penentuan nilai opsi call barrier dengan dividen

PENENTUAN NILAI OPSI CALL BARRIER
DENGAN DIVIDEN TUNGGAL DI BURSA EFEK INDONESIA
JACOB STEVY SELEKY
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2012
i
PERNYATAAN MENGENAI TESIS DAN
SUMBER INFORMASI
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Penentuan Nilai
Opsi Call Barrier dengan Dividen Tunggal di Bursa Efek Indonesia adalah karya
saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk
apapun kepada perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau
dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain
telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian
akhir tesis ini.
Bogor, Desember 2012
Jacob Stevy Seleky
NRP G551100101
ii
ABSTRACT
JACOB STEVY SELEKY. Pricing of Barrier Call Option with Single Dividend
at Indonesian Stock Exchange. Under supervision of ENDAR HASAFAH
NUGRAHANI and I GUSTI PUTU PURNABA.
A stock option contract is a contract containing a call option, which gives
option holder the rights to buy a certain amount of the underlying assets of the
contract. Barrier options are path-dependent exotics option that are similar in
some ways to regular options, but they become activated or extinguished only if
the underlying reaches a predetermined level. The value of a call option contract
at the Indonesian Stock Exchange is influenced not only by underlying assets but
also by a barrier as the controller of loss and profit, and dividend. Black-Scholes
model is a continuous model, which is designed for pricing European option. In
the case of American option, binomial lattice method can be used to calculate its
price. This thesis presents a numerical study showing that the results using
binomial lattice method are close to the results of Black-Sholes method.
Furthermore, the model of barrier call options with a single dividend is applied to
the case of stock at the Indonesian Stock Exchange. The results agree with the
theory that has been developed. The price of barrier call options is lower
compared to the regular call options and the dividend gives a negative impact to
the option value.
Keywords : Black-Scholes model, binomial lattice method, barrier call option,
dividend.
iii
RINGKASAN
JACOB STEVY SELEKY. Penentuan Nilai Opsi Call Barrier dengan Dividen
Tunggal di Bursa Efek Indonesia. Dibimbing oleh ENDAR HASAFAH
NUGRAHANI dan I GUSTI PUTU PURNABA.
Opsi saham adalah salah satu produk derivatif yang digunakan oleh pelaku
pasar sebagai instrumen untuk tujuan mendapatkan keuntungan ataupun untuk
melindungi asetnya dari kejatuhan harga serta menghindari terjadinya kerugian
yang lebih besar. Opsi saham di Indonesia dikenal sebagai kontrak opsi saham.
Kontrak opsi saham adalah efek yang memuat opsi call atas saham perusahaan
tercatat yang menjadi saham dasar dalam perdagangan seri kontrak opsi saham.
Opsi call memberikan hak kepada pemegang opsi untuk membeli sejumlah
tertentu dari sebuah instrumen yang menjadi dasar kontrak tersebut. Untuk
mengeksekusi haknya, pemegang opsi bisa menggunakan opsi tipe Amerika atau
tipe Eropa. Pada opsi tipe Amerika pemegang opsi dapat mengeksekusi haknya
setiap saat hingga waktu jatuh tempo, sedangkan opsi tipe Eropa hanya
memberikan kesempatan kepada pemegang opsi untuk mengeksekusi haknya pada
waktu jatuh tempo. Nilai kontrak opsi saham selain bergantung pada pergerakan
harga saham yang menjadi aset dasarnya, juga dipengaruhi oleh barrier (batas)
sebagai pengendali keuntungan dan kerugian, serta pembagian dividen atau
pembagian keuntungan yang diperoleh perusahaan setahun sekali untuk setiap
pemegang saham.
Tujuan dari penelitian ini adalah melakukan kajian secara teoritis dalam
penentuan nilai opsi call tipe Eropa serta pengaruh dividen melalui pendekatan
model Black-Scholes. Selain itu juga dilakukan pengkajian teoritis metode
binomial tree dalam penentuan nilai opsi call, kemudian melakukan kajian secara
numerik untuk melihat kekonvergenan metode binomial tree terhadap model
Black-Scholes nilai opsi call tipe Eropa. Selanjutnya menggunakan metode
binomial tree untuk menentukan nilai opsi barrier tipe up-and-out call dengan
dividen tunggal di Bursa Efek Indonesia.
Metode penelitian yang digunakan adalah studi pustaka dan konten
analisis beberapa model dasar dalam penentuan nilai kontrak opsi saham di Bursa
Efek Indonesia, antara lain model Black-Scholes dan metode binomial tree.
Simulasi untuk penentuan nilai opsi di Bursa Efek Indonesia menggunakan
software Matlab. Adapun parameter-parameter yang digunakan dalam melakukan
simulasi adalah S = harga saham (stock price), K = harga eksekusi (strike price), B
= barrier (batas), T = waktu jatuh tempo (expiry date), D = dividen, r = suku
bunga bebas resiko (riskfree interest rate), σ = volatilitas, τ D = waktu jatuh
tempo dividen (expiration dividend date).
Adapun model pergerakan harga saham di Bursa Efek Indonesia untuk
perdagangan opsi saham diformulasikan ke dalam pergerakan harga saham
dengan metode weighted moving average (WMA). Pemegang kontrak mempunyai
hak pada setiap saat sampai dengan waktu jatuh tempo T untuk mengeksekusi opsi
pada harga strike price yang diberikan dan mendapat pembayaran sebesar (S – K),
kecuali jika harga saham bergerak menyentuh barrier. Dalam kasus harga saham
iv
menyentuh barrier maka terjadi eksekusi otomatis dan pemilik opsi mendapatkan
pembayaran sebesar (B − K ) . Kontrak opsi saham termasuk tipe opsi Amerika, di
mana pemegang hak dapat mengeksekusi jika harga saham bergerak mendekati
level barrier yang sudah ditentukan. Selain itu setiap pemegang saham akan
mendapatkan dividen setahun sekali. Sehingga penelitian ini meneliti kedua faktor
yang memengaruhi penentuan nilai kontrak opsi saham tersebut. Dalam penelitian
ini pergerakan harga saham dapat ditinjau dalam empat skenario yaitu, skenario I
A dimana pergerakan harga saham tidak mencapai barrier dan tidak dikenai
dividen sampai waktu jatuh tempo, skenario I B dimana pergerakan harga saham
tidak mencapai barrier tetapi dikenai dividen, skenario II A dimana pergerakan
harga saham mencapai barrier sebelum waktu jatuh tempo dan tidak dikenai
dividen dan skenario II B dimana pergerakan harga saham mencapai barrier dan
dikenai dividen.
Hasil dari simulasi sesuai dengan teori dasar yang sudah dikembangkan.
Model diskrit metode binomial tree konvergen ke model kontinu Black-Scholes
untuk opsi call tipe Eropa apabila N-step yang diambil semakin besar. Nilai opsi
call cenderung bertambah seiring dengan kenaikan harga saham. Nilai opsi
barrier tipe up-and-out call lebih murah dari nilai opsi call biasa. Pembagian
dividen memberikan pengaruh negatif terhadap nilai opsi call, karena dengan
adanya pembagian dividen maka nilai saham menjadi berkurang dan akan
mengurangi nilai opsi call. Opsi barrier tipe up-and-out call di Bursa Efek
Indonesia mempunyai ciri khas yaitu ketika harga saham lebih besar dari barrier
maka pemegang hak opsi mendapat payoff sebesar (B – K).
Kata kunci: Model Black-Scholes, metode binomial tree, opsi call barrier,
dividen
v
© Hak Cipta milik IPB, tahun 2012
Hak Cipta dilindungi Undang-Undang
1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa
mencantumkan atau menyebut sumbernya
a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan
karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik, atau tinjauan suatu
masalah.
b. Pengutipan tersebut tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB.
2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya
tulis dalam bentuk apa pun tanpa izin IPB
vi
PENENTUAN NILAI OPSI CALL BARRIER
DENGAN DIVIDEN TUNGGAL DI BURSA EFEK INDONESIA
JACOB STEVY SELEKY
Tesis
Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Magister Sains pada
Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2012
vii
Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Dr. Berlian Setiawaty, M.S.
Judul Tesis
Nama
NRP
: Penentuan Nilai Opsi Call Barrier dengan Dividen Tunggal
di Bursa Efek Indonesia
: Jacob Stevy Seleky
: G551100101
Disetujui
Komisi Pembimbing
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S.
Ketua
Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA.
Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi
Matematika Terapan
Dekan Sekolah Pascasarjana
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S.
Dr. Ir. Dahrul Syah, M.Sc.Agr.
Tanggal Ujian: 18 Oktober 2012
Tanggal Lulus:
ix
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa atas
anugerah dan karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema
yan dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Desember 2011 terkait
penerapan matematika dalam menyelesaikan masalah dalam bidang ekonomi
dengan judul Penentuan Nilai Opsi Call Barrier dengan Dividen Tunggal di Bursa
Efek Indonesia.
Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Dr. Endar Hasafah Nugrahani,
M.S. dan Bapak Dr. Ir. I Gusti Putu Purnaba, DEA. selaku pembimbing, serta Ibu
Dr. Berlian Setiawaty, M.S. selaku penguji yang telah memberikan saran dan
kritiknya. Ucapan terimakasih juga penulis sampaikan kepada Universitas Pelita
Harapan atas beasiswa satu tahun yang diberikan, serta Dinas Pendidikan
Nasional atas beasiswa BPPS On-going satu tahun berikutnya selama penulis
menempuh pendidikan program Magister Sains di Institut Pertanian Bogor.
Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada isteri dan anak-anakku yang
memberikan dukungan dan motivasi, serta seluruh keluarga besar dan semua
pihak yang memberikan dukungan dan doa baik secara langsung maupun tidak
langsung.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Desember 2012
Jacob Stevy Seleky
x
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di kota Ambon pada tanggal 7 November 1970 dari
ayah Paulus Seleky dan ibu Octovina Pattipeilohy/Seleky. Penulis merupakan
putra ke delapan dari delapan bersaudara.
Tahun 1990 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Ambon dan melanjutkan
studi S1 di Universitas Gadjah Mada Yogyakarta. Penulis memilih Jurusan
Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Kesempatan
untuk melanjutkan Program Magister Matematika Terapan di tahun 2010 di
Institut Pertanian Bogor.
Penulis adalah staf pengajar di Universitas Pelita Harapan Tangerang sejak
Juli 2008. Mata kuliah yang diajarkan adalah Kalkulus I, Kalkulus 2, Kalkulus
Multivariat, Persamaan Differensial dan PSAP Matematika SMA dan SMP.
xi
DAFTAR ISI
Halaman
DAFTAR TABEL .............................................................................................. xiv
DAFTAR GAMBAR ............................................................................................xv
DAFTAR LAMPIRAN ...................................................................................... xvi
I PENDAHULUAN ...............................................................................................1
1.1
Latar belakang .......................................................................................... 1
1.2 Tujuan Penelitian ...................................................................................... 3
1.3
Sistematika Penelitian .............................................................................. 4
II TINJAUAN PUSTAKA .....................................................................................5
2.1
Produk Finansial Derivatif ....................................................................... 5
2.2
Sejarah Opsi ............................................................................................. 6
2.3
Awal Permulaan Opsi di Amerika ............................................................ 6
2.4
Pengertian Opsi ........................................................................................ 8
2.5
Jenis Opsi ................................................................................................. 9
2.5.1 Komponen Opsi ............................................................................... 9
2.5.2 Opsi Call ........................................................................................ 10
2.5.3 Opsi Put ......................................................................................... 10
2.6
Perdagangan Kontrak Opsi Saham di BEI ............................................. 11
2.6.1 Persyaratan Suatu Saham Memiliki Opsi Saham .......................... 13
2.6.2 Rekapitulasi Perdagangan Opsi Call di BEI.................................. 14
2.6.3 Pedoman Pengkodean Kontrak Opsi Saham ................................. 15
2.6.4 Penetapan Seri Kontrak Opsi Saham ............................................. 16
2.6.5 Harga Saham dengan Weighted Moving Average .......................... 17
2.6.6 Penetapan Suku Bunga................................................................... 18
2.6.7 Perhitungan Volatilitas Kontrak Opsi Saham ................................ 18
2.6.8 Dividen ........................................................................................... 20
2.6.9 Premi Opsi Saham .......................................................................... 21
2.7
Penentuan Nilai Opsi dengan Model Black-Scholes .............................. 22
2.7.1 Sejarah Model Black-Scholes ....................................................... 22
2.7.2 Latar Belakang Penurunan Model Black-Scholes ......................... 23
2.7.3 Model Pergerakan Harga Saham ................................................... 25
2.7.4 Valuasi Formula Model Black-Scholes......................................... 27
2.7.5 Opsi Call Eropa dengan Dividen .................................................. 32
2.8
Opsi Barrier ........................................................................................... 33
2.9
Metode Binomial Tree ............................................................................ 34
2.9.1 Sejarah Metode Binomial Tree ...................................................... 34
2.9.2 Konstruksi Model Binomial Tree .................................................. 35
2.9.3 Penentuan Nilai Parameter Model Binomial Tree......................... 36
2.9.4 Model Binomial Tree dengan Suku Bunga Diskret ...................... 37
2.9.5 Model Binomial Tree dengan Suku Bunga Kontinu ..................... 39
2.9.6 Rasio Lindung Nilai ...................................................................... 41
2.9.7 Metode Binomial Tree dengan Dividen ........................................ 41
xii
2.9.8 Metode Binomial Tree untuk Opsi Call Tipe Amerika ................. 42
2.9.9 Metode Binomial Tree untuk Opsi Barrier Tipe up-and-out Call 46
2.9.10 Kajian Numerik Kekonvergenan Metode Binomial Tree............ 49
III MODEL PENENTUAN NILAI OPSI ..........................................................53
3.1
Tinjauan Singkat Perdagangan Kontrak Opsi Saham di BEI ................. 53
3.2
Mekanisme Perdagangan Kontrak Opsi Saham ..................................... 54
3.3
Prosedur Penelitian ................................................................................. 55
3.3.1 Kasus I: Pergerakan Harga Saham Ketika Barrier Diberlakukan . 55
3.3.2 Kasus II: Pergerakan Harga Saham Dikenai Dividen.................... 56
3.4
Model Penentuan Nilai Opsi Menggunakan Metode Binomial Tree ......57
3.5
Model Penentuan Nilai Opsi Berdasarkan Skenario Penelitian ............. 59
3.5.1 Metode Binomial Tree untuk Skenario IA..................................... 59
3.5.2 Metode Binomial Tree untuk Skenario IB. .................................... 61
3.5.3 Metode Binomial Tree untuk Skenario IIA. .................................. 64
3.5.4 Metode Binomial Tree untuk Skenario IIB. .................................. 64
IV SIMULASI PENENTUAN NILAI OPSI......................................................65
4.1
Kondisi dan Syarat Simulasi ...................................................................65
4.2
Langkah-Langkah Simulasi .....................................................................65
4.3
Hasil Simulasi Penentuan Nilai Opsi ......................................................67
4.3.1 Hasil Simulasi Skenari IA ..............................................................68
4.3.2 Hasil Simulasi Skenari IB ...............................................................69
4.3.3 Hasil Simulasi Skenari IIA ............................................................ 71
4.3.4 Hasil Simulasi Skenari IIB ............................................................ 72
4.4
Rangkuman Hasil Simulasi dan Analisis ............................................... 72
V SIMPULAN DAN SARAN ..............................................................................75
5.1
Simpulan ................................................................................................. 75
5.2 Saran ....................................................................................................... 75
DAFTAR PUSTAKA ...........................................................................................77
LAMPIRAN..........................................................................................................81
xiii
DAFTAR TABEL
1. Spesifikasi bisnis kontrak opsi saham di BEI ................................................... 11
2. Spesifikasi bisnis perdagangan opsi di beberapa bursa..................................... 12
3. Rekapitulasi perdagangan opsi call kontrak opsi saham di BEI ....................... 14
4. Penetapan seri opsi call kontrak opsi saham INDF .......................................... 16
5. Interval strike price ........................................................................................... 17
6. Pergerakan harga saham dengan WMA ........................................................... 17
7. Pengumuman dividen saham INDF .................................................................. 21
8. Tipe-tipe opsi barrier ........................................................................................ 34
9. Perbandingan metode binomial tree N-Step dengan model Black-Scholes ...... 51
10. Skenario pergerakan harga saham dasar ......................................................... 57
11. Pendefinisian parameter .................................................................................. 65
12. Perdagangan KOS periode 2 Januari 2007 – 30 Maret 2007 .......................... 67
13. Skenario penelitian .......................................................................................... 67
14. Hasil simulasi Skenario IA ............................................................................. 68
15. Hasil simulasi Skenario IB .............................................................................. 69
16. Hasil simulasi Skenario IIA ............................................................................ 71
17. Rangkuman hasil simulasi dan analisis ........................................................... 72
xiv
DAFTAR GAMBAR
1. Tipe opsi barrier ............................................................................................... 33
2. Pergerakan harga saham dasar .......................................................................... 35
3. Metode binomial tree dengan dividen............................................................... 42
4. Konstruksi binomial tree untuk opsi Eropa ...................................................... 44
5. Harga opsi pada tiap node ................................................................................. 44
6. Node dengan nilai maximum ............................................................................ 45
7. Opsi barrier tipe up-and-out call ...................................................................... 46
8. Enambelas jalur opsi barrier............................................................................. 48
9. Grafik kekonvergenan metode binomial tree.................................................... 50
10. Pergerakan harga KOS dengan barrier ........................................................... 55
11. Ilustrasi pergerkan harga saham ...................................................................... 56
12. Konstruksi metode binomial tree .................................................................... 58
13. Grafik pergerakan harga saham INDF ............................................................ 66
14. Grafik Skenario IA .......................................................................................... 68
15. Grafik Skenario IB .......................................................................................... 69
16. Grafik perandingan Skenario IA dan IB ......................................................... 70
17. Grafik Skenario IIA......................................................................................... 71
xv
DAFTAR LAMPIRAN
1. Penurunan formula 2.14 ..................................................................................... 83
2. Penurunan formula 2.22 ..................................................................................... 84
3. Penurunan formula 2.35 ..................................................................................... 85
4. Penurunan formula 2.38 dan 2.39 ...................................................................... 87
5. Penurunan formula 2.46 ..................................................................................... 88
6. Program grafik kekonvergenan ..........................................................................89
7. Program penentuan nilai opsi call tipe Eropa ....................................................90
8. Program penentuan nilaiopsi call tipe Amerika ................................................. 91
9. Program penentuan nilai opsi up-and-out call Amerika .................................... 92
10. Program penentuan nilai opsi call Amerika dengan dividen ........................... 94
11. Program penentuan nilai opsi up-and-out call Amerika dengan dividen ........ 96
12. Data Harga Saham INDF periode 2006 - 2007 ................................................ 98
13. Surat pengumuman penetapan seri kontrak opsi saham tahun 2007 ............. 110
xvi
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Pada akhir Desember 2011 Bursa Efek Indonesia dikategorikan sebagai
salah satu pasar modal yang layak investasi (investment grade) oleh Fitch, salah
satu lembaga pemeringkat pasar modal dunia. Hal ini dikarenakan Bursa Efek
Indonesia sebagai salah satu pasar modal di Asia telah mengalami perkembangan
yang baik beberapa tahun belakangan ini. Perkembangan itu antara lain dari
peningkatan kualitas, kuantitas dan sarana serta prasarananya. Peningkatan
kualitas dan kuantitas yang dimaksud adalah tersedianya instrumen investasi yang
lebih variatif yaitu saham, obligasi, warrant, bukti rights, reksa dana dan produk–
produk derivatif. Sedangkan perbaikan sarana dan prasarana yang mendukung
kegiatan
investasi
tersebut
ditunjukkan
dengan
dioperasikannya
sistem
perdagangan baru sejak Maret 2009 yaitu Jakarta Automated Trading System
(JATS) Next Generation menggantikan JATS generasi lama. JATS Next G
memiliki banyak kelebihan dibandingkan dengan JATS generasi lama, antara lain
mampu memberikan kemudahan dan meningkatkan efisiensi perdagangan, yang
ditunjukkan melalui kemampuan menangani semua produk finansial dalam satu
platform sehingga penyebaran informasi perdagangan dan pengawasan terhadap
semua produk yang diperdagangkan di bursa dapat dilakukan secara terpadu.
Dengan masuknya Bursa Efek Indonesia dalam kategori layak investasi, secara
teoritis aktivitas investasi di Indonesia akan semakin meningkat. Sejalan dengan
hal itu, untuk lebih menarik minat pemodal bertransaksi di Bursa Efek Indonesia,
maka pada awal tahun 2012 Bursa Efek Indonesia melakukan revitalisasi produk
derivatif dan berencana memperdagangkan kembali transaksi derivatif yang
sempat mengalami penurunan, seperti kontrak berjangka dan kontrak opsi saham.
Produk derivatif adalah instrumen keuangan yang merupakan kontrak
perjanjian antara dua pihak di mana pembayaran atau pertukaran atas cash flow
didasarkan pada nilai aset yang mendasarinya seperti nilai tukar, suku bunga,
indeks, saham atau komoditi. Produk derivatif banyak jenis dan variasinya, namun
2 secara umum dapat dikelompokkan dalam bentuk forward, swaps, futures,
maupun options (opsi).
Opsi adalah salah satu produk derivatif yang digunakan oleh pelaku pasar
sebagai instrumen untuk tujuan mendapatkan keuntungan ataupun untuk
melindungi asetnya dari kejatuhan harga serta menghindari terjadinya kerugian
yang lebih besar. Opsi ini telah dikenal lama, tetapi secara resmi diperdagangkan
di pasar modal pada Oktober 1973 di Chicago Board of Option Exchange
(CBOE). Di Indonesia opsi saham dikenal sebagai Kontrak Opsi Saham (KOS)
dan mulai diperdagangkan pada Oktober 2004 dengan saham acuan adalah PT
Telekomunikasi Indonesia, PT Astra Internasional, PT Bank Central Asia, PT
Indofood Sukses Makmur dan PT HM Sampoerna.
Kontrak opsi saham adalah efek yang memuat opsi call atau opsi put atas
saham perusahaan tercatat yang menjadi saham dasar dalam perdagangan seri
KOS dengan jumlah dan harga eksekusi tertentu serta berlaku dalam periode
tertentu. Harga eksekusi adalah harga yang ditetapkan oleh bursa untuk setiap seri
KOS sebagai acuan dalam eksekusi. Opsi call memberikan hak (bukan kewajiban)
kepada pemegang opsi untuk membeli dengan harga tertentu dari sebuah
instrumen yang menjadi dasar kontrak tersebut. Sebaliknya, opsi put memberikan
hak (bukan kewajiban) kepada pemegang opsi untuk menjual dengan harga
tertentu dari sebuah instrumen yang menjadi dasar kontrak tersebut. Pemegang
opsi tipe Amerika dapat mengeksekusi haknya setiap saat hingga waktu jatuh
tempo, sedangkan opsi tipe Eropa hanya memberikan kesempatan kepada
pemegang opsi untuk mengeksekusi haknya pada saat jatuh tempo.
Untuk membeli KOS seorang pembeli membayar premi sebagai nilai beli
dari opsi saham yang ditawarkan kepada pemilik KOS yang menjualnya. Nilai
suatu opsi saham bergantung pada pergerakan harga saham yang menjadi aset
dasarnya. Harga saham tidak tetap tetapi berubah setiap waktu, disebabkan oleh
permintaan dan penawaran yang tidak dapat diprediksi secara pasti, di samping
faktor-faktor lain yang memengaruhinya secara langsung ataupun tidak langsung.
Opsi saham di Bursa Efek Indonesia diberi barrier (batas) sebagai pengendali
keuntungan dan kerugian, jika harga saham bergerak mencapai atau melewati
barrier yang ditentukan maka akan terjadi eksekusi secara otomatis.
3
Faktor lain yang turut memengaruhi nilai opsi saham di Bursa Efek
Indonesia adalah pembagian dividen. Opsi saham yang tercatat di bursa tidak
dilindungi terhadap kas dividen. Dividen kas dapat dipandang sebagai likuidasi
sebagian dari perusahaan pada tanggal ex-dividend. Jadi dividen kas akan
mengurangi harga saham sebesar jumlah dividen kas yang dibagikan sehingga
berpengaruh terhadap nilai opsi call dan nilai opsi put.
Menjadi suatu hal yang menarik untuk meneliti nilai kontrak opsi saham di
Bursa Efek Indonesia dengan memperhitungkan faktor-faktor yang secara
langsung memengaruhinya. Penelitian terdahulu mengenai opsi saham di Bursa
Efek Indonesia oleh Gunardi et al. (2006) menggunakan pendekatan analitik
untuk menentukan nilai opsi saham bedasarkan asumsi model Black-Scholes.
Penelitian mengenai pengaruh dividen terhadap opsi saham dengan barrier
berdasarkan asumsi model Black-Scholes dilakukan oleh Siven et al. (2009).
Penelitian lain dalam penentuan nilai opsi saham adalah menggunakan pendekatan
diskret dan numerik dengan metode binomial tree (Schumann et al. 2009 dan
Barone et al. 2007).
Berdasarkan uraian di atas, maka penelitian ini dilakukan untuk
menentukan nilai yang wajar dari KOS di Bursa Efek Indonesia menggunakan
pendekatan diskret dan numerik dengan metode binomial tree. Hal ini bermanfaat
untuk memberikan pengetahuan tentang bagaimana cara menentukan nilai dari
opsi saham kepada masyarakat umum dan khususnya pelaku pasar yang secara
langsung berinteraksi dalam perdagangan KOS di Bursa Efek Indonesia.
Adapun data yang digunakan untuk melakukan implementasi model
adalah data sekunder yang diperoleh lewat website resmi Bursa Efek Indonesia
dan yahoo finance maupun perpustakaan di Bursa Efek Indonesia. Data harga
saham yang digunakan dalam simulasi adalah data harga saham PT Indofood
Sukses Makmur Tbk.
1.2 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan :
1. Melakukan kajian teoritis penentuan nilai opsi call tipe Eropa dan
pengaruh pembagian dividen melalui pendekatan model Black-Scholes.
4 2. Melakukan kajian teoritis penentuan nilai opsi barrier tipe up-and-out call
dengan dividen tunggal menggunakan metode binomial tree.
3. Menentukan model penentuan nilai opsi barrier tipe up-and-out call
dengan dividen tunggal di Bursa Efek Indonesia menggunakan metode
binomial tree.
4. Menggunakan metode binomial tree untuk menentukan nilai opsi barrier
tipe up-and-out call dengan dividen tunggal di Bursa Efek Indonesia.
1.3 Sistematika Penelitian
Penelitian ini adalah salah satu bentuk penelitian yang bersifat analisis
konten, di mana fokus utama dari penelitian ini adalah studi pustaka untuk
menganalisis suatu masalah nyata kemudian mencari solusinya melalui
pendekatan model dan metode matematika. Hasil dari penelitian ini dijadikan tesis
yang terdiri dari lima bab. Bab pertama yaitu pendahuluan membahas tentang
latar belakang, tujuan dan sistematika penelitian. Pada bab kedua dibahas
beberapa tinjauan literatur yang digunakan sebagai dasar dalam menentukan
model penentuan nilai opsi saham yang akan digunakan dalam menyelesaikan
masalah nyata. Pada bab ketiga dibahas mengenai situasi masalah nyata yang
dihadapi dan metode serta model yang diaplikasikan untuk memberikan hasil
terbaik. Selanjutnya bab keempat adalah simulasi untuk mendapatkan hasil secara
numerik serta analisis hasil yang diperoleh sebagai dasar untuk menarik
kesimpulan. Bab kelima memuat kesimpulan dari hasil analisis yang diperoleh
dan saran untuk perbaikan serta penelitian selanjutnya.
5
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Produk Finansial Derivatif
Produk finansial derivatif atau produk turunan merupakan efek turunan
dari efek utama, baik efek bersifat penyertaan (saham), maupun efek bersifat
utang (obligasi). Efek turunan dapat berarti turunan langsung dari efek utama
maupun turunan selanjutnya. Derivatif merupakan kontrak atau perjanjian yang
nilai atau peluang keuntungannya terkait dengan kinerja aset lain yang mendasari
atau disebut juga underlying assets (Safitra et al. 2011).
Dalam pengertian lebih khusus, derivatif merupakan kontrak finansial
antara dua atau lebih pihak-pihak guna memenuhi janji untuk membeli atau
menjual suatu aset atau komoditas yang dijadikan sebagai objek yang
diperdagangkan pada waktu dan harga yang merupakan kesepakatan bersama
antara pihak penjual dan pihak pembeli. Nilai pada masa mendatang dari objek
yang diperdagangkan tersebut (aset maupun komoditas) sangat dipengaruhi oleh
instrumen induknya yang ada di spot market.
Dua klasifikasi terbesar dari derivatif adalah derivatif berbasis forward
(forward-based
derivatives)
dan
derivatif
berbasis
opsi
(options-based
derivatives). Derivatif yang terdapat di bursa efek adalah derivatif keuangan
(financial derivatives). Variabel-variabel yang mendasarinya adalah instrumeninstrumen keuangan berupa saham, obligasi, indeks saham, indeks obligasi, mata
uang (currency), tingkat suku bunga, dan instrumen keuangan lainnya. Instrumen
derivatif sering digunakan para pelaku pasar (pemodal dan perusahaan efek)
sebagai sarana untuk melakukan lindung nilai (hedging) atas portofolio yang
mereka miliki.
Terkait dengan peningkatan modal dalam perseroan, dikenal sekurangkurangnya tiga jenis instrumen efek yang merupakan turunan dari saham. Ketiga
derivatif tersebut adalah rights, warrant (waran), dan opsi (Safitra et al. 2011).
6 2.2 Sejarah Opsi
Walaupun tidak diketahui secara pasti sejak kapan pertama kalinya
kontrak opsi diperdagangkan, namun diperkirakan para ahli matematika dan ahli
filosofi sejak zaman Romawi dan Yunani dulu telah menggunakan metode yang
sama seperti kontrak opsi. Para ahli matematika dan ahli filosofi tersebut, saat itu
yakin akan prospek buah zaitun (olive) ke depan akan sangat baik, sehingga
menggunakan opsi untuk mengantisipasi harga di kemudian hari. Saat musim
sepi, dimana permintaan akan olive tidak ada, mereka memperoleh hak dengan
harga sangat rendah dan kemudian menunggu permintaan sedang banyak sehingga
harga olive naik tinggi sekali, karena itu mereka yang mempunyai hak membeli di
harga perjanjian yang rendah tadi, menggunakan haknya guna mendapatkan hasil
berlipat ganda (Karnadjaja et al. 2007).
Di Belanda pada awal tahun 1660-an, perdagangan kontrak opsi untuk
bunga tulip mulai dikembangkan. Pada awalnya pedagang bunga tulip
menggunakan call option (hak beli) untuk memastikan harga yang layak untuk
memenuhi permintaan. Di saat yang bersamaan, para petani bunga tulip
menggunakan put option (hak jual) untuk memastikan harga jual yang memadai.
Tetapi perdagangan kontrak opsi di Belanda ini tidak bertahan lama, setelah para
spekulan mulai ikut-ikutan memperdagangkan kontrak opsi untuk mencari
keuntungan. Saat harga pasar sedang jatuh, banyak sekali spekulan-spekulan yang
tidak mampu memenuhi kewajiban mereka, sehingga membuat perekonomian
hancur pada saat itu. Tidaklah mengejutkan, dalam situasi atau pasar yang tidak
ada regulasi pada saat itu, para spekulan telah mencemari kepentingan pihakpihak yang benar-benar berkepentingan terhadap kontrak opsi tersebut, yaitu para
petani maupun para pedagang bunga tulip. Kejadian yang kurang lebih serupa
seperti di Belanda, terulang di Inggris kira-kira 100 tahun kemudian. Sejak itu
perdagangan kontrak opsi dianggap ilegal oleh pemerintah Inggris saat itu.
(Karnadjaja et al. 2007).
2.3 Awal Permulaan Opsi di Amerika
Di Amerika perdagangan kontrak opsi dimulai tidak lama setelah adanya
perdagangan saham. Di awal abad ke-19, kontrak opsi (call option & put option)
7
dikenal sebagai privileges (hak istimewa), tetapi tidak diperdagangkan di bursa.
Karena bermacam–macam perjanjian yang bisa dibuat maka saat itu hanya
tergantung kepada pihak pembeli maupun penjual yang bersepakat satu dengan
yang lainnya. Kemudian diikuti oleh perusahaan-perusahaan yang mulai
menawarkan dengan lebih spesifik melalui iklan-iklan di koran.
Tidak seperti apa yang terjadi di Belanda dan Inggris zaman dulu, kontrak
opsi di Amerika secara spesifik dirumuskan dengan penelitian-penelitian yang
serius dan cermat. Sekalipun telah diresmikan oleh Investment Act pada tahun
1934, didirikan badan khusus untuk mengawasi perdagangan dengan nama
Securities & Exchange Commission (SEC).
Pada awalnya, perkembangan kontrak opsi relatif lambat. Saat tahun 1968
jumlah kontrak yang diperdagangkan tidak lebih dari 300 ribu kontrak, karena
saat itu para investor melakukan perjanjian lewat telepon, sedangkan di satu sisi
mereka sulit mengetahui apa yang sedang terjadi di pasar pada saat itu serta
berbagai kendala lainnya.
Adalah Joseph W Sullivan, Wakil Presiden bagian perencanaan pada
Chicago Board of Trade (CBOT), yang pertama kali meneliti kemungkinankemungkinan untuk diversifikasi ke pasar opsi. Ia menghitung dari dua segi
kemungkinan yang adil bagi kedua belah pihak dalam berbagai situasi dan
keadaan pasar (market) yang bisa terjadi.
Kemudian disimpulkan bahwa ada dua unsur kunci yang hilang atau tidak
ada. Ia menyadari bahwa unsur-unsur yang memengaruhi harga opsi itu terdiri
dari banyak faktor tak tetap. Lalu dirumuskan standarisasi harga perjanjian
masing-masing kontrak (strike price), waktu kontrak opsi kadaluarsa (expiration
date), ukuran (size) yang sekarang umumnya dikenal 100 lembar saham untuk
tiap-tiap satu kontrak opsi di Amerika, dan unsur-unsur lainnya yang
bersangkutan. Yang paling penting adalah saat Sullivan merekomendasikan atau
memperkenalkan ciptaannya sebagai perantara resmi dari kontrak yang ada dan
menjamin penyelesaiannya (settlement), dimana saat ini dikenal sebagai Options
Clearing House.
Guna menggantikan dealer options yang dulunya hanya sebagai perantara
antara pembeli dan penjual, CBOT mendirikan Chicago Board Options Exchange
8 (CBOE) dan mulai memperdagangkan call option sebanyak 16 saham pada 26
April 1973. Pada hari pertama terjadi transaksi sebesar 911 kontrak dan kemudian
meroket menjadi 200.000 kontrak lebih di tahun berikutnya.
Kemudian bank-bank dan perusahaan-perusahaan asuransi memasukkan
options ke dalam portofolio mereka, membuat perkembangan options semakin
pesat, hingga pada akhir tahun 1974 saja, rata-rata jumlah kontrak opsi yang
diperdagangkan telah mencapai rata-rata 200.000 kontrak per hari (Karnadjaja et
al. 2007).
2.4 Pengertian Opsi
Opsi adalah suatu kontrak berupa hak (bukan kewajiban) bagi pembeli
kontrak opsi (taker) untuk membeli atau menjual suatu aset tertentu kepada
penjual kontrak opsi (writer) pada harga tertentu dan dalam jangka waktu yang
telah ditentukan di muka. Sebagai salah satu instrumen derivatif di pasar modal,
ada beberapa underlying assets atau aset yang dapat dijadikan dasar opsi tersebut,
yaitu saham, obligasi, mata uang dan juga komoditi (Safitra et al. 2011).
Opsi saham (stock option) adalah salah satu jenis kontrak opsi yang
menggunakan saham sebagai aset yang mendasari (underlying assets). Opsi
saham merupakan instrumen derivatif karena nilainya diturunkan dari nilai dan
karakteristik aset saham yng mendasarinya. Pemegang opsi tidak diwajibkan
untuk melaksanakan haknya atau akan melaksanakan haknya jika perubahan dari
harga underlying assetnya akan menghasilkan keuntungan baik dengan menjual
atau membeli underlying asset tersebut.
Kontrak Opsi Saham (KOS), adalah suatu produk efek yang memuat hak
beli (call option) atau hak jual (put option) atas saham induk (underying stock)
dalam jumlah, harga pelaksanaan (strike price or exercise price), dan waktu
(periode) tertentu. Strike price atau dikenal pula dengan istilah exercise price
adalah harga yang ditetapkan bursa efek untuk setiap seri KOS sebagai acuan
pelaksanaan.
Sebagaimana layaknya suatu saham, KOS adalah surat berharga yang juga
dapat diperjualbelikan, namun yang diperjualbelikan adalah hak beli dan hak jual.
Secara singkat opsi adalah kontrak yang memberikan hak (bukan kewajiban)
9
kepada pemiliknya untuk membeli (call option) atau menjual (put option)
sejumlah aset dengan dasar harga patokan tertentu sebelum atau saat kontrak jatuh
tempo (Safitra et al. 2011).
2.5 Jenis Opsi
Opsi terbagi menjadi beberapa jenis, tergantung pada sudut pandang yang
digunakan. Berdasarkan cara atau tempat opsi tersebut diperdagangkan, opsi
terbagi menjadi tiga golongan (Safitra et al. 2011), yaitu:
1. Opsi yang diperdagangkan di bursa (listed options)
2. Opsi
yang
diperdagangkan
antara
dua
pihak
dan
sering
kali
diperdagangkan di luar bursa (Over the Counter-OTC)
3. Opsi saham karyawan (employee stock option), yaitu opsi yang diterbitkan
perusahaan sebagai kompensasi atau bonus bagi para karyawan.
Listed options meliputi opsi saham, opsi komoditi, opsi obligasi, opsi
indeks saham, opsi kontrak berjangka. Sementara itu, opsi OTC meliputi opsi
suku bunga, opsi valuta asing, dan opsi swap (swap option). Berdasarkan metode
exercise-nya, opsi terbagi menjadi dua jenis yaitu opsi tipe Amerika dan opsi tipe
Eropa. Opsi tipe Amerika (American Options) memberikan kesempatan kepada
pemegang opsi untuk meng-exercise haknya setiap saat hingga waktu jatuh tempo.
Sedangkan opsi tipe Eropa (European Options) hanya memberikan kesempatan
kepada pemegang opsi untuk meng-exercise haknya pada saat waktu jatuh tempo.
2.5.1 Komponen Opsi
Komponen-komponen opsi terdiri dari (Karnadjaja et al. 2007):
•
Kontrak Resmi
Kontrak resmi adalah sebuah kontrak, dimana terdapat dua pihak yang
sepakat membuat suatu kontrak yang mempunyai sifat mengikat yang
tidak dapat dibatalkan secara sepihak.
•
Hak Opsi
Hak opsi (tanpa adanya kewajiban) adalah hak membeli yang disebut opsi
call dan hak menjual yang disebut opsi put.
10 •
Aset Dasar
Aset dasar atau underlying assets adalah aset yang mendasari apa yang
diperjualbelikan. Aset ini dapat berbentuk berbagai macam, bisa berupa
saham, EFT, index, futures, currencies, bonds, commodity dan lain-lain.
Dalam penelitian ini akan dibahas opsi dengan aset dasar (underlying
assets) berupa saham.
•
Harga Perjanjian
Harga perjanjian atau strike price adalah harga dimana aset yang
dimaksudkan dalam kontrak resmi tersebut diperjualbelikan.
•
Waktu Jatuh Tempo
Jangka waktu tertentu opsi atau expiration date adalah hari terakhir
dimana sebuah opsi dapat dieksekusi. Setiap opsi mempunyai jangka
waktu hidup atau masa berlaku, mulai dari 1 hari sampai dengan
maksimum 3 tahun.
2.5.2 Opsi Call
Opsi call adalah suatu kontrak dimana pembeli (taker call) kontrak opsi
saham (KOS) diberi hak oleh penjual (writer call) KOS untuk membeli saham
acuan dalam jumlah dan pada harga perjanjian (strike price) tertentu dan berlaku
pada periode waktu tertentu. Taker call berhak sepenuhnya untuk mengeksekusi
hak belinya atau tidak, sampai waktu jatuh tempo (Safitra et al. 2011).
Penjual call option (writer), wajib untuk menyerahkan atau menjual
underlying stock (saham acuan) dalam jumlah dan pada harga perjanjian (strike
price) dimaksud kepada pembeli call option (taker) karena telah menerima call
premium (call option price) dari pembeli call option tersebut.
2.5.3 Opsi Put
Opsi Put adalah suatu kontrak dimana pembeli (taker put) KOS diberi hak
oleh penjual (writer put) KOS untuk menjual saham acuan dalam jumlah dan
harga pelaksanaan (strike price) tertentu dan berlaku pada waktu tertentu. Taker
berhak sepenuhnya untuk mengeksekusi hak jualnya atau tidak, sampai dengan
waktu jatuh tempo (Safitra et al. 2011).
11
Penjual put option (writer put), wajib untuk membeli saham acuan
(underying stock) dalam jumlah dan harga pelaksanaan (strike price) dimaksud
kepada pembeli (taker put) karena telah menerima put premium (put option price)
dari pembeli put option tersebut.
2.6 Perdagangan Kontrak Opsi Saham di BEI
Bursa Efek Jakarta, saat ini bernama Bursa Efek Indonesia yang
merupakan hasil penggabungan dengan Bursa Efek Surabaya, secara resmi
meluncurkan KOS pada Oktober 2004. Perdagangan kontrak opsi saham
dilakukan di Bursa Efek Indonesia melalui Jakarta Options Trading System
(JOTS),
yang
dilaksanakan
berdasarkan
proses
tawar-menawar
secara
berkesinambungan (continuous auction market) oleh perusahaan anggota bursa di
pasar reguler KOS. Kontrak opsi saham di BEI memiliki spesifikasi bisnis tertentu
yang dapat dilihat pada Tabel 1 berikut (http://www.jsx.co.id).
Tabel 1 Spesifikasi bisnis kontrak opsi saham di BEI
Tipe KOS
Satuan perdagangan
Masa berlaku
Pelaksanaan hak (exercise)
Penyelesaian pelaksanaan hak
Margin awal
WMA
(weighted moving average)
Strike price
Automatic exercise
Jam perdagangan KOS
Jam pelaksanaan hak
Call Option dan Put Option
1 kontrak = 10.000 opsi saham
1, 2 dan 3 bulan
Tipe Amerika
Secara tunai pada T+1, (T = hari bursa) dengan
pedoman: Call option = WMA – Strike price
Put option = Strike price – WMA
Rp.3.000.000 per kontrak
adalah rata – rata tertimbang dari saham acuan opsi
selama 30 menit dan akan muncul setelah 15 menit
berikutnya
adalah harga tebus (exercise price) untuk setiap seri
KOS yang ditetapkan 7 seri untuk call option dan 7
seri untuk put option berdasarkan closing price saham
acuan opsi saham
diberlakukan apabila:
Call option jika WMA ≥ 110% dari strike price
Put option jika WMA ≤ 90% dari strike price
Senin – Kamis : 09.30 – 12.00 WIB
13.30 – 16.00 WIB
Jumat : 09.30 – 11.30 dan 14.00 – 16.00 WIB
Senin – Kamis : 10.01 – 12.15 WIB
13.45 – 16.15 WIB
Jumat : 10.01 – 11.45 dan 14.15 – 16.15 WIB
Tabel 1 bersumber dari website resmi Bursa Efek Indonesia. Otoritas Bursa Efek
Indonesia mengatur dan mengontrol perdagangan opsi saham di bursa sehingga
perdagangan opsi saham dapat berjalan dengan baik. Secara mendasar kontrak
12 opsi saham di Bursa Efek Indonesia memiliki spesifikasi bisnis yang berbeda
dengan yang berlaku di bursa beberapa negara lain. Untuk lebih jelasnya dapat
dilihat pada Tabel 2 berikut.
Tabel 2 Spesifikasi bisnis perdagangan opsi di beberapa bursa
BURSA
Faktor
CBEO
AMEX
Underlying
Saham biasa
dan ADRs
Saham biasa
dan ADRs
Unit of
Trading
Satu satuan
kontrak = 100
saham/ADRs
Satu satuan
kontrak = 100
saham
Contract
Month
Exercise
style
Exercise
price
interval
American
style
2.5 poin
untuk strike
price antara
$5 s/d $25.
5 poin untuk
strike price
antara $25 s/d
$200.
10 poin untuk
strike price di
atas $200.
American
style
2.5 poin
untuk strike
price
dibawah $25.
5 poin untuk
strike price
antara $25 s/d
$200.
10 poin untuk
strike price di
atas $200.
Position
Limit
Frekuensi
perdagangan
terbesar,
posisi batas
kontrak
75.000
kontrak,
kemudian
berturut-turut
lebih kecil
yaitu 60.000,
31.500,
22.500 dan
13.500
kontrak
T+3
Frekuensi
perdagangan
terbesar,
posisi
batas kontrak
75.000
kontrak,
kemudian
berturut-turut
lebih kecil
yaitu 60.000,
31.500,
22.500 dan
13.500
kontrak
T+3
Settlement
of Exercise
LIFFE
HKEx
KSE
LIFFE Equity
Option
mewakili
87 perusahaan
Satu satuan
kontrak = 1000
saham
January Cycle,
February Cycle,
March Cycle
Saham yang
likuid
KOSPI 200
Option dan
Single
Stock Option
Satu kontrak
= 100 saham
Dasar
Kontrak akan
diselesaikan
pada 2 bulan
diantara
March, Jun,
Sept dan Dec
European
style
Pencantuman
harga tidak
melebihi 15%
dari harga
pada hari
sebelumnya
dari
underlying
asset
European style
Satu lot
saham dasar
Spot 2 bulan
kalender
berikutnya
American
style
0.5 pence/share
0.25 pence/
share
(untuk equity
option tertentu)
Net Limit
untuk tier 1 :
10.000,
untuk tier 2 :
30.000
T+4
T+2
T + 1 untuk
KOSPI 2000
T + 3 untuk
Single Stock
Option
13
Tabel 2 bersumber dari hasil riset Badan Pengawas Pasar Modal (BAPEPAM)
pada tahun 2003 yang dituangkan di dalam Studi Perdagangan Opsi di Pasar
Modal Indonesia. Pada lajur baris diberikan bursa di beberapa negara antara lain:
Chicago Board Option Exchange (CBOE), American Stock Exchange (AMEX),
The London International Financial Futures and Option Exchange (LIFFE),
Hongkong Exchange and Clearing Limited (HKEx) dan The Korea Stock
Exchange (KSE). Sedangkan pada lajur kolom adalah spesifikasi bisnis opsi dari
masing-masing bursa di beberapa negara tersebut.
Dari Tabel 1 dan Tabel 2, dapat dilihat perbedaan mendasar dari masing–
masing spesifikasi bisnis perdagangan opsi di beberapa negara. Sehingga dalam
penentuan nilai kontrak opsi saham di Bursa Efek Indonesia tidak dapat
disamakan dengan cara penentuan nilai opsi saham yang berlaku di negara lain.
2.6.1 Persyaratan Suatu Saham Memiliki Opsi Saham
Tidak semua saham menawarkan opsi saham (stock option). Saham yang
mempunyai opsi saham sebagai turunannya yang kemudian diperdagangkan di
bursa dikenal sebagai optionable stocks. Suatu perusahaan harus memenuhi
kriteria tertentu sebelum opsi saham sebagai derivatif instrumen saham yang
mereka miliki dapat diperdagangkan di bursa. Berikut ini kriteria atau persyaratan
yang umumnya dibutuhkan oleh bursa (Safitra et al. 2011):
1. Harga penutupan harus mempunyai nilai minimum tiap harga saham
untuk sebagian besar dari hari-hari perdagangan selama tiga bulan
penanggalan yang utama.
2. Perusahaan itu harus mempunyai ≥ 2.000 pemegang saham.
3. Perusahaan itu harus mempunyai ≥ 7 juta saham yang diadakan secara
umum.
4. Saham harus terdaftar di bursa NYSE, AMEX atau Nasdaq (US Market).
Hal-hal di atas hanyalah persyaratan yang umumnya dibutuhkan oleh
semua bursa. Kriteria pendataan yang khusus berubah dari waktu ke waktu dan
dari bursa ke bursa. Beberapa bursa bahkan membutuhkan pemeriksaan kualitas
pada jenis dari perusahaan dan potensialnya sebelum mengijinkan opsi saham
mereka diperdagangkan secara umum.
14 Berdasarkan Keputusan Direksi PT. Bursa Efek Jakarta Nomor: Kep310/BEJ/09-2004 tentang Peraturan Nomor II-D Tentang Perdagangan Opsi
Saham, syarat underlying saham dapat memiliki instrumen derivatif opsi saham,
adalah:
1
Saham tersebut telah tercatat di Bursa sekurang-kurangnya 12 (dua belas)
bulan.
2
Transaksi atas saham tersebut dalam 12 (dua belas) bulan terakhir
menunjukkan:
•
Frekuensi transaksi sekurang-kurangnya 2.000 (dua ribu) setiap
bulannya.
•
Rata-rata volatilitas harga harian (intraday volatility) sekurangkurangnya sebesar 0,5% (nol koma lima persen) per hari.
3
Harga saham sekurang-kurangnya Rp.500,- (lima ratus rupiah).
4
Saham tersebut memenuhi kapitalisasi pasar (Market Capitalization)
sekurang-kurangnya Rp.500.000.000.000,- (lima ratus miliar rupiah).
Namun dengan pertimbangan tertentu, bursa berwenang memilih dan
menetapkan saham perusahaan tercatat yang memenuhi persyaratan untuk
menjadi underlying saham.
2.6.2 Rekapitulasi Perdagangan Opsi Call di BEI
Perkembangan perdagangan kontrak opsi saham sejak diluncurkan sampai
sekarang mengalami perkembangan yang tidak stabil bahkan menurun
dikarenakan beberapa kendala yang sedang diperbaiki. Adapun rekapitulasi
perkembangan perdagangan opsi call kontrak opsi saham di Bursa Efek Indonesia
mulai dari tahun 2004 – 2008 diberikan pada Tabel 3 berikut.
Tabel 3 Rekapitulasi perdagangan opsi call kontrak opsi saham di BEI
Tahun
Hari Perdagangan
2004
56
2005
243
242
2006*
2007
246
2008
240
* Tidak ada transaksi
Kontrak yang Dibuat
Nilai Kontrak
Frekuensi
150
149
281
87
236.500.000
101.840.000
1.363.060.000
495.800.000
104
131
163
84
15
Tabel 3 diambil dari majalah IDX Monthly Statistics, Desember 2009 mengenai
Stock Option Activities terbitan Bursa Efek Indonesia. Pada tahun 2009 – 2012
perdagangan KOS mengalami penurunan, tetapi seiring dengan perkebangan
Bursa Efek Indonesia, maka pada tahun 2012 ini perdagangan KOS sedang
direvitalisasi oleh otoritas Bursa Efek Indonesia sebelum diluncurkan kembali.
2.6.3 Pedoman Pengkodean Kontrak Opsi Saham
Dalam mengeluarkan produk kontrak opsi saham ada pedoman untuk
pengkodean dan pemberian nomor seri dari KOS yang dikeluarkan oleh otoritas
Bursa Efek Indonesia. Sebagai contoh untuk nomor seri KOS CINDF2275, C
(digit ke 1) menyatakan call option yang akhir masa berlakunya pada hari bursa
terakhir bulan Maret, INDF (digit ke 2 s.d 5) menyatakan kode saham induk PT
Indofood Sukses Makmur Tbk, sedangkan angka 2275 (digit ke 6 s.d 10)
merupakan strike price. Pedoman untuk membuat kode dan seri dari KOS diambil
dari surat edaran BEI, Nomor: SE-010/BEJ/10-2004 sebagai berikut.
•
Untuk setiap Seri KOS yang diperdagangkan di Bursa Efek Indonesia
disiapkan kode efek yang merupakan gabungan dari huruf capital dan
angka sebanyak 10 (sepuluh) digit, perhatikan contoh dibawah ini:
1
M
•
2
N
3
N
4
N
5
N
6
9
7
9
8
9
9
9
Digit kesatu dengan huruf besar menyatakan tipe opsi saham (call option)
dan akhir masa berlaku dari setiap seri KOS.
M
10
9
Huruf besar A s/d L menyatakan Call Option dan
akhir masa berlaku KOS, sebagai berikut:
A = Hari Bursa terakhir bulan Januari;
B = Hari Bursa terakhir bulan Februari;
C = Hari Bursa terakhir bulan Maret;
D = Hari Bursa terakhir bulan April;
E = Hari Bursa terakhir bulan Mei;
F = Hari Bursa terakhir bulan Juni;
G = Hari Bursa terakhir bulan Juli;
H = Hari Bursa terakhir bulan Agustus;
I = Hari Bursa terakhir bulan September;
J = Hari Bursa terakhir bulan Oktober;
K = Bulan November & L = Bulan Desember
16 •
Digit kedua sampai dengan digit kelima menyatakan kode efek
perusahaam tercatat yang merupakan saham induk (underlying stock) opsi
saham, yang sama dengan kode saham dalam perdagangan ekuitas saat ini.
NNNN
•
4 (empat) huruf capital, yang menyatakan Kode Efek dari Saham Induk
(Underlying Stock)
Digit keenam sampai dengan digit kesepuluh merupakan Strike Price dari
seri KOS yang bersangkutan.
99999
5 (lima) angka tanpa menggunakan separator, yang menyatakan Strike Price
2.6.4 Penetapan Seri Kontrak Opsi Saham
Dalam perdagangan KOS, otoritas Bursa Efek Indonesia mengeluarkan
pengumuman berupa surat edaran penetapan seri KOS. Untuk satu underlying
stock dikeluarkan sebanyak tujuh seri kontrak opsi saham. Sebagai contoh untuk
perdagangan KOS pada 2 Januari 2008 – 31 Maret 2008 sebagai berikut.
Tabel 4 Penetapan seri opsi call kontrak opsi saham INDF
No
Seri
Kode Underlying Stock
Strike
Barrier
Price
(batas WMA)
Jatuh Tempo
1
CINDF2275
INDF
2.275
2.502.50
31 Maret 2008
2
CINDF2375
INDF
2.375
2.612.50
31 Maret 2008
3
CINDF2475
INDF
2.475
2.722.50
31 Maret 2008
4
CINDF2575
INDF
2.575
2.832.50
31 Maret 2008
5
CINDF2675
INDF
2.675
2.942.50
31 Maret 2008
6
CINDF2775
INDF
2.775
3.052.50
31 Maret 2008
7
CINDF2875
INDF
2.875
3.162.50
31 Maret 2008
Tabel 4 dapat diakses pada http://www.jsx.co.id. Dasar penetapan strike price seri
KOS untuk perdagangan tanggal tersebut di atas, mengacu pada closing price dari
underlying stock pada tanggal 28 Desember 2007. Sehingga interval strike price
bergantung pada besarnya harga closing price. Berikut disajikan Tabel 5 patokan
penentuan interval strike price kontrak opsi saham (Kep-310/BEJ/09-2004).
17
Tabel 5 Interval strike price
Closing Price (Rupiah)
Interval Strike Price
501 – 1.000
50
1.001 – 5.000
100
5.001 – 10.000
200
>10.000
500
2.6.5 Harga Saham dengan Weighted Moving Average
Harga kontrak opsi saham bergantung pada pergerakan harga saham
dengan weighted moving average (WMA). Setiap 15 menit, WMA dari harga
suatu saham akan muncul dan dipublikasikan 30 menit kemudian. Misalkan
diberikan contoh seperti Tabel 6 yang diambil dari data harian IDX Bursa Efek
Indonesia periode Mei – Juni 2011 mengenai perdagangan derivatif pada waktu
tertentu.
Tabel 6 Pergerakan harga saham dengan WMA
No.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Waktu
10.00.01
10.15.01
10.30.01
10.45.01
11.00.01
11.15.01
11.30.01
11.45.01
12.00.01
13.45.01
14.00.01
14.15.01
14.30.01
14.45.01
15.00.01
15.15.01
15.30.01
15.45.01
16.00.01
Weighted Moving Average Harga Saham
ASII
BBCA
INDF
TLKM
56.514.31
7.450.72
5.579.64
7.706.16
56.509.43
7.453.24
5.552.45
7.706.24
56.540.00
7.451.70
5.556.40
7.652.53
56.628.29
7.450.00
5.556.78
7.650.00
56.642.63
7.450.00
5.554.05
7.657.69
56.612.50
7.450.48
5.557.04
7.709.02
56.658.64
7.450.98
5.588.93
7.708.95
56.662.38
7.452.00
5.590.00
7.700.14
56.653.02
7.451.41
5.598.21
7.700.16
56.617.29
7.450.00
5.574.24
7.700.38
56.614.29
7.450.00
5.550.92
7.700.11
56.646.51
7.450.00
5.550.10
7.700.00
56.650.23
7.450.00
5.549.13
7.700.00
56.638.35
7.404.10
5.549.27
7.689.64
56.623.15
7.403.62
5.550.60
7.686.73
56.609.30
7.418.81
5.550.00
7.676.54
56.607.77
7.443.93
5.550.08
7.698.67
56.602.56
7.451.51
5.550.41
7.700.31
56.643.96
7.490.24
5.569.23
7.748.02
Tabel 6 pergerakan harga saham dengan WMA dihitung dengan
menggunakan formula di bawah ini:
18 ∑
) =
∑
t =10.00
P(10.01−10.15
P Qt
t =9.30 t
t =10.00
t =9.30
,
(2.1)
Qt
dengan Pt adalah harga saham pada waktu t dan Q t besarnya volume transaksi.
2.6.6 Penetapan Suku Bunga
Dalam perhitungan nilai opsi dengan menggunakan nilai r yaitu nilai suku
bunga bebas resiko, maka untuk perhitungan nilai kontrak opsi saham digunakan
suku bunga acuan yang dikeluarkan oleh Bank Indonesia atau yang lebih dikenal
dengan BI rate. BI rate adalah suku bunga kebijakan yang mencerminkan sikap
kebijakan moneter yang ditetapkan oleh Bank Indonesia dan diumumkan kepada
publik. Berikut data Tabel BI rate periode tahun 2007 yang diambil dari website
resmi Bank Indonesia.
Bulan
BI rate
Jan 07
9.50%
Feb 07
9.25%
Mar 07
9.00%
Apr 07
9.00%
…
…
Okt 07
8.25%
Nov 07
8.25%
Des 07
8.00%
2.6.7 Perhitungan Volatilitas Kontrak Opsi Saham
Otoritas BEI juga mengeluarkan pengumuman beberapa tahapan
perhitungan untuk memperoleh rata-rata volatilitas harga harian untuk setiap
saham dalam periode satu tahun (Kep-310/BEJ/09-2004).
(1) Hitung rata-rata harga setiap hari (average intraday stock price). Andaikan
transaksi saham Q terjadi sebanyak n kali (frekuensi) pada hari bursa pertama
dalam satu tahun kalender. Ini menunjukkan bahwa ada sebanyak n buah harga
saham Q pada hari bursa pertama perdagangan saham, yaitu hQif , untuk f =
1,2,3,…n. Dengan demikian, harga rata-rata saham Q pada hari pertama bursa,
yaitu
n
−
hQi =
∑h
Qif
f =1
n
(2.2)
Banyaknya bilangan rata-rata harga harian dalam satu tahun kalender adalah
sebanyak hari bursa, dengan asumsi bahwa setiap hari bursa selalu ada transaksi.
19
(2). Hitung standar deviasi harga setiap hari (intraday standard deviation of stock
price), dengan rumus yaitu
−
⎛
⎞
⎜ hQif − hQi ⎟
∑
⎠
f =1 ⎝
n
n
σ Qi =
2
(2.3)
Banyaknya angka standar deviasi harga harian dalam satu tahun kalender adalah
sebanyak hari bursa, dengan asumsi setiap hari bursa selalu ada transaksi.
(3). Hitung rata-rata harga saham Q dalam periode satu tahun kalender. Andaikan
z adalah banyaknya hari bursa dalam satu tahun, maka rumus untuk memperoleh
harga rata-rata saham Q dalam satu tahun yaitu
z
−
hQ =
∑h
Qj
j =1
(2.4)
z
(4). Hitung rata-rata standar deviasi harga saham Q dalam periode satu tahun
kalender. Andaikan z adalah banyaknya hari bursa dalam satu tahun, maka rumus
untuk memperoleh rata-rata standar deviasi harga saham Q dalam satu tahun yaitu
z
−
σ =
∑σ
j =1
Qj
z
(2.5)
(5). Hitung persentase rata-rata volatilitas harga harian saham Q dalam satu tahun
yaitu
⎡ − ⎤
σQ
Volatilitas(%) = ⎢ − ⎥ x100%
⎢ ⎥
⎢⎣ hQ ⎥⎦
(2.6)
Rumus (2.2) s/d (2.6) di atas digunakan sebagai metode dalam menghitung
volatilitas harga harian dalam kurun waktu satu tahun untuk setiap saham dan
dapat dihitung bila tersedia data transaksi setiap saham setiap hari bursa dan
dalam kurun waktu satu tahun. Dikarenakan data transaksi harian pertahun sulit
untuk diperoleh maka beberapa peneliti menyarankan untuk menggunakan
perumusan perhitungan historical volatility (Hull 2006).
1. Diambil harga saham penutupan sepanjang tahun tertentu.
20 ⎛ S ⎞
2. Hitung nilai U i = ln ⎜⎜ i ⎟⎟ , dimana Si adalah harga saham pada waktu ti.
⎝ S i −1 ⎠
−
3. Hitung penjumlahan U i dan rata-rata U
−
⎛
⎞
4. Hitung ⎜U i − U ⎟
⎝
⎠
2
−
⎛
⎞
⎜U i − U ⎟
∑
⎠
i =1 ⎝
n −1
n
5. Hitung rumus S =
2
6. Hitung σ = S n − 1 , akhirnya didapat taksiran volatilitasnya.
2.6.8 Dividen
Dividen adalah pembagian laba kepada pemegang saham berdasarkan
banyaknya saham yang dimiliki. Pembagian ini akan mengurangi laba ditahan dan
kas yang tersedia bagi perusahaan, tetapi distribusi keuntungan kepada para
pemilik saham adalah tujuan utama suatu bisnis. Dividen dapat dibagi menjadi
empat jenis yaitu (http://id.wikipedia.org/wiki/Dividen):
1. Dividen tunai, metode paling umum untuk pembagian keuntungan.
Dibayarkan dalam bentuk tunai dan dikenai pajak pada tahun
pengeluarannya.
2. Dividen saham, cukup umum dilakukan dan dibayarkan dalam bentuk
saham tambahan, biasanya dihitung berdasarkan proporsi terhadap jumlah
saham yang dimiliki. Metode ini mirip dengan stock split karena dilakukan
dengan cara menambah jumlah saham sambil mengurangi nilai tiap saham
sehingga tidak mengubah kapitalisasi pasar.
3. Dividen properti, dibayarkan dalam bentuk aset. Pembagian dividen
dengan cara ini jarang dilakukan.
4. Dividen interim, dibagikan sebelum tahun buku perseroan berakhir.
Setiap pemegang saham akan mendapatkan pembagian dividen dan
besarnya sudah ditentukan di awal tahun. Sebagai contoh diberikan Tabel 7 yang
merekapitulasi waktu dan besar pembagian dividen saham dari PT. Indofood
21
Sukses Makmur TBK periode tahun 2005 – 2007 yang diperoleh dari company
report Indofood Sukses Makmur Tbk (INDF), Januari 2012.
Tabel 7 Pengumuman dividen saham INDF
Tahun
2005
2006
2007
Besar
Dividen
5.00
31.00
43.00
Batas Waktu
Penggunaan
20 Juli 06
27 Juli 07
12 Aug 08
Batas Waktu
Dividen
21 Juli 06
30 Juli 07
13 Aug 08
Waktu
Pencatatan
25 juli 06
01 Aug 07
15 Aug 08
Waktu
Pembayaran
08 Aug 06
15 Aug 07
27 Aug 08
2.6.9 Premi Opsi Saham
Faktor-faktor yang mempengaruhi harga premi opsi saham adalah harga
saham itu sendiri, nilai intrinsik dan nilai waktu, waktu jatuh tempo, volatilitas,
suku bunga dan dividen. Semakin tinggi harga saham, semakin mahal harga premi
opsi saham. Premi suatu opsi terdiri dari nilai intrinsik dan nilai waktu. Nilai
intrinsik adalah nilai real yang sudah terkandung di dalam premi suatu opsi yang
merupakan selisih antara harga saham dengan harga strike price. Nilai intrinsik
untuk opsi call adalah harga saham dikurangi harga strike price, jika selisihnya
negatif maka nilai intrinsik dianggap nol (Karnadjaja et al. 2007).
Suatu opsi call disebut in the money (ITM) jika posisi harga saham lebih
besar dari harga strike price. Suatu opsi call dengan harga strike price sama
dengan harga sahamnya disebut at the money (ATM). Sedangkan out the money
(OTM) suatu opsi call jika harga strike price lebih besar dari harga saham.
Semakin ITM suatu opsi call maka preminya akan semakin mahal, sedangkan
semakin OTM suatu opsi call maka preminya akan semakin murah.
Nilai waktu dikenal juga dengan nilai ekstrinsik. Nilai waktu akan
semakin berkurang setiap harinya dan pada saat waktu jatuh tempo nilai waktu
akan menjadi nol, yang biasanya disebut dengan time decay. Dengan kata lain,
nilai waktu sebuah opsi berhubungan langsung dengan berapa sisa waktu yang
dimiliki sebuah opsi sebelum waktu jatuh tempo. Nilai waktu suatu opsi
dipengaruhi oleh sisa waktu hidup opsi sampai waktu jatuh tempo, volatilitas,
likuiditas, interest rate dan market sentiment. Volatilitas adalah ukuran yang
menyatakan seberapa besar kemungkinan harga saham dapat bergerak naik atau
22 turun dalam suatu periode tertentu. Volatilitas sangat berpengaruh pada nilai
waktu sebuah opsi yang pada akhirnya memengaruhi nilai premi opsi tersebut.
Likuiditas adalah ukuran dari seberapa mudah suatu aset dikonversikan menjadi
uang tunai tanpa mengalami penuruan nilai yang berarti. Peningkatan suku bunga
akan mendorong premi opsi call naik. Sedangkan dividen akan mengurangi nilai
dari premi opsi call. Market sentiment tercermin dari supply dan demand.
Semakin tinggi demand maka nilai premi opsi call semakin meningkat
(Karnadjaja et al. 2007).
2.7 Penentuan Nilai Opsi Dengan Model Black–Scholes
2.7.1 Sejarah Model Black-Scholes
Model Black-Scholes penentuan nilai opsi saham diperkenalkan pertama
kali pada tahun 1970-an dan merupakan hasil penelitian dari Fischer Black,
Myron Scholes dan Robert Merton di Massachusetts Institute of Technology
Boston. Black setelah memperoleh gelar sarjana dalam bidang Fisika, mulai
meneliti untuk menentukan nilai dari warrant dengan menggunakan Capital Asset
Pricing Model (CAPM) dalam mengevaluasi suatu portofolio yang terdiri dari
saham dasar (underlying stock) dan warrant suatu saham. Scholes meneliti
penentuan nilai opsi pada akhir 1960-an di Sloan School of Managemenet (MIT).
Setelah bertemu Black keduanya mulai bekerjasama dalam penelitian. Robert
Merton seorang ahli matematika terapan yang baru lulus, bergabung dengan MIT
sebagai asisten peneliti untuk Paul Samuelson pada fakultas ekonomi. Samuelson,
mengarahkan Merton untuk mendalami teori dari penentuan nilai warrant dengan
mengembangkan intertemporal CAPM menggunakan continuous time finance,
yang menggunakan Lemma Ito. Merton, Black and Scholes saling bertukar
pikiran selama beberapa tahun
di MIT. Langkah sukses mereka mulai
digambarkan sebagai random walk with positif drift.
Pada tahun 1970, Black dan Scholes menyelesaikan hasil penelitian
mereka dalam menentukan nilai opsi. Selanjutnya mereka menambahkan saran
Merton untuk mengkombinasikan opsi dengan underlying assets yang
menghasilkan penerimaan portofolio yang bebas resiko. Black-Scholes paper
23
diterima oleh Journal of Political Economy (JPE) dan dipublikasikan pada Juni
1973 dengan judul The Pricing of Options and Corporate Liabilities. Merton yang
juga bekerjasama dengan Black dan Scholes menghasilkan paper tentang
penentuan nilai opsi pada Bell Journal of spring 1973. Scholes and Merton
menerima hadiah Nobel untuk hasil karya mereka, tetapi Fischer Black meninggal
sebelum hadiah Nobel itu diberikan. Akhirnya Chicago Board Options Exchange
(CBOE) mulai memperdagangkan opsi pada tahun 1973 dan model Black-Scholes
langsung dipergunakan oleh trader yang terlibat sebagai pelaku pasar dalam
perdagangan opsi (Cuthbertson et al. 2001).
2.7.2 Latar Belakang Penurunan Model Black-Scholes
Beberapa konsep dasar yang diperlukan untuk penurunan model BlackScholes akan dijelaskan berikut ini.
Definisi 2.1 (Proses Stokastik) (Ross 1996)
Proses stokastik X = {X (t ), t ∈ T } adalah suatu himpunan dari peubah acak yang
memetakan suatu ruang contoh (sample space) Ω ke suatu ruang state (state
space) S.
Definisi 2.2 (Independen) (Ross 1996)
Suatu proses stokastik
{X (t ), t ≥ 0}
bersifat independen apabila ∀r < s < t ,
distribusi dari X (s ) − X (r ) dan X (t ) − X (s ) saling bebas.
Definisi 2.3 (Stasioner) (Ross 1996)
Suatu proses stokastik
{X (t ), t ≥ 0}
bersifat stasioner apabila distribusi dari
X (t + s ) − X (t ) tidak bergantung pada t.
Definisi 2.4 (Gerak Brown) (Ross 1996)
Proses stokastik X = {X (t ), t ∈ T } disebut gerak Brown jika:
1. X (0 ) = 0
24 2. Untuk 0 < t1 < t 2 < ... < t n = T , peubah acak X (t i ) − X (t i −1 ), i = 1, 2,..., n
saling bebas
3. Untuk setiap t > 0, X (t ) berdistribusi normal dengan rataan 0 dan varian
σ 2 t.
Definisi 2.5 (Gerak Brown Geometris) (Ross 1996)
Jika {X (t ), t > 0} adalah gerak Brown, maka proses stokastik {Z (t ), t ≥ 0}
yang didefinisikan Z (t ) = e X (t ) disebut gerak Brown Geometris.
Definisi 2.6 (Proses Wiener) (Niwiga 2005)
Proses Wiener adalah gerak Brown dengan rataan 0 dan varian 1.
Definisi 2.7 (Proses Wiener Umum) (Hull 2006)
Proses Wiener umum untuk suatu peubah acak X dapat dinyatakan sebagai berikut
dX(t) = a dt + b dW(t)
(2.7)
a dt disebut sebagai komponen deterministik dan b dW(t) disebut komponen
stokastik, serta W (t ) adalah proses Wiener, sedangkan a dan b masing-masing
menyatakan drift rate dan variance rate dari X.
Definisi 2.8 (Proses Ito) (Hull 2006)
Proses Ito adalah proses Wiener umum di mana a dan b menyatakan suatu fungsi
dari peubah acak X dan waktu t. Proses Ito dapat dinyatakan sebagai berikut.
dX (t ) = a ( X (t ), t )dt + b ( X (t ), t )dW (t )
(2.8)
Lemma 2.9 (Lemma Ito) (Hull 2006)
Misalkan proses X (t ) memenuhi persamaan (2.2) dan fungsi Y (t ) = f ( X (t ), t )
adalah kontinu serta turunan-turunan f t ( X (t ), t ) , f x ( X (t ), t ) , f xx ( X (t ), t ) kontinu,
maka Y (t ) = f ( X (t ), t ) memenuhi persamaan berikut.
dY (t ) = f 1 ( X (t ), t )dt + f x ( X (t ), t )dX (t ) +
1
2
f xx ( X (t ), t )(dX (t ))
2
(2.9)
25
dengan f t =
∂f
∂f
∂2 f
, fx =
, f xx =
∂t
∂X
∂X 2
dan (dt )2 = dW (t )dt = dtdW (t ) = 0 , (dW (t ))2 = dt .
Dari penjelasan konsep dasar di atas, Fischer Black dan Myron Scholes
selanjutnya memberikan beberapa asumsi dalam membangun model matematika
Black-Scholes yaitu:
1. Harga aset yang mendasari mengikuti proses Wiener yang mempunyai
fungsi kepekatan peluang lognormal.
2. Tidak ada biaya transaksi dan pajak.
3. Tidak ada pembayaran dividen selama opsi berlaku.
4. Tidak ada kemungkinan melakukan arbitrage.
5. Perdagangan dari aset yang mendasari bersifat kontinu.
6. Short selling diijinkan.
7. Suku bunga bebas resiko adalah konstan dan sama untuk semua waktu
jatuh tempo.
Ketujuh kondisi di atas merupakan syarat agar model Black-Scholes dapat
berfungsi dengan baik.
2.7.3 Model Pergerakan Harga Saham
Model Black-Scholes dalam penentuan nilai opsi merupakan suatu model
pendekatan analitik. Misalkan diketahui S (t ) adalah harga saham pada waktu t,
μ adalah parameter konstan yang menyatakan tingkat rata-rata pertumbuhan
harga saham dan σ volatilitas harga saham, maka pergerakan harga saham
diasumsikan mengikuti gerak Brown geometri sehingga perubahan harga saham S
terhadap waktu t dapat dimodelkan sebagai berikut (Hull 2006)
dS (t ) = μS (t )dt + σS (t )dW (t )
(2.10)
Penurunan persamaan diferensial parsial Black-Scholes mengikuti
serangkaian proses. Diketahui X (t ) mengikuti proses Wiener umum, ditunjukkan
oleh persamaan (2.7). Persamaan (2.7) dikembangkan menjadi persamaan (2.8).
Dari kedua persamaan tersebut dapat ditentukan model dari pergerakan harga
saham, diasumsikan tidak ada pembagian dividen pada saham tersebut dan S (t )
26 adalah harga saham pada waktu t. Maka berdasarkan proses Ito, perubahan S (t )
akan mempunyai nilai harapan drift rate μS . Parameter μ menyatakan tingkat
rata-rata pergerakan harga saham dan μS (t )dt disebut komponen deterministik.
Dikarenakan harga saham dipengaruhi oleh faktor ketidakpastian maka komponen
stokastiknya adalah σS (t )dW (t ) , dengan σ menyatakan volatilitas harga saham.
Dengan demikian model pergerakan harga saham adalah berbentuk persamaan
(2.10).
Dari persamaan (2.10), dapat digunakan Lema Ito untuk suatu fungsi
V (t , S ) , yaitu nilai opsi dengan harga saham S pada waktu t, maka diperoleh
⎛ ∂V ∂V 1 2 2 ∂ 2V
+
+ σ S
dV = ⎜⎜ μS
∂S ∂t 2
∂S 2
⎝
⎞
∂V
⎟⎟dt + σS
dW (t )
∂S
⎠
(2.11)
Untuk menghilangkan pengaruh proses Wiener dibuat suatu portofolio
yang diinvestasikan pada saham dan derivatif. Strategi yang diambil adalah
membeli suatu opsi dan menjual
∂V
saham. Misalkan
∂S
π adalah nilai hasil dari
portofolio yang didefinisikan
π =V −
∂V
S.
∂S
(2.12)
Perubahan yang terjadi pada portofolio di selang waktu dt didefinisikan sebagai
dπ = dV −
∂V
dS
∂S
(2.13)
Dengan menyubstitusikan persamaan (2.10) dan (2.11) ke dalam (2.13) maka
dihasilkan persamaan
⎛ ∂V 1 2 2 ∂ 2V ⎞
⎟dt.
+ σ S
dπ = ⎜⎜
∂S 2 ⎟⎠
⎝ ∂t 2
(2.14)
(proses penurunan formula (2.14) lihat lampiran 1).
Return dari investasi sebesar π pada saham bebas risiko akan memiliki
pertumbuhan sebesar rπdt dalam selang waktu dt . Agar tidak memiliki peluang
melakukan arbitras, nilai pertumbuhan dibuat sama dengan ruas kanan dari
persamaan (2.14) yaitu
⎛ ∂V 1 2 2 ∂ 2V
+ σ S
rπdt = ⎜⎜
∂S 2
⎝ ∂t 2
⎞
⎟⎟dt.
⎠
(2.15)
27
Selanjutnya substitusikan persamaan (2.12) ke dalam persamaan (2.15), maka
diperoleh
⎛ ∂V 1 2 2 ∂ 2V ⎞
∂V ⎞
⎛
⎟dt
+ σ S
r ⎜V −
S ⎟dt = ⎜⎜
2 ⎟
∂t ⎠
∂
t
2
∂
S
⎝
⎝
⎠
(2.16)
akhirnya didapat
1 2 2 ∂ 2V
∂V ∂V
σ S
+ rS
+
− rV = 0.
2
2
∂S ∂t
∂S
(2.17)
Persamaan (2.17) inilah yang dikenal sebagai persamaan diferensial parsial BlackScholes-Merton (Hull 2006).
2.7.4 Valuasi Formula Model Black-Scholes
Paramater-parameter yang digunakan dalam perumusan model BlackScholes adalah stock price (S), strike price (K), opsi call (C), waktu sekarang (t),
expiry atau maturity date (T), Volatility ( σ ), dan risk-free interest rate (r).
Hull (2006) menunjukkan bahwa salah satu cara untuk menentukan solusi
analitik persamaan Black-Scholes adalah menggunakan pendekatan penilaian
risiko netral. Untuk sebuah opsi call tipe Eropa, nilai harapan payoff dari opsi call
pada saat jatuh tempo adalah
E [max (S T − K ,0 )]
(2.18)
Didefinisikan g (S T ) adalah fungsi kepekatan peluang dari S T maka
∞
E[max(S T − K ,0)] = ∫ (S T − K )g (ST )dST
(2.19)
K
Misalkan G = ln (S ) , maka
2
∂G 1 ∂ G − 1
∂G
= 2 dan
= 0 . Berdasarkan
= ,
2
∂t
∂S S
∂S
S
Lemma Ito diperoleh
1
1 ⎞
1
⎛ 1
dG = ⎜ μS + 0 − σ 2 S 2 2 ⎟dt + σS dW (t )
2
S
S ⎠
⎝ S
1
⎛
⎞
= ⎜ μ − σ 2 ⎟ dt + σdz.
2 ⎠
⎝
Karena μ dan σ konstan maka G = ln (S ) mengikuti gerak Brown dengan rataan
1 2⎞
⎛
⎜ μ − σ ⎟ dan varian σ 2 .
2
⎝
⎠
28 Berdasarkan persamaan (2.9),
dS
merupakan tingkat imbal hasil dari
S
harga saham. Imbal hasil harga saham yang dapat diprediksi dan bersifat
deterministik adalah μdt . Sebagai contoh dari imbal hasil yang bersifat
deterministik adalah imbal hasil dari sejumlah dana yang diinvestasikan di bank
yang bersifat bebas resiko. Karena bersifat bebas risiko maka ekspektasi dari
harga diganti dengan r. Dikarenakan G = ln (S ) berubah dari 0 sampai T dan
G = ln (S ) mengikuti gerak Brown, maka ln(S ) berdistribusi normal dengan
1
⎛
⎞
rataan ⎜ r − σ 2 ⎟T dan varian σ 2T .
2
⎝
⎠
Pada waktu t = 0 nilai G = ln (S 0 ) dan pada waktu T nilai G = ln (S T ) ,
maka pada selang waktu 0 sampai dengan T, (ln (S T ) − ln (S 0 )) berdistribusi normal
dengan rataan dan varian seperti di atas, sehingga
(ln ST − ln S0 ) ~ Ν⎛⎜⎜ ⎛⎜ r − 1 σ 2 ⎞⎟T ,σ
⎝⎝
2
⎠
⎞
T ⎟⎟
⎠
atau dapat dituliskan ln S T berdistribusi normal dengan
⎛
⎞
⎛ 1 ⎞
ln ST ~ Ν⎜⎜ ln S 0 + ⎜ r − σ 2 ⎟T ,σ T ⎟⎟
⎝ 2 ⎠
⎝
⎠
Dengan demikian ln S T berdistribusi normal dengan
1
⎛
⎞
rataan m = ln S 0 + ⎜ r − σ 2 ⎟T dan standar deviasi s = σ T
2 ⎠
⎝
(2.20)
Didefinisikan peubah Q dengan
Q=
ln S T − m
(2.21)
σ T
Substitusi m dari persamaan (2.20) ke dalam persamaan (2.21), diperoleh
Q=
1
σ T
(ln S T
− ln S 0 ) −
1 ⎛ σ2
⎜r
σ T ⎜⎝ 2
⎞
⎟⎟T
⎠
maka peubah Q juga berdistribusi normal dengan rataan 0 dan standar deviasi 1,
fungsi kepekatan peluang Q dinyatakan dengan h (Q ) , yaitu
h(Q ) =
1
e
2π
−Q2
2
(2.22)
29
(proses penurunan formula (2.22) lihat lampiran 2).
Persamaan (2.21) dinyatakan menjadi
S T = e Qσ
T +m
(2.23)
Perubahan batas integral pada sisi kanan dari persamaan (2.19), dari integral
menurut S T menjadi integral menurut Q adalah sebagai berikut
Jika S T = ∞ , maka Q = ∞
Jika S T = K , maka K = e Q σ
ln K − m
sehingga Q =
T +m
σ T
Dengan menggunakan persamaan (2.22), (2.23), perubahan batas integral dan
misalkan
s = σ T , maka persamaan (2.19) menjadi:
E [max(ST − K ,0 )] =
∞
∫ (e)
Qs + m
(ln K −m
)
− K h(Q )dQ
s
=
∞
∞
(ln K − m )
(ln K − m )
s
s
Qs + m
∫ e h(Q )dQ − K
∞
=
∫e
1
Qs + m
2π
(ln K − m )
e
−Q 2
2
∫ h(Q )dQ
∞
dQ − K
s
s
∞
=
∫ h(Q )dQ
(ln K − m )
(−Q
1
∫
(ln K − m )
2π
2
e
+ 2 Qs + 2 m
2
)
∞
∫ h(Q)dQ
dQ − K
(ln K − m )
s
s
∞
=
(−(Q − s ) + s
2
1
∫
(ln K − m )
2π
2
+2m
2
e
)
∞
∫ h(Q )dQ
dQ − K
(ln K − m )
s
∞
=
∫e
s
⎛ s2
m +⎜
⎜ 2
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
1
2π
(ln K − m )
e
− (Q − s )2
2
∞
dQ − K
s
∞
=
∫e
s
⎛ s2
m+⎜
⎜ 2
⎝
(ln K − m )
s
∫ h(Q )dQ
(ln K − m )
⎞
⎟
⎟
⎠
1
2π
e
−(Q − s )2
2
∞
dQ − K
∫ h(Q )dQ
(ln K − m )
s
30 ∞
∫e
=
⎛ s2
m +⎜
⎜ 2
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
(ln K − m )
h(Q − s )dQ − K
∞
∫ h(Q )dQ
(ln K − m )
s
s
Sehingga persamaan (2.19) dapat dinyatakan sebagai
E [max(S T − K ,0)] =
∞
∫e
⎛ s2
m +⎜
⎜ 2
⎝
(ln K − m )
⎞
⎟
⎟
⎠
h(Q − s )dQ − K
s
∞
∫ h(Q )dQ
(2.24)
(ln K − m )
s
Jika Ν ( x ) menyatakan notasi dari fungsi distribusi normal baku kumulatif maka
∞
⎛ s2
m+⎜
⎜ 2
⎝
∫e )
(ln K − m
⎞
⎟
⎟
⎠
h(Q − s )dQ = e
m+
σ 2T
2
[1 − Ν[(ln K − m ) / s − s]]
s
=e
m+
σ 2T
2
[Ν[(− ln K + m ) / s + s ]]
Peubah m pada ruas kanan yang terdapat dalam tanda kurung siku persamaan di
atas disubstitusikan dengan persamaan (2.20) dan s = σ T , maka diperoleh
⎡⎡
⎤
⎛ σ2 ⎞ ⎤
⎜
⎟
−
+
+
−
ln
ln
K
S
r
T
⎢
⎥
⎢
0
⎜
⎟ ⎥
s
σ T
∞
2
m+
m+
⎝
⎠
⎢
⎥
⎣
⎦
+σ T ⎥
e 2 h(Q − s )dQ = e 2 Ν ⎢
∫
σ T
(ln K − m )
⎢
⎥
s
⎢⎣
⎥⎦
2
2
⎡ ⎡ ⎛ S0 ⎞ ⎛ σ 2 ⎞
⎤⎤
2
⎜
⎟
+
−
+
ln
r
T
σ
T
⎜
⎟
⎢
⎢
⎥⎥
⎜
⎟
σ T
2
K
m+
⎝
⎠
⎝
⎠
⎢
⎣
⎦⎥
= e 2 Ν⎢
⎥
σ T
⎢
⎥
⎢⎣
⎥⎦
2
⎡ ⎡ ⎛ S0 ⎞ ⎛ σ 2 ⎞ ⎤ ⎤
⎟⎟T ⎥ ⎥
⎢ ⎢ln⎜ ⎟ + ⎜⎜ r +
σ T
K
2
m+
⎠
⎝
⎝
⎠ ⎦⎥
⎢
⎣
= e 2 Ν⎢
⎥
σ T
⎥
⎢
⎥⎦
⎢⎣
2
=e
m+
σ 2T
2
Ν (d1 ) ,
31
⎡ ⎛ S0 ⎞ ⎛ σ 2 ⎞ ⎤
⎟⎟T ⎥
⎢ln⎜ ⎟ + ⎜⎜ r +
K
2
⎝
⎠
⎠ ⎦
⎝
⎣
di mana d1 =
, dengan alasan yang sama, maka
σ T
∞
K
⎡
⎛ ln K − m ⎞⎤
⎛ − ln K + m ⎞
⎟ ⎥ = KΝ ⎜
⎟
s
s
⎠⎦
⎝
⎠
∫ h()Q )dQ = K ⎢⎣1 − Ν⎜⎝
(ln K − m
s
Dengan mensubstitusikan m dan s pada persamaan (2.20) ke dalam persamaan di
atas diperoleh
⎡⎡
⎛ σ 2 ⎞ ⎤⎤
⎟T ⎥ ⎥
⎢ ⎢− ln K + ln S 0 + ⎜⎜ r −
∞
2 ⎟⎠ ⎦ ⎥
⎝
⎢⎣
K ∫ h(Q )dQ = KΝ ⎢
⎥
σ T
(ln K − m )
⎥
⎢
s
⎥⎦
⎢⎣
⎡ ⎡ ⎛ S0 ⎞ ⎛ σ 2 ⎞ ⎤ ⎤
⎟T ⎥ ⎥
⎢ ⎢ln⎜ ⎟ + ⎜⎜ r −
2 ⎟⎠ ⎦ ⎥
⎢⎣ ⎝ K ⎠ ⎝
= KΝ ⎢
⎥
σ T
⎥
⎢
⎥⎦
⎢⎣
= KΝ (d 2 )
⎡ ⎛ S0 ⎞ ⎛ σ 2 ⎞ ⎤
⎟⎟T ⎥
⎢ln⎜ ⎟ + ⎜⎜ r −
2
K
⎝
⎠
⎝
⎠ ⎦
⎣
dengan d 2 =
σ T
Sehingga persamaan (2.19) menjadi
E [max (S T − K ,0 )] = e
m+
=e
σ 2T
2
Ν (d 1 ) − KΝ (d 2 )
⎛ σ2
ln S 0 + ⎜ r −
⎜
2
⎝
⎞ σ 2T
⎟T +
⎟
2
⎠
Ν (d1 ) − KΝ (d 2 )
= S 0 e rT Ν(d1 ) − KΝ(d 2 ).
(2.25)
Menurut argumentasi penilaian risiko netral, harga opsi call tipe Eropa (c) adalah
nilai harapan yang didiskon pada suku bunga bebas resiko, dapat dinyatakan
sebagai
c = e − rT E [max (S T − K ,0 )]
(2.26)
32 Dengan substitusi persamaan (2.25) ke persamaan (2.26) diperoleh formula BlackScholes untuk opsi call tipe Eropa tanpa dividen pada saat kontrak opsi dibuat,
yaitu
c = S 0 N (d 1 ) − Ke − rT N (d 2 )
⎡ ⎛ S0 ⎞ ⎛ σ 2 ⎞ ⎤
⎟⎟T ⎥
⎢ln⎜ ⎟ + ⎜⎜ r +
K
2
⎝
⎠
⎠ ⎦
⎝
⎣
dengan d1 =
dan d 2 =
σ T
(2.27)
⎡ ⎛ S0 ⎞ ⎛ σ 2 ⎞ ⎤
⎟⎟T ⎥
⎢ln⎜ ⎟ + ⎜⎜ r −
2
K
⎝
⎠
⎝
⎠ ⎦
⎣
σ T
Selanjutnya kondisi final opsi call merupakan nilai opsi call saat jatuh tempo.
Misalkan T adalah saat jatuh tempo dari opsi call, S adalah harga saham dan K
adalah harga eksekusi opsi, maka kondisi final opsi call dapat dinyatakan sebagai
berikut
C ( S , T ) = max (S − K ,0 )
(2.28)
Opsi tipe Amerika merupakan pengembangan dari model opsi tipe Eropa. Di
dalam praktek para investor lebih menyukai opsi tipe Amerika karena sifatnya
yang lebih fleksibel. Opsi call Amerika mempunyai resiko yang lebih kecil dalam
mengalami kerugian, dan memiliki nilai yang lebih besar atau sama dengan opsi
Eropa. Karena penentuan nilai Opsi tipe Amerika cukup sulit dengan pendekatan
model Black-Scholes, maka opsi tipe Amerika akan ditentukan dengan
menggunakan metode binomial tree yang secara teoritis akan dijelaskan
selanjutnya.
2.7.5 Opsi Call Eropa dengan Dividen
Asumsi penting dari pembayaran dividen untuk setiap pemegang saham
adalah pembayaran dividen merupakan fungsi dari waktu terhadap kontrak opsi
saham dan jumlah serta waktu dari dividen selama masa opsi dapat diprediksi
dengan tepat. Sehingga untuk mengaplikasikan permasalahan ini dalam rumus
model Black-Scholes yaitu dengan mengurangkan semua nilai present value
dengan besarnya nilai pembayaran dividen sampai dengan waktu jatuh tempo
kontrak opsi saham tersebut. Atau dapat dikatakan bahwa harga saham merupakan
gabungan komponen bebas risiko dan komponen berisiko, sehingga rumus BlackScholes dapat digunakan apabila harga saham dikurangi nilai present value semua
dividen, akhirnya diperoleh (Hull 2006)
33
∗
Pv = De − rT dan S 0 = S 0 − Pv
(2.29)
Akibatnya nilai opsi call tipe Eropa menjadi
( )
( )
C * = S 0* N d1* − Ke − rT N d 2*
⎛ S 0* ⎞ ⎛ σ 2 ⎞
⎟T
ln⎜⎜ ⎟⎟ + ⎜⎜ r +
K⎠ ⎝
2 ⎟⎠
⎝
*
d1 =
σ T
dengan
dan
(2.30)
d 2* = d1* − σ T
2.8 Opsi Barrier
Opsi barrier termasuk salah satu jenis opsi eksotik yang bersifat path
dependent, yaitu nilainya tergantung pada pergerakan harga saham sampai dengan
waktu jatuh tempo. Pada opsi barrier ketika pergerakan harga saham mencapai
barrier, secara otomatis menyebabkan opsi menjadi jatuh tempo (knock-out
options) atau inspired (knock-in options). Untuk lebih jelas dapat dilihat pada
Gambar 1 berikut (Derman et al. 1994).
1
up & out
0.9
P
E
R
B
A
N
D
I
N
G
A
N
up & in
0.8
0.7
B
0.6
Barrier option down
K
O
P
S
I
0.5
0.4
So
B
A
R
R
I
E
R
0.3
K
0.2
So
B
Barrier option up
0.1
down & in
down & out
0
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Gambar 1 Tipe opsi barrier.
Gambar 1 memperlihatkan dua kondisi berbeda posisi harga saham (So)
terhadap strike price (K) dan barrier (B) serta arah pergerakan harga saham
tersebut. Kondisi pertama adalah harga saham awal ( S 0 ) berada di bawah barrier
34 (B) dan di atas strike price (K) , sedangkan kondisi kedua ketika harga saham awal
( S 0 ) berada di atas barrier (B) dan di bawah strike price (K). Keterangan
selengkapnya tentang jenis opsi barrier dapat dilihat pada Tabel 8 di bawah ini
(Chriss 1997).
Tabel 8 Tipe-tipe opsi barrier
Opsi Barrier
Tipe Knock-Out
Nama
down-and-out
Ciri - Ciri
K ≥ S0 ≥ B
Knock-out jika
up-and-out
Tipe Knock-In
down-and-in
S0 ≤ B
K ≤ S0 ≤ B
Knock-out jika
Nama
Ciri - Ciri
K ≥ S0 ≥ B
Knock-in jika
up-and-in
S0 ≥ B
S0 ≤ B
K ≤ S0 ≤ B
Knock-in jika
S0 ≥ B
Formula secara analitik dengan pendekatan model Black-Scholes cukup sulit
untuk dijelaskan, oleh karena itu dalam penelitian ini akan digunakan metode
binomial tree untuk menentukan nilai opsi barrier tipe up-and-out call, sehingga
penurunan formula secara analitik tidak dijelaskan pada tesis ini.
2.9 Metode Binomial Tree
Metode binomial tree untuk menentukan nilai opsi adalah cara yang
sederhana tetapi sangat berguna dalam menentukan nilai opsi yang kompleks.
Karena opsi tipe Amerika secara analitik cukup sulit untuk dibuktikan maka salah
satu cara yang dapat menolong untuk memudahkan penentuan nilai opsi tipe
Amerika adalah dengan menggunakan metode binomial tree. Penelitian mengenai
metode binomial tree telah dilakukan oleh Schumann et al. (2009) sedangkan
penelitian nilai kontrak opsi saham di Indonesia dengan menggunakan metode
binomial tree antara lain oleh Jaenudin (2009).
2.9.1 Sejarah Metode Binomial Tree
John Cox, Stephen Ross dan Mark Rubinstein memperkenalkan metode
binomial tree untuk menentukan nilai opsi pada tahun 1979 di dalam paper
dengan judul Option Pricing: A Simplified Approach. Metode binomial tree
35
adalah model diskrit dan merupakan suatu pendekatan numerik serta memiliki
asumsi yang sama dengan model kontinu Black-Scholes. Metode binomial tree
mempunyai peranan yang penting karena dapat mendeskripsikan harga opsi pada
setiap node (titik) sepanjang masa berlaku opsi tersebut. Dasar pemikiran yang
dikembangkan oleh Cox, Ross dan Rubinstein adalah jika suatu opsi diketahui
waktu hidupnya, maka dapat diasumsikan bahwa pergerakan harga saham dasar
dapat melalui satu dari dua kemungkinan yaitu, harga saham dasar akan bergerak
naik atau turun dengan sejumlah nilai tertentu serta dapat direpresentasikan oleh
garis kecil yang dibuat dari suatu node (titik). Penyederhanaan ini dilakukan untuk
melihat semua kemungkinan pergerakan harga saham dasar selama waktu hidup
yang diberikan. Ketika tree (pohon) sudah dikonstruksikan dengan lengkap, maka
dapat dilihat semua harga saham dari pergerakan awal sampai akhir. Hal ini
menunjukkan suatu pendekatan kontinuitas pergerakan harga saham dari bentuk
diskrit. Kelebihan dari metode binomial tree yaitu dapat dimanipulasi untuk
menentukan nilai opsi tipe Amerika, yang mana model kontinu Black-Scholes
tidak dikembangkan untuk itu (Hebert 2010).
2.9.2 Konstruksi Model Binomial Tree
Seperti sudah dijelaskan sebelumnya, model penentuan harga opsi dengan
metode binomial tree adalah model yang dikonstruksikan untuk menunjukkan
semua kemungkinan nilai dari saham dasar yang dapat terjadi serta nilai dari opsi
pada nilai saham dasar tersebut. Model penentuan nilai opsi binomial tree
memberikan asumsi bahwa sepanjang waktu tertentu yang diberikan, saham dasar
hanya dapat bergerak naik atau bergerak turun. Berikut konstruksi gambaran dari
pergerakan harga saham dasar tersebut.
p S.u
S
(1‐p) 0
S.d
T
Gambar 2 Pergerakan harga saham dasar. 36 Dari Gambar 2 di atas, misalkan selang waktu [0,T] dibagi menjadi N sub selang
yang sama panjang dengan titik bagi 0 = t0<t1<...<tN = T dengan tj = jΔ t dan
Δt =
( )
T
, dengan N menyatakan waktu perdagangan. Dimisalkan S j = S t j adalah
N
harga saham pada saat tj dan diasumsikan (Raymond 2009):
1. Dalam selang waktu Δ t , harga saham S dapat naik menjadi S.u dan turun
menjadi S.d dengan 0<d<1<u.
2. Peluang harga saham naik p dan peluang harga saham turun (1-p).
3. Ekspektasi return harga saham dengan risk-free interest rate r,
E[ S j +1 ] = S j e rΔt dan variansinya Var[ S j +1 ] = S 2j e 2 rΔt [eσ
2
Δt
− 1] memenuhi
kondisi risk-neutral valuation dan berdistribusi lognormal.
2.9.3 Penentuan Nilai Parameter Model Binomial Tree
Dari penjelasan di atas, dapat diketahui ada tiga buah parameter yaitu u, d,
dan p yang nilainya belum diketahui. Ketiga parameter tersebut dapat diperoleh
dengan menyamakan ekspektasi dan variansi model binomial dengan model
kontinu yaitu (Raymond 2009),
S i e rΔt = S i pu + S i (1 − p)d ⇔ e rΔt = pu + (1 − p ) d
(2.31)
e rΔt − d
dari (2.31) didapat nilai p =
. Dan diketahui variansinya adalah
u−d
[ ]
Var [ S i +1 ] = E S i2+1 − (E[ S i +1 ])
(
⇔ e 2 r Δt e σ
2 Δt
2
(2.32)
)
− 1 = pu 2 + (1 − p )d 2 − e 2 rΔt
2
⇔ e (2 r +σ )Δt = pu 2 + (1 − p )d 2
Sedangkan persamaan ketiga ditentukan sendiri. Pilihan yang sering digunakan
ud = 1
(2.33)
yang solusinya adalah
u = β + β 2 − 1 , d = β − β 2 − 1 , dan p =
β=
(
2
1 −rΔt
e
+ e (r +σ )Δt
2
)
e rΔt − d
u−d
(2.34)
37
Solusi di atas diselesaikan dengan menggunakan rumus solusi persamaan kuadrat
pada persamaan yang terbentuk. Jika Δt → 0 , maka dengan menggunakan
x2
ekspansi e = 1 + x +
dan mengabaikan suku Δ t n , n ≥ 2 diperoleh
2
x
u=e
σ Δt
, d =e
−σ
Δt
e rΔt − d
, dan p =
u−d
(2.35)
yang merupakan model Cox et al. (1979).
(proses penurunan formula (2.35) lihat lampiran 3).
2.9.4 Model Binomial Tree dengan Suku Bunga Diskret
Proses perhitungan nilai opsi call Eropa menggunakan metode binomial
tree dengan suku bunga diskret adalah sebagai berikut (Cox et.al 1979).
Didefinisikan harga saham pada waktu T-1 yaitu S T −1 . Maka pada waktu T harga
saham tersebut akan bergerak naik dengan faktor u atau bergerak turun dengan
faktor d dimana 1 + d < 1 < 1 + u. Perhatikan ilustrasi di bawah ini
S T ,u = (1 + u )S T −1
S T −1
ST ,u = (1 + d )ST −1
Jika cT menyatakan nilai opsi call pada waktu T, maka
cT ,u = maks{0, (1 + u )ST −1 − K }
c T −1
cT ,d = maks{0, (1 + d )ST −1 − K }
Pada waktu T-1 dapat dibentuk portofolio leverage yang terdiri dari saham S dan
obligasi sebesar B yang akan memberikan pembayaran (payoff) yang sama dengan
payoff opsi call pada waktu T
(1 + u )ΔS T −1 + (1 + r )B
ΔS T −1 + B
(1 + d )ΔS T −1 + (1 + r )B 38 Dengan menyamakan payoff dari opsi call dan payoff dari portofolio leverage
pada waktu T diperoleh
(1 + u )ΔST −1 + (1 + r )B = cT ,u
(2.36)
(1 + d )ΔST −1 + (1 + r )B = cT ,d
(2.37)
Setelah diselesaikan, solusi sistem persamaan linier (2.36) dan (2.37) adalah
Δ=
B=
cT ,u − cT ,d
(u − d )ST −1
(2.38)
(1 + u )cT ,d − (1 + d )cT ,u
(u − d )(1 + r )
(2.39)
(proses penurunan formula (2.38) dan (2.39) lihat lampiran 4)
dimana Δ menyatakan rasio lindung nilai, artinya untuk membentuk portofolio
yang bebas resiko maka diperlukan perbandingan, yaitu sejumlah Δ saham dan
satu opsi call.
Selanjutnya jika pada waktu T, opsi call dan portofolio leverage
memberikan payoff yang sama, maka pada waktu T-1 harus mempunyai nilai yang
sama. Selanjutnya substitusi persamaan (2.38) dan (2.39) kedalam persamaan
berikut, didapat
cT −1 = ΔS T −1 + B
=
cT ,u − cT ,d
(u − d )ST −1
=
ST −1 +
(r − d )cT ,u + (u − r )cT ,d
(u − d )(1+ r )
Dengan mensubstitusikan p =
cT −1 =
(1 + u )cT ,d − (1 + d )cT ,u
(u − d )(1 + r )
r−d
u−r
, dan 1 − p =
diperoleh
u−d
u−d
pcT ,u + (1 − p)cT ,d
(1 + r )
(2.40)
(2.41)
Persamaan (2.41) merupakan persamaan untuk menentukan nilai opsi call tipe
Eropa dengan metode binomial tree suku bunga diskret satu langkah. Selanjutnya
dengan cara yang sama dapat diturunkan untuk metode binomial tree dua langkah
dan n-langkah sebagai berikut
39
p 2 cT ,uu + 2 p (1 − p )cT ,ud + (1 − p ) cT ,dd
2
cT − 2 =
(2.42)
(1 + r )2
∑
⎛ n⎞ j
⎜ ⎟ p (1 − p )n− j (sT − K )+
j =0 ⎜ ⎟
⎝ j⎠
(1 + r )n
n
cT −n =
(2.43)
2.9.5 Model Binomial Tree dengan Suku Bunga Kontinu
Proses perhitungan nilai opsi call Eropa menggunakan metode binomial
tree dengan suku bunga kontinu adalah sebagai berikut (Cox et.al 1979).
Didefinisikan harga saham pada waktu T-1 adalah S 0 , maka harga saham pada
waktu T akan bergerak naik dengan faktor u menjadi S0u dan bergerak turun
dengan faktor d menjadi S0d dimana d <1 < u , demikian juga terhadap nilai
opsinya yaitu f menjadi f u dan f d . Harga opsi pada waktu T didefinisikan
f u = maks (0, S 0 u − K )
sebagai
dan f d = maks (0, S 0 d − K ) dimana K adalah
harga eksekusi pada waktu T. Perhatikan ilustrasi di bawah ini
f u = maks (0, S 0 u − K )
S0 u
f
S0
f d = maks (0, S 0 d − K )
S0d
Portofolio yang dibentuk adalah posisi long untuk sejumlah Δ saham dan posisi
short untuk satu opsi call.
ΔS 0 u − f u
ΔS 0 − f
ΔS 0 d − f d
Portofolio akan menjadi bebas resiko ketika
S 0 u Δ − f u = S 0 dΔ − f d
sehingga diperoleh nilai
40 Δ=
fu − fd
S 0u − S 0d
(2.44)
Nilai portofolio pada waktu T adalah S 0 u Δ − f u sehingga nilai portofolio pada
saat ini merupakan present value dari S 0 u Δ − f u yaitu:
(S 0 uΔ − f u )e − rT dengan r
adalah suku bunga bebas resiko.
Bentuk lain dari portofolio pada saat ini adalah
Δ S 0 − f . Sehingga dengan
membandingkan di antara dua pernyataan di atas diperoleh :
S 0 Δ − f = (S 0 uΔ − f u )e − rT
(
)
f = S 0 Δ 1 − ue − rT + f u e − rT
(2.45)
Substitusikan nilai Δ pada persamaan (2.45) diperoleh
f =
fu − f d
S0 1 − ue−rT + f u e −rT
S0u − S0 d
(
⎡ e rT − d
=⎢
fu
⎣ u−d
)
⎛ e rT − d ⎞ ⎤ −rT
⎟ f d ⎥e
+ ⎜⎜1 −
u − d ⎟⎠ ⎦
⎝
= e − rT [ pfu + (1 − p ) f d ]
(2.46)
(proses penurunan formula (2.38) dan (2.39) lihat lampiran 5)
Dengan
e rT − d
p=
u−d
selanjutnya p disebut sebagai peluang risiko netral.
Persamaan (2.46) merupakan persamaan untuk menentukan nilai opsi dengan
menggunakan metode binomial tree suku bunga kontinu satu langkah. Dengan
proses yang sama dapat ditentukan formula untuk menentukan nilai opsi dengan
menggunakan metode binomial tree suku bunga kontinu dua langkah dan
seterusnya sampai n-langkah.
Karena panjang waktu sekarang berubah menjadi Δ t maka dapat dibuat
generalisasi dengan langkah-langkah yang sama sehingga diperoleh
f = e − rΔt [ pf u + (1 − p ) f d ]
(2.47)
e rΔt − d
p=
u−d
(2.48)
Mengulang proses penurunan rumus pada metode binomial tree satu langkah
maka
41
f u = e − rΔt [ pf uu + (1 − p ) f ud ]
(2.49)
f d = e − rΔt [ pf ud + (1 − p ) f dd ]
(2.50)
f = e − rΔt [ pf u + (1 − p ) f d ]
(2.51)
Selanjutnya substitusikan persamaan (2.49) dan (2.50) kedalam persamaan (2.52)
diperoleh
[
f = e −2 rΔt p 2 f uu + 2 p (1 − p ) f ud + (1 − p ) f dd
2
]
(2.53)
Dengan cara yang sama dapat dibuat formula generalisasi sebagai berikut
⎛ n ⎛n⎞
+ ⎞
n− j
f = e − nrΔt ⎜⎜ ∑ ⎜⎜ ⎟⎟ p j (1 − p ) (S n − K ) ⎟⎟
⎠
⎝ j =0 ⎝ j ⎠
(2.54)
Persamaan (2.53) merupakan formula untuk penentuan nilai opsi dua langkah
sedangkan persamaan (2.54) merupakan nilai opsi n-langkah.
2.9.6 Rasio Lindung Nilai
Rasio lindung nilai adalah perbandingan dari pergerakan yang mungkin
dari nilai opsi dan saham pada akhir periode. Rasio itu adalah
Δ=
cu − cd
uS0 − dS0
(2.55)
Dengan cu dan c d adalah nilai opsi yang mengacu saat harga saham naik atau
turun, sedangkan uS 0 dan dS 0 merupakan harga saham dalam dua kondisi setelah
terjadi perubahan naik atau turun. Jika investor menerbitkan satu opsi dan
memegang Δ lembar saham, maka nilai portofolio tidak akan dipengaruhi oleh
harga saham akhir. Portofolio itu sering disebut portofolio bebas resiko (riskless
portofolio).
2.9.7 Metode Binomial Tree dengan Dividen
Metode binomial tree juga dapat digunakan untuk menentukan nilai opsi
saham dengan pembayaran dividen. Jika ada asumsi pembagian dividen secara
tunggal maka metode binomial tree dapat digunakan untuk menganalisis
pergerakan harga naik dan turun mengikuti yang sudah dijeaskan sebelumnya.
42 Jika waktu iΔt adalah waktu dimana harga opsi saham sebelum menjadi exdividen maka node dari binomial tree yang berkorespondesi dengan harga opsi
saham menjadi
S o u j d i− j ,
j = 0,1,..., i
(2.56)
Dimana u dan d didefinisikan seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya. Jika iΔt
adalah waktu setelah harga opsi saham menjadi ex-dividen maka node yang
berkorespondensi dengan harga saham menjadi
S o (1 − δ )u j d i − j ,
j = 0,1,..., i
(2.57)
dengan δ adalah dividen yield. Untuk kondisi ini diberikan ilustrasi Gambar 3
sebagai berikut.
Sumber: Hull 2006
Gambar 3 Metode binomial tree dengan dividen.
2.9.8 Metode Binomial Tree untuk Opsi Call Tipe Amerika
Model Black-Scholes dirancang untuk
menghitung nilai opsi pada
waktu jatuh tempo, tanpa menghitung nilai opsi dari setiap node atau jalur yang
dilalui oleh opsi tersebut sepanjang waktu hidupnya. Akibatnya opsi tipe Amerika
sulit ditentukan dengan model Black-Scholes. Metode binomial tree dapat
menghitung nilai opsi pada setiap node sepanjang waktu hidup dari opsi tersebut.
Nilai payoff pada saat jatuh tempo untuk sebuah opsi call dihitung dengan
menggunakan rumus
43
Ci , N = max{S i , N − K }, ∀i = 0,1,...N
(2.58)
Selanjutnya berdasarkan pergerakan saham, metode binomial bergerak mundur
dari i = N – 1 ke i=0 secara rekursif. Harga suatu opsi pada saat ke-i dihitung
dengan menggunakan rumus
Vi , j = e − rΔt ( pVi , j +1 + (1 − p )Vi +1, j +1 ) ∀i = 0,1,... j , ∀ j = N − 1, N − 2,..., 0 (2.59)
Dengan Vi,j = Ci,j untuk perhitungan opsi call. Vi,j merupakan nilai present value
dari harga opsi pada saat indeks j+1. Nilai V0,0 yang diperoleh merupakan harga
opsi tersebut pada saat sekarang (Raymond 2009).
Perhitungan untuk opsi tipe Amerika memerlukan sedikit modifikasi.
Karena pada opsi Amerika terdapat fasilitas early exercise, persamaan (2.59)
ditambahkan dengan memasukkan perbandingan gain yang diperoleh jika
eksekusi dilakukan pada saat sekarang dan ditangguhkan hingga sub selang
berikutnya. Sehingga untuk opsi Amerika, diperoleh untuk opsi call Amerika
⎫
⎧
⎪
⎪
C i , j = max ⎨0, S i , j − K , e − rΔt ( pC i , j +1 + (1 − p )C i +1, j +1 )⎬
1
42
4
3
1
4
4
4
4
4
2
4
4
4
4
4
3
⎪⎭
⎪⎩ early exercise
tidak diexercise
(2.60)
∀ i = 0,1,... 2 j + 1, ∀ j = N − 1, N − 2,..., 0
Untuk memperjelas hal diatas dapat dilihat ilustrasi seperti berikut ini.
Misalkan diberikan harga saham $100, strike price $100, volatilitas 30%, tingkat
suku bunga r = 5%, T = 1 tahun dan digunakan 4-step atau langkah untuk
binomial tree. Selanjutnya dapat dihitung nilai dari
Δt =
T 1
= = 0.25 u = e σ
n 4
p=
Δt
= e 0.30
0.25
= 1 .1618 d =
e r .Δt − d e 0.05(0.25) − 0.8607
=
= 0.5043
u−d
1.1618 − 0.8607
1
= 0.8607 u
44 Sumbber: Mayer 20010
G
Gambar
4 Koonstruksi biinomial treee untuk opsii Eropa.
Selannjutnya unttuk menghhitung setiaap nilai op
psi pada noode dapat digunakan
form
mula (2.59). Akhirnya dengan
d
sediikit kalkulassi menggunnakan form
mula di atas
didappat binomiaal tree lenggkap dengaan setiap haarga opsi pada tiap noode seperti
berikkut ini.
Sum
mber: Mayer 2010
2
Gam
mbar 5 Harga opsi padaa tiap node.
45
Untuk meenghitung oppsi call tipee Amerika dapat
d
dimullai dengan m
menghitung
g opsi
tipe Eropaa dengan nilai tertingggi. Selanjutn
nya dibuatllah binomiaal tree sepeerti di
bawah ini.
Sumber:: Mayer 2010
Gaambar 6 Nodde dengan nilai
n
maxim
mum.
Sekarang perhatikan ilustras di bawah ini dimana akaan ditentukan opsi calll tipe
Amerika sebagai
s
beriikut
Sum
mber: Mayer 2010
2
Dengan menggunaka
m
an backwardd induction, dimulai daari bagian ppaling atas harga
h
opsi padaa binomial tree
t
sepertii ilustrasi di
d atas. Makka hasil peerhitungan untuk
u
nilai V0 adalah
a
$58.007 seperti yang
y
sudah
h dihitung sebelumnya
s
a. Sekarang
g nilai
tersebut diibandingkann dengan niilai dari eksekusi awal pada node m
mula-mula, yaitu
max(156.883-100)=$556.83. Makaa dengan mu
udah dapat diketahui m
mana yang paling
p
besar, maax(58.07 , 56.83)=$588.07. Jadi nilai
n
pada node untukk opsi calll tipe
Amerika adalah $588.07. Hal ini dapat dikerjakan untuk setiap node untuk
u
mberikan nillai opsi terrbesar
menentukaan mana yang merupakan node yang mem
46 apabila dibandinngkan denggan node aw
wal, maka hasilnya
h
itu adalah nilaai opsi call
tipe Amerika.
A
2.9.99 Metode Binomial
B
Trree untuk Opsi
O Barrieer Tipe up-aand-out Calll
Metodde binomial tree dapat digunakan untuk
u
mengghitung nilaai dari opsi
barriier tipe upp-and-out call.
c
Untukk opsi barrrier tipe up-and-outt call jika
pergeerakan hargga saham mencapai
m
barrier yang sudah ditenntukan makaa nilai dari
opsi menjadi nol,
n
bahkann jika hargaa saham kembali berrgerak turunn dibawah
w
hiduppnya. Agarr lebih jelaas perhatikkan contoh
barriier selama jangka waktu
berikkut, misalkaan parameteer-parameterr yang diberrikan adalahh
S 0 = $100 , K = $ 100 , σ = 0 .30 , r = 0 .05 , T= 1 tahun , n = 4 , Δt = 0.25 ,
u = 1.1618, d = 0.8607, p = 0.5043 dan
d B = $150.
Jika harga saham
m bergerak naik mencapai $150 pada
p
node manapun
m
selama masa
o tersebuut menjadi tidak berhaarga. Untuk menjawab
hidupp opsi terseebut, maka opsi
perm
masalahan dii atas, makaa dikonstrukksikanlah ko
ondisi berikkut ini.
Sum
mber: Mayer 20010
Gambar 7 Opsi barrier tipe up-and-out caall.
Dengaan opsi tipe Eropa dann tipe Amerrika, langkaah selanjutnnya adalah
melaakukan perhhitungan sepperti pada bagian
b
sebeelumnya yaaitu melihatt nilai opsi
padaa waktu jattuh tempo. Perlu diinngat bahwaa ketika haarga saham
m bergerak
meleewati barrieer maka nillai opsi mennjadi nol. Dapat
D
dilihaat pada gam
mbar diatas
47
node dimana harga saham bergerak mencapai $156.83 dan bergerak kebawah
menjadi $134.99. Jika harga saham bergerak melalui jalur ini, maka nilai opsi
menjadi tidak berharga. Pada node tersebut kelihatannya akan mengalami masalah
karena nilai opsi menjadi nol. Tetapi dapat dihitung semua kemungkinan jalur
yang dapat dilalui oleh harga saham tersebut pada konstruksi binomial tree.
Seperti yang sudah diketahui bahwa ada pembayaran untuk opsi pada setiap jalur
yang dilalui oleh harga saham tersebut. Menggunakan penjelasan informasi diatas,
dapat dihitung nilai dari opsi barrier sekitar node tersebut. Langkah yang
dilakukan adalah mencari probabilitas dari suatu jalur, yaitu dengan mengalikan
setiap probabilitas dari jalur naik dan turun pada jalur tersebut. Sebagai contoh
jika jalur itu memiliki dua pergerakan naik, satu turun dan kemudian naik lagi
maka total probabilitasnya adalah : pp(1-p)p. Sehingga dapat dihitung total
probabilitasnya adalah
Q = p m (1 − p )
k
(2.61)
Terdapat dua jalur yang berbeda pada satu step yaitu naik dan turun. Jika dibuat
dua step maka pada kedua node terakhir dari satu step, dibuat menjadi empat
cabang juga yaitu masing-masing naik dan turun. Jika cara ini dikerjakan terus
dan dibuat suatu generalisasi formulanya, maka kemungkinan n-step pada
binomial tree adalah 2 n kemungkinan jalur yang berbeda. Menjadi jelas untuk
menghitung semua kemungkian yang dapat dibuat untuk melihat konstruksi tree
secara keseluruhan. Formula yang diberikan
V = e − rΔt ( pVu + (1 − p )Vd )
(2.62)
Didalam pernyataan nilai opsi pada node tertentu sebenarnya adalah rata-rata dari
setiap perbedaan bobot yang muncul karena probabilitas. Jadi akan dirubah untuk
Vu dengan outcome 1 (O1 ) dan V d dengan outcome 2 (O 2 ) . Kemudian p adalah
probabilitas dari O1 dan Q1 dan (1-p) adalah probabilitas dari O2 juga Q2 . Dan
diketahui pada suatu kontruksi pohon tersebut ada banyak outcome, sehingga
dapat digeneralisasi suatu formula sebagai berikut
V0 = e − r .T (Q1O1 + Q2 O2 + Q3 O3 + ... + Q2 n O2 n )
(2.63)
Jadi dipunyai alternatif jalan yang lain untuk menentukan harga opsi pada
binomial tree, salah satunya adalah membuat penggunaan dari setiap perbedaan
48 jalur dari binomial tree tersebut, termasuk untuk menghitung nilai opsi barrier
tipe up-and-out call. Melihat pada contoh tadi maka proses perhitungan untuk
menentukan nilai opsi barrier tipe up-and-out call Amerika adalah sebagai
berikut.
Sumber: Mayer 2010
Gambar 8 Enambelas jalur opsi barrier.
Salah satu cara untuk membuktikan bahwa telah dibuat semua jalur dengan benar
adalah jumlah dari semua probabilitas yang mungkin adalah satu. Dapat dilakukan
perhitungan seperti dibawah ini dengan melihat pada semua probabilitas yang
dihasilkan dari jalur diatas
0.06467789436 + 4(0.06357492015) + 6(0.06249075534)
+ 4(0.06142507917) + 0.06037757633 = 1.000000000
Telah dibuktikan bahwa semua kemungkinan probabilitas pada setiap jalur adalah
benar. Selanjutnya menggunakan formula (2.63) dapat dihitung nilai opsi yang
dicari yaitu:
V0 = e − r .T (Q1O1 + Q2 O2 + Q3O3 + ... + Q2 n O2 n )
49
= e −0.05 .1 (0 .0646778943 6 (0 ) + 0 .0635749201 5(0 ) + 3(0 .0635749201 5 )(34 .99 ))
(6(0.0624907553 4 )(0 ) + 4(0.0614250791 7 )(0 ) + 0.0603775763 )
= $ 6.35
Dengan binomial tree nilai yang diperoleh adalah $ 6.35. Nilai sebenarnya dari
opsi barrier tipe up-and-out call ini adalah $ 5.13. Jadi dengan menggunakan
binomial tree dapat dihitung nilai pendekatan untuk opsi barrier tipe up-and-out
call.
2.9.10 Kajian Numerik Kekonvergenan Metode Binomial Tree
Dalam tesis ini kekonvergenan metode binomial tree akan ditinjau melalui
kajian numerik. Beberapa definisi yang berkaitan dengan barisan dan limit sebagai
teori dasar kekonvergenan diberikan di bawah ini.
Definisi 2.10 (Barisan Bilangan Real) (Purcell et.al 1987)
Barisan bilangan real adalah suatu fungsi dari N ke R. Misalkan X : N → R
adalah suatu barisan bilangan real dengan
X (n ) = x n , ∀ n ∈ N
x n disebut suku ke-n dari barisan X. Barisan X bias dilambangkan dengan
X = {x n }n =1 = {x n }n∈N = {x n }
∞
(2.64)
Definisi 2.11 (Limit Barisan) (Purcell et.al 1987)
Misalkan
{x n }∞n =1
adalah barisan bilangan real. Barisan
{x n }∞n =1
dikatakan
mempunyai limit L ∈ R untuk n menuju tak hingga, jika ∀ ε > 0, ∃ n 0 (ε ) ∈ N ,
xn − L < ε , ∀ n ≥ n 0
sehingga
Barisan
{x n }∞n =1
mempunyai limit L, dituliskan dengan lambing limn→∞ xn = L
Definisi 2.12 (Barisan Konvergen) (Purcell et.al 1987)
Jika barisan bilangan real {x n }n =1 mempunyai limit L, maka barisan
∞
{x n }∞n =1
(2.65)
dikatakan konvergen ke L.
50 Metode binomial tree adalah suatu model waktu diskrit yang konvergen ke
model waktu kontinu dari model Black-Scholes opsi tipe Eropa. Atau dengan kata
lain distribusi nilai dari metode binomial tree mendekati ke nilai Black-Scholes
untuk opsi Eropa, apabila jumlah dari interval waktu yang digunakan dalam
perhitungan bertambah menuju infinity (Mayer, 2010).
Kekonvergenan metode binomial tree merupakan suatu legitimasi untuk
mencari nilai opsi call tipe Amerika, karena secara analitik model Black-Scholes
sulit untuk menentukan nilai opsi tipe Amerika. Pada tesis ini kajian numerik
kekonvegenan binomial tree akan ditunjukkan dengan simulasi grafik dan tabel
nilai numerik. Untuk melakukan simulasi grafik digunakan parameter-parameter
sebagai berikut, dengan S = 50, K = 50, r = 0.05, σ = 0.5, T = 0.5, N = 200,
diperoleh hasil yang disajikan dalam Gambar 9 di bawah ini (Susilo 2008) dan
(Kind 2011).
7.8
Binomial Tree
Black-Scholes
7.75
7.7
Nilai Opsi
7.65
7.6
7.55
7.5
7.45
7.4
7.35
0
20
40
60
80
100
120
Banyak N-Step Metode Binomial Tree
140
160
180
200
Gambar 9 Grafik kekonvergenan metode binomial tree.
Dari Gambar 9, garis lurus yang berwarna merah menunjukkan nilai
Black-Scholes untuk opsi tipe call Eropa, sedangkan grafik osilasi berwarna biru
menunjukkan nilai dari metode binomial tree opsi tipe call Eropa. Hasilnya
menunjukkan bahwa grafik berwarna biru nilainya semakin mendekati grafik
berwarna merah apabila N-Step bertambah. Dengan parameter yang sama dan
untuk melihat lebih jelas nilai pendekatan secara numerik dapat melihat pada
Tabel 9 di bawah ini.
51
Tabel 9 Perbandingan metode binomial tree N-Step dengan model BlackScholes
N-Step
Tipe Opsi
Call Eropa
40
7.5203
80
7.5419
120
7.5491
160
7.5527
180
7.5537
Nilai BS
7.5549
Dari Tabel 9 dapat diketahui bahwa semakin besar N-Step yang diambil
maka nilai dari metode binomial tree opsi call tipe Eropa semakin mendekati nilai
dari model Black-Scholes. Kedua hasil di atas mengindikasikan bahwa metode
binomial tree yang adalah model diskret konvergen dengan model kontinu BlackScholes dalam penentuan nilai opsi call tipe Eropa. Hal ini sebagai suatu
legitimasi untuk dapat menentukan nilai opsi tipe Amerika menggunakan metode
binomial tree karena secara analitik model Black-Scholes tidak dikembangkan
untuk menentukan nilai opsi call tipe Amerika.
52 53
Bab III
Model Penentuan Nilai Opsi
3.1 Tinjauan Singkat Perdagangan Kontrak Opsi Saham di BEI
Sejak diperdagangkan pertama kali pada Oktober 2004, perdagangan
kontrak opsi saham di BEI tidak stabil, bahkan cenderung menurun dan berlanjut
dengan ditutupnya untuk sementara waktu perdagangan KOS sejak periode tahun
2009 – 2011. Tetapi bersamaan dengan perbaikan sistem perdagangan dan prestasi
BEI sebagai salah satu bursa yang layak investasi pada akhir tahun 2011, maka di
tahun 2012 otoritas BEI melakukan revitalisasi perdagangan produk derivatif dan
merencanakan untuk memperdagangkan kembali KOS.
Perdagangan KOS periode tahun 2004 – 2008 dikontrol dan diatur oleh
otoritas BEI dengan menetapkan saham-saham dari PT Telekomunikasi Indonesia,
PT Astra Internasional, PT Bank Central Asia, PT Indofood Sukses Makmur dan
PT HM Sampoerna sebagai saham-saham yang layak untuk dijadikan sebagai
saham dasar (underlying assets) dalam perdagangan KOS. Otoritas BEI juga
mengeluarkan surat pengumuman tentang nomor seri opsi call disertai penentuan
harga strike price, batas weighted moving average (WMA) dan waktu jatuh tempo
(expiration date) setiap tiga bulan sekali dalam setahun. Sebagai contoh nomor
seri CINDF2275, C (digit ke-1) menyatakan opsi call yang akhir masa
berlakunya pada hari bursa terakhir bulan Maret, INDF (digit ke-2 s.d 5)
menyatakan kode saham induk PT Indofood Sukses Makmur Tbk, sedangkan
angka 2275 (digit ke-6 s.d 10) merupakan strike price.
Perdagangan KOS di BEI memiliki spesifikasi bisnis yang berbeda
dengan perdagangan opsi saham di beberapa bursa dunia. Spesifikasi bisnis
tersebut antara lain, satu surat kontrak KOS terdiri dari sepuluh ribu saham, waktu
jatuh tempo tiga bulan sekali dalam setahun, tipe opsi adalah tipe Amerika dimana
pemegang hak opsi dapat mengeksekusi haknya setiap saat sampai waktu jatuh
54 tempo, penyelesaian hak untuk call option adalah (WMA-K) secara tunai sehari
setelah eksekusi untuk opsi call dan akan terjadi eksekusi secara otomatis apabila
WMA bergerak mencapai barrier (B=1.1K) untuk opsi call dan pemegang hak
opsi mendapat payoff sebesar (B – K).
3.2 Mekanisme Perdagangan Kontrak Opsi Saham
Pergerakan harga KOS di Bursa Efek Indonesia diformulasikan kedalam
pergerakan harga saham dengan weighted moving average (WMA) yang dihitung
dengan menggunakan formula berikut (Gunardi et al. 2006)
∑
) =
∑
t =10.00
P(10.01−10.15
P Qt
t =9.30 t
t =10.00
t =9.30
,
(3.1)
Qt
Dimana Pt adalah harga saham pada waktu t, dan Q t besarnya volume transaksi.
Publikasi sesi pertama muncul pada waktu 10.00.01 yaitu harga saham dengan
WMA setelah waktu 09.45 – 10.15 dan seterusnya. Harga saham dengan WMA
pada sesi kedua akan dipublikasikan mulai pada 12.00.01, kecuali untuk hari
Jumat. Pada hari Jumat, harga saham dengan WMA terakhir pada sesi pertama di
pagi hari adalah 11.30.01. Pada siangnya yaitu sesi kedua, publikasi pertama pada
14.15.01 dan yang terakhir pada 16.00.01. Jadi dari Senin – Kamis dibagi dalam
19 periode untuk setiap 15 menit dari publikasi sebelumnya. Periode ini diberi
nomor dari 1,2,…,19. Pada hari Jumat hanya ada 17 periode. Kontrak opsi saham
dapat dieksekusi setiap waktu sepanjang periode kontrak opsi saham tersebut
diperdagangkan hingga masa berakhirnya atau pada waktu harga saham dengan
WMA mencapai barrier (batas) dimana disyaratkan bahwa B = 1.1K untuk harga
opsi call. Jika kontrak opsi dieksekusi pada waktu t dan harga saham dengan
WMA tidak mencapai atau melewati barrier maka pembayaran (payoff) adalah
perbedaan antara harga strike price dan harga saham dengan WMA terakhir yang
dipublikasikan yaitu (WMA – K) untuk opsi call. Pembayaran (payoff) ini
dibayarkan pada esok harinya. Jika harga saham dengan WMA mencapai dan
melewati barrier maka akan terjadi eksekusi secara otomatis dan pemilik dari
kontrak opsi akan langsung mendapat payoff sebesar (B – K) untuk kasus opsi
call.
55
3.3 Prosedur Penelitian
Skenario pergerakan harga saham dengan WMA akan ditinjau dari faktorfaktor yang memengaruhinya antara lain barrier sebagai pengendali keuntungan
dan kerugian disertai pembagian dividen. Argumen penting yang sering
dinyatakan mengenai KOS adalah tidak optimal untuk mengeksekusi opsi
sebelum waktu jatuh tempo (T), kecuali diharuskan untuk mengeksekusi karena
pergerakan harga saham dengan WMA akan mencapai barrier ataupun akan
dikenai pembayaran dividen. Argumen di atas memengaruhi pelaku pasar dalam
upaya memaksimumkan payoff. Hal ini berimplikasi pada penentuan nilai premi
dari opsi saham tersebut pada situasi-situasi tertentu yang harus dibayarkan.
Sehingga untuk mempelajari penentuan nilai premi suatu KOS maka perlu dilihat
pergerakan harga saham dengan WMA yang dikembangkan berdasarkan pada
faktor-faktor yang telah disebutkan yaitu adanya barrier dan pembagian dividen.
3.3.1 Kasus I: Pergerakan Harga Saham Ketika Barrier Diberlakukan
KOS opsi call di BEI dikategorikan sebagai opsi barrier tipe up-and-out
call. Opsi barrier tipe up-and-out call adalah opsi yang memiliki barrier terletak
diatas harga underlying asset atau harga suatu saham yang mendasari opsi
tersebut. Perhatikan Gambar 10 berikut ini.
T
50
45
Harga Saham
Barrier 40
35
30
25
S
20
K
15
0
10
20
30
40
Hari Perdagangan
50
60
70
Gambar 10 Pergerakan harga KOS dengan barrier.
Pada Gambar 10 di atas, S = harga saham, K = strike price, barrier (batas) dan T =
waktu jatuh tempo. Pergerakan harga saham dasar dapat melalui dua kondisi
berbeda dari pergerakan harga opsi saham yang akan memengaruhi nilai premium
dan payoff dari opsi (Derman et al. 1994), yaitu:
56 1. Harga saham tidak mencapai barrier sebelum waktu jatuh tempo.
2. Harga saham mencapai barrier sebelum waktu jatuh tempo.
Grafik berwarna merah adalah pergerakan harga saham mencapai barrier (B)
sebelum waktu jatuh tempo (T) dan grafik berwarna biru adalah pergerakan harga
saham yang tidak mencapai barrier (B) hingga waktu jatuh tempo (T).
3.3.2 Kasus II: Pergerakan Harga Saham Dikenai Dividen
Pergerakan harga saham berdasarkan Kasus II akan melewati dua periode
waktu yaitu waktu dimana harga saham tidak dikenai pembagian dividen dan
dikenai pembagian dividen. Perhatikan ilustrasi yang ditunjukkan oleh Gambar 11
berikut.
1800
t1< t < T
to < t < t1
1750
1700
H a rg a S a h a m
1650
1600 Barrier
1550
1500
1450
1400
1350
1300
0
10
20
30
40
Hari Perdagangan
50
60
70
Gambar 11 Ilustrasi pergerakan harga saham
Dari Gambar 11, misalkan pergerakan harga saham diformulasikan sebagai
berikut:
⎧t ≤ t ≤ t1
S = {S (t ) : t ≥ 0}⎨ 0
⎩ t1 ≤ t ≤ T
Pada saat harga saham bergerak dalam kurun waktu
(3.2)
t 0 ≤ t ≤ t1
diasumsikan harga saham tidak dikenai pembagian dividen. Sedangkan pada saat
t1 ≤ t ≤ T pergerakan harga saham diasumsikan dikenai pembagian dividen,
dengan t1 adalah waktu pergerakan harga saham dikenai pembagian dividen.
57
Untuk menggabungkan Kasus I dan Kasus II dalam penelitian ini maka
dikembangkan Tabel 10 sebagai acuan untuk melakukan simulasi perhitungan
nilai opsi saham.
Tabel 10 Skenario pergerakan harga saham dasar
Kasus II
S = {S (t ) : t ≥ 0 }
A: Tanpa dividen
Kasus I
I: Tidak mencapai
barrier
II: Mencapai
barrier
t 0 ≤ t ≤ t1
B: Dengan dividen
t1 ≤ t ≤ T
Skenario I A
Harga saham bergerak
tidak mencapai barrier
dan tidak dikenai dividen
Skenario I B
Harga saham bergerak
tidak mencapai barrier
dan dikenai dividen
Skenario II A
Harga saham bergerak
mencapai barrier dan
tidak dikenai dividen
Skenario II B
Harga saham bergerak
mencapai barrier dan
dikenai dividen
3.4 Model Penentuan Nilai Opsi Dengan Metode Binomial Tree
Metode binomial tree diperkenalkan oleh John Cox, Stephen Ross dan
Mark Rubinstein pada tahun 1979 di dalam paper mereka dengan judul Option
Pricing: A Simplified Approach. Model binomial tree untuk menentukan nilai opsi
merupakan suatu metode diskrit yang dapat merepresentasikan nilai pendekatan
yang wajar untuk kasus kontinu. Model penentuan nilai opsi dengan metode
binomial tree memberikan asumsi bahwa sepanjang waktu tertentu yang
diberikan, saham dasar hanya dapat bergerak naik atau bergerak turun.
Perhitungan nilai opsi dengan metode binomial tree dapat dirangkum
dalam tiga proses sebagai berikut (http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_Tree ):
1. Konstruksi metode binomial tree
Konstruksi metode binomial tree dibuat dengan prinsip bergerak maju dari
node (titik) awal sampai waktu jatuh tempo. Pada waktu t = 0 harga saham
adalah S, setelah waktu berubah (Δt ) harga saham dapat naik menjadi S.u
dengan kemungkinan p atau turun menjadi S.d dengan kemungkinan (p –
1,dimana u > 1 dan 0 < d < 1. Nilai naik dan turun dihitung berdasarkan
nilai volatilitas dari harga saham dasar ( σ ) dan waktu jatuh tempo (T)
dalam tahun. Nilai dari parameter-parameter u, d dan p adalah
58 σ
u = e
Δt
−σ
, d =e
Δt
, dan p =
e rΔt − d
.
u−d
(3.3)
S.u
p
S
(1-p)
(Δt )
S.d
Gambar 12 Konstruksi metode binomial tree.
2. Nilai opsi pada waktu jatuh tempo
Pada waktu jatuh tempo dapat dihitung nilai dari opsi dengan
menggunakan prinsip: max [(S n − K ),0 ] untuk kondisi opsi call, dimana K
adalah strike price dan S n adalah harga saham dasar.
3. Nilai opsi pada node awal
Nilai opsi pada node awal (t=0) dihitung dengan metode backward.
Langkah-langkah yang dilakukan sebagai berikut:
a) Dengan prinsip risk neutral valuation, hitung pobabilitas
pergerakan naik (p) dan pergerakan turun (1-p). Selanjutnya hitung
nilai ekspektasi dengan menggunakan formula,
⎛ n ⎛n⎞
n− j
+⎞
V = e −nrΔt ⎜⎜ ∑ ⎜⎜ ⎟⎟ p j (1 − p ) (S n − K ) ⎟⎟
(3.4)
⎠
⎝ j =0 ⎝ j ⎠
b) Hasil dari langkah a) adalah nilai opsi yang dicari untuk waktu
tertentu yang diberikan.
c) Tergantung dari tipe opsi yang diinginkan:
•
Untuk opsi tipe Eropa eksekusi dilakukan pada waktu jatuh
tempo.
•
Untuk opsi tipe Amerika, dapat dieksekusi setiap saat
hingga waktu jatuh tempo, nilainya adalah : max((Sn-K), V)
Jika ada asumsi pembagian dividen, maka metode binomial tree dapat
digunakan untuk menganalisis pergerakan harga naik dan turun. Misalkan iΔ t
59
adalah waktu setelah harga opsi saham menjadi ex-dividen maka node yang
berkorespondensi dengan harga saham menjadi
S (1 − δ )u j d i − j , j = 0,1,...i
(3.5)
Metode binomial tree dapat digunakan untuk menghitung nilai opsi
barrier tipe up-and-out call. Opsi barrier adalah opsi yang memiliki batas harga
yang menentukan opsi tersebut tetap aktif bergerak. Untuk opsi barrier tipe upand-out call, jika pergerakan harga saham mencapai barrier yang sudah
ditentukan maka nilai opsi menjadi tidak berharga atau bernilai nol.
3.5 Model Penentuan Nilai Opsi Berdasarkan Skenario Penelitian
Simulasi perhitungan nilai opsi call barrier dengan dividen tunggal akan
menggunakan sintaks MATLAB. Simulasi akan berdasarkan pada Tabel 14.
Karena KOS adalah opsi tipe Amerika maka penentuan nilai opsi dengan metode
binomial tree dalam penelitian ini dikhususkan pada opsi tipe Amerika. Adapun
sintaks MATLAB yang digunakan dalam simulasi mengacu pada sintaks
MATLAB dari Jaenudin (2009), kemudian dikembangkan untuk penentuan nilai
opsi dengan dividen
3.5.1 Metode Binomial Tree untuk Skenario I A
Skenario I A adalah skenario dimana pergerakan harga saham dasar tidak
mencapai barrier dan tidak dikenai pembagian dividen sampai waktu jatuh tempo.
Pada skenario ini akan dihitung nilai opsi call biasa tipe Amerika dan nilai opsi
barrier tipe up-and-out call Amerika. Tujuan yang hendak dicapai adalah untuk
membandingkan nilai opsi ketika barrier diberlakukan. Simulais perhitungan
menggunakan sintaks MATLAB, sehingga untuk Skenario I A terdapat dua
algoritma, yaitu untuk penentuan nilai opsi call biasa tipe Amerika dan opsi
barrier tipe up-and-out call Amerika. Algoritmanya sebagai berikut.
60 1. Algoritma opsi call tipe Amerika
Algoritma opsi call tipe Amerika menggunakan metode binomial tree
1: Input So, K, σ , r, T, n
2: Hitung Δ t = T/n, u =
σ Δt
e
e rΔt − d
− rΔt
, d=1/u, p =
, disc = e
u−d
3: Konstruksi Binomial tree
S1,1 = So;
for i = 2 : n + 1
Si ,i = Si −1,i −1 * d ;
end;
for i = 1: n + 1
for j = i + 1 : n + 1
Si , j = Si , j −1 * u ;
end;
end;
4: Payoff opsi pada waktu jatuh tempo
for i = 1 : n + 1
V i , n + 1 = max (S i , n +1 − K , 0 ) ;
end;
5: Nilai opsi pada waktu jatuh tempo menggunakan metode backward
for j = n : -1 : 1
for i = 1 : j
V i , j = max( disc * ( p *V i , j + 1 + (1 − p ) * V i + 1 , j + 1 ), S i , j − K ) ;
end;
end;
6: V1,1 adalah harga opsi call tipe Amerika
Opsi barrier tipe up-and-out call Amerika adalah opsi yang menunjukkan
posisi barrier terletak di atas harga saham dan harga strike price. Dikarenakan
opsi call yang dihitung maka posisi harga saham akan lebih besar dari harga
strike price. Untuk menentukan nilai opsi yang diberikan barrier di dalam metode
binomial tree, akan diterapkan metode tambahan dalam hal pemilihan jumlah
langkah waktu yang dikemukakan oleh Boyle dan Lau (1994) yang bertujuan
untuk mendapatkan hasil yang lebih akurat. Formulanya adalah sebagai berikut
F (m) =
m 2σ 2T
S⎞
⎛
⎜ log ⎟
B⎠
⎝
2
, m = 1,2,3,...
(3.6)
Sehingga algoritma untuk menentukan nilai opsi barrier tipe up-and-out call
Amerika diberikan sebagai berikut.
61
2. Algoritma opsi barrier tipe up-and-out call Amerika
Algoritma opsi barrier tipe up-and-out call Amerika
1: Input So, K, σ , r, T, n, B_call
2: Hitung Δ t = T/n, u =
eσ
Δt
, d=1/u, p =
e rΔt − d
− rΔt
, disc = e
u−d
3: Memilih banyaknya langkah menggunakan metode Boyle dan Lau’s
F (m) =
m 2σ 2T
S⎞
⎛
⎜ log ⎟
H⎠
⎝
2
, m = 1,2,3,...
4: Konstruksi Binomial tree
S1,1 = So;
for i = 2 : n + 1
Si ,i = Si −1,i −1 * d ;
end;
for i = 1: n + 1
for j = i + 1 : n + 1
Si , j = Si , j −1 * u ;
end;
end;
5: Payoff opsi pada waktu jatuh tempo
for i = 1 : n + 1
Vi ,n+1 = max S i ,n+1 − K ,0 ;
(
)
end;
6: Nilai opsi pada waktu 0 menggunakan metode backward
for j = n : -1 : 1
for i = 1 : j
if S i , j >= B _ call
Vi , j = Si , j − K ;
else
(
)
Vi , j = max( disc * p *Vi , j +1 + (1 − p )*Vi +1, j +1 , S i , j − K );
end;
end;
end;
7: V1,1 adalah harga opsi barrier tipe up-and-out call Amerika
3.5.2 Metode Binomial Tree untuk Skenario I B
Skenario I B adalah skenario dimana pergerakan harga saham dasar tidak
mencapai barrier tetapi dikenai pembagian dividen sebelum waktu jatuh tempo.
Analog dengan Skenario I A, pada skenario ini akan dihitung nilai opsi call biasa
tipe Amerika dengan dividen dan nilai opsi barrier tipe up-and-out call Amerika
dengan dividen. Tujuan yang hendak dicapai adalah untuk membandingkan nilai
62 opsi ketika barrier diberlakukan dan melihat pengaruh dividen terhadap nilai opsi.
Sehingga pada Skenario I B dikembangkan dua algoritma yaitu untuk menentukan
nilai opsi call biasa tipe Amerika dengan dividen dan nilai opsi barrier tipe upand-out call Amerika dengan dividen.
1. Algoritma opsi call Amerika dengan dividen
Algoritma opsi call Amerika dengan dividen
1: Input So, K, σ , r, T, D, τ D , n
2: Hitung Δ t = T/n, u =
σ Δt
e
e rΔt − d
− rΔt
, d=1/u, p =
, disc = e
u−d
3: Menghitung spot untuk dividen
S0 = So – D e − rτ D
4: Konstruksi Binomial tree
S1,1 = So;
for i = 2 : n + 1
Si ,i = Si −1,i −1 * d ;
end;
for i = 1: n + 1
for j = i + 1 : n + 1
Si , j = Si , j −1 * u ;
end;
end;
5: Payoff opsi pada waktu jatuh tempo
for i = 1 : n + 1
V i , n + 1 = max (S i , n + 1 − K * (1 − D ) * u .^ ( 2 * ( 0 : n ) − n , 0 ) ;
end;
6: Nilai opsi pada waktu 0 menggunakan metode backward
for j = n : -1 : 1
% Menghitung present value dari dividen (dD)
t = tauD/n;
dD = D*exp(-r*(tauD-t));
for i = 1 : j
S(i,j)=S(i,j)/dD;
if t>tauD;
V i , j = max( disc * (q *V i , j + 1 + (1 − q ) * V i + 1 , j + 1 ), max( S i , j − K )); ;
else
V i , j = max( disc * ( q * V i , j + (1 − q ) * V i + 1 , j + 1 ), max( S i , j + dD − K , 0 ));
end;
end;
end;
7: V1,1 adalah harga opsi call tipe Amerika dengan dividen
Skenario penentuan nilai opsi barrier tipe up-and-out call Amerika
dengan dividen juga diterapkan metode tambahan dalam hal pemilihan jumlah
63
langkah waktu yang dikemukakan oleh Boyle dan Lau (1994) untuk mendapatkan
hasil yang lebih akurat, sehingga algoritmanya diberikan sebagai berikut.
2. Algoritma opsi barrier tipe up-and-out call Amerika dengan dividen
Algoritma opsi barrier tipe up-and-out call Amerika dengan dividen
1: Input So, K, σ , r, T, n, B_call, τ D
2: Hitung Δ t = T/n, u =
eσ
Δt
, d=1/u, p =
e rΔt − d
− rΔt
, disc = e
u−d
3: Memilih banyaknya langkah menggunakan metode Boyle dan Lau’s
m 2 σ 2 T , m = 1,2,3,...
F (m ) =
2
S ⎞
⎛
⎜ log
⎟
H ⎠
⎝
4. Menghitung spot untuk dividen
S0 = So – D e − rτ D
5: Konstruksi binomial tree
S(1,1)=S0;
for i=2:n1+1
S(i,i)=S(i-1,i-1)*d;
end;
for i=1:n1+1
for j=i+1:n1+1
S(i,j)=S(i,j-1)*u;
end;
end;
6:Payoff opsi pada waktu jatuh tempo
for i=1:n1+1
V(i,n1+1)=max(S(i,n1+1)-K,0);
end;
7: Metode backward untuk menghitung nilai opsi pada waktu 0
for j=n1:-1:1
% compute present value dari dividend (dD)
t = T * i/n;
dD = D*exp(-r*(tauD-t));
for i=1:j
if S(i,j)>=B_call
V(i,j)=Si,j-K;
else if t>tauD;
V(i,j)=max(disc*(q*V(i,j+1)+(1-q)*V(i+1,j+1)),max(S(i,j)-K,0));
else
V(i,j)=max(disc*(q*V(i,j+1)+(1-q)*V(i+1,j+1)),max(S(i,j)+dD-K,0));
end;
end;
end;
end;
8: V1,1 adalah harga opsi barrier tipe up-and-out call Amerika dengan dividen
64 3.5.3 Metode Binomial Tree untuk Skenario II A
Skenario II A adalah skenario dimana pergerakan harga saham dasar
mencapai barrier dan tidak dikenai pembagian dividen sampai waktu jatuh tempo.
Pada skenario ini akan dihitung nilai opsi barrier tipe up-and-out call Amerika.
Tujuan yang hendak dicapai adalah untuk membandingkan nilai opsi ketika
pergerakan harga saham mencapai barrier dengan tidak mencapai barrier.
Berdasarkan regulasi di Bursa Efek Indonesia ketika harga saham mencapai
barrier maka nilai opsi menjadi nol dan akan terjadi eksekusi otomatis. Pada
kondisi ini pemegang hak opsi mendapatkan payoff sebesar (B-K). Sehingga
algoritmanya sama dengan algoritma pada Skenario I A yaitu penentuan nilai opsi
barrier tipe up-and-out call Amerika.
3.5.4 Metode Binomial Tree untuk Skenario II B
Penentuan nilai opsi ketika pergerakan harga saham mencapai barrier dan
dikenai dividen secara real sulit ditemui, dikarenakan ketika harga saham
menyentuh barrier maka akan terjadi exercise secara otomatis, sehingga nilainya
akan mengikuti Skenario II A. Kemungkinan lain, jika harga saham tidak
mencapai barrier dan dikenai dividen, maka kondisi ini akan sama dengan
Skenario I B yaitu opsi dengan pembagian dividen.
65
BAB IV
Simulasi Penentuan Nilai Opsi
4.1 Kondisi dan Syarat melakukan Simulasi
Simulasi dalam penelitian ini menggunakan software MATLAB. Kondisi
dan persyaratan dalam melakukan simulasi adalah sebagai berikut:
1. Simulasi dilakukan mengacu pada skenario penelitian yang sudah
dijelaskan pada bab sebelumnya.
2. Data yang digunakan adalah data saham PT. Indofood Sukses Makmur
yang diperoleh dari perpustakaan BEI, website resmi BEI dan
http://finance.yahoo.com. Simulasi menggunakan data harga saham harian
INDF, dapat dilihat pada lampiran 12.
3. Kondisi dalam simulasi adalah sebagai berikut:
•
Posisi call, yaitu harga saham > harga strike price yang biasa
dikenal dengan posisi In the Money.
•
Opsi barrier tipe up-and-out call, dimana barrier > harga saham
serta barrier > harga strike price.
•
Harga saham berubah dalam pergerakan naik, sedangkan parameter
yang lain dianggap konstan.
4.2 Langkah–Langkah Simulasi
Langkah-langkah dalam melakukan simulasi sebagai berikut.
Langkah I:
Menetapkan parameter-parameter yang akan digunakan sebagai berikut.
Tabel 11 Pendefenisian parameter
Operator
S K
B C T τD D r σ
Definisi
Harga Saham
Strike Price
Barrier
Opsi Call
Expiry Date
Expiry divDate
Dividend
Riskfree rate
Volatility
66 Langkah II:
Menentukan nilai-nilai dari parameter-parameter dalam Tabel 11 sebagai
berikut:
1. Data harga saham harian INDF yang digunakan untuk simulasi adalah data
harga penutupan saham INDF periode January – Maret 2007 dimana
harga saham terendah pada 1320 dan harga saham tertinggi pada 1800.
Dalam simulasi harga-harga saham yang digunakan berada dalam batas
terendah di 1320 dan batas tertinggi di 1800. Ilustrasi pergerakan harga
saham harian INDF periode January – Maret 2007 dapat dilihat dalam
bentuk Gambar 13 berikut.
1800
1750
H a rga S a h am D as a r IN D F
1700
1650
1600
1550
1500
1450
1400
1350
1300
0
10
20
30
40
Hari Perdagangan Periode Jan - Mar 07
50
60
70
Gambar 13 Grafik pergerakan harga saham INDF.
2. Data harga strike price, waktu jatuh tempo dan batas WMA (barrier) dari
saham INDF menggunakan data dari pengumuman resmi yang dikeluarkan
oleh
otoritas
BEI
yang
diakses
lewat
website
resmi
BEI
(http://www.jsx.co.id). Dalam simulasi digunakan surat pengumuman
penetapan seri kontrak opsi call periode January – Maret 2007 seperti
berikut.
67
Tabel 12 Perdagangan KOS periode 2 Jan 2007 – 30 Maret 2007
No
Seri
Saham Dasar
Strike Price
Batas WMA
Expiry Date
1
CINDF1050
INDF
1050
1155
30 Mar 2007
2
CINDF1150
INDF
1150
1265
30 Mar 2007
3
CINDF1250
INDF
1250
1375
30 Mar 2007
4
CINDF1350
INDF
1350
1485
30 Mar 2007
5
CINDF1450
INDF
1450
1595
30 Mar 2007
6
CINDF1550
INDF
1550
1705
30 Mar 2007
7
CINDF1650
INDF
1650
1815
30 Mar 2007
3. Nilai volatilitas dihitung menggunakan data harga harian saham INDF
sepanjang tahun 2006 dengan menggunakan formula yang sudah
dijelaskan pada bab sebelumnya.
4. Data suku bunga bebas resiko menggunakan data BI rate selama tahun
2007, yang diperoleh dari website resmi Bank Indonesia.
5. Data dividen menggunakan pengumuman dari PT Indofood Sukses
Makmur, yang diperoleh dari yahoo finance. Dalam melakukan simulasi
akan digunakan nilai dividen yang ditentukan sendiri untuk melihat
perlakuan yang terjadi pada nilai opsi call.
4.3 Hasil Simulasi Penentuan Nilai Opsi
Simulasi dan perhitungan dilakukan berdasarkan pergerakan harga saham
yang ditunjukkan pada Tabel 13.
Tabel 13 Skenario penelitian
Kasus II
S = {S (t ) : t ≥ 0 }
A: Tanpa Dividen
Kasus I
I: Tidak mencapai
barrier
II: Mencapai
barrier
t 0 ≤ t ≤ t1
B: Dengan Dividen
t1 ≤ t ≤ T
Skenario I A
Harga saham bergerak
tidak mencapai barrier dan
tidak dikenai dividen
Skenario I B
Harga saham bergerak tidak
mencapai barrier dan
dikenai dividen
Skenario II A
Harga saham bergerak
mencapai barrier dan tidak
dikenai dividen
Skenario II B
Harga saham bergerak
mencapai barrier dan
dikenai dividen
68 4.3.1 Hasil Simulasi Skenario I A
Skenario I A adalah skenario dimana pergerakan harga saham tidak
mencapai barrier sampai waktu jatuh tempo. Parameter-parameter yang
digunakan adalah harga saham yang berubah dalam pergerakan naik S0 = {1480,
1500, 1520, 1540, 1560, 1580, 1590}, r = 9.50%, σ = 40.48 %, T = 3/12, K =
1450 dan B = 1.1K = 1595. Hasil simulasi yang diperoleh disajikan pada Tabel
14 dan Gambar 14 sebagai berikut.
Tabel 14 Hasil simulasi Skenario I A
Harga Saham (So)
Tipe Opsi
1480
1500
1520
1540
1560
1580
1590
Opsi Amerika
151.781
164.284
177.523
191.485
205.446
219.916
227.554
up-and-out-Amk
104.539
111.549
118.598
125.711
132.738
139.767
143.260
240
220
Nilai O ps i
200
180
160
140
AC
BC
120
100
1480
1500
1520
1540
Harga Saham Dasar
1560
1580
1600
Gambar 14 Grafik Skenario I A.
Pada Gambar 14, AC adalah opsi call biasa tipe Amerika, BC adalah opsi
barrier tipe up-and-out call Amerika. Hasil yang disajikan menunjukkan bahwa
nilai opsi call naik seiring dengan kenaikan harga saham jika parameter yang lain
dianggap konstan. Selain itu nilai opsi barrier tipe up-and-out call Amerika lebih
murah dibandingkan nilai opsi call biasa tipe Amerika. Pada kondisi ini semakin
tinggi harga saham maka nilai premi opsi juga semakin tinggi atau posisi saham
tersebut dalam posisi In the Money. Dalam hubungannya dengan nilai premi yang
harus dibayarkan oleh pelaku pasar dapat dikatakan bahwa semakin ITM suatu
69
saham maka semakin tinggi nilai premi. Hal ini berimplikasi kepada payoff yang
akan diperoleh, jika pemegang hak opsi mengeksekusi haknya ketika harga saham
naik maka akan memperoleh keuntungan.
4.3.2 Hasil Simulasi Skenario I B
Skenario I B adalah skenario dimana harga saham tidak mencapai barrier
sampi masa jatuh tempo tetapi dikenai pembagian dividen. Parameter-parameter
yang digunakan adalah harga saham yang berubah dalam pergerakan naik S0 =
{1480, 1500, 1520, 1540, 1560, 1580, 1590}, r = 9.50% , σ = 40.48 %, T = 3/12,
K = 1450, B = 1.1K = 1595, D = 10 τ D = 2/12. Hasil simulasi yang diperoleh
disajikan di dalam Tabel 15 dan Gambar 15 sebagai berikut.
Tabel 15 Hasil simulasi Skenario I B
Harga Saham (So)
Tipe Opsi
1480
1500
1520
1540
1560
1580
1590
Amerika Div
145.628
158.131
170.652
184.614
198.575
212.537
220.036
up-and-out-AD
102.923
109.690
117.223
124.723
131.679
139.269
145.205
240
220
Nilai Opsi
200
180
160
140
ACD
BCD
120
100
1480
1500
1520
1540
Harga Saham Dasar
1560
1580
1600
Gambar 15 Grafik Skenario I B.
Pada Gambar 19,
ACD adalah opsi call biasa tipe Amerika dengan
dividen, BCD adalah opsi barrier tipe up-and-out call Amerika dengan dividen.
70 Hasil yang disajikan menunjukkan bahwa pembagian dividen memberikan
pengaruh negatif terhadap nilai opsi, kedua tipe opsi diatas mengalami penurunan
baik opsi call biasa tipe Amerika maupun opsi barrier tipe up-and-out call
Amerika. Nilai opsi barrier tipe up-and-out call Amerika dengan dividen lebih
murah dibanding nilai opsi call Amerika dengan dividen. Dalam kondisi ini,
pelaku pasar biasanya mengeksekusi haknya di awal sebelum pembagian dividen
untuk menghindari kerugian, dikarenakan setelah pembagian dividen pegerakan
harga saham menurun dan posisi ini tidak menguntungkan bagi pemegang hak
opsi call.
Untuk melihat dan menganalisis dengan lebih jelas perbandingan Skenario
I A dan Skenario I B dapat melihat Gambar 16 berikut ini.
220
200
Nilai O ps i
180
160
140
AC
120
ACD
BC
BCD
100
1480
1490
1500
1510
1520
1530
1540
Harga Saham Dasar
1550
1560
1570
1580
Gambar 16 Grafik perbandingan Skenario I A dan I B.
Pada Gambar 16, AC adalah opsi call biasa tipe Amerika dan ACD adalah
opsi call biasa tipe Amerika dengan dividen, dari grafik dapat diketahui bahwa
nilai opsi call Amerika tanpa dividen nilainya lebih tinggi dari nilai opsi call
Amerika dengan dividen. Selain itu, BC adalah opsi barrier tipe up-and-out call
Amerika tanpa dividen dan BCD adalah opsi barrier tipe up-and-out call Amerika
dengan dividen, dari grafik dapat diketahui bahwa nilai opsi barrier tipe up-andout call Amerika tanpa dividen nilainya lebih tinggi dari nilai opsi barrier tipe upand-out call Amerika dengan dividen.
71
4.3.3 Hasil Simulasi Skenario II A
Skenario II A adalah skenario dimana pergerakan harga saham mencapai
barrier sebelum waktu jatuh tempo tanpa dikenai dividen. Simulasi pada Skenario
II A analog dengan skenario-skenario sebelumnya tetapi berbeda pada harga
saham yaitu harga saham bergerak naik hingga mencapai harga 1600 dan 1620,
dimana nilainya melebihi barrier yang ditentukan. Proses perhitungan
menggunakan parameter-parameter sebagai berikut, S0 = {1500, 1520, 1540,
1560, 1580, 1600, 1620}, r = 9.50%, σ = 40.48 % , T = 3/12 , K = 1450, B =
1.1K = 1595. Hasilnya disajikan pada Tabel 16 dan Gambar 17.
Tabel 16 Hasil simulasi Skenario II A
Harga Saham (So)
Tipe Opsi
up-and-out-Amerika
1500
1540
1580
1590
1592
1600
1620
111.549
125.711
139.767
140
142
0
0
150
145
140
135
Nilai Ops i
130
125
120
115
110
105
100
1500
1520
1540
1560
Harga Saham Dasar
1580
1600
1620
Gambar 17 Grafik Skenario II A.
Hasil yang ditunjukkan oleh Tabel 16 dan Gambar 17 sebagai berikut,
sesuai dengan regulasi di Bursa Efek Indonesia, ketika harga saham ≥ barrier,
maka pemegang hak opsi mendapat payoff sebesar (B – K), pada Tabel 16
ditunjukkan pada harga saham 1600 dan 1620. Sehingga hasil yang ditunjukkan
oleh Gambar 17 dan Tabel 16, pada harga tersebut nilai opsi yang dihasilkan sama
yaitu 145. Keunikan ini merupakan salah satu ciri khas dari perdagangan opsi
72 saham yang berlaku di Bursa Efek Indonesia, karena untuk beberapa bursa di
dunia, apabila kondisi seperti diatas terjadi maka nilai opsi menjadi nol.
4.3.4 Hasil Simulasi Skenario II B
Skenario II B adalah skenario dimana pergerakan harga saham menyentuh
barrier dan dikenai dividen. Kondisi berdasarkan Skenario II B secara real sulit
ditemukan karena berdasarkan regulasi di Bursa Efek Indonesia, ketika harga
saham menyentuh barrier maka terjadi eksekusi secara otomatis dan pemegang
hak opsi mendapatkan payoff sebesar (B – K). Apabila kondisi ini terjadi maka
pelaku pasar akan mengacu pada Skenario II A. Jika pergerakan harga saham
dikenai dividen lebih dahulu maka pelaku pasar akan melakukan eksekusi awal
sebelum pembagian dividen dan kondisi ini dapat mengacu pada Skenario I B,
selain itu harga saham akan turun sehingga kemungkinan untuk mencapai barrier
semakin sulit.
4.4 Rangkuman Hasil Simulasi dan Analisis
Untuk melihat hasil analisis keseluruhan skenario maka dibuat Tabel 17
yang merupakan rangkuman hasil penelitian.
Tabel 17 Rangkuman hasil simulasi dan analisis
Skenario I A:
Hasil Analisis:
Harga saham tidak mencapai barrier dan tidak
dikenai dividen
1) Nilai opsi call Amerika cenderung naik
seiring dengan kenaikan harga saham.
2) Nilai opsi up-and-out call Amerika
cenderung naik seiring dengan kenaikan
harga saham
3) Nilai opsi up-and-out call Amerika lebih
murah dari nilai opsi call Amerika.
Skenario I B:
Hasil Analisis:
Harga saham tidak mencapai barrier dan
dikenai dividen
1) Dividen menurunkan nilai opsi call
Amerika.
2) Dividen menurunkan nilai opsi up-and-out
call Amerika.
3) Nilai opsi up-and-out call Amerika dengan
dividen lebih murah dari nilai opsi call
Amerika dengan dividen.
73
Perbandingan Skenario I A dan I B
Hasil Perbandingan:
1) Nilai opsi call Amerika dengan dividen
lebih murah daripada nilai opsi call
Amerika tanpa dividen.
2) Nilai opsi up-and-out call Amerika dengan
dividen nilainya lebih murah dari nilai opsi
up-and-out call Amerika tanpa dividen.
Skenario II A:
Hasil Analisis:
Harga saham mencapai barrier dan tidak
dikenai dividen
Sesuai dengan regulasi di Bursa Efek Indonesia,
ketika harga saham ≥ barrier, maka pemegang
hak opsi mendapat payoff sebesar (B – K).
Skenario II B:
Hasil Analisis:
Harga saham mencapai barrier dan dikenai
dividen
1) Berdasarkan regulasi di Bursa Efek
Indonesia, ketika harga saham menyentuh
barrier maka terjadi exercise secara
otomatis dan pemegang hak opsi
mendapatkan payoff sebesar (B – K).
Apabila kondisi ini terjadi maka dapat
mengacu pada Skenario II A
2) Jika pergerakan harga saham akan dikenai
dividen lebih dahulu maka pelaku pasar akan
melakukan exercise awal sebelum
pembagian dividen dan kondisi ini dapat
mengacu pada Skenario I B, selain itu harga
saham akan turun sehingga kemungkinan
untuk mencapai barrier semakin sulit.
Dari Tabel 17 dapat disimpulkan beberapa pemikiran dasar yang sesuai
dengan teori yang sudah dikembangkan sebelumnya yaitu:
1) Nilai opsi call cenderung bertambah seiring dengan kenaikan harga saham
dan berlaku juga sebaliknya.
2) Nilai opsi barrier tipe up-and-out call lebih murah dari nilai opsi call
biasa.
3) Dividen memberikan pengaruh negatif terhadap nilai opsi call, karena
dengan adanya pembagian dividen maka nilai saham menjadi berkurang
dan akan mengurangi nilai opsi call.
Beberapa pemikiran penting yang juga dapat ditarik dari hasil di atas adalah:
1) Opsi up-and-out call di Bursa Efek Indonesia mempunyai ciri khas yang
berbeda dengan opsi up-and-out call di bursa yang lain, yaitu ketika harga
saham ≥ barrier maka pemegang hak opsi mendapat payoff sebesar (B –
K), sedangkan yang berlaku di bursa lain apabila harga saham menyentuh
74 barrier maka nilai opsi menjadi nol atau tidak bernilai sehingga
mengharuskan pemegang hak opsi untuk mengeksekusi sebelum harga
saham menyentuh barrier.
2) Opsi up-and-out call dengan dividen, secara real sulit ditemukan, karena
ketika harga saham menyentuh barrier maka opsi dieksekusi secara
otomatis dan pemegang hak opsi mendapat payoff sesuai ketentuan.
Kemungkinan kedua, ketika harga saham dikenai dividen maka nilai opsi
menjadi turun, kondisi ini menyebabkan pemegang hak opsi melakukan
eksekusi di awal untuk menghindari kerugian yang dapat terjadi, selain itu
nilai opsi semakin turun dan sulit untuk mencapai barrier.
75
Bab V
Simpulan Dan Saran
5.1 Simpulan
Pergerakan harga saham di BEI untuk perdagangan opsi saham
diformulasikan ke dalam pergerakan harga saham dengan metode weighted
moving average (WMA). Faktor-faktor
yang mempengaruhi penentuan nilai
kontrak opsi call saham di BEI antara lain adanya barrier sebagai pengendali
keuntungan dan kerugian serta pembagian dividen setiap tahun untuk pemegang
saham. Sehingga model dalam penelitian ini dibuat dengan melihat pergerakan
harga saham yang dapat ditinjau dalam empat scenario. Skenario pertama
memodelkan pergerakan harga saham yang tidak mencapai barrier dan tidak
dikenai dividen sampai waktu jatuh tempo. Skenario kedua memodelkan
pergerakan harga saham yang tidak mencapai barrier tetapi dikenai dividen.
Skenario ketiga memodelkan pergerakan harga saham yang mencapai barrier
sebelum waktu jatuh tempo dan tidak dikenai dividen, serta skenario terakhir
memodelkan pergerakan harga saham yang mencapai barrier dan dikenai dividen.
Dari keempat skenario tersebut, dapat dihitung nilai opsi barrier tipe up-and-out
call di dalam kondisi yang berbeda-beda.
Hasil dari simulasi adalah sesuai dengan teori dasar yang sudah
dikembangkan. Model diskrit metode binomial tree konvergen ke model kontinu
Black-Scholes untuk opsi call tipe Eropa apabila N-step yang diambil semakin
besar. Nilai opsi call cenderung bertambah seiring dengan kenaikan harga saham.
Nilai opsi barrier tipe up-and-out call lebih murah dari nilai opsi call biasa.
Pembagian dividen memberikan pengaruh negatif terhadap nilai opsi call, karena
dengan adanya pembagian dividen maka nilai saham menjadi berkurang dan akan
mengurangi nilai opsi call.
5.2 Saran
Untuk melengkapi penelitian ini perlu diteliti mengenai opsi put yang
berlaku di Bursa Efek Indonesia, sehingga gambaran keseluruhan mengenai
perdagangan kontrak opsi saham di Bursa Efek Indonesia dapat di prediksi secara
lengkap.
76 77
DAFTAR PUSTAKA
[Bapepam] Badan Pengawas Pasar Modal. 2003. Option. http://www.bapepam.go.
id/pasar_modal/publikasi_pm/kajian_pm/option.pdf. [3Maret 2012]
Barone AG, Fusari N, Theal J. 2007. Binomial Lattices for Barrier Options. Swiss
Finance Institute, University of Lugano.
BI Rate. http://www.bi.go.id/web/id/Moneter/BI+Rate/Penjelasan+BI+Rate,
[8 Mei 2012].
Boyle PP, Lau SH. 1994. Bumping Up Against the Barrier with the Binomial
Method. The Journal of Derivatives: 6-14.
[BEI] Bursa Efek Indonesia. 2012. Derivatif. http://jsx.co.di [3 Maret 2012]
[BEI] Bursa Efek Indonesia. 2004. Keputusan Direksi PT Bursa Efek Indonesia
Nomor : Kep-310/BEJ/09-2004 tentang Peraturan Nomor II-D tentang
Perdagangan Opsi Saham.
[BEI] Bursa Efek Indonesia. 2006. Pengumuman Penetapan Seri Kontrak Opsi
Saham (KOS) Peng-252/BEJ-DAG/KOS/11-2006.
Chriss NA. 1997. Black-Scholes and Beyond: Option Pricing Models. USA:
IRWIN Professional Publishing.
Cox JC, Ross SA, Rubinstein M. 1979. Option Pricing: A Simplified Approach.
Journal of Financial Economics 7(3), 229-263.
Cuthbertson K, Nitzsche D. 2001. Financial Engineering: Derivatives and Risk
Management. USA: John Wiley & Sons.
Derman E, Ergener D, Kani I. 1994. Static Options Replication. Quantitative
Strategies Research Notes. Goldman Sachs.
Gilli M, Schumann E. 2009. Implementing Binomial Trees. Comisef Working
Papers Series, Department of Econometrics, University of Geneva and
Swiss Finance Institute.
Gunardi, Vander Weide JAM, Subanar, Haryatmi S. 2006. Indonesian Options
Pricing. Delft Institute of Applied Mathemaics, The Netherlands.
Gunardi, Vander Weide JAM, Subanar, Haryatmi S. 2008. P(I)DE Approach for
Indonesian Options Pricing. J. Indones, Math. Soc. 14:37 – 45
Hebert C. 2010. The Binomial and Trinomial Option Pricing Models. Math 5900:
Seminar on Quantitative Finance – Fall 2010. Term Paper. http://www41.
78 Homepage.villanova.edu/Klaus.volpert/teaching/financial_math/Fall10/note
s_and_handouts10.htm[5 April 2012]
Higham JC. 2004. An Introduction to Financial Option Valuation: Mathematics,
Stochastic and Computation. Cambridge: Cambridge University Press.
Hull JC. 2006. Options, Futures, and Other Derivatives. New Jersey: Pearson
Prentice Hall.
INDF. Historical Prices, http://finance.yahoo.com, [5 Mei 2012].
Jaenudin. 2009. Metode Binomial Untuk Menentukan Harga Opsi Call Indonesia
Dan Strategi Lindung Nilainya [tesis]. Bogor: Program Pascasarjana,
Institut Pertanian Bogor
Karnadjaja A, Ong E, Wijaya C, Tanujaya B, Effendi J. 2007. Smart Investment
For Mega Profit. Jakarta: Elex Media Komputindo.
Kind, A. 2011. Binomial-Tree Option Pricing. Quantitative Security Analysis,
Course-Nr. 21996, University of Basel.
Mayer E. 2010. Pricing Options with Binomial Trees. Math 5900: Seminar on
Quantitative Finance – Fall 2010. Term Paper. http://www41.homepage.vill
anova.edu/Klaus.volpert/teaching/financial_math/Fall10/notes_and_hand
outs10.htm [5 April 2012]
Niwiga DB. 2005. Numerical Method for Valuation of Financial Derivative
[tesis]. University of Western Cape, South Africa.
http://User.aim.ac.za/~bundi/thesis.pdf. [10 Mei 2012]
Purcell EJ, Varberg D. 1987. Kalkulus dan Geometri Analitik. Jakarta: Penerbit
Erlangga.
Raymond A, 2009. Perhitungan Harga Opsi Vanilla dengan Menggunakan
Metode Binomial & Trinomial, Tugas Komputasi Keuangan. Program Studi
Matematika: Institut Teknologi Bandung.
Ross SM. 1996. Stochastic Process. New York: John Wiley & Son Inc.
Safitra AD, Nugroho AR, Irwanto Y. 2011. Stock Option, Seminar Pasar Modal,
Sekolah Tinggi Akuntansi Negara.
Siven JV, Suchanecki M, Poulsen R. 2009. Barrier Options and Lumpy
Dividen.Department of Mathematical Sciences, University of Copenhagen,
Denmark.
Susilo PB, 2008. Perbandingan Kekonvergenan Beberapa Model Binomial untuk
Penentuan Harga Opsi Eropa [tesis]. Bogor: Program Pascasarjana, Institut
Pertanian Bogor.
79
Wikipedia. Barrier Option. http://en.wikipedia.org/wiki/Barrier_Option
[ 25 Mei 2012]
Wikipedia. Dividen. http://id.wikipedia.org/wiki/Dividen [ 10 Juni 2012]
Wikipedia. Binomial Tree http://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_Tree
[ 20 Mei 2012]
80 81
LAMPIRAN
82 83
Lampiran 1. Penurunan formula (2.14)
Persamaan (2.10): dS (t ) = μS (t )dt + σS (t )dW (t )
⎛ ∂V ∂V 1 2 2 ∂ 2V
Persamaan (2.11): dV = ⎜⎜ μS
+
+ σ S
∂S ∂t 2
∂S 2
⎝
Persamaan (2.13): dπ = dV −
⎞
∂V
⎟⎟dt + σS
dz.
∂S
⎠
∂V
dS .
∂S
Substitusikan (2.10) dan (2.11) ke (2.13) sehingga
dπ = dV −
∂V
dS
∂S
⎛ ∂V ∂V 1 2 2 ∂ 2V
= ⎜ μS
+
+ σ S
⎜
∂
∂
2
S
t
∂S 2
⎝
⎞
⎟dt + σS ∂V dz − ∂V (μSdt + Sdz )
⎟
∂S
∂S
⎠
⎛ ∂V
∂V ⎞
1
∂ 2V
∂V ⎞ ⎛ ∂V
∂V
= ⎜⎜ μS
dt +
dt + σ 2 S 2 2 dt + σS
dz ⎟⎟ − ⎜ μS
dt + σS
dz ⎟
∂S
∂S ⎠
2
∂S
∂t
∂S
∂S ⎠ ⎝
⎝
1 2 2 ∂ 2V
∂V ⎞
∂V ⎞ ∂V
⎛ ∂V
⎛ ∂V
= ⎜ μS
dz ⎟
dt − μS
dt ⎟ +
dt + σ S
dt + ⎜ σS
dz − σS
2
2
∂S
∂S ⎠ ∂t
∂S
∂S
∂S ⎠
⎝
⎝
= 0+
1
∂ 2V
∂V
dt + σ 2 S 2 2 dt + 0
2
∂S
∂t
⎛ ∂V 1 2 2 ∂ 2V
= ⎜⎜
+ σ S
∂S 2
⎝ ∂t 2
⎞
⎟⎟dt.
⎠
⎛ ∂V 1 2 2 ∂ 2V
Dari proses diatas, maka: dπ = ⎜⎜
+ σ S
∂S 2
⎝ ∂t 2
⎞
⎟⎟dt.
⎠
84 Lampiran 2. Penurunan formula (2.22)
⎛⎛ 1 2 ⎞
⎞
⎛ 1 ⎞
Diketahui (ln ST − ln S 0 ) ~ Ν⎜⎜ ⎜ r − σ ⎟T ,σ T ⎟⎟ dengan rataan μ = ⎜ r − σ 2 ⎟T
⎝ 2 ⎠
⎝⎝ 2 ⎠
⎠
2
dan variansi σ T .
(L2.1)
Persamaan (2.20) menyebutkan bahwa ln S T berdistribusi normal dengan rataan
⎛ 1 ⎞
m = ln S 0 + ⎜ r − σ 2 ⎟T dan standar deviasi s = σ T sehingga variansinya σ 2T .
2 ⎠
⎝
Persamaan (2.21): Q =
ln ST − m
.
σ T
Substitusikan (2.20) ke (2.21) sehingga menjadi
Q=
1
σ T
(ln ST − ln S 0 ) −
1 ⎛ σ2⎞
⎜r −
⎟T
2 ⎟⎠
σ T ⎜⎝
Jika a dan b suatu konstanta serta X suatu
2
E (aX + b ) = aE ( X ) + b dan Var(aX + b) = a Var( X )
⎛ 1
(ln ST − ln S 0 ) − 1
E (Q ) = E ⎜⎜
σ T
⎝σ T
1
σ T
E (ln S T − ln S 0 ) −
acak
⎛ σ2⎞
⎜⎜ r −
⎟T
2 ⎟⎠
⎝
1 ⎛ σ2⎞
⎜r −
⎟T
2 ⎟⎠
σ T ⎜⎝
Substitusi (L2.1) ke dalam (L2.2) diperoleh
E (Q ) =
1 ⎛ σ2⎞
1
⎜⎜ r −
⎟⎟T −
2 ⎠
σ T⎝
σ T
maka:
⎛ σ2 ⎞ ⎞
⎜⎜ r −
⎟T ⎟
2 ⎟⎠ ⎟⎠
⎝
⎛ 1
(ln ST − ln S 0 )⎞⎟ − 1
= E⎜
⎝σ T
⎠ σ T
=
peubah
⎛ σ2⎞
⎜⎜ r −
⎟T = 0
2 ⎟⎠
⎝
⎛⎛ 1
(ln ST − ln S 0 ) − 1
Var (Q ) = Var ⎜ ⎜⎜
⎜ σ T
σ T
⎝⎝
⎛ σ 2 ⎞ ⎞ ⎞⎟
⎜⎜ r −
⎟ ⎟T
2 ⎟⎠ ⎟⎠ ⎟⎠
⎝
2
⎛ 1 ⎞
=⎜
⎟ Var (ln S T − ln S 0 )
⎝σ T ⎠
⎛ 1 ⎞
= ⎜ 2 ⎟σ 2T = 1. Jadi rataan dari Q adalah 0 dan variansinya 1.
⎝σ T ⎠
(L2.2)
85
Lampiran 3. Penurunan formula (2.35)
E[S ] = SerΔt
Diketahui persamaan (2.31):
SerΔt = Spu + S (1 − p )d
e rΔt = pu + (1 − p)d
(
Diketahui persamaan (2.32): Var [S ] = S 2 e 2 rΔt eσ
(L3.1)
2
[ ]
)
Δt
−1
Var[S ] = E S 2 − [E (S )]
(
S 2 e 2 r Δt e σ
(
S 2 e2rΔt eσ
S 2 e 2rΔt +σ
2
Δt
)
2
2
Δt
− 1 = pu 2 S 2 + (1 − p )d 2 S 2 − [ puS + (1 − p )dS ]
2
Δt
−1 = pu2 S 2 + (1 − p)d 2 S 2 − SerΔt
2
)
[
]
2
− S 2 e 2rΔt = pu 2 S 2 + (1 − p)d 2 S 2 − S 2 e 2rΔt
2
e (2 r +σ )Δt = pu 2 + (1 − p )d 2
Diketahui persamaan (2.33):
(L3.2)
ud = 1
(L3.3)
e rΔt − d
p=
u−d
(L3.4)
Dari (L3.1) diperoleh
Persamaan (L3.4) disubstitusikan ke (L3.2) diperoleh
2
e (2 r +σ )Δt = pu 2 + (1 − p )d 2
(
)
= p u2 − d 2 + d 2
⎛ e r Δt − d ⎞ 2
⎟⎟ u − d 2 + d 2
= ⎜⎜
⎝ u−d ⎠
(
(
)
)
= e rΔt − d (u + d ) + d 2
= ue rΔt + de rΔt − ud − d 2 + d 2
= (u + d )e rΔt − ud
2
e (2 r +σ )Δt = (u + d )e rΔt − ud
Persamaan (L3.3) disubstitusikan ke dalam persamaan (L3.5) diperoleh
2
⎛1+ d 2
e (2 r +σ )Δt + 1 = ⎜⎜
⎝ d
⎞ rΔ t
⎟⎟e
⎠
(L3.5)
86 Lampiran 3 (Lanjutan)
1+ d
e (r +σ )Δt + e −rΔt =
2
(
2
d
)
2
d e (r +σ )Δt + e − rΔt = 1 + d 2
(
)
2
d 2 − d e (r +σ )Δt + e − rΔt + 1 = 0
(L3.6)
Bentuk persmaan kuadrat (L3.6) diselesaikan diperoleh
(
(r +σ 2 )Δt + e − rΔt
⎛
d
e
⎜d −
⎜
2
⎝
(
)
)⎞⎟
(
2
⎛ d e (r +σ )Δt + e − rΔt
=⎜
⎟
⎜
2
⎠
⎝
2
)⎞⎟
⎟
⎠
2
−1
2
d e (r +σ )T + e − rΔt
Dimisalkan β =
, maka persamaan diaas dapat ditulis sebagai
2
(d − β )2 = β 2 − 1
(d − β ) = ±
β 2 − 1 , (diambil (-) karena faktor d )
d = β − β 2 −1
(L3.7)
Secara analog dapat dikerjakan juga untuk u, sehingga diperoleh
u = β + β 2 −1
(L3.8)
Persamaan (L3.7) dan (L3.8) diselesaikan dengan menggunakan rumus solusi
persamaan kuadrat pada persamaan yang terbentuk. Jika Δt → 0 , maka dengan
menggunakan ekspansi e x = 1 + x +
x2
2
dan mengabaikan suku Δ t n , n ≥ 2
diperoleh
u=e
σ Δt
, d =e
−σ
Δt
e rΔt − d
, dan p =
u−d
(2.35)
87
Lampiran 4. Penurunan formula (2.38) dan (2.39)
(1 + u )ΔST −1 + (1 + r )B = cT ,u
(1 + d )ΔST −1 + (1 + r )B = cT ,d
-
(1 + u )ΔST −1 − (1 + d )ΔST −1 = CT ,u − CT ,d
(u − d )ΔST −1 = CT ,u − CT ,d
Δ=
CT ,u − CT ,d
(u − d )ST −1
(2.38)
Substitusi (2.38) ke persamaan (2.36) diperoleh
(1 + d )ΔST −1 + (1 + r )B = CT ,d
⎡ C T ,u − C T , d ⎤
⎥ S T −1 + (1 + r )B = CT ,d
(
)
u
−
d
S
T −1 ⎦
⎣
(1 + d )⎢
(1 + d )(CT ,u − CT ,d ) (1 + r )(u − d )B
+
= CT , d
(u − d )
(u − d )
(1 + d )(CT ,u − CT ,d ) + (1 + r )(u − d )B = (u − d )CT ,d
(1 + r )(u − d )B = CT ,d (u − d ) − (1 + d )(CT ,u − CT ,d )
B=
=
CT ,d (u − d ) − (1 + d )(CT ,u − CT ,d )
(1 + r )(u − d )
(1 + u )CT ,d − (1 + d )CT ,u
(1 + r )(u − d )
(2.39)
88 Lampiran 5. Penurunan formula (2.46)
Diketahui (2.44): Δ =
fu − fd
S 0u − S 0d
(
)
Diketahui (2.45): f = S 0 Δ 1 − ue − rT + f u e − rT
Substitusikan (2.44) ke (2.45) diperoleh:
f =
=
fu − f d
S 0 1 − ue −rT + f u e −rT
S 0u − S 0 d
(
)
fu − f d
1 − ue −rT + f u e −rT
(u − d )
(
)
(
f u − f d )(1 − ue − rT ) (u − d ) f u e − rT
=
+
(u − d )
(u − d )
=
(1 − de ) f
− rT
(u − d )
= e − rT
(e
+
u
(ue
)
− rT
−1 fd
(u − d )
)
(
)
u − e rT
−d
f u + e −rT
f
(u − d )
(u − d ) d
rT
Dipilih p =
e rT − d
, maka
u−d
= e − rT ( pf u + (1 − p ) f d )
89
Lampiran 6. Program grafik kekonvergenan
%%%%%%%%%% Grafik Kekonvergenan Model Binomial Tree %%%%%%%
%%%%%%%%%% Input Parameter Opsi %%%%%%%%%%%%%%%%%%
tic
S=50;
% Harga Saham
K=50;
% Harga eksekusi
T=0.5;
% Waktu jatuh tempo
r=0.05;
% Tingkat suku bunga
sigma=0.5;
% Volatilitas
%%%%%%%%%% Input Parameter Binomial Tree %%%%%%%%%%%%%%
%M adalah banyak refinement, sebagai n
%M=40;
for M=1:200
dt=T/M;
u=exp(sigma*sqrt(dt)); % parameter naik
d=exp(-sigma*sqrt(dt)); % parameter turun
p=(exp(r*dt)-d)/(u-d); % probabilitas
W=max(S*d.^([M:-1:0]').*u.^([0:M]')-K,0);
for i=M:-1:1
W=exp(-r*dt)*(p*W(2:i+1)+(1-p)*W(1:i));
end
%%%%%%%%% Kontruksi gambar kekonvergenan binomial tree %%%%%%%
%disp('harga opsi call adalah'),disp(W)
disp([M,W])
B(M)=W;
end
x=10:1:M;
y=B(10:200)
plot(x,y)
hold off
%%%%%%%%% Solusi Black-Scholes untuk Call Eropa %%%%%%%%%%%
d1=(log(S/K)+(r+sigma^2/2)*T)/(sigma*T^0.5);
d2=(log(S/K)+(r-sigma^2/2)*T)/(sigma*T^0.5);
Nd1=normcdf(d1,0,1);
Nd2=normcdf(d2,0,1);
C=S*Nd1-K*exp(-r*T)*Nd2;
disp('nilai call Eropa untuk Black-Scholes adalah'),disp(C)
line([10,200],[C,C])
toc
90 Lampiran 7. Program penentuan nilai opsi call tipe Eropa
clear all;clc;
disp('Harga opsi call tipe Eropa dengan metode binomial');
%%%%%%%%%%%%%% Input Parameter Opsi %%%%%%%%%%%%%%
So=1590;
%Harga Saham Sekarang
K=1450;
%Harga Eksekusi
T=3/12;
%Waktu Jatuh Tempo
Vol=0.4048;
%Volatilitas
r=0.095;
%Tingkat Suku Bunga
%%%%%%%%%%%%%% Parameter Metode Binomial %%%%%%%%%%%
n=100;
%Jumlah Periode
delta_t=T/n;
%Membagi interval [0,T] sama panjang
u=exp(Vol*sqrt(delta_t));
%Proporsi saham ketika akan naik
d=1/u;
%Proporsi saham ketika akan turun
q=(exp(r*delta_t)-d)/(u-d); %Peluang bebas resiko ketika saham akan naik
disc=exp(-r*delta_t);
%Faktor diskon pada metode backward
%%%%%%%%%%%%%% Kontruksi Binomial Tree %%%%%%%%%%%%%
S=zeros(n+1,n+1);
%Inisialisasi tree
V=S;
H=zeros(n,n);
S(1,1)=So;
%Membuat binomial tree saham pada setiap periode
for i=2:n+1
S(i,i)=S(i-1,i-1)*d;
% Entry down multiplication
end;
for i=1:n+1
for j=i+1:n+1
S(i,j)=S(i,j-1)*u;
% Entry up multiplication
end;
end;
%%%%%% Menghitung imbalan opsi pada saat jatuh tempo %%%%%%%%%%
for i=1:n+1
V(i,n+1)=max(S(i,n+1)-K,0);
end;
% %%% Metode backward untuk menghitung nilai opsi pada waktu 0 %%%%%
for j=n:-1:1
for i=1:j
V(i,j)=disc*(q*V(i,j+1)+(1-q)*V(i+1,j+1));
end;
end;
% %%%%%%%%%%%%% %% Tampilan hasil %%%%%%%%%%%%%%%
disp(['Harga opsi call tipe Eropa yang sesuai=' num2str(V(1,1))]);
91
Lampiran 8. Program penentuan nilai opsi call tipe Amerika
clear all; clc;
disp('Harga opsi call tipe Amerika dengan metode binomial');
%%%%%%%%%%%%%% Input Parameter Opsi %%%%%%%%%%%%%%
So = 1500;
% Harga Saham Sekarang
K = 1450;
% Harga Eksekusi
T = 3/12;
% Waktu Jatuh Tempo
Vol = 0.4048;
% Volatilitas
r = 0.095;
% Tingkat Suku Bunga
%%%%%%%%%%%%%% Parameter Metode Binomial %%%%%%%%%%%
n = 100;
% Banyaknya Periode
delta_t = T/n;
% Membagi interval [0,T] sama panjang
u=exp(Vol*sqrt(delta_t));
% Proporsi saham yang akan naik
d=1/u;
% Proporsi Saham yang akan turun
q=(exp(r*delta_t)-d)/(u-d); % Peluang risiko netral pada saat saham akan naik
disc=exp(-r*delta_t);
% Faktor diskon yang pada metode backward
%%%%%%%%%%%%%% Kontruksi Binomial Tree %%%%%%%%%%%%%
S=zeros(n+1,n+1);
% Inisialisasi tree
V=S;
H=zeros(n,n);
S(1,1)=So;
%Membuat binomial tree saham pada setiap periode
for i=2:n+1
S(i,i)=S(i-1,i-1)*d;
% Entry down multiplication
end;
for i=1:n+1
for j=i+1:n+1
S(i,j)=S(i,j-1)*u;
% Entry up multiplication
end;
end;
%%%%%%%%% Menghitung imbalan opsi pada saat jatuh tempo %%%%%%%
for i=1:n+1
V(i,n+1)=max(S(i,n+1)-K,0);
end;
% %%%% Metode backward untuk menghitung nilai opsi pada waktu 0 %%%%
for j=n:-1:1
for i=1:j
V(i,j)=max(disc*(q*V(i,j+1)+(1-q)*V(i+1,j+1)),max(S(i,j)-K,0));
end;
end;
% %%%%%%%%%%%%%%% Tampilan hasil %%%%%%%%%%%%%%%
disp(['Harga opsi call tipe America yang sesuai=' num2str(V(1,1))]);
92 Lampiran 9. Program penentuan nilai opsi up-and-out call Amerika
clear all;clc;
disp('Harga opsi barrier tipe up-and-out call tipe Amerika dengan metode
binomial');
%%%%%%%%%%%%%% Input Parameter Opsi %%%%%%%%%%%%%%
So=1590;
%Harga Saham Sekarang
K=1450;
%Harga Eksekusi
B_call=1.1*K;
% Batas Harga Opsi Call
T=3/12;
%Waktu Jatuh Tempo
Vol=0.4048;
%volatilitas
r=0.095;
%Tingkat Suku Bunga
%%%%%%%%%%%%%% Parameter Metode Binomial %%%%%%%%%%%
n=100;
% Jumlah Periode
% %%% Metode Boyle dan Lau's dalam memilih banyaknya step %%%%%%%
kk = ((log(So/B_call))^2)/(Vol^2*T);
mm = sqrt(n*kk);
mm = ceil(mm);
n1 = floor(mm*mm/kk);
delta_t = T/n1;
% Membagi interval [0,T] sama panjang
u=exp(Vol*sqrt(delta_t));
%Proporsi saham ketika akan naik
d=1/u;
%Proporsi saham ketika akan turun
q=(exp(r*delta_t)-d)/(u-d); %Peluang bebas resiko ketika saham akan naik
disc=exp(-r*delta_t);
%Faktor diskon pada metode backward
%%%%%%%%%%%%%% Kontruksi Binomial Tree %%%%%%%%%%%%%
S=zeros(n1+1,n1+1);
% Inisialisasi tree
V=S;
H=zeros(n1,n1);
S(1,1)=So;
%Membuat binomial tree saham pada setiap periode
for i=2:n1+1
S(i,i)=S(i-1,i-1)*d;
% Entry down multiplication
end;
for i=1:n1+1
for j=i+1:n1+1
S(i,j)=S(i,j-1)*u;
% Entry up multiplication
end;
end;
%%%%%%%%% Menghitung imbalan opsi pada saat jatuh tempo %%%%%%%
for i=1:n1+1
V(i,n1+1)=max(S(i,n1+1)-K,0);
end;
% %%%% Metode backward untuk menghitung nilai opsi pada waktu 0 %%%%
for j=n1:-1:1
for i=1:j
if S(i,j)>=B_call
%Persyaratan barrier
V(i,j)=B_call-K;
else
V(i,j)=max(disc*(q*V(i,j+1)+(1-q)*V(i+1,j+1)),max(S(i,j)-K));
93
Lampiran 9 (Lanjutan)
end;
end;
end;
% %%%%%%%%%%%%%%% Tampilan hasil %%%%%%%%%%%%%%%
disp(['Harga opsi barrier tipe up-and-out call Amerika yang sesuai='
num2str(V(1,1))]);
94 Lampiran 10. Program penentuan nilai opsi call Amerika dengan dividen
clear all; clc;
disp('Harga opsi call tipe Amerika dengan dividen menggunakan metode
binomial');
%%%%%%%%%%%%%% Input Parameter Opsi %%%%%%%%%%%%%%
So = 1380;
% Harga Saham Sekarang
K = 1050;
% Harga Eksekusi
T = 3/12;
% Waktu Jatuh Tempo
Vol = 0.1772;
% Volatilitas
r = 0.095;
% Tingkat Suku Bunga
%%%%%%%%%%%%%% Parameter Metode Binomial %%%%%%%%%%%
n = 5;
% Banyaknya Periode
D = 10;
% Besarnya Dividend
tauD = 2/12;
% Waktu pembayaran dividend
delta_t = T/n;
% Membagi interval [0,T] sama panjang
u=exp(Vol*sqrt(delta_t));
% Proporsi saham yang akan naik
d=1/u;
% Proporsi Saham yang akan turun
q=(exp(r*delta_t)-d)/(u-d); % Peluang risiko netral pada saat saham akan naik
disc=exp(-r*delta_t);
% Faktor diskon pada metode backward
S0 = So-D*exp(-r*tauD);
% Besarnya harga awal setelah dividen
%%%%%%%%%%%%%% Kontruksi Binomial Tree %%%%%%%%%%%%%
S=zeros(n+1,n+1);
% Inisialisasi tree
V=S;
H=zeros(n,n);
S(1,1)=S0;
%Membuat binomial tree saham pada setiap periode
for i=2:n+1
S(i,i)=S(i-1,i-1)*d;
% Entry down multiplication
end;
for i=1:n+1
for j=i+1:n+1
S(i,j)=S(i,j-1)*u;
% Entry up multiplication
end;
end;
%%%%%%%%% Menghitung imbalan opsi pada saat jatuh tempo %%%%%%%
for i=1:n+1
V(i,n+1)=max(S(i,n+1)-K,0);
end;
% %%%% Metode backward untuk menghitung nilai opsi pada waktu 0 %%%%
for j=n:-1:1
t = tauD*i/n;
dD = D*exp(-r*(tauD-t)); % compute present value dari dividend (dD)
for i=1:j
S(i,j)=S(i,j)/dD;
if t>tauD;
V(i,j)=max(disc*(q*V(i,j+1)+(1-q)*V(i+1,j+1)),max(S(i,j)-K,0));
else
V(i,j)=max(disc*(q*V(i,j+1)+(1-q)*V(i+1,j+1)),max(S(i,j)+dD-K,0));
95
Lampiran 10 (Lanjutan)
end;
end;
end;
% %%%%%%%%%%%%%%% Tampilan hasil %%%%%%%%%%%%%%%
disp(['Harga opsi call tipe Amerika dengan dividen yang Sesuai='
num2str(V(1,1))]);
96 Lampiran 11. Program penentuan nilai opsi up-and-out call Amerika dengan
dividen
clear all;clc;
disp('Harga opsi barrier tipe up-and-out call Amerika dengan dividen
menggunakan metode binomial');
%%%%%%%%%%%%%% Input Parameter Opsi %%%%%%%%%%%%%%
So=1590;
%Harga Saham Sekarang
K=1450;
%Harga Eksekusi
B_call=1.1*K;
%Batas Harga Opsi Call
T=3/12;
%Waktu Jatuh Tempo
Vol=0.4048;
%Volatilitas
r=0.095;
%Tingkat Suku Bunga
%%%%%%%%%%%%%% Parameter Metode Binomial %%%%%%%%%%%
n=100;
%Jumlah Periode
% %%% Metode Boyle dan Lau's dalam memilih banyaknya step %%%%%%%
kk = ((log(So/B_call))^2)/(Vol^2*T);
mm = sqrt(n*kk);
mm = ceil(mm);
n1 = floor(mm*mm/kk);
delta_t = T/n1;
%Membagi interval [0,T] sama panjang
u=exp(Vol*sqrt(delta_t));
%Proporsi saham ketika akan naik
d=1/u;
%Proporsi saham ketika akan turun
q=(exp(r*delta_t)-d)/(u-d); % Peluang bebas resiko ketika saham akan naik
disc=exp(-r*delta_t);
%Faktor diskon pada metode backward
D = 10;
% Besarnya Dividend
tauD = 2/12;
% Waktu pembayaran dividend
S0 = So-D*exp(-r*tauD);
% Besarnya harga awal setelah dividen
%%%%%%%%%%%%%% Kontruksi Binomial Tree %%%%%%%%%%%%%
S=zeros(n1+1,n1+1);
% Inisialisasi tree
V=S;
H=zeros(n1,n1);
S(1,1)=S0;
%Membuat binomial tree saham pada setiap periode
for i=2:n1+1
S(i,i)=S(i-1,i-1)*d;
% Entry down multiplication
end;
for i=1:n1+1
for j=i+1:n1+1
S(i,j)=S(i,j-1)*u;
% Entry up multiplication
end;
end;
%%%%%%%%% Menghitung imbalan opsi pada saat jatuh tempo %%%%%%%
for i=1:n1+1
V(i,n1+1)=max(S(i,n1+1)-K,0);
end;
% %%%% Metode backward untuk menghitung nilai opsi pada waktu 0 %%%%
for j=n1:-1:1
97
Lampiran 11 (Lanjutan)
t = T * i/n;
dD = D*exp(-r*(tauD-t));
% Compute present value dari dividend (dD)
for i=1:j
if S(i,j)>=B_call
V(i,j)=B_call-K;
else if t>tauD;
V(i,j)=max(disc*(q*V(i,j+1)+(1-q)*V(i+1,j+1)),max(S(i,j)-K,0));
else
V(i,j)=max(disc*(q*V(i,j+1)+(1-q)*V(i+1,j+1)),max(S(i,j)+dD-K,0));
end;
end;
end;
end;
% %%%%%%%%%%%%%%% Tampilan hasil %%%%%%%%%%%%%%%
disp(['Harga opsi barrier tipe up-and-out call Amerika dengan dividen yang
Sesuai=' num2str(V(1,1))]);
98 Lampiran 12. Data harga saham INDF (IDR) periode 2006 - 2007
Date
12/28/2007
12/27/2007
12/26/2007
12/19/2007
12/18/2007
12/17/2007
12/14/2007
12/13/2007
12/12/2007
12/11/2007
12/10/2007
12/7/2007
12/6/2007
12/5/2007
12/4/2007
12/3/2007
11/30/2007
11/29/2007
11/28/2007
11/27/2007
11/26/2007
11/23/2007
11/22/2007
11/21/2007
11/20/2007
11/19/2007
11/16/2007
11/15/2007
11/14/2007
11/13/2007
11/12/2007
11/9/2007
11/8/2007
11/7/2007
11/6/2007
11/5/2007
11/2/2007
11/1/2007
10/31/2007
10/30/2007
Open
2525
2575
2450
2475
2450
2500
2600
2650
2650
2675
2575
2700
2675
2525
2475
2525
2600
2600
2625
2550
2600
2475
2450
2600
2475
2800
2700
2700
2750
2575
2550
2400
2175
2175
2150
2200
2150
2225
2125
2075
High
2575
2600
2575
2475
2475
2525
2600
2675
2675
2700
2675
2725
2700
2625
2525
2550
2625
2625
2625
2650
2650
2550
2525
2625
2625
2800
2850
2775
2775
2700
2700
2650
2375
2275
2175
2200
2225
2275
2200
2175
Low
2525
2500
2450
2400
2400
2425
2475
2575
2625
2650
2575
2575
2625
2500
2450
2475
2500
2550
2500
2550
2525
2475
2425
2450
2375
2575
2700
2650
2650
2475
2500
2400
2150
2150
2125
2125
2125
2175
2100
2075
Close
2575
2550
2575
2450
2450
2450
2550
2600
2650
2700
2625
2575
2700
2625
2525
2500
2525
2600
2550
2600
2650
2525
2475
2475
2600
2575
2800
2750
2675
2675
2600
2625
2375
2225
2150
2125
2225
2225
2200
2125
Volume
6669000
8194500
7588500
10143000
7836000
11901500
8717500
5640500
7017000
11867000
5479500
13314000
25802000
20073500
16579000
7126500
13463500
11489000
12594500
12702500
17598500
9257000
13521500
11542500
36073500
25760500
55142000
39801500
49351000
106891500
70784500
154624000
142633500
55851000
10769000
16771000
41073000
104370000
55344000
69439000
Adj Close*
2404.1
2380.75
2404.1
2287.39
2287.39
2287.39
2380.75
2427.44
2474.12
2520.8
2450.78
2404.1
2520.8
2450.78
2357.41
2334.07
2357.41
2427.44
2380.75
2427.44
2474.12
2357.41
2310.73
2310.73
2427.44
2404.1
2614.16
2567.48
2497.46
2497.46
2427.44
2450.78
2217.37
2077.33
2007.3
1983.96
2077.33
2077.33
2053.98
1983.96
99
Date
10/29/2007
10/26/2007
10/25/2007
10/24/2007
10/23/2007
10/22/2007
10/19/2007
10/18/2007
10/17/2007
10/11/2007
10/10/2007
10/9/2007
10/8/2007
10/5/2007
10/4/2007
10/3/2007
10/2/2007
10/1/2007
9/28/2007
9/27/2007
9/26/2007
9/25/2007
9/24/2007
9/21/2007
9/20/2007
9/19/2007
9/18/2007
9/17/2007
9/14/2007
9/13/2007
9/12/2007
9/11/2007
9/10/2007
9/7/2007
9/6/2007
9/5/2007
9/4/2007
9/3/2007
8/31/2007
8/30/2007
8/29/2007
8/28/2007
Open
2050
2050
1990
2010
1910
1900
2050
2075
2050
2075
2050
2000
2025
2000
2000
2025
1970
1940
1950
1970
1950
1980
1940
1870
1900
1870
1830
1850
1810
1800
1800
1790
1800
1840
1820
1880
1870
1860
1850
1900
1820
1840
High
2100
2075
2040
2030
1990
1925
2050
2100
2075
2100
2125
2075
2025
2025
2025
2050
2030
1960
1950
1970
1960
1980
1990
1930
1900
1900
1870
1870
1870
1810
1810
1800
1800
1840
1860
1880
1890
1890
1880
1920
1850
1910
Low
2025
2000
1980
1960
1910
1850
1975
2025
2025
2050
2050
2000
2000
1975
1975
1975
1970
1940
1910
1940
1940
1930
1940
1870
1860
1860
1820
1820
1800
1780
1790
1780
1770
1800
1820
1830
1850
1850
1820
1820
1810
1840
Close
2100
2025
2020
1970
1990
1900
2000
2050
2075
2075
2075
2050
2025
2000
2000
2000
2010
1960
1930
1950
1960
1950
1980
1930
1870
1890
1860
1850
1850
1800
1800
1790
1780
1820
1840
1840
1870
1870
1860
1830
1850
1870
Volume
30059500
31048000
54826500
17540500
19165500
22858500
13031500
24482000
25248000
23522000
62662500
26516000
18264000
26098500
10377500
45442500
67458000
11655000
14547000
8243000
8305500
31478500
36171000
20252000
8714500
39036500
12134500
11472000
43670000
6506000
9522000
7690500
15535000
16214500
17565000
12563500
9172500
21104000
20551500
26034000
10806500
27083000
Adj Close*
1960.62
1890.6
1885.93
1839.25
1857.92
1773.9
1867.26
1913.94
1937.28
1937.28
1937.28
1913.94
1890.6
1867.26
1867.26
1867.26
1876.59
1829.91
1801.9
1820.58
1829.91
1820.58
1848.59
1801.9
1745.89
1764.56
1736.55
1727.21
1727.21
1680.53
1680.53
1671.2
1661.86
1699.21
1717.88
1717.88
1745.89
1745.89
1736.55
1708.54
1727.21
1745.89
100 Date
8/27/2007
8/24/2007
8/23/2007
8/22/2007
8/21/2007
8/20/2007
8/16/2007
8/15/2007
8/14/2007
8/10/2007
8/9/2007
8/8/2007
8/7/2007
8/6/2007
8/3/2007
8/2/2007
8/1/2007
7/31/2007
7/27/2007
7/26/2007
7/25/2007
7/24/2007
7/23/2007
7/20/2007
7/19/2007
7/18/2007
7/17/2007
7/13/2007
7/12/2007
7/11/2007
7/10/2007
7/9/2007
7/6/2007
7/5/2007
7/4/2007
7/3/2007
7/2/2007
6/29/2007
6/28/2007
6/27/2007
6/26/2007
6/25/2007
Open
1850
1810
1800
1750
1750
1700
1670
1780
1840
1800
1910
1830
1860
1840
1890
1920
1975
2000
2000
2150
2150
2175
2200
2225
2150
2150
2125
2200
2200
2175
2200
2200
2125
2100
2100
2050
2025
2025
2050
2075
2150
2025
High
1850
1820
1850
1760
1800
1780
1670
1780
1840
1870
1930
1890
1880
1840
1900
1930
2000
2020
2050
2150
2175
2200
2200
2250
2225
2175
2175
2250
2250
2200
2250
2275
2225
2125
2125
2100
2075
2050
2075
2075
2200
2175
Low
1820
1790
1800
1720
1710
1700
1560
1710
1780
1780
1860
1830
1800
1800
1860
1850
1850
1960
1950
2050
2125
2150
2125
2175
2125
2125
2125
2200
2150
2150
2175
2175
2075
2075
2050
2025
2000
1975
1950
1975
2025
2025
Close
1840
1820
1830
1750
1720
1770
1600
1720
1810
1860
1870
1890
1810
1840
1870
1870
1900
2000
2000
2100
2150
2175
2175
2200
2225
2150
2150
2200
2175
2200
2200
2200
2200
2125
2075
2100
2050
2025
2025
2025
2075
2175
Volume
14253500
7170500
19168500
8754500
7327000
11513000
18297000
17907500
27512500
9758500
16564500
14020000
13920000
26540000
19440000
31994000
27190000
14899000
46241500
27931500
8556500
10927000
28119500
19559000
26345000
18855500
12268000
19729500
16761500
29376500
22826000
29546000
33916000
19981000
13177000
12380000
24694500
7865500
12745500
14470500
31963500
35187000
Adj Close*
1717.88
1699.21
1708.54
1633.85
1605.84
1652.52
1493.81
1605.84
1689.87
1736.55
1745.89
1764.56
1689.87
1717.88
1745.89
1745.89
1773.9
1867.26
1855.26
1948.02
1994.41
2017.6
2017.6
2040.79
2063.98
1994.41
1994.41
2040.79
2017.6
2040.79
2040.79
2040.79
2040.79
1971.22
1924.83
1948.02
1901.64
1878.45
1878.45
1878.45
1924.83
2017.6
101
Date
6/22/2007
6/21/2007
6/20/2007
6/19/2007
6/18/2007
6/15/2007
6/14/2007
6/13/2007
6/12/2007
6/11/2007
6/8/2007
6/7/2007
6/6/2007
6/5/2007
6/4/2007
5/31/2007
5/30/2007
5/29/2007
5/28/2007
5/23/2007
5/22/2007
5/21/2007
5/16/2007
5/15/2007
5/14/2007
5/11/2007
5/10/2007
5/9/2007
5/8/2007
5/7/2007
5/4/2007
5/3/2007
5/2/2007
5/1/2007
4/30/2007
4/27/2007
4/26/2007
4/24/2007
4/23/2007
4/20/2007
4/19/2007
4/18/2007
Open
2050
2025
2000
1960
2075
2150
2000
1970
1890
1850
1850
1870
1860
1900
1750
1720
1740
1790
1790
1690
1670
1690
1650
1680
1650
1680
1730
1710
1700
1690
1640
1650
1660
1630
1680
1700
1680
1660
1680
1660
1640
1710
High
2050
2100
2070
2000
2100
2150
2110
1990
2010
1890
1860
1900
1910
1920
1920
1760
1740
1800
1830
1700
1710
1690
1690
1680
1680
1700
1730
1740
1720
1720
1700
1660
1670
1660
1690
1700
1720
1670
1700
1680
1670
1710
Low
2000
2025
1990
1960
1950
2025
2000
1970
1890
1850
1820
1850
1850
1850
1750
1720
1680
1740
1750
1680
1670
1670
1650
1640
1650
1640
1680
1700
1690
1680
1640
1650
1630
1630
1630
1680
1670
1620
1650
1650
1620
1660
Close
2050
2050
2070
1990
1975
2050
2100
1980
1990
1880
1840
1890
1880
1870
1890
1730
1700
1740
1780
1690
1690
1680
1680
1650
1660
1650
1680
1720
1710
1690
1680
1660
1640
1640
1640
1690
1700
1630
1660
1660
1640
1670
Volume
4316500
8360000
32825000
6074500
18638000
12878000
67424500
6993500
95716500
11337500
8592000
6932000
15382000
29622500
126890000
23084000
22641000
18774000
117029000
15329500
18816000
4121500
9768500
21723500
7943000
27603500
12205500
42070000
23134500
31873000
23066000
11552000
17391000
7276000
19013000
7941000
39865000
24484500
12595000
4177000
10132500
10849000
Adj Close*
1901.64
1901.64
1920.2
1845.99
1832.07
1901.64
1948.02
1836.71
1845.99
1743.95
1706.84
1753.22
1743.95
1734.67
1753.22
1604.8
1576.97
1614.08
1651.18
1567.7
1567.7
1558.42
1558.42
1530.59
1539.87
1530.59
1558.42
1595.53
1586.25
1567.7
1558.42
1539.87
1521.31
1521.31
1521.31
1567.7
1576.97
1512.04
1539.87
1539.87
1521.31
1549.14
102 Date
4/17/2007
4/16/2007
4/13/2007
4/12/2007
4/11/2007
4/10/2007
4/9/2007
4/5/2007
4/4/2007
4/3/2007
4/2/2007
3/30/2007
3/29/2007
3/28/2007
3/27/2007
3/26/2007
3/23/2007
3/22/2007
3/21/2007
3/20/2007
3/16/2007
3/15/2007
3/14/2007
3/13/2007
3/12/2007
3/9/2007
3/8/2007
3/7/2007
3/6/2007
3/5/2007
3/2/2007
3/1/2007
2/28/2007
2/27/2007
2/26/2007
2/23/2007
2/22/2007
2/21/2007
2/20/2007
2/16/2007
2/15/2007
2/14/2007
Open
1730
1670
1600
1550
1560
1560
1550
1560
1580
1530
1530
1540
1510
1540
1480
1490
1510
1420
1390
1430
1450
1490
1480
1510
1500
1520
1530
1540
1520
1540
1560
1570
1500
1590
1630
1650
1700
1690
1710
1680
1680
1690
High
1740
1740
1680
1610
1570
1570
1570
1560
1610
1580
1540
1540
1550
1540
1560
1510
1540
1490
1400
1430
1450
1490
1490
1510
1520
1530
1530
1540
1540
1550
1570
1580
1560
1620
1630
1660
1710
1720
1710
1700
1710
1720
Low
1680
1670
1600
1550
1550
1550
1540
1530
1560
1520
1520
1520
1500
1510
1480
1480
1490
1420
1370
1380
1410
1430
1470
1490
1490
1480
1510
1500
1510
1480
1550
1550
1450
1580
1570
1630
1660
1690
1670
1670
1660
1640
Close
1700
1730
1670
1590
1560
1560
1550
1540
1560
1570
1530
1520
1540
1530
1540
1480
1490
1490
1400
1390
1420
1450
1470
1500
1510
1490
1520
1510
1540
1490
1550
1570
1560
1590
1590
1630
1660
1700
1680
1680
1680
1660
Volume
14343000
37053000
65389500
58426000
14261500
7217500
11235000
10858500
39253500
34819000
13787000
3384000
22878500
20101500
57390500
14224000
92448000
90634500
37351500
35182000
22027500
24305500
11142500
16889500
12126500
4918000
9895000
13606000
3589500
19571500
4248500
13913500
39119500
38087000
39217500
15179000
24027000
43158000
9316500
8305000
49952500
32348000
Adj Close*
1576.97
1604.8
1549.14
1474.93
1447.1
1447.1
1437.83
1428.55
1447.1
1456.38
1419.28
1410
1428.55
1419.28
1428.55
1372.89
1382.17
1382.17
1298.68
1289.41
1317.24
1345.06
1363.62
1391.45
1400.72
1382.17
1410
1400.72
1428.55
1382.17
1437.83
1456.38
1447.1
1474.93
1474.93
1512.04
1539.87
1576.97
1558.42
1558.42
1558.42
1539.87
103
Date
2/13/2007
2/12/2007
2/9/2007
2/8/2007
2/7/2007
2/6/2007
2/5/2007
2/2/2007
2/1/2007
1/31/2007
1/30/2007
1/29/2007
1/26/2007
1/25/2007
1/24/2007
1/23/2007
1/22/2007
1/19/2007
1/18/2007
1/17/2007
1/16/2007
1/15/2007
1/12/2007
1/11/2007
1/10/2007
1/9/2007
1/8/2007
1/5/2007
1/4/2007
1/3/2007
1/2/2007
12/28/2006
12/27/2006
12/26/2006
12/22/2006
12/21/2006
12/20/2006
12/19/2006
12/18/2006
12/15/2006
12/14/2006
12/13/2006
Open
1710
1740
1800
1750
1760
1730
1720
1750
1700
1690
1710
1560
1540
1600
1530
1540
1590
1540
1550
1420
1430
1330
1350
1360
1390
1430
1400
1380
1390
1380
1370
1370
1360
1360
1380
1340
1310
1350
1380
1380
1390
1390
High
1710
1760
1810
1800
1760
1760
1780
1750
1760
1700
1720
1730
1570
1620
1600
1540
1590
1590
1570
1540
1430
1430
1350
1370
1390
1450
1420
1400
1410
1400
1380
1370
1370
1360
1380
1390
1340
1350
1380
1390
1390
1390
Low
1670
1710
1760
1740
1730
1730
1710
1700
1680
1660
1670
1560
1530
1570
1530
1520
1540
1540
1520
1420
1400
1330
1280
1320
1350
1370
1360
1370
1380
1360
1350
1340
1360
1350
1350
1340
1310
1270
1340
1370
1360
1370
Close
1680
1720
1770
1800
1750
1740
1730
1710
1750
1690
1690
1690
1560
1570
1600
1530
1550
1590
1540
1540
1420
1420
1320
1340
1360
1410
1420
1400
1380
1390
1380
1350
1370
1350
1360
1380
1340
1290
1360
1380
1370
1380
Volume
21450000
18637000
13626500
54287000
13891500
10875000
39535500
6006500
41116500
28275000
42138500
112527500
18113500
31560500
41024500
23875500
16735500
36248500
35995000
164085000
10709500
71877500
31467000
30596000
39002500
35892000
27538000
8679000
38664500
29472000
6784500
14314500
8274000
2622500
3395000
28269000
23462000
44296000
18048000
11890000
15319500
8657500
Adj Close*
1558.42
1595.53
1641.91
1669.74
1623.35
1614.08
1604.8
1586.25
1623.35
1567.7
1567.7
1567.7
1447.1
1456.38
1484.21
1419.28
1437.83
1474.93
1428.55
1428.55
1317.24
1317.24
1224.47
1243.03
1261.58
1307.96
1317.24
1298.68
1280.13
1289.41
1280.13
1252.3
1270.85
1252.3
1261.58
1280.13
1243.03
1196.64
1261.58
1280.13
1270.85
1280.13
104 Date
12/12/2006
12/11/2006
12/8/2006
12/7/2006
12/6/2006
12/5/2006
12/4/2006
12/1/2006
11/30/2006
11/29/2006
11/28/2006
11/27/2006
11/24/2006
11/23/2006
11/22/2006
11/21/2006
11/20/2006
11/17/2006
11/16/2006
11/15/2006
11/14/2006
11/13/2006
11/10/2006
11/9/2006
11/8/2006
11/7/2006
11/6/2006
11/3/2006
11/2/2006
11/1/2006
10/31/2006
10/30/2006
10/20/2006
10/19/2006
10/18/2006
10/17/2006
10/16/2006
10/13/2006
10/12/2006
10/11/2006
10/9/2006
10/6/2006
Open
1380
1400
1400
1400
1410
1400
1390
1400
1400
1400
1390
1420
1440
1440
1410
1390
1400
1380
1340
1330
1320
1340
1340
1340
1350
1360
1350
1360
1330
1340
1320
1300
1310
1310
1300
1320
1310
1310
1310
1320
1260
1270
High
1400
1400
1410
1410
1430
1430
1400
1400
1410
1410
1410
1430
1450
1450
1450
1410
1400
1420
1390
1340
1330
1340
1350
1350
1350
1370
1370
1370
1370
1340
1340
1310
1310
1320
1310
1330
1330
1320
1310
1340
1260
1270
Low
1360
1360
1390
1400
1400
1400
1390
1380
1390
1390
1380
1390
1410
1430
1410
1380
1370
1380
1340
1320
1320
1310
1330
1330
1330
1340
1340
1350
1330
1320
1320
1300
1300
1300
1290
1300
1300
1300
1290
1300
1230
1250
Close
1400
1380
1400
1410
1410
1420
1400
1390
1400
1400
1390
1410
1420
1450
1430
1410
1390
1400
1380
1330
1330
1320
1340
1340
1340
1340
1360
1350
1360
1330
1330
1310
1310
1310
1300
1300
1310
1310
1300
1300
1240
1260
Volume
9502000
20285000
9571500
7209000
13037500
18685000
8851500
6433500
12389500
11723500
29327500
16358500
25046500
17149000
49868000
46046500
56629500
60286000
44331500
10723500
8679500
11170500
7688000
6112500
8694500
13896000
13101500
27187500
38441000
7281500
31083000
7079500
7838000
3773500
17634500
20190000
20983000
9856500
24523000
29075000
7904000
18253500
Adj Close*
1298.68
1280.13
1298.68
1307.96
1307.96
1317.24
1298.68
1289.41
1298.68
1298.68
1289.41
1307.96
1317.24
1345.06
1326.51
1307.96
1289.41
1298.68
1280.13
1233.75
1233.75
1224.47
1243.03
1243.03
1243.03
1243.03
1261.58
1252.3
1261.58
1233.75
1233.75
1215.2
1215.2
1215.2
1205.92
1205.92
1215.2
1215.2
1205.92
1205.92
1150.26
1168.81
105
Date
10/5/2006
10/4/2006
10/3/2006
10/2/2006
9/29/2006
9/28/2006
9/27/2006
9/26/2006
9/25/2006
9/22/2006
9/21/2006
9/20/2006
9/19/2006
9/18/2006
9/15/2006
9/14/2006
9/13/2006
9/12/2006
9/11/2006
9/8/2006
9/7/2006
9/6/2006
9/5/2006
9/4/2006
9/1/2006
8/31/2006
8/30/2006
8/29/2006
8/28/2006
8/25/2006
8/24/2006
8/23/2006
8/22/2006
8/16/2006
8/15/2006
8/14/2006
8/11/2006
8/10/2006
8/9/2006
8/8/2006
8/7/2006
8/4/2006
Open
1250
1250
1240
1250
1240
1250
1250
1260
1250
1260
1260
1250
1250
1260
1250
1200
1150
1170
1200
1190
1190
1190
1210
1210
1190
1190
1170
1140
1150
1160
1100
1060
1090
1100
1050
1040
1040
1040
1020
1020
1060
1060
High
1280
1250
1260
1250
1250
1250
1260
1260
1260
1280
1270
1270
1280
1260
1250
1250
1200
1170
1200
1210
1210
1200
1210
1220
1220
1220
1190
1170
1150
1170
1180
1090
1090
1100
1080
1050
1060
1070
1050
1040
1070
1070
Low
1250
1230
1240
1230
1240
1230
1230
1230
1250
1260
1260
1240
1250
1230
1240
1200
1150
1120
1170
1180
1180
1190
1190
1190
1190
1160
1160
1140
1130
1120
1100
1060
1060
1070
1050
1040
1040
1020
1020
1010
1020
1050
Close
1270
1250
1240
1240
1250
1240
1250
1240
1250
1260
1270
1270
1270
1250
1250
1250
1200
1150
1180
1200
1180
1200
1190
1210
1200
1190
1180
1170
1130
1140
1160
1080
1060
1080
1080
1050
1040
1040
1040
1020
1020
1050
Volume
23515500
8547000
16675500
6417000
15217000
32286000
26159500
8378500
13823500
28507000
15689000
29505000
45140500
17361000
20265500
93905500
59952000
28626000
7511000
17367500
14423000
6857500
16543500
34116500
39299000
87569000
43230000
35610500
22286000
71563500
128469500
8714000
9632000
28783500
37403500
5654500
13349500
68026000
46401500
43065000
40718500
8676000
Adj Close*
1178.09
1159.54
1150.26
1150.26
1159.54
1150.26
1159.54
1150.26
1159.54
1168.81
1178.09
1178.09
1178.09
1159.54
1159.54
1159.54
1113.16
1066.78
1094.6
1113.16
1094.6
1113.16
1103.88
1122.43
1113.16
1103.88
1094.6
1085.33
1048.22
1057.5
1076.05
1001.84
983.29
1001.84
1001.84
974.01
964.74
964.74
964.74
946.18
946.18
974.01
106 Date
8/3/2006
8/2/2006
8/1/2006
7/31/2006
7/28/2006
7/27/2006
7/26/2006
7/25/2006
7/24/2006
7/21/2006
7/20/2006
7/19/2006
7/18/2006
7/17/2006
7/14/2006
7/13/2006
7/12/2006
7/11/2006
7/10/2006
7/7/2006
7/6/2006
7/5/2006
7/4/2006
7/3/2006
6/30/2006
6/29/2006
6/28/2006
6/27/2006
6/26/2006
6/23/2006
6/22/2006
6/21/2006
6/20/2006
6/19/2006
6/16/2006
6/15/2006
6/14/2006
6/13/2006
6/12/2006
6/9/2006
6/8/2006
6/7/2006
Open
1070
1060
1040
1040
1050
990
980
990
960
980
950
930
910
900
920
950
920
930
910
930
900
920
900
880
890
850
850
870
870
860
900
900
900
910
880
890
860
920
940
920
930
980
High
1080
1080
1080
1050
1050
1050
1000
1000
990
990
990
940
930
920
930
960
950
940
950
940
930
920
930
900
900
880
860
870
870
870
900
900
900
920
930
900
870
920
960
950
940
980
Low
1060
1050
1040
1030
1020
990
980
980
960
970
940
920
910
900
910
930
920
920
910
920
890
900
900
870
870
850
840
850
860
860
870
870
880
910
880
850
840
840
920
910
890
940
Close
1070
1070
1060
1050
1020
1040
990
980
990
970
990
920
920
900
920
940
950
930
930
930
930
910
920
890
880
870
850
860
870
870
880
880
900
920
930
860
870
870
940
950
910
950
Volume
32235000
30863000
46023000
25849000
12461000
83798000
17043500
41976500
17942500
31245000
54376000
6193500
26289000
36929500
32011000
51304000
31135500
8469000
13812000
26666500
30689000
7795500
71137500
38643000
32725000
29967000
11411500
15089000
8032000
10726500
38437500
21321000
16081000
11086000
75092000
34055500
28599000
90299500
21408500
33739000
57624500
18135500
Adj Close*
992.57
992.57
983.29
974.01
946.18
964.74
918.35
909.08
918.35
899.8
913.72
849.11
849.11
830.65
849.11
867.57
876.8
858.34
858.34
858.34
858.34
839.88
849.11
821.42
812.19
802.96
784.5
793.73
802.96
802.96
812.19
812.19
830.65
849.11
858.34
793.73
802.96
802.96
867.57
876.8
839.88
876.8
107
Date
6/6/2006
6/5/2006
6/2/2006
6/1/2006
5/31/2006
5/30/2006
5/29/2006
5/26/2006
5/25/2006
5/24/2006
5/23/2006
5/22/2006
5/19/2006
5/18/2006
5/17/2006
5/16/2006
5/15/2006
5/12/2006
5/11/2006
5/10/2006
5/9/2006
5/8/2006
5/5/2006
5/4/2006
5/3/2006
5/2/2006
5/1/2006
4/28/2006
4/27/2006
4/26/2006
4/25/2006
4/24/2006
4/21/2006
4/20/2006
4/19/2006
4/18/2006
4/17/2006
4/14/2006
4/13/2006
4/12/2006
4/11/2006
4/10/2006
Open
980
970
920
960
940
960
940
920
920
960
910
1010
980
1000
1060
1020
1150
1170
1160
1180
1190
1180
1200
1130
1120
1150
1120
1010
1040
950
940
960
960
980
990
950
940
950
920
880
890
890
High
1010
1030
980
970
960
1000
990
920
920
980
970
1010
1030
1020
1090
1060
1150
1170
1200
1180
1220
1200
1200
1240
1150
1150
1150
1140
1060
1030
950
960
970
990
990
990
960
950
950
930
890
890
Low
970
970
910
900
930
960
930
920
920
910
880
900
980
970
1050
940
1000
1140
1160
1140
1170
1170
1170
1130
1070
1110
1100
1000
1010
950
930
930
950
960
970
950
930
950
920
880
880
890
Close
990
1000
970
910
940
970
950
920
920
920
970
910
1010
1000
1060
1050
1020
1160
1180
1170
1180
1180
1180
1210
1140
1120
1150
1130
1020
1030
950
950
960
970
970
990
950
950
950
920
880
890
Volume
40058500
50193500
40325500
28180000
24313500
44917000
52481500
0
0
44337000
64696000
37755500
25903500
56907500
57263500
98562000
75531500
34384000
27426500
37623500
79052500
21568000
36373000
226047500
120000500
56046500
109156500
163923500
105556500
148062500
27984000
31332000
27785500
24450500
42982000
84558000
47418500
0
95448000
70133500
4953000
0
Adj Close*
913.72
922.95
895.26
839.88
867.57
895.26
876.8
849.11
849.11
849.11
895.26
839.88
932.18
922.95
978.32
969.09
941.4
1070.62
1089.08
1079.85
1089.08
1089.08
1089.08
1116.76
1052.16
1033.7
1061.39
1042.93
941.4
950.63
876.8
876.8
886.03
895.26
895.26
913.72
876.8
876.8
876.8
849.11
812.19
821.42
108 Date
4/7/2006
4/6/2006
4/5/2006
4/4/2006
4/3/2006
3/31/2006
3/30/2006
3/29/2006
3/28/2006
3/27/2006
3/24/2006
3/23/2006
3/22/2006
3/21/2006
3/20/2006
3/17/2006
3/16/2006
3/15/2006
3/14/2006
3/13/2006
3/10/2006
3/9/2006
3/8/2006
3/7/2006
3/6/2006
3/3/2006
3/2/2006
3/1/2006
2/28/2006
2/27/2006
2/24/2006
2/23/2006
2/22/2006
2/21/2006
2/20/2006
2/17/2006
2/16/2006
2/15/2006
2/14/2006
2/13/2006
2/10/2006
2/9/2006
Open
890
880
870
890
880
890
890
880
870
880
870
860
860
860
870
850
830
830
810
830
820
820
830
840
850
830
830
840
850
840
850
840
840
850
870
860
870
890
880
880
890
890
High
900
890
880
900
900
890
890
890
890
890
890
870
870
880
870
870
850
830
840
830
830
820
830
840
860
850
830
840
850
860
850
850
850
850
870
870
870
890
880
900
890
890
Low
880
870
870
860
880
890
890
860
870
870
870
860
850
850
850
850
830
820
810
810
810
810
810
820
830
820
820
810
840
840
830
840
840
830
840
860
860
860
870
880
870
880
Close
890
890
880
870
900
890
890
890
890
880
880
870
860
870
860
870
850
830
820
810
820
820
810
840
840
840
830
830
840
850
840
840
840
840
840
870
870
870
880
890
880
890
Volume
10229000
20429500
5996500
10957500
36522000
0
0
55432000
22531000
11008500
23741500
26271000
39517000
71578000
43620500
65590000
34456000
11989500
14394000
2832000
13065500
8441000
18399500
48995500
69729500
101286000
10398000
27751000
4627000
15362500
10365000
15050000
7126500
10427000
18947000
5334000
6651500
9485500
8001500
11634500
10588500
9867500
Adj Close*
821.42
821.42
812.19
802.96
830.65
821.42
821.42
821.42
821.42
812.19
812.19
802.96
793.73
802.96
793.73
802.96
784.5
766.05
756.82
747.59
756.82
756.82
747.59
775.27
775.27
775.27
766.05
766.05
775.27
784.5
775.27
775.27
775.27
775.27
775.27
802.96
802.96
802.96
812.19
821.42
812.19
821.42
109
Date
Open
High
Low
Close
2/8/2006
900
900
880
880
2/7/2006
910
910
890
900
2/6/2006
910
920
900
910
2/3/2006
920
930
900
920
2/2/2006
890
920
890
920
2/1/2006
870
900
870
890
1/31/2006
880
880
880
880
1/30/2006
880
880
870
880
1/27/2006
880
890
860
880
1/26/2006
880
880
860
870
1/25/2006
860
880
860
870
1/24/2006
860
870
850
860
1/23/2006
850
860
840
860
1/20/2006
900
900
860
870
1/19/2006
850
890
850
890
1/18/2006
840
860
820
840
1/17/2006
900
910
860
860
1/16/2006
940
940
910
920
1/13/2006
940
950
940
940
1/12/2006
970
970
940
950
1/11/2006
960
970
940
970
1/10/2006
960
960
960
960
1/9/2006
950
960
950
960
1/6/2006
930
960
930
950
1/5/2006
980
990
930
940
1/4/2006
950
980
950
980
1/3/2006
910
950
910
940
1/2/2006
910
910
910
910
*Close price adjusted for dividends and splits
Volume
13911000
13517000
7963500
31120500
19960000
33199000
0
943000
19901500
19887500
8315000
11002500
15201000
12925500
23847500
24870000
34348500
13103500
9941500
15412500
17494000
0
15306000
9816500
31830500
61740000
20909500
1241000
Adj Close*
812.19
830.65
839.88
849.11
849.11
821.42
812.19
812.19
812.19
802.96
802.96
793.73
793.73
802.96
821.42
775.27
793.73
849.11
867.57
876.8
895.26
886.03
886.03
876.8
867.57
904.49
867.57
839.88
110 Lampiran 13. Surat pengumuman penetapan seri kontrak opsi saham tahun
2007
111
Lampiran 13 (Lanjutan)
112 Lampiran 13 (Lanjutan)
113
Lampiran 13 (Lanjutan)
114 Lampiran 13 (Lanjutan)
115
Lampiran 13 (Lanjutan)
116 Lampiran 13 (Lanjutan)
117
Lampiran 13 (Lanjutan)
118 Lampiran 13 (Lanjutan)
119
Lampiran 13 (Lanjutan)
120 Lampiran 13 (Lanjutan)
121
Lampiran 13 (Lanjutan)
122 Lampiran 13 (Lanjutan)
123
Lampiran 13 (Lanjutan)
124 Lampiran 13 (Lanjutan)