aljabar umum 1 - Wahyu Hidayat, S.Pd., M.Pd.

ALJABAR UMUM
1
Dr. H. Heris Hendriana, M.Pd.
Wahyu Hidayat, S.Pd., M.Pd.
PERSAMAAN KUADRAT

Persamaan

Sistem Persamaan Linear
PENGERTIAN
Definisi



Persamaan kuadrat adalah kalimat matematika
terbuka yang memuat hubungan sama dengan yang
pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2.
Bentuk umum persamaan kuadrat adalah ax2 + bx +
c=0
dengan a,b,c ∈ R di mana R adalah himpunan
bilangan real dan a ≠ 0 .
Contoh :
x2 − 4 = 0 ,
x2 − 9x = 0,
x2 + 7x = 10 dan lain sebagainya.
PERSAMAAN KUADRAT
PENYELESAIAN PERSAMAAN KUADRAT


Nilai pengganti x yang memenuhi persamaan
kuadrat ax2 + bx + c = 0 disebut penyelesaian
persamaan kuadrat.
Beberapa cara untuk menyelesaikan (mencari akarakar) persamaan kuadrat :
1. Memfaktorkan
2. Melengkapkan kuadrat sempurna
3. Menggunakan
rumus
kuadrat
(rumus
kuadratis)
MEMFAKTORKAN





PERSAMAAN KUADRAT
Sebelum dibahas mengenai aturan faktor nol.
Aturan faktor nol menyatakan bahwa hasil kali
sebarang bilangan dengan bilangan nol adalah nol.
Misalkan 2 × 0 = 0, 0 × 9 = 0 atau 0 × 0 = 0.
Jadi jika hasil kali dua bilangan sama dengan nol
maka salah satu atau kedua bilangan tersebut
adalah nol.
Secara simbolik dinyatakan bahwa
jika ab = 0 maka a = 0 atau b = 0 .
Kata atau pada ” a = 0 atau b = 0 ” berarti bahwa
salah satu dari a atau b sama dengan nol atau bisa
jadi kedua-duanya sama dengan nol.
PERSAMAAN KUADRAT

Dengan menggunakan aturan faktor nol,
tentukanlah penyelesaian persamaan kuadrat
berikut ini.
a. 4x2 − 32x = 0
b. 7x2 = −84x
c.
d. x2 + 5x + 6 = 0
PERSAMAAN KUADRAT




Persamaan kuadrat 4x2 − 32x = 0
dapat diubah menjadi 4x(x − 8) = 0
dengan menggunakan aturan distributif.
Selanjutnya dengan menggunakan aturan faktor nol
akan diperoleh
4x = 0 atau x − 8 = 0
Sehingga diperoleh x = 0 atau x = 8 .
Jadi penyelesaian persamaan kuadrat 4x2 − 32x = 0
adalah x = 0 atau x = 8
PERSAMAAN KUADRAT



Dengan cara yang sama dengan a, maka penyelesaian
persamaan kuadrat 7x2 = −84x sebagai berikut.
7x2 + 84x = −84x + 84x
 7x(x +12) = 0
 7x = 0 atau x +12 = 0
Kedua ruas ditambah dengan 84x
Menggunakan sifat distributif
Menggunakan aturan faktor nol
Jadi penyelesaian persamaan 7x2 = −84x
adalah x = 0 atau x = −12 .
PERSAMAAN KUADRAT



Sekarang bagaimana penyelesaian persamaan kuadrat
x2 + 5x + 6 = 0 ?
Untuk memahami penyelesaian persamaan kuadrat
tersebut, kita akan menggunakan alat peraga berikut ini.
Buatlah sebuah persegi dan persegi panjang seperti
gambar berikut ini.
1
x
x
a)
x2
x
1
b)
c)
1
PERSAMAAN KUADRAT


Persegi (a) menyatakan banyaknya x2 , persegi
panjang (b) menyatakan banyaknya x dan persegi
(c) menyatakan konstanta.
Oleh karena itu untuk menyatakan persamaan x2
+ 5x + 6 = 0 dibutuhkan 1 bangun (a), 5 bangun
(b) dan 6 bangun (c) seperti berikut ini.
PERSAMAAN KUADRAT

Dari persegi dan persegi panjang tersebut, bentuklah sebuah
persegi panjang baru seperti gambar berikut dengan ukuran
luas yang sama.
x +3
x +2
Persegi yang baru terbentuk mempunyai panjang dan lebar masingmasing (x + 2) dan (x + 3), sehingga ukuran luasnya (x +2)(x + 3).
Jadi persamaan kuadrat x2 + 5x + 6 = 0 sama dengan persamaan
(x + 2)(x + 3) = 0 .
Dengan demikian untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tersebut
akan lebih mudah.
PERSAMAAN KUADRAT




Dengan menggunakan aturan faktor nol diperoleh
(x + 2) = 0 atau (x + 3) = 0 .
Jadi penyelesaian persamaan kuadrat x2 + 5x + 6 = 0
adalah x = −2 atau x = −3.
Jadi secara umum, jika x1 dan x2 merupakan
penyelesaian
suatu persamaan kuadrat
maka
persamaan kuadrat tersebut adalah
x2 - x ( x1 + x2 )+ x1 . x2 = 0.
Cara menyelesaikan persamaan kuadrat di atas
disebut menyelesaikan persamaan kuadrat dengan
cara menfaktorkan
PERSAMAAN KUADRAT
MELENGKAPKAN KUADRAT SEMPURNA




Bentuk :
Ubahlah persamaan kuadrat semula dalam bentuk
(x + p)2 = q, dengan q  0
Tentukan akar-akar persamaan kuadrat itu sesuai
dengan bentuk persamaan yang terakhir.
(x + p) = 
q, atau x = -p 
q
PERSAMAAN KUADRAT



Tentukan nilai x dari persamaan x2 – 2x – 2 = 0
Penyelesaian :
x2 – 2x + 1 + (-1) – 2
=0
(x – 1)2 – 3
=0
... (a+b)2 = a2 +2ab +b2
(x – 1)2
=3
(x – 1)
=
3
x–1=
x=1+

3
3
jadi HP = {1 –
atau x – 1 = atau x = 1 3 ,1+
3 }
3
3
PERSAMAAN KUADRAT
RUMUS KUADRATIS


Untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat
ax² + bx + c = 0 adalah dengan menggunakan rumus
kuadrat atau sering disebut rumus kuadratis.
Jika ax2 + bx + c = 0, dengan a, b,c ∈ R, a 0
Maka
 b  b  4ac
x
2a
2
PERSAMAAN KUADRAT
JUMLAH & HASIL KALI
AKAR-AKAR PERSAMAAN KUADRAT

Jika x1 dan x2 adalah akar- akar persamaan
ax2 + bx + c = 0 maka diperoleh:

x1 + x2 = - b/a

x1 . x2 = c/a
LATIHAN
1. Persamaan kuadrat 2x2 – 6x – 5 = 0
mempunyai akar α dan β.
Tentukan Persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya
1/α dan 1/β.
2. Jika p dan q adalah akar-akar persamaan kuadrat
x2 + 4x – 2 = 0. Carilah persamaan kuadrat yang akarakarnya p2q dan pq2.
3. Jika α dan β merupakan akar-akar persamaan kuadrat
x2 – 4x + 2 = 0. Tentukan persamaan kuadrat yang akarakarnya 2α dan 2β.
4. Jika α dan β merupakan akar-akar persamaan kuadrat
2x2 + x – 2 = 0. Tentukan persamaan kuadrat yang akarakarnya
1

1
dan
1

1