Karakteristik Distribusi Binomial Negatif

Distribusi Binomial Negatif
KennyYulianti#1, Mardhiyatussholihah#2, Ulfa Zuliantika#3, Dina Fitri M.Si*4
Jurusan Matematika,
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
Universitas Negeri Padang, Indonesia
[email protected]
Abstrak— Binomial Negatif adalah distribusi hasil percobaan Bernoulli yang diulang sampai mendapatkan sukses ke-k.
Pada paper ini akan ditentukan karakterisasi dari Binomial Negatif. Karakterisasi tersebut terdiri dari fungsi peluang,
fungsi pembangkit momen, mean, variansi dan nilai harapan.
Kata Kunci: Distribusi binomial negatif, fugsi peluang, fungsi pembangkit momen, mean, variansi, nilai harapan
PENDAHULUAN
Distribusi binomial negatif merupakan salah satu distribusi peluang peubah acak diskrit. Distribusi ini adalah
hasil dari percobaan acak Bernoulli yang diulang hingga mendapatkan sukses ke-r. Dalam literatur statistik, distribusi
binomial negatif juga disebut sebagai distribusi waktu tunggu binomial ( binomial waiting-time distributions ) atau
distribusi Pascal[2].
Distribusi binomial negatif juga dikenal sebagai distribusi campuran dari Poisson-Gamma [4]. Distribusi
campuran atau disebut juga mixture distribution adalah distribusi dari suatu peubah acak yang terbentuk dengan
menggabungkan beberapa distribusi sehingga menghasilkan distribusi baru. Prinsip dari pencampuran distribusi adalah
reparameterisasi, misalnya X merupakan peubah acak dari suatu distribusi tertentu dengan parameter θ, maka parameter
θ merupakan suatu peubah acak yang mempunyai distribusi tertentu. Campuran dari distribusi peluang merupakan cara
yang penting untuk memperoleh distribusi baru sehingga dapat digunakan sebagai distribusi alternatif dari distribusidistribusi umum yang terdapat dalam statistika dan dapat digunakan dalam aplikasi peluang lainnya.
Banyak penelitian yang telah membahas tentang distribusi campuran dari binomial negatif diantaranya yaitu
Panger dan Willmot [5] yang memperoleh distribusi campuran dari distribusi binomial negatif dengan distribusi
exponensial. Gomez-Deniz, Sarabia dan Ojeda [3] membahas tentang analisis univariat dan multivariat dari distribusi
campuran binomial negatif dengan invers Gaussian serta estimasi parameter dengan menggunakan metode momen dan
maximum likelihood. Aryuyuen dan Bodhisuwan [1] membahas tentang distribusi campuran binomial negatif dengan
general exponensial, pada penelitiannya, dilakukan fitting distribusi suatu data dan menunjukkan bahwa distribusi
campuran binomial negatif general exponensial lebih baik digunakan dibandingkan dengan distribusi binomial negatif
dan Poisson. Aplikasi distribusi campuran binomial negatif-beta diperkenalkan oleh Wang [7]. Selanjutnya, Zamani dan
Ismail [8] memperkenalkan distribusi campuran binomial negatif-Lindley sebagai alternatif untuk memodelkan data
1
klaim asuransi yang mempunyai thick tail dan nol berlebih. Distribusi binomial negatif-crack diperkenalkan oleh
Saengthong dan Bodhisuwan dan melakukan fitting distribusi terhadap data polis asuransi automobil [6].
Salah satu distribusi yang dapat dijadikan alternatif sebagai distribusi pencampur dari distribusi binomial
negatif adalah distribusi exponensial dengan konstanta penstabil. Distribusi ini merupakan distribusi yang telah dibahas
oleh Devianto dkk, didefinisikan sebagai suatu distribusi exponensial dengan support ( 0,∞ ) diskala menjadi ( 0,1 )
sehingga membentuk fungsi kepadatan peluang baru yaitu :
𝐹𝑥(𝑥; 𝜃) = 𝜃𝜆𝑒 −𝜆𝑥
untuk λ > 0 dan 0 < x < 1 dimana
𝜃=
1
1 − 𝑒 −𝜆
sebagai konstanta penstabil untuk mengendalikan fungsi kepadatan peluang exponensial.
1.
Fungsi peluang dari distribusi binomial negatif adalah :
Jika peubah acak X menyatakan jumlah percobaan yang dibutuhkan sampai terjadi k sukses, maka distribusi
probabilitas peubah acak X disebut berdistribusi Binomial Negatif dengan fungsi probabilitasnya sebagai berikut :
𝑓(𝑥) = (
𝑥−1 𝑘
) 𝑝 (1 − 𝑝) 𝑥−𝑘
𝑘−1
𝑥 = 𝑘, 𝑘 + 1, 𝑘 + 2
Keterangan notasi :
𝑝 = Peluang sukses
𝑥 = Jumlah perobaan sampai mendapatkan sukses ke-k
𝑘 = Jumlah sukses yang muncul
2.
Nilai Harapan Distribusi Binomial Negatif
Nilai harapan yang akan dicari adalah nilai harapan 𝑋, 𝑋 2 , 𝑑𝑎𝑛 𝐸(𝑋 − 𝐸(𝑋))2 .
Nilai Harapan X
𝐸(𝑋) = ∑𝑘+𝑛
𝑥=𝑘 𝑥 𝑓(𝑥)
𝐸(𝑋) = ∑𝑘+𝑛
𝑥=𝑘 𝑥 (
𝑥−1 𝑘
) 𝑝 (1 − 𝑝) 𝑥−𝑘
𝑘−1
(𝑥−1)!
𝑘
𝑥−𝑘
𝐸(𝑋) = ∑𝐾+𝑛
𝑥=𝑘 𝑥 (𝑘−1)!((𝑥−1)−(𝑘−1))! 𝑝 (1 − 𝑝)
2
(𝑥−1)!
𝑘𝑝
𝑘
𝑥−𝑘
𝐸(𝑋) = ∑𝑘+𝑛
𝑥=𝑘 𝑥 (𝑘−1)!(𝑥−𝑘)! 𝑝 (1 − 𝑝)
𝑘
𝑥!
𝑝
𝑘!(𝑥−𝑘)!
𝐸(𝑋) = ∑𝑘+𝑛
𝑥=𝑘
𝐸(𝑋) =
𝑘𝑝
𝑝𝑘+1 (1 − 𝑝) 𝑥−𝑘
𝑘
𝑝
Nilai Harapan 𝑿𝟐
Dimisalkan terlebih dahulu
𝐸(𝑋 2 ) = 𝐸(𝑋 2 ) + 𝐸(𝑋) − 𝐸(𝑋)
𝐸(𝑋 2 ) = 𝐸[𝑋 2 + 𝑋] − 𝐸(𝑋)
𝐸(𝑋 2 ) = 𝐸[𝑋(𝑋 + 1)] − 𝐸(𝑋)
Kemudian dicari :
𝐸[𝑋(𝑋 + 1)] = ∑𝑘+𝑛
𝑥=𝑘 𝑥(𝑥 + 1)𝑓(𝑥)
𝐸[𝑋(𝑋 + 1)] = ∑𝑘+𝑛
𝑥=𝑘 𝑥(𝑥 + 1) (
𝑥−1 𝑘
) 𝑝 (1 − 𝑝)𝑥−𝑘
𝑘−1
(𝑥−1)!
𝑘
𝑥−𝑘
𝐸[𝑋(𝑋 + 1)] = ∑𝑘+𝑛
𝑥=𝑘 𝑥(𝑥 + 1) (𝑘−1)!(𝑥−𝑘)! 𝑝 (1 − 𝑝)
(𝑥−1)!
𝑘
𝑥−𝑘
𝐸[𝑋(𝑋 + 1)] = ∑𝑘+𝑛
𝑥=𝑘 𝑥(𝑥 + 1) (𝑘−1)!(𝑥−𝑘)! 𝑝 (1 − 𝑝)
𝐸[𝑋(𝑋 + 1)] =
𝐸[𝑋(𝑋 + 1)] =
𝑘(𝑘+1)
𝑝2
(𝑥+1)!
∑𝑘+𝑛
𝑥=𝑘
(𝑘+1)!(𝑥−𝑘)!
𝑝𝑘+2 (1 − 𝑝) 𝑥−𝑘
𝑘(𝑘+1)
𝑝2
Sehingga,
𝐸(𝑋 2 ) = 𝐸[𝑋(𝑋 + 1) − 𝐸(𝑋)
𝐸(𝑋 2 ) =
𝐸(𝑋 2 ) =
𝐸(𝑋 2 ) =
𝑘(𝑘+1)
𝑝2
𝑘 2 +𝑘
−
−
𝑝2
𝑘
𝑝
𝑝𝑘
𝑝2
𝑘 2 +𝑘−𝑘𝑝
𝑝2
Nilai Harapan 𝑬(𝑿 − 𝑬(𝑿))𝟐
𝐸[(𝑋 − 𝐸(𝑋))2 ] = 𝐸[𝑋 2 − 2𝑋𝐸(𝑋) + (𝐸(𝑋))2 ]
𝐸[(𝑋 − 𝐸(𝑋))2 ] = 𝐸(𝑋)2 − 2𝐸(𝑋)𝐸(𝑋) + (𝐸(𝑋))
𝐸[(𝑋 − 𝐸(𝑋))2 ] = 𝐸(𝑋 2 ) − (𝐸(𝑋))2
3
2
𝑘(𝑘+1) 𝑝2
𝑘(𝑘+1) 𝑝2
𝐸[(𝑋 − 𝐸(𝑋))2 ] =
𝐸[(𝑋 − 𝐸(𝑋))2 ] =
𝑘 2 +𝑘−𝑘𝑝
𝑝2
𝑝
𝑘 2 +𝑘−𝑘𝑝−𝑘 2
𝑝2
𝑘−𝑘𝑝
𝐸[(𝑋 − 𝐸(𝑋))2 ] =
𝐸[(𝑋 − 𝐸(𝑋))2 ] =
𝑘 2
−( )
𝑝2
𝑘(1−𝑝)
𝑝2
Sebagai catatan, nilai harapan X merupakan mean, sedangkan nilai harapan 𝐸(𝑋 − 𝐸(𝑋))2 merupakan
variansi.
3.
Fungsi Pembangkit Moment
Moment Generating Function ( MGF ) dari distribusi binomial negatif adalah :
𝑀𝑥(𝑡) = (
𝑝𝑒 𝑡
)
1 − (1 − 𝑝)𝑒 𝑡
𝑘
Bukti :
MGF diperoleh dari 𝐸(𝑒 𝑡𝑋 ).
𝑀𝑥(𝑡) = 𝐸(𝑒 𝑡𝑋 )
(𝑥−1)!
𝑡𝑋
= ∑∞
𝑝𝑘 (1 − 𝑝)𝑥−𝑘
𝑥=𝑘 𝑒
(𝑘−1)!(𝑥−𝑘)!
(𝑥−1)!
𝑡 𝑘
𝑡
= ∑∞
𝑥=𝑘 (𝑘−1)!(𝑥−𝑘)! (𝑝𝑒 ) ((1 − 𝑝)𝑒 )
=(
=(
4.
𝑝𝑒 𝑡
1−(1−𝑝)𝑒 𝑡
𝑝𝑒 𝑡
1−(1−𝑝)𝑒 𝑡
𝑘
𝑥−𝑘
(𝑥−1)!
𝑡 𝑥−𝑘
) ∑∞
(1 − (1 − 𝑝)𝑒 𝑡 )𝑘
𝑥−𝑘 (𝑘−1)!(𝑥−𝑘)! ((1 − 𝑝)𝑒 )
𝑘
)
Mean
Mean dari distribusi binomial negatif adalah :
𝜇=
𝑘
𝑝
Bukti :
Mean merupakan niai harapan dari X seperti yang telah dibuktikan sebelumnya. Mean juga dapat diperoleh
dari turunan pertama dari MGF. Turunan pertama MGF distribusi binomial negatif adalah :
4
𝑘
𝑀′ (𝑡) =
𝑘
[1−(1−𝑝)𝑒 𝑡 ] 𝑘(𝑝𝑒 𝑡 )𝑘−1 𝑝𝑒 𝑡 −(𝑝𝑒 𝑡 ) 𝑘[1−(1−𝑝)𝑒 𝑡 ]
𝑘−1
[−(1−𝑝)𝑒 𝑡 )
[1−(1−𝑝)𝑒 𝑡 ]2𝑘
Mean adalah 𝑀′ (0).
𝜇 = M ′ (0)
=
=
=
5.
[1−(1−𝑝)]𝑘 𝑘𝑝𝑘−1 𝑝+𝑝𝑘 𝑘[1−(1−𝑝)]𝑘−1 (1−𝑝)
[1−(1−𝑝)]2𝑘
𝑝𝑘 𝑘𝑝𝑘 𝑝 −1 𝑝+𝑝𝑘 𝑘𝑝𝑘 𝑝−1(1−𝑝)
𝑝2𝑘
𝑘
𝑝
Variansi
Variansi dari distribusi binomial negatif adalah :
𝜎2 =
𝑘(1 − 𝑝)
𝑝2
Bukti :
Variansi merupakan nilai harapan 𝐸(𝑋 − 𝐸(𝑋))2 . Variansi juga dapat diperoleh dari turunan pertama dan
kedua MGF, dimana variansi adalah :
𝑀′′ (𝑡) = 𝑘(𝑝𝑒 𝑡 )𝑘 (−𝑘 − 1)[1 − (1 − 𝑝)𝑒 𝑡 ]−𝑘−2 [−(1 − 𝑝)𝑒 𝑡 ] + 𝑘 2 (𝑝𝑒 𝑡 )𝑘−1 (𝑝𝑒 𝑡 )
[1 − (1 − 𝑝)𝑒 𝑡 ]−𝑘−1
Dan
𝑀"(0) =
𝑘(𝑘 + 1 − 𝑝)
𝑝2
Sehingga variansinya adalah
𝜎 2 = 𝑀"(0) − (𝑀′(0))2
=
=
𝑘(𝑘+1−𝑝)
𝑝2
−
𝑘2
𝑝2
𝑘(1−𝑝)
𝑝2
Contoh Kasus
Sebuah Perusahaan menawarkan excavator untuk keperluan reklamasi pantai yang dilakukan pemerintah daerah. Dari
pengalaman-pengalaman sebelumnya perusahaan mengestimasikan 10 persen unit excavator yang dikirim mengalami
gangguan dalam beberapa hal. Jika dibutuhkan 5 unit excavator, tentukan berapa jumlah minimum yang dikirim agar 95
persen unit excavator dipastikan tidak akan mengalami gangguan.
Penyelesaian :
5
Dengan probabilitas sukses p = 1 – 0,1 = 0,9
Dengan menggunakan persamaan binomial negatif dan Cdf distribusi binomial negatif maka :
x
5
6
7
8
9
10
Px ( X= x ; 5,0.9 )
0,59049
0,295245
0,0885735
0,02066715
0,00413343
0,000744017
7
Fx ( X= x ; 5,0.9 )
0,59049
0,885735
0,9743085
0,99497565
0,99910908
0,999853097
7
𝑥−1
∑ 𝑝𝑥(𝑋 = 𝑥; 5,0.9) = ∑ (
) (0,9)5 (0,1) 𝑥−5 = 0,9743
5−1
𝑥=5
𝑥=5
Jadi minimum yang dikirim agar 95 persen unit excavator dipastikan tidak akan mengalami gangguan yaitu sebanyak 7
dengan probabilitas kesuksesan sebesar 0,9743
Daftar Pustaka
[1] Aryuyuen, S. dan W. Bodhisuwan. 2013. Negative Binomial-Generalized Exponential Distribution. Apllied
Mathematical Sciences, Vol. 7 : 1093-1105.
[2] Freund, J.E., I. Miller, dan M. Miller. 1999. Mathematical Statistics. 6thed. Prentice Hall In-Ternational , New
Jersey.
[3] Gomez-Deniz. Sarabia, E., Ojeda, J. M. , 2008. Univariate and Multivariate Versions of The Negative BinomialInverse Gaussian Distributions with Applications. Insurance Mathematics and Economics, Vol. 42 : 39-49.
[4] Johnson, Norman L. Kemp, Adrienne W. Kotz,Samuel. 2005. Univariate Discrete Distributions.3thed. John Willey
, New Jersey
[5] Panger, H. H. dan G. E. Willmot. 1981. Finite Sum Evaluation of The Negative Binomial-Eksponential Model.
Astin Bulletin : 133-137.
[6] Saengthong, Pornpop dan W. Bodhisuwan. 2013. Negative Binomial-Crack (NB-CR) Distribution. Pure and
Applied Mathematics, 84(3) : 213-230.
[7] Wang, Z. 2011. One Mix Negative Binomial Distribution with Application. Statistical Planning and Inference, 141 :
1153-1160.
[8] Zamani, Hosein dan Noriszura Ismail. 2010. Negative Binomial-Lindley Distribution and Its Application.
Mathematics and Statistics, 6(1) : 4-9.
6