File

TEORI BINOMIAL
Laporan
Diajukan untuk memenuhi tugas mata kuliah Matematika Diskrit
dosen Mochamad Subali Noto, S.Si., M.Pd.
disusun oleh:
Atikah Soheban
Amelia Kumala
Dian Puspita Dewy
Nurul Habibah
Yayah Ruqoyah
112070249
112070092
112070171
112070120
112070039
Kelas : II.D
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI
CIREBON
2013
A. TEORI BINOMIAL
Di aljabar, penjumlahan dua suku, seperti a + b, disebut binomial. Teorema
binomial memberikan bentuk ekspansi dari pangkat binomial (a + b)n, untuk setiap n
bilangan bulat tidak negatif dan semua bilangan real a dan b.
(a+b)n = (a + b) (a + b).....(a + b)
n faktor
Perhatikan apa yang terjadi ketika kita menghitung beberapa pangkat yang pertama dari a +
b. Berdasarkan sifat distributif, kita mendapatkan bahwa pangkat dari a + b merupakan
penjumlahan dari suku-suku yang berupa kombinasi perkalian dari a dan b. Perhatikan
ilustrasi berikut.
Sekarang perhatikan ekspansi dari (a + b)4. Suku-suku dari ekspansi ini diperoleh dengan
mengalikan satu dari dua suku faktor pertama dengan satu dari dua suku faktor kedua dengan
satu dari dua suku faktor ketiga dan dengan satu dari dua suku faktor keempat. Sebagai
contoh, suku abab diperoleh dengan mengalikan suku-suku a dan b yang ditandai dengan
tanda panah.
Karena ada dua kemungkinan a dan b dari setiap suku yang dipilih pada 1 dari 4 faktor sukusuku ekspansi binomial, maka akan ada 24 = 16 suku ekspansi (a + b)4.
Selanjutnya, suku-suku serupa, yaitu suku-suku yang memiliki faktor a dan b sama
banyak dapat dikombinasikan karena perkalian bersifat komutatif. Tetapi kita perlu
mengetahui banyaknya masing-masing suku yang serupa tersebut. Sebagai contoh kita akan
menentukan banyaknya suku yang terdiri dari tiga a dan satu b. Untuk menentukan
banyaknya suku ini sama dengan menentukan banyaknya cara kita mengambil 1 bilangan 1
sampai 4 sebagai nomor urut dari faktor b. Salah satu contohnya kita mungkin mendapat
bilangan 3 yang merepresentasikan aaba (3 merupakan nomor urut dari b, sedangkan sisanya
menjadi nomor urut a). Contoh lain, kita mungkin mendapat bilangan 1 yang
merepresentasikan baaa. Sehingga banyaknya suku yang terdiri dari tiga a dan satu b adalah
kombinasi 1 dari 4 yaitu 4. Semua suku yang terdiri dari tiga a dan satu b adalah aaab, aaba,
abaa, dan baaa.
Berdasarkan sifat komutatif dan asosiatif perkalian, keempat suku tersebut memiliki
nilai yang sama dengan a3b. Karena suku-suku yang sama dengan a3b berjumlah 4, maka
koefisien dari a3b adalah 4, yang diperoleh dari kombinasi 1 (pangkat dari salah satu faktor
a3b, yaitu b) dari 4 (jumlah pangkat dari semua faktor a3b).
Dengan cara yang sama, kita akan mendapat 6 (diperoleh dari kombinasi 2 dari 4)
suku yang terdiri dari dua a dan dua b, yaitu aabb, abab, abba, baab, baba, dan bbaa.
Sehingga koefisien dari suku a2b2 adalah 6. Cara ini juga berlaku untuk menentukan koefisien
dari suku-suku ekspansi (a + b)4 lainnya.
Teorema binomial menggeneralisasi rumus di atas untuk sembarang pangkat n bilangan bulat
tidak negatif.
Teorema
Binomial
Diberikan sembarang bilangan real a dan b, serta bilangan bulat tidak negatif n,
Perhatikan bahwa bentuk kedua dan pertama pada persamaan di atas adalah sama,
karena kombinasi 0 dari n sama dengan satu, demikian juga dengan kombinasi n dari n.
Untuk lebih memahami mengenai penggunaan teorema binomial dalam pemecahan masalah,
perhatikan contoh berikut.
Contoh: Penggunaan Teorema Binomial dalam Pemecahan Masalah
Dengan menggunakan teorema binomial, tunjukkan bahwa
untuk semua bilangan bulat n ≥ 0.
Pembahasan Karena 2 = 1 + 1, maka 2n = (1 + 1)n. Dengan menerapkan teorema binomial
dengan a = 1 dan b = 1, diperoleh
Karena 1n – k = 1 dan 1k = 1. Akibatnya,
Apabila diperhatikan, rumus di atas sama dengan banyaknya semua himpunan bagian
dari himpunan yang memiliki n anggota/elemen, karena setiap himpunan bagian tersebut
terdiri dari kombinasi 0, 1, 2, …, n dari n yang merupakan banyaknya anggota dari himpunan
tersebut.
Bukti
Teorema binomial akan dibuktikan dengan induksi matematika.
Basis: Akan dibuktikan bahwa teorema banar untuk n = 0, yaitu bahwa
Ruas kiri:
(beberapapun harga x dan y)
Ruas kanan:
Terlihat bahwa
=
Induksi: Misalkan teorema benar untuk n = k. Jadi,
Akan dibuktikan bahwa teorema juga benar untuk n= k + 1, yaitu bahwa:
=
Dengan menggunakan beberapa hipotesis
Menurut identitas Pascal,
, maka didapat
sehingga
Akan tetapi
dan
Sehingga
Terbukti bahwa teorema juga benar untuk
sehingga terbukti bajhwa
Benar untuk semua bilangan bulat tidak negative n.
Contoh
Uraikan ekspresi berikut menggunakan teorema binomial :
a.
b.
Penyelesaian :
a.
b.
B. SEGITIGA PASCAL
Sebetulnya,
dapat ditemukan dari perkalian secara langsung. Dengan mudah,
kita bisa mengekspansikan
,
, dan selanjutnya seperti di bawah karena
pangkatnya cukup kecil.
=
=
=
=
=
=
Perhatikan pola dari suku-suku
. Pasti selalu dimulai dari suku
.
(Ini sebetulnya merupakan perjanjian saja). Lalu, suku berikutnya, pangkat dari a akan
berkurang 1, namun pangkat dari b akan naik sebesar 1. Jadi, dapat dideskripsikan
sebagai berikut.
=
.
+
.
+
.
+ ... +
.
+
.
.
Lalu, untuk menentukan koefisien (c) tiap suku kita dapat menggunakan segitiga Pascal.
_____________________1____________
_==> koefisien untuk (a + b)0
__________________1______1____________ _==> koefisien untuk
_______________1_____2______1________ _ _==> koefisien untuk
_____________1____3_____3______1____ ____==> koefisien untuk
___________1___4_____6______4____1_____ _==> koefisien untuk
_________1___5____10____10_____5____1__ _==> koefisien untuk
______1____6___15____20_____15____6___1_ ==> koefisien untuk
Namun, cara di atas hanya dipakai untuk pangkat yang kecil (sedikit).Sulit untuk
menjabarkan segitiga Pascal untuk baris yang sangat banyak (untuk pangkat yang besar).
Jadi, kita gunakan kombinasi. Cara untuk mengekspansikan
dengan kombinasi inilah
yang disebut teorema binomial.
Sebagai contoh, untuk 2 ≤ n ≤ 5:
Perhatikan bahwa:
1. Pangkat dari bergerak turun dimana pada suku pertama dimulai dengan n ( ) dan
pada suku terakhir sama dengan 0 (
).
2. Untuk pangkat dari berlaku sebaliknya dimana pada suku pertama sama dengan 0
(
) dan pada suku terakhir sama dengan n (
).
Untuk binomial yang menggunakan pengurangan, teorema binomial dapat diterapkan dengan
tanda yang berlawanan pada suku berikutnya:
LATIHAN
1. Tentukan koe_sien dari suku-suku dibawah ini jika ekspresinya dijabarkan
a. x4y5 dari ekspresi (2x + 3y)9.
b. x2y3y5 dari ekspresi (x + y + z)10.
2. Carilah banyaknya suku dalam penjabaran ekspresi berikut ini.
a. (w + x + y + z)12.
b. (x + y + z)10(w + x + y + z)2.
3. Jabarkan:
a. ( x – 2y)5
b. (2x + y)5
c. (3x – 2y)4
d. (5 – 4x)6
DAFTAR PUSTAKA
file:///F:/Teorema%20Binomial%20_%20Pendidikan%20Matematika.htm
www.wikipedia.com/teoribinomial