Pertemuan 5_Distribusi Peluang Normal

STATISTIKA
Pertemuan 5: Distribusi Peluang Normal
Dosen Pengampu MK:
Evellin Lusiana, S.Si, M.Si
Materi



Pengantar Probabilitas
Prinsip menghitung
Distribusi peluang normal
Pengantar Peluang [1]


Peluang (p)  kemungkinan terjadinya suatu
peristiwa di masa yang akan datang (0≤p≤1).
Beberapa istilah penting



Percobaan – aktivitas yang melahirkan peristiwa
Hasil (ruang sampel) – semua kemungkinan
peristiwa yang mungkin dari suatu percobaan
Peristiwa – hasil yang terjadi dari satu percobaan
Pengantar Peluang [2]

Menghitung probabilitas suatu peristiwa A

Pendekatan klasik
P( A) 

jumlah peristiwa A dalam ruang sampel
jumlah semua kemungkinan hasil
Pendekatan relatif
P( A) 

jumlah peristiwa A yang terjadi
jumlah total percobaan
Pendekatan subjektif  berdasarkan penilaian
pribadi atau opini ahli
Pengantar Peluang [3]

Contoh:



Percobaan/Kegiatan : jenis kelamin ikan hasil
tangkapan
Hasil : Betina, jantan
Peluang jenis kelamin (peristiwa) yang muncul


Betina =
Jantan =
Jika terdapat 500 ikan yang berhasil ditangkap, di
mana 350 berjenis kelamin jantan dan 150 betina,
maka berapa peluang masing-masing jenis
kelamin?
Prinsip Menghitung

Permutasi

Banyaknya cara untuk mengatur k objek dari n objek
secara berurutan
n!
P 
(n  k )!
n
k

contoh:


Ada 5 ikan dgn jenis berbeda di mana 3 diantaranya akan
diatur di tempat penyimpanan. Berapa banyak cara untuk
mengatur ikan-ikan tersebut?
Jawab:
Pkn 
n!
5!
120


 60
(n  k )! (5  3)!
2
cara
Prinsip Menghitung

Kombinasi

Banyaknya cara memilih/mengatur k objek dari n
objek tanpa memperhatikan urutan
n!
C 
(n  k )!k !
n
k

Contoh:


Ada 5 ekor ikan dengan jenis berbeda dan 3 diantaranya
akan dipilih secara acak. Berapa banyak kombinasi jenis
ikan yang akan terambil
Jawab:
kombinasi
n!
5!
120
n
Ck 


 10
k!(n  k )! 3!(5  3)! (6)(2)

Dari suatu komite yg terdiri atas 6 orang
(4 pria, 2 wanita), akan dipilih perwakilan
3 orang untuk mengikuti sebuah
seminar. Berapa probabilitas perwakilan
tersebut terdiri atas minimal 1 wanita?
Definisi Variabel Acak/Random



Chap 5-9
Variabel acak  menyatakan kemungkinan
nilai numerik dari suatu peristiwa/percobaan
Variabel acak diskrit  variabel acak yang
berasal dari proses membilang/menghitung
(misal: jumlah ikan yang tertangkap, jumlah
nelayan)
Variabel acak kontinu  variabel acak yang
berasal dari proses pengukuran (misal: panjang
dan berat ikan).
Copyright ©2012 Pearson
Education, Inc. publishing as
Prentice
ChapHall
5-9
Definisi Variabel Acak
Variabel Acak
Variabel acak
diskrit
Chap 5-10
Variabel acak
kontinu
Copyright ©2012 Pearson
Education, Inc. publishing as
Prentice
Chap 5-10
Hall
Distribusi Probabilitas Kontinu

Distribusi peluang variabel acak kontinu adalah
kumpulan semua kemungkinan hasil numerik
untuk variabel kontinu serta peluang untuk
masing-masing hasil tersebut.
Distribusi Probabilitas Kontinu:
Distribusi Normal (N)
‘berbentuk genta/lonceng
 simetris
 mean=median=modus

f(X)
σ
X
μ
Mean
= Median
= Modus
Fungsi Densitas Probabilitas Normal
1
f(X=x) 
e
2π
1  (x μ) 
 

2  
Where e = 2.71828
π = 3.14159
μ = rata-rata populasi
σ = standar deviasi populasi
2
Distribusi Normal Standar (Z)

Setiap distribusi normal (dengan berbagai nilai
mean dan standar deviasi) dapat dijadikan
distribusi normal standar (Z)

Distribusi Z memiliki mean=0 dan standar
deviasi=1
Transformasi Normal Standar
(XZ)
X μ
Z
σ
Distribusi Z selalu memiliki mean = 0 and standar
deviasi = 1
Contoh: Transformasi Normal
Standar


Misal, X=panjang ikan kuniran saat matang gonad yg
didaratkan di PPN Brondong Lamongan
Jika X berdistribusi normal dengan mean=86 mmdan
standar deviasi=27mm, nilai Z untuk X = 120 mm
yaitu
X  μ 120  86
Z

 1.26
σ
27
Menentukan Peluang Normal
Peluang normal dihitung berdasarkan
luas area di bawah kurva normal
f(X)
P (a ≤ X ≤ b)
= P (a < X < b)
(Catatan: P(X=x) untuk
berbagai nilai x selalu
nol.  P(X=x)=0)
a
b
X
Tabel Normal Standar
Tabel Kumulatif Normal Standar merupakan
tabel yang berupa daftar peluang kurang dari
(kumulatif—P(Z≤z)).

0.8962
Contoh:
P(Z < 1.26) = 0.8962
0
1.20
Z
Tabel Normal Standar
Kolom menunjukkan nilai desimal kedua Z
Z
0.00
0.01
....
0.06
0.0
Baris menunjukkan nilai Z
sampai desimal pertama
0.1
.
.
.
1.2
P(Z < 1.26) = 0.8962
2.0
0.8962
Prosedur Menentukan Nilai
Peluang Normal
Untuk mendapatkan nilai P(a < X < b) jika
X berdistribusi normal:
Gambarkan kurva normal dari
permasalahan yang ditanyakan


Transformasi X ke Z

Gunakan tabel normal standar
Contoh: Menghitung Probabilitas Normal


Misal, X=panjang kuniran saat matang gonad
yg didaratkan di PPN Brondong Lamongan
Jika X berdistribusi normal dengan mean=86
mm dan standar deviasi=27mm, hitung nilai
P(X<95)
a) Gambarkan kurva normal dari permasalahan yang
ditanyakan
X
86.0
95
Contoh: Menghitung Peluang Normal
b) Transformasi X Z
X  μ 95  86
Z

 0.33
σ
27
μ = 18
σ=5
86 95
P(X < 95)
μ=0
σ=1
X
0 0.33
P(Z < 0.33)
Z
Contoh: Menghitung Peluang Normal
P(X < 86)
b) Hitung peluang dengan bantuan Tabel normal
Z
.00
.01
.02
= P(Z < 0.33)
.03
0.6293
0.0 .5000 .5040 .5080 .5120
0.1 .5398 .5438 .5478 .5517
0.2 .5793 .5832 .5871 .5910
Z
0.3 .6179 .6217 .6255 .6293
0.00
0.33
Contoh: Menghitung Peluang Normal

Tentukan P(X > 95)
X
86
95
Chap 6-24
Contoh: Menghitung Peluang Normal
(continued)

Tentukan P(X > 95)…
P(X > 95) = P(Z > 0.33) = 1.0 - P(Z ≤ 0.33)
= 1.0 - 0.6293 = 0.3707
0.6293
1.000
1.0 - 0.6293 =
0.3707
Z
0
0.33
Z
0
0.33
Chap 6-25
Contoh: Menghitung Pleuang
Normal

Tentukan P(86 < X < 95)
86 95
X
Contoh: Menghitung
Probabilitas Normal

Tentukan P(86 < X < 95)
Hitung nilai Z
X  μ 86  86
Z

0
σ
27
X  μ 95  86
Z

 0.33
σ
27
86 95
X
0 0.12
Z
P(86< X < 95)
= P(0 < Z < 0.33)
Chap 6-27
Contoh: Menghitung Peluang Normal
P(86 < X < 95)
= P(0 < Z < 0.33)
Z
.00
.01
.02
.03
= P(Z < 0.33) – P(Z ≤ 0)
= 0.6293 - 0.5000 = 0.1293
0.0 .5000 .5040 .5080 .5120
0.1293
0.1 .5398 .5438 .5478 .5517
0.5000
0.2 .5793 .5832 .5871 .5910
0.3 .6179 .6217 .6255 .6293
Z
0.00
0.12
Chap 6-28
Contoh: Menghitung Probabilitas Normal

Tentukan P(77 < X < 86)
X
86
77
Contoh: Menghitung Probabilitas Normal
(continued)
Tentukan P(77 < X < 86)…
P(77 < X < 86)
= P(-0.33 < Z < 0)
0.1293
= P(Z < 0) – P(Z ≤ -0.33)
= 0.5000 - 0.3707 = 0.1293
0.3707
Distribusi normal bersifat simetris,
sehingga nilai probabilitasnya sama
dengan P(0 < Z < 0.33)
77 86
-0.33 0
X
Z
Distribusi Sampling

Distribusi sampling adalah distribusi dari semua
kemungkinan hasil statistik suatu sampel yang dipilih
dari populasi asal

Sebagai contoh, misalkan dipilih sampel 50 ikan, lalu
panjang ikan tersebut diukur. Jika dilakukan sampel
secara brulang-ulang, maka akan diperoleh sampel
dengan rata-rata panjang ikan yang berbeda pula. Yang
menjadi pusat perhatian adalah distribusi rata-rata
panjang ikan dari semua kemungkinan sampel yang
ada.
Membangun Distribusi
Sampling

Diasumsikan terdapat populasi…

Ukuran populasi N=4

Variabel random, X=panjang ikan kakap

Nilai dari X: 18, 20,
22, 24 (cm)
Chap 7-33
Membangun Distribusi Sampling
Ringkasan parameter populasi
X

μ
P(x)
i
N
.3
18  20  22  24

 21
4
σ
 (X  μ)
i
N
.2
.1
0
2
 2.236
18
A
20
B
22
C
D
Distribusi Uniform
24
x
Membangun Distribusi Sampling
Misalkan diambil sampel berukuran 2 atau n=2, sehingga
kemungkinan kombinasi sampel yang mungkin yaitu
4!
4.3.2!
k C C 

6
(4  2)!2! 2!.2!
N
n
4
2
Sampel
Data
Rata2
p
1
18, 20
(18+20)/2=19
1/6
2
18, 22
20
1/6
3
18, 24
21
2/6
4
20, 22
21
5
20, 24
22
1/6
6
22, 24
23
1/6
Chap 7-35
Membangun Distribusi Sampling
Distribusi sampling dari semua rata-rata sampel
0.35
0.33
0.30
probabilitas
0.25
0.20
0.17
0.17
19
20
0.17
0.17
22
23
0.15
0.10
0.05
0.00
21
rata-rata sampel
Membangun Distribusi Sampling
Ringkasan statistik distribusi sampling:
19  20  21  21  22  24 126
Mean dist. sampling: μ X 

 21
6
6
Standar deviasi sampling:
k
σX 
(X
i 1
i
  X )2
k  CnN
k
(19-21) 2  (20-21) 2  (21-21) 2 +(21-21)2  (22-21)2 +(23-21)2

6

10
 1.29
6
ATAU

N  n 2.236 4  2
X 
.

.
 (1.58)(0.816)  1.29
4 1
n N 1
2
Chap 7-37
Distribusi Populasi vs Distribusi Sampling
Populasi
N=4
μ  21
Distribusi rata2 sampel
n=2
μ X  21
σ  2.236
0.35
P(X)
σ X  1.29
0.33
0.30
.3
probabilitas
0.25
.2
.1
0.20
0.17
0.17
19
20
0.17
0.17
0.15
0.10
0.05
0
18
A
20
B
22
C
24
D
X
0.00
21
22
rata-rata sampel
23
Chap 7-38
Distribusi Sampling Rata-rata:
Standar Error Rata-rata

Sampel yang berbeda dengan ukuran yg sama akan
menghasilkan rata-rata sampel yg berbeda

Ukuran keragaman/variabilitas rata2 sampel yang ada
disebut Standard Error Rata-rata:
σ
σX 
n

Note: standar error rata-rata akan semakin kecil seiring
pertambahan ukuran sampel
Distribusi Sampling Rata-rata:
Jika Populasi Normal

Jika populasi asal berdistribusi normal dengan
mean μ and standar deviasi σ, maka distribusi
sampling rata-rata (X) juga berdistribusi normal
dengan
μX  μ
dan
σ
σX 
n
Nilai Z Distribusi Sampling Rata-rata

Nilai Z dari distribusi sampling X :
Z
Di mana:
( X  μX )
σX
( X  μ)

σ
n
X = rata-rata sampel
μ = rata-rata populasi
σ = standar deviasi populasi
n = ukuran sampel
Distribusi Sampling Rata-rata:
Jika populasi tidak normal

Terapkan Teori Limit pusat :

Apabila populasi asal tidak normal,

Maka rata-rata sampel akan berdistribusi mendekati
(approximately normal) selama ukuran sampel cukup
besar (as long as the sample size is large enough)
μx  μ
dan
σ
σx 
n
Distribusi Sampling Rata-rata:
Jika populasi tidak normal
Karakteristik distribusi:
Distribusi populasi
Ukuran pemusatan
μx  μ
σ
σx 
n
Variasi
μ
x
Distribusi sampling
(menjadi normal seiring pertambahan n)
Larger
Smaller
sample
sample size
size
μx
x
Berapa nilai ukuran sampel dikatakan
besar/cukup besar?

Berdasarkan teori limit pusat, suatu sampel
dikatakan cukup besar apabila ukuran sampel
tersebut lebih dari 30 atau n ≥ 30
Contoh


Misalkan suatu populasi memiliki mean μ = 8
dan standar deviasi σ = 3. Dari populasi tsb
diambil sampel secara acak berukuran n = 36
Berapa probabilitas rata-rata sampel yang
terpilih terletak diantara 7.8 dan 8.2?
Contoh: Distribusi Sampling Rata-rata
Solusi:


Bahkan jika populasi tidak berdistribusi normal,
teorema limit pusat dapa digunakan (n ≥ 30)
… sehingga distribusi sampling rata-rata
mendekati normal

… dengan rata-rata μx = 8

…dan standar deviasi
σ
3
σx 

 0.5
n
36
Contoh: Distribusi Sampling Rata-rata


 7.8 - 8
X -μ
8.2 - 8 
P(7.8  X  8.2)  P



3
σ
3


36
n
36 

 P(-0.4  Z  0.4)  0.6554 - 0.3446  0.3108
Distribusi
Populasi
?
Distribusi
Sampling
???
??
?
??
μ8
?
?
Distribusi Normal
Standar
Sampel
Standardize
?
X
7.8
μX  8
8.2
x
-0.4
μz  0
0.4
Z
Latihan

Lama waktu melaut sekelompok nelayan
berdistribusi normal dengan rata-rata 7.5 jam
dan standar deviasi 0.5 jam. Jika diambil
sampel acak sebanyak 9 nelayan, berapa


probabilitas rata-rata lama waktu melaut sampel tsb
antara 7.23 – 7.8 jam?
probabilitas rata-rata lama waktu sampel tsb lebih
dari 7.8 jam?
Distribusi Sampling Proporsi
π =proporsi populasi yang memiliki karakteristik
teramati

Proporsi sampel (p) estimasi dari π:
p
X
banyaknya sampel dengan karakteristik teramati

n
ukuran sampel

0≤ p≤1

p mendekati distribusi normal jika n besar
Chap 7-49
Distribusi Sampling p

Mendekati distribusi
normal jika:

P( ps)
.3
.2
.1
0
nπ  5
and
0
n(1  π )  5
dimana
μp  π
Distribusi sampling
dan
.2
.4
.6
π(1 π )
σp 
n
(dimana π = proporsi populasi)
8
1
p
Nilai Z untuk Proporsi
Standarisasi p  Z value dengan rumus:
p 
Z

σp
p 
 (1   )
n
Contoh: Dist. Sampling Proporsi


Jika proporsi sebenarnya ikan yang memiliki
tag adalah π = 0.4, berapa peluang bahwa dari
sampel berukuran 200 ikan, peluang proporsi
sampel ikan memiliki tag antara 0.40 dan 0.45?
i.e.: jika π = 0.4 dan n = 200, berapa
P(0.40 ≤ p ≤ 0.45) ?`
Contoh
jika π = 0.4 dan n = 200, berapa
P(0.40 ≤ p ≤ 0.45) ?

Tentukan
σp:
Konversi ke
Normal standar
σp 
 (1   )
n
0.4(1  0.4)

 0.035
200
0.45  0.40 
 0.40  0.40
P(0.40  p  0.45)  P 
Z

0.035
0.035


 P(0  Z  1.43)
Contoh

jika π = 0.4 dan n = 200, berapa
P(0.40 ≤ p ≤ 0.45) ?
Dari tabel normal:
P(0 ≤ Z ≤ 1.43) = 0.9236 – 0.5000 = 0.4236
Distribusi normal
standar
Distribusi sampling
0.4236
Standarisasi
0.40
0.45
p
0
1.43
Z
Latihan
a.
b.
Misalkan diketahui persentase ikan kuniran berjenis
kelamin betina adalah 50%. Jika diambil sampel
sebanyak 100 ekor ikan kuniran dari suatu spot
penangkapan, hitung
peluang bahwa persentase ikan betina di spot tsb
lebih dari 50%?
peluang bahwa persentase ikan betina di spot tsb
antara 35-40%?
Faktor Koreksi


Faktor koreksi adalah usaha untuk
memperbaiki hasil estimasi parameter jika
diketahui ukuran populasi (N).
Faktor koreksi diterapkan jika rasio n/N >
0.05
Standar deviasi rata-rata

N n
p 
.
n N 1
Standar deviasi proporsi
p 
 (1   )
n
N n
.
N 1
Contoh [1]

Hasil tangkapan sekali melaut dari total
50 kapal kecil berdistribusi normal
dengan rata-rata 15 kg dan standar
deviasi 5 kg. Jika diambil sampel acak
sebanyak 9 kapal kecil, berapa


probabilitas rata-rata hasil tangkapan
sampel tsb antara 12 –16 kg?
peluang rata-rata hasil tangkapan sampel
tsb lebih dari 23 kg?
     5

n
.
N=50
n=9
N n
5 50  9

.
 1.67(0.91)  1.52
N 1
9 50  1


12  
16  
P (12  X  16)  P 
Z
 
N n

N n
.
.

n N 1
 n N 1
16  15 
 12  15
 P
Z

1.52
1.52


1 
 3
 P
Z

1.52
1.52


 P (1.97  Z  0.66)
 P ( Z  0.66)  P ( Z  1.97)
 0.7454  0.0244  0.7210






Distribusi Sampling Selisih Rata-rata

Nilai Z dari distribusi sampling
X: 1  X 2
(X1  X 2 )  ( 1 -2 ) (X1  X 2 )  ( 1 -2 )
Z

2
2
σ X1  X2
1  2

n1
n2
Latihan

Rata-rata berat ikan kakap di site
Brondong adalah 3.2 kg dengan standar
deviasi 1.50 kg, sedangkan di site
Mayangan adalah 3 kg dengan standar
deviasi 0.50 kg. Jika diambil sampel
sebanyak 25 ekor ikan masing-masing
dari site Brondong dan Mayangan,
berapa probabilitas berat ikan kakap di
Brondong 0.30 kg lebih besar daripada
Mayangan?
KUIS 1
1.
2.
Berikan masing2 satu contoh data berskala nominal dan rasio. Jelaskan.
[20]
Diketahui data panjang (mm) karapas Kepiting di Pabean Ilir sbb:
78
93
100
77
86
90
92
85
73
92
91
102
85
90
Bila akan dibuat tabel distribusi frekuensi, hitunglah
a)
Banyaknya kelas yang direkomendasikan [20]
b)
hitunglah median Interpretasikan [30]
3.
Salinitas di perairan Pelauw berdistribusi normal dengan rata2 25 PSU
dan standar deviasi 3 PSU. Hitung peluang salinitas di suatu titik
sampling lebih dari 28 PSU. [30]