dlm
(1+x)2n maka haruslah
2
C
(
n
,
k
)
 C (2n, n).
k 0
n