Pada BAB ini akan dibahas tentang cara membangun barisan Ferey

B a b . 11
M e m b a n g u n B a r i s a n F a r e y Dari P e c a h a n Kontinu
Pada BAB ini akan dibahas tentang cara membangun barisan Ferey
dari pecahan kontinu disertai dengan contoh permasalahannya.
2.1.
Membangun Barisan Farey
c,, adalah sebuah pecahan kontinu,
Misalkan
pecahan kontinu
dimana
fl„
)
untuk menghasilkan bilangan bulat
0 , untuk setiap /;
> 0, adalah dengan
pengembangan
a^,a^,a^,....,a^,
menggunakan
aturan-aturan sebagai berikut:
1.
a.
2.
c,
3.
c.
c,
dan a,
=
dan
=
-a,
dengan proses yang sama sehingga
4.
a
dan c„,, =
1
hingga proses berakhir apabila hasil bagi dari pecahan kontinu
merupakan bilangan bulat.
6
Xontoh
Misalkan sebuah pecahan kdhtinu
=
21
^^an ditentukan bentuk
barisan Ferey dari pecahan kontinu tersebut.
Jawab :
Akan ditentukan hasil bagi dari pecahan kontinu sebagai berikut
ao
=
21
=
50
0
c,
=
1
21
50
a,
=
50
21
=
2
c,
=
21
a,
=
=
=
8
8
5
=
21
-0
21
50
21
a2
50
8
-2
8
2
21
5
- 7
1
1
5-1
5
a4
=
=
3
1
2
3
a,
=
-
=
1
1
2 - 1
2
2
36
=
1
=
2
7
2
1
Sehingga didapat ao = 0,
a, = 2,
a2=2,
33=1, 34=1,
Sesuai dengan teorema 3. 1. 1 maka
Po
=
ao
=
p,
=
a, a o + 1
untuk p > 2,
p
=
2
p
=
3
p
=
4
p
=
5
p
=
6
-»
0
=
2.1 + 1 =
a„p._,+p„.2
2.1 + 0
=
2
1.2 + 1
=
3
^
1.3 + 2
=
5
->
1.5 + 4
=
8
2.8 + 5
=
21
untuk q > 2 ,
a„ q„_, + q „ _ 2
q
=
2
->
2,2 + 1
=
5
q
=
3
-»
1.5 + 2
=
7
q
=
4
->
1.7 + 5
=
12
q
=
5
q .=
6
sehingga
1.12 + 7
^
2.19 + 12
r„
=
=
=
19
50
maka
0
To
=
1
0 . 2 ]
=
i
1
qo
= 1
q,
-
a,
=
2
3,=!,
3^=2,
r,
-
••3
=
r4
=
r,
=
r6
=
2
[0,2,2
5
3
0, 2, 2,1
7
0, 2, 2 , 1 , 1
12
[0,2,2,1,1,1]
19
21
0, 2, 2,1,1,1,2
50
yang bila disusun menjadi
0
1
2
3
5
8
21
1
2
5
7
12
19
50
Untuk membentuk barisan Fereynya adalah dengan berpedoman
( < r , </-^ (...,<c^, <
kepada teorema 3. 1. 2 dimana
yang menghasilkan
1
5
12
50
19
7
2
sehingga jika disusun kedaj.am sebuah barisan menjadi
0
1
2
'
5
J_
'
12
21
'
50
_8_
'
19
3^
'
9
7
2
'
2
.
{r^ {r^ {r^ {r^,
2.2.
P e c a h a n Kontinu
Definisi.
a,
2.1.1
Suatu bilangan real
a„, a,, a,, a„
.... a , , dimana
) 0 , untuk setiap « > o, didefinisikan sebagai pecahan kontinu
dengan [ a , ,
a , , a^,
=
a , ] G R, dengan rekursifnya :
Bodan
o,,
[a„
o,
a„ ] - Oo
rekursif tersebut merupakan ungkapan dari
a,
+
a,
+
Pecahan kontinu biasanya ditulis dalam dua bentuk yaitu
1.
a,
+
n,
+
—
a,
+
-. +
2.
[o,,
a,,
flj,
a,,
a„ ]
10
Untuk menghitung nilai dari pecahan kontinu tersebut
secara
berurutan adalah sebagai berikut:
[«0
a„,
=
a.
fl,,
a„
a.
a„
-
a„
a.
dan bisa disederhanakan menjadi:
[a„
fl,,
a„
03,
a,.
a„
a,,
a,.,,
a.
a,,
a,,
a,,
a^,
...,a„_,.
atau
[a„
[a,,
=
a,.
...,o,_,.
a,, [a,, a,, o,,
a„ ]
a
dengan bentuk umumnya adalah :
[a„
fl,,
a„
03,
a,.,,
a,]
=
a,, a,,
dimana 1 < m < «
11
o^,
a^,
+
...(3)
Untuk 1<n <N, bentuk umum pecahan kontinu ditulis dalam bentuk ;
[ao. ai,
32,....
Definisi.
a„] = [ao, a^...., a^-i.
[am. a^^i
a„]], untuk 1<m <n
<N.
2.1.2
Barisan Farey dibentuk dari bilangan bulat ^ / b dimana a dan b bilangan
bulat.
Bilangan rasional ^ / b {a,b) =1 dikatakan bentuk tereduksi,
Teorema.
2.1.1
Jika ^ / b dan ^ / b ' pecahan teraturan pada barisan Farey yang ke n dengan
^/b < ^ / b ' - maka a'b-ab'=
1.
Bukti: Untuk pembuktian ini digunakan barisan Farey F(0,1)
yaitu pada [0,1] .
Selanjutnya pembuktian dilakukan dengan induksi matematika.
1. Barisan Farey pertama ° / i d a n V i . Sehingga benar untuk n=1 , yaitu
a'b-ab•=^^
-1.0=1
2. Benar untuk n=k.
yaitu : %
dan ^ / b - sehingga a'b-ab' = 1 . Atau ^ / b dan
sehingga {a+a')b - a(b+b')= ab+a'b -abAkibat
.2.1.1
( Teorema.
ab' =a'b -b'a
= 1.
2.1.1)
Setiap % pada barisan Farey maka a'b-b'a
12
ia+a')/(b+b')
= (ab) = 1
untuk
^
a + a'
a'
b + b'
b'
(b + b*)a'
ba'
=
+
a'b
=
-
b'a'
(a + a ' ) b '
-
a'b - a'b'
ab'
1
sehingga dari ketiga hal tersebut mendapatkan hasil yang sama.
Akibat.
Diantara dua pecahan berurutan pada barisan F„, maka
2.1.2\
maksimal terdapat satu pecahan pada barisan F,^,
Bukti:
Dari teorema 2. 1. 2 dinyatakan bahwa jika barisan F„, pecahan
a
a'
berurutannya — dan —, maka pada barisan F„^,, pecahan berurutannya
b
b'
a
akan mernuat satu diantara
tiga kemungkinan yaitu b
a
(a + a')
b'
^
atau )(b + b '(,
)'
(b + b ' ) '
(a + a')
a'
, —, atau
b'
a'
—.
Sehingga pada barisan F„
b'
maksimal
( a + a' )
terdapat
a
.
satu pecahan yaitu | ^ — ^
a'
- dan —.
b
b'
13
jika b + b' < n + 1 diantara
Teorema. 2.1.2 . j j k a - ,
— , pecahan berurutan pada barisan F„
—,
b
b'
b"
maka:
a'
a + a"
b'
b + b"
Bukti:
Dari teorema 2. 1. 2 didapat:
1. —,
b'
—
b'
maka
—',
b'
—
b"
maka
\a"b'
'
-
a b'
2.
a' b
sehingga
-a'b"
(a'b
a'b
+
+
a ' b - a b '
-
a'b"
a"b'
(b + b")
-
a'
=
1
1
=1
=1
(-a'b"))
a'b"
=
ab'
-
-
a b'
a" b'
(a + a")
-
a"b'
=
b'
=
0
0
=
0
selanjutnya, persamaan (2) dikalikan dengan
(2)
r-^
b'
^
(b + b")
sehingga diperoleh
(b + b")
b'
_
(b + b")
(b + b")
b'
a'
(a + a")
b'
_
(a + a")
(b + b")
~
b'
(a + a")
b'
(b + b")
~
^
^
(b + b")
a'
a^ _
b'
b'
(b + b")
-
14