PERSAMAAN DAN TIDAK PERSAMAAN

PETA KONSEP
MATERI
LATIHAN
PROFIL
PETA KONSEP
Persamaan
Persaman
Linear
Satu
peubah
Eliminasi
Substitusi
Persamaan
Kuadrat
Dua
peubah
Eliminasi
&
Substitusi
Satu
Peubah
Dua
Peubah
Pangkat
Tinggi
1. Kuadrat
biasa
1. Rumus abc
2. Kuadrat
tak lengkap
3. Kuadrat
Murni
2. Faktorisasi
3. Kuadrat Sempurna
PERSAMAAN LINEAR DAN PERSAMAAN KUADRAT
A. Pengertian Persamaan
Persamaan adalah kalimat yang terbuka yang
menyatakan hubungan “sama dengan” (=).
Sedangkan kalimat terbuka adalah suatu kalimat
yang belum dapat dinyatakan benar atau salah.
Contoh persamaan :
a. 2x + 5 = 9
b. 3x² - 2 = 0
Pada persamaan 2x+5 = 9 ( x disebut peubah)
Bila x diganti dengan suatu bilangan maka dapat
diketahui apakah kalimat terbuka diatas
merupakan suatu pernyataan yang benar atau
salah
HOME
Bila x = 3 maka kalimat terbuka : 2x+5 = 9
menjadi:
( 2 x 3) + 5 = 9
6+5=9
Bila x = 2 maka kalimat terbuka : 2x+5 = 9
menjadi:
(2x2)+5=9
4+5=9
Jadi persamaan (kalimat terbuka) 2x + 5 = 9
akan menjadi suatu pernyataan yang benar bila
peubah x = 2.
Beberapa bentuk persamaan :
1. Persamaan linear dengan satu peubah adalah suatu persamaan
yang memiliki satu peubah dan peubahnya berpangkat satu.
contohya : 8x – 9 = 15  peubahnya : x
2. Persamaan linear dengan dua peubah
persamaan linear dengan dua peubah adalah persamaan yang
memiliki dua peubah dan pangkatnya satu.
Contoh : 3x + 2y = 7  peubahnya x dan y
3. Persamaan kuadrat dengan satu peubah
persamaan kuadrat dengan satu peubah adalah
suatu persamaan yang memiliki satu peubah dan
peubahnya berpangkat dua.
contoh :
3x² + 3x = 15
 peubahnya x
4. Persamaan kuadrat dengan dua peubah
persamaan kuadrat dengan dua peubah adalah
suatu persamaan yang memiliki dua peubah dan
masing-masing peubah berpangkat dua.
contohnya : 2x² + 3y²- 17 = 0  peubahnya x dan y
5. Persamaan pangkat tinggi
Persamaan pangkat tinggi adalah suatu persamaan
yang peubahnya berpangkat ≥ 3.
contoh : x³ + 2x²- x - 5 = 0
B. PERSAMAAN LINEAR DENGAN SATU PEUBAH
Persamaan linear denga satu peubah adalah persamaan
yang peubahnya hanya satu dan berpangkat satu.
Bentuk umum : ax + b = c, a ≠ 0 dengan x sebagai peubah
dalil-dalil : 1. jika a = b maka a – c = b - c atau a + c = b + c
2. jika a = b maka
𝑎
𝑐
𝑏
𝑐
= atau a x c = b x c untuk c > 0
jadi kedua ruas dalam suatu persamaan dapat ditambah,
dikurangi,dikali, dibagi dengan satu bilangan
Contohnya : 3x-8
=10
 peubahnya : x
(3x - 8) + 8 = 10 + 8  kedua ruas ditambah 8
3x = 18
3x
3
=
x=6
18
3
 kedua ruas dibagi 3
C. PERSAMAAN LINEAR DENGAN DUA PEUBAH
Persamaan linear dengan dua peubah adalah
persamaan yang memiliki dua peubah dan pangkatnya
satu. Bentuk umum : ax + by = c  dengan x dan y
sebagai peubah
Contohnya : Persamaan linear dengan dua peubah x + y = 3
Supaya persamaan x + y = 3 menjadi pernyataan (kalimat)
yang benar maka harus dipilih pengganti x kemudian
menentukan harga y sebagai pasangannya, dengan cara
berikut. Jika :
x = 0 maka 0 + y = 3 sehingga y = 3
x = 1 maka 1 + y = 3 sehingga y = 2
x = 2 maka 2 + y = 3 sehingga y = 1
x = 3 maka 3 + y = 3 sehingga y = 0, dan seterusnya.
HOME
Jadi persamaan x + y = 3 agar menjadi pernyataan yang benar
maka peubah x dan y harus diganti dengan bilangan yang
berpasang-pasangan, yakni : (0,3); (1,2); (2,1); (3,0); dan
seteruanya.
Dengan demikian, himpunan penyelasaian persamaan x + y =
3 adalah {0,3),(1,2),(2,1),(3,0),.....} Himpunna penyelesaian
adalah himpunan pengganti peubah utuk menyelesaikan
kalimat terbuka menjadi pernyataan yang benar.
HOME
D. SISTEM PERSAMAAN LINEAR DENGAN DUA PEUBAH
Adalah suatu sistem persamaan
yang terdiri atas dua persamaan
linear, setiap persamaan mempunyai
dua peubah.
Bentuk umum :
ax + by = c
px + qy = c
contoh : 3x + y = 10
x+y=6
Untuk kedua persamaan diatas
maka harus ditentukan pasanganpasangan pengganti peubah x dan y.
Penyelesaian sistem persamaan linear
dengan dua peubah dapat dilakukan
dengan dua metode, yaitu :
1. Metode substitusi yaitu menggantikan salah satu
variabel dengan variabel dari persamaan yang
kedua.
Contohnya : 3x + y = 10...................(1)
x + y = 6........................(2)
1). 3x + y = 10  y = 10 – 3x
2). x + y = 6 disubsitusikan y = 10 – 3x menjadi :
x + (10 - 3x ) = 6  x – 3x = 6 – 10
 -2x = -4

x=2
3). subsitusikan x = 2 ke salah satu persamaan,
misalnya kepersamaan x + y = 6, maka :
2+y=6y=6–2=4
jadi harga x dan y yang memenuhi sistem
persamaan di atas adalah x = 2 dan y = 4
.
HOME
2.
Metode eliminasi yaitu menghilangkan salah satu
peubah.
Contohnya :
3x + y = 10
x+y=6
eliminasi (menghilangkan x)
3x + y = 10 | x1 |  3x + y = 10
x + y = 6 | x3 |
 3x + 3y =18
-2y = -8
y=4
E. Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan yang
pangkat tertinggi dari peubahnya adalah 2.
Bentuk umum persamaan kuadrat : 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
Dengan : a = 0
x = peubah dengan pangkat paling tinggi 2 .
Jika :
a = 1 maka 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
persamaan kuadrat
biasa
b = 0 maka 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
persamaan kuadrat
murni
c = 0 maka 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
persamaan kuadrat tak
lengkap
1. Penyelesaian persamaan kuadrat dengan
rumus abc
Rumus abc
X1,2 =
−𝑏± 𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
X1 =
X2
−𝑏± 𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
=
−𝑏± 𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
Dengan :
a = koefisien 𝑥 2
b = koefisien x
c = konstanta
a. Contoh untuk persamaan kuadrat biasa
Harga X1 dan X2 yang memenuhi persamaan 𝑥 2 - 10x + 16 = 0
adalah Penyelesaian dengan rumus abc :
X1,2 =
−𝑏± 𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
Dengan a = 1 b = 10 dan c = 16, maka :
X1,2 =
−10± (−10)2 −4(1)(16)
2(1)
X1,2 =
10±6
2
↔ X1 =
10+6
2
=
10± 100−64
2
= 8, X2 =
10−6
2
=
10± 36
2
=2
Jadi harga-harga x yang memenuhi persamaan kuadrat 𝑥 2 - 10x
+ 16 = 0 adalah X1 = 8 dan X2 = 2.
Himpunan penyelesaianyan {8,2}
HOME
b. Contoh persamaan kuadrat tak lengkap
Harga X1 dan X2 yang memenuhi persamaan 5 𝑥 2 - 15x = 0
Penyelesaian dengan rumus abc : X1,2 =
−𝑏± 𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
Dengan a = 5 b = -15 dan c = 0, maka :
X1,2 =
X1 =
−(−15)± (−15)2 −0
2(5)
15+15
10
= 3
X2 =
=
15± 225
10
15−15
10
=
15±15
10
=0
Jadi harga-harga x yang memenuhi persamaan kuadrat 5 𝑥 2 15x = 0 adalah 3 dan 0.
Himpunan penyelesaian = {3,0}
c.
Contoh untuk persamaan kuadrat murni
Harga X1 dan X2 yang memenuhi persamaan 3𝑥 2 - 27 = 0
Penyelesaian dengan rumus abc :
X1,2 =
−𝑏± 𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
Dengan a = 3 b = 0 dan c = -27, maka :
X1,2 =
0± 0−4(3)(−27)
2(3)
=
0± 324
6
=
0±18
6
=±3
X1 = 3
X2 = -3
Jadi harga-harga x yang memenuhi persamaan kuadrat
3𝑥 2 - 27 = 0 adalah 3 dan -3
Himpunan penyelesaian = {3,-3}
2. Penyelesaian persamaan kuadrat dengan faktorisasi
a. Untuk persaman kudrat biasa
Tentukan harga X1 dan X2 yang memenuhi persamaan
2𝑥 2 - 5x + 3 = 0
Penyelesaian dengan cara memfaktorkan :
2𝑥 2 - 5x + 3 = 0 ↔ 2𝑥 2 - 5x + 3 = 0
↔ (2𝑥 2 -2x) – (3x – 3) = 0
↔ 2x (x - 1) – 3 (x-1) = 0
↔ (2x - 3) (x - 1) = 0
maka : 2x – 3 = 0
x–1=0
3
2
X1 = = 1,5
X2 = 1
b. Untuk persamaan kuadrat tak lengkap secara umum
𝑎𝑥 2 +bx = 0
x (ax + b) = 0
X = 0 atau ax + b = 0
ax = -b
x=-
𝑏
𝑎
Tentukan harga X1 dan X2 yang memenuhi persamaan 5𝑥 2 - 15x = 0
Penyelesaian dengan cara memfaktorkan :
5𝑥 2 - 15x = 0
x (5x-15) = 0
x=0
X1 = 0
5x -15 = 0
x=
15
5
X2 = 3
c. Untuk persamaan kuadrat murni
Secara umum :
ax 2 +bx = 0
ax 2 + c 0
=
a
a
x2 +
X1 = −
c
a
= 0 ( x +
c
a
c
a
dan X2 = +
)(x −
c
a
)=0
c
a
Tentukan harga X1 dan X2 yang memenuhi persamaan 3x 2 - 27= 0
3x 2 - 27= 0
3x 2 - 27 = 0 
home
0
3
↔ x2 − 9 = 0
↔ x 2 − 32
↔ ( x -3 ) ( x + 3 ) = 0
X1= 3 dan X2 = -3
3. Penyelesaian persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat
HOME
a𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0
a𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 =0 0
=
𝑥2 +
𝑥2 +
𝑥2 +
𝑎
𝑎
𝑏
𝑐
x+ =0
𝑎
𝑎
𝑏
𝑐
x=𝑎
𝑎
𝑏
𝑏
x + ( )2 =
𝑎
2𝑎
𝑐
𝑎
𝑏
2𝑎
- + ( )2
Dan seterusnya, yang akhirnya di dapat rumus abc
−𝒃 ± 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
1. Himpunan Penyelesaian dari 2𝑥 2 + 6x – 8 = 0 adalah…
A. {-1,-4}
B. {-1,4}
C. {1, -4}
D. {1,4}
Pembahasan:
1
2
2𝑥 2 + 6x – 8= 0 |x |
 𝑥 2 + 4x – x – 4 = 0
(𝑥 2 + 4x) – (x + 4) = 0
x(x + 4) – 1 (x + 4) = 0
(x - 1) (x + 4) = 0
x–1=0,x=1
x + 4 = 0 , x = -4
Jadi himpunan penyelesaian dari 2𝑥 2 + 6x – 8 = 0 adalah {-1,4}
2. Pemfaktoran dari 𝑥 2 – 4x – 12 = 0 adalah …
Pembahasan:
𝑥 2 – 4x – 12 = 0, a = 1, b = -4, dan c = - 12
X1,2 =
−𝑏± 𝑏 2 −4𝑎𝑐
2𝑎
=
−(−4)± (−4)2 −4.1.(−12)
2(1)
4± 16+48 4± 64
=
=
2
2
4−8
4+8
𝑥1 =
= - 2 ; 𝑥2 =
=6
2
2
Jadi pemfaktorran dari 𝑥 2 – 4x – 12
adalah (x – 6)(x + 2)
=
4±8
2
3.
Harga 4 buah buku dan 3 buah pensil adalah Rp. 2.500,00. Sedangkan harga 2 buah
buku dan 7 buah pensil Rp. 2.900,00. Harga 2 lusin buku dan 4 lusin pensil adalah …
Penyelesaian :
Misalkan harga 1 buah buku = x dan harga 1 buah pensil = y, maka persamaanya
menjadi :
4x + 3y = 2500 x 1 4𝑥 + 3𝑦 = 2500
4x + 7y = 2900 x 2 8X + 14y = 5800 -11y = - 330
y = 330
Dari persamaan 1 :
4x + 3y = 2.500 di substitusikan y= 300 menjadi : 4x + 3(3x300) = 2500
↔ 4x = 2500 -900 = 1.600
𝑥=
1600
4
= 400
Jadi harga 1 buah buku = Rp. 400,00 dan harga 1 buah pensil = Rp. 300,00
Harga 2 lusin buku = 2 x 12 x rp. 400,00 = Rp. 9.600,00
Harga 4 lusin pensil = 4 x 12 x Rp. 300,00 = Rp. 14.400,00
Jadi harga 2 lusin buku dan 4 lusin pensil = Rp. 9.600,00 + Rp. 14.400.00
HOME