Pertemuan 4 - Vellin Lusiana

STATISTIKA
Pertemuan 4: Pengantar teori peluang dan
distribusi peluang
Dosen Pengampu MK:
Evellin Lusiana, S.Si, M.Si
Materi



Pengantar Probabilitas
Prinsip menghitung
Distribusi probabilitas


Diskrit
Kontinu
Pengantar Peluang [1]


Peluang (p)  kemungkinan terjadinya suatu
peristiwa di masa yang akan datang (0≤p≤1).
Beberapa istilah penting



Percobaan – aktivitas yang melahirkan peristiwa
Hasil (ruang sampel) – semua kemungkinan
peristiwa yang mungkin dari suatu percobaan
Peristiwa – hasil yang terjadi dari satu percobaan
Pengantar Peluang [2]

Menghitung probabilitas suatu peristiwa A

Pendekatan klasik
P( A) 

jumlah peristiwa A dalam ruang sampel
jumlah semua kemungkinan hasil
Pendekatan relatif
P( A) 

jumlah peristiwa A yang terjadi
jumlah total percobaan
Pendekatan subjektif  berdasarkan penilaian
pribadi atau opini ahli
Pengantar Peluang [3]

Contoh:



Percobaan/Kegiatan : jenis kelamin ikan hasil
tangkapan
Hasil : Betina, jantan
Peluang jenis kelamin (peristiwa) yang muncul


Betina =
Jantan =
Jika terdapat 500 ikan yang berhasil ditangkap, di
mana 350 berjenis kelamin jantan dan 150 betina,
maka berapa peluang masing-masing jenis
kelamin?
Prinsip Menghitung

Permutasi

Banyaknya cara untuk mengatur k objek dari n objek
secara berurutan
n!
P 
(n  k )!
n
k

contoh:


Ada 5 ikan dgn jenis berbeda di mana 3 diantaranya akan
diatur di tempat penyimpanan. Berapa banyak cara untuk
mengatur ikan-ikan tersebut?
Jawab:
Pkn 
n!
5!
120


 60
(n  k )! (5  3)!
2
cara
Prinsip Menghitung

Kombinasi

Banyaknya cara memilih/mengatur k objek dari n
objek tanpa memperhatikan urutan
n!
C 
(n  k )!k !
n
k

Contoh:


Ada 5 ekor ikan dengan jenis berbeda dan 3 diantaranya
akan dipilih secara acak. Berapa banyak kombinasi jenis
ikan yang akan terambil
Jawab:
kombinasi
n!
5!
120
n
Ck 


 10
k!(n  k )! 3!(5  3)! (6)(2)

Dari suatu komite yg terdiri atas 6 orang
(4 pria, 2 wanita), akan dipilih perwakilan
3 orang untuk mengikuti sebuah
seminar. Berapa probabilitas perwakilan
tersebut terdiri atas minimal 1 wanita?
Definisi Variabel Acak



Chap 5-9
Variabel acak  menyatakan kemungkinan
nilai numerik dari suatu peristiwa/percobaan
Variabel acak diskrit  variabel acak yang
berasal dari proses membilang/menghitung
(misal: jumlah ikan yang tertangkap, jumlah
nelayan)
Variabel acak kontinu  variabel acak yang
berasal dari proses pengukuran (misal: panjang
dan berat ikan).
Copyright ©2012 Pearson
Education, Inc. publishing as
Prentice
ChapHall
5-9
Definisi Variabel Acak
Variabel Acak
Variabel acak
diskrit
Chap 5-10
Variabel acak
kontinu
Copyright ©2012 Pearson
Education, Inc. publishing as
Prentice
Chap 5-10
Hall
Variabel Acak Diskrit

Digunakan untuk menggambarkan hasil dari percobaan
yang dapat dihitung
Contoh :
Chap 5-11

Pengocokan dadu
Pandang X=banyaknya kocokan sampai muncul 4 titik
(maka X bisa bernilai 1, 2, ...)

Pelemparan uang koin 5 kali
pandang X=banyaknya muncul gambar
(maka X = 0, 1, 2, 3, 4, atau 5)
Copyright ©2012 Pearson
Education, Inc. publishing as
Prentice
Chap 5-11
Hall
Distribusi Peluang Diskrit


Distribusi peluang variabel acak diskrit adalah kumpulan semua
kemungkinan hasil numerik untuk variabel diskrit serta peluang
untuk masing-masing hasil tersebut.
Misal: kemungkinan/peluang muncul setiap sisi (titik) pada
pengocokan dadu
Jumlah titik
Probabilitas
1
2
3
0.10
0.10
0.35
4
5
6
0.24
0.16
0.05
Distribusi Bernoulli dan Binomial




Distribusi peluang diskrit untuk percobaan yang
memberikan hasil biner (dua kemungkinan hasil) yang
saling mutually exclusive. Percobaan ini disebut
percobaan Bernoulli
Antar percobaan/observasi saling independen
Diasumsikan probabilitas untuk peristiwa yang terjadi
bersifat konstan
Bila jumlah percobaan adalah 1 (n=1), maka distribusi
probabilitas diskritnya adalah distribusi bernoulli, dengan
fungsi


Apabila percobaan bernoulli dilakukan lebih dari
sekali, maka distribusi peluang yang dihasilkan
disebut distribusi binomial
Fungsi peluang binomial sbb
P( X  x)  C p (1  p)
n
x
x
di mana:
Cnx  kombinasi
n = banyaknya percobaan
x = banyaknya nilai variabel acak yang dianggap 'sukses'
p = peluang 'sukses'
n x
Contoh: Distribusi Binomial

Peluang recapture mendapatkan ikan yang memiliki tag
adalah sebesar 0.20. Jika ditangkap sebanyak 5 ikan,
hitunglah
a.
b.
c.
d.
Berapa peluang tidak ada ikan yang memiliki tag?
Berapa peluang tepat ada satu ikan yang memiliki tag?
Berapa peluang paling banyak 2 ikan memiliki tag?
Berapa peluang minimal 1 ikan memiliki tag?
Contoh: Distribusi Binomial
X  ikan memiliki tag
p=0.20
a.
n=5
Tidak ada ikan yang memiliki tag– P(X=0)
P( X  0)  C xn p x (1  p ) n  x
 C05 (0.20)0 (1  0.20)50
5!

(1)(0.80)5
(5  0)!0!
 0.328
b.
Tepat satu ikan memiliki tag .....
c. Paling banyak 2 ikan memiliki tag– P(X≤2)
2
P( X  2)   Cxn p x (1  p ) n  x
x 0
 C05 (0.20) 0 (1  0.20) 50  C15 (0.20)1 (1  0.20)51  C25 (0.20) 2 (1  0.20)53
5!
5!
5!
(1)(0.80)5 
(0.20)1 (0.80) 51 
(0.20) 2 (0.80)52
(5  0)!0!
(5  1)!1!
(5  2)!2!
 0.3277  0.4096  0.2048

 0.9421
d. Minimal satu ikan memiliki tag .....
Distribusi Poisson [1]

Digunakan ketika terdapat
percobaan dengan jumlah yang
sangat besar, namun peluang
terjadinya ‘sukses’ relatif kecil.
Pada situasi ini, pendekatan
distribusio binomial menjadi
impractical.
Contoh:
 Banyaknya kecelakaan di
wilayah Dinoyo dalam sehari
 Banyaknya kesalahan ketik
dalam buku
Simeon D. Poisson (17811840)
Distribusi Poisson [2]

e 
P( X  x |  ) 
x!
x
Di mana:
x = jumlah peristiwa dalam area of opportunity
 = rata-rata terjadinya peristiwa sukses
e = bilangan natural (2.71828..)
Area of opportunity  a continuous unit or interval of time,
volume, or such area in which more than one occurrence of
an event can occur.
Chap 5-19
Copyright ©2012 Pearson
Education, Inc. publishing as
Prentice
Chap 5-19
Hall
Contoh: Distribusi Poisson

Rata-rata pemancing di suatu danau
memperoleh 0.667 ikan per jam. Jika seorang
pemancing akan memancing selama 7 jam,
hitunglah:


Rata-rata jumlah ikan yang terpancing selama 7 jam
tersebut (λ)
Dalam 7 jam, berapa peluang akan didapat



Tidak diperoleh satu ekor pun ikan
Maksimal 2 ekor ikan
Minimal 1 ekor ikan
Contoh: Distribusi Poisson


Rata-rata jumlah ikan yang terpancing selama
7 jam
  np  7.(0.667)  4.669
Dalam 7 jam, tidak diperoleh satu ekor ikan
e   x
P( X  x |  ) 
x!
e4.669 (4.669)0
P( X  0 | 4.669) 
 0.0094
0!
Distribusi Probabilitas Kontinu

Distribusi peluang variabel acak kontinu adalah
kumpulan semua kemungkinan hasil numerik
untuk variabel kontinu serta peluang untuk
masing-masing hasil tersebut.
Distribusi Probabilitas Kontinu:
Distribusi Normal (N)
‘berbentuk genta/lonceng
 simetris
 mean=median=modus

f(X)
σ
X
μ
Mean
= Median
= Modus
Fungsi Densitas Probabilitas Normal
1
f(X=x) 
e
2π
1  (x μ) 
 

2  
Where e = 2.71828
π = 3.14159
μ = rata-rata populasi
σ = standar deviasi populasi
2
Distribusi Normal Standar (Z)

Setiap distribusi normal (dengan berbagai nilai
mean dan standar deviasi) dapat dijadikan
distribusi normal standar (Z)

Distribusi Z memiliki mean=0 dan standar
deviasi=1
Transformasi Normal Standar
(XZ)
X μ
Z
σ
Distribusi Z selalu memiliki mean = 0 and standar
deviasi = 1
Contoh: Transformasi Normal
Standar


Misal, X=panjang ikan hiu Ordo Orectolobiformes saat
matang gonad yg didaratkan di PPN Brondong
Lamongan
Jika X berdistribusi normal dengan mean=86 cmdan
standar deviasi=27cm, nilai Z untuk X = 120 cm yaitu
X  μ 120  86
Z

 1.26
σ
27
Menentukan Peluang Normal
Peluang normal dihitung berdasarkan
luas area di bawah kurva normal
f(X)
P (a ≤ X ≤ b)
= P (a < X < b)
(Catatan: P(X=x) untuk
berbagai nilai x selalu
nol.  P(X=x)=0)
a
b
X
Tabel Normal Standar
Tabel Kumulatif Normal Standar merupakan
tabel yang berupa daftar peluang kurang dari
(kumulatif—P(Z≤z)).

0.8962
Contoh:
P(Z < 1.26) = 0.8962
0
1.20
Z
Tabel Normal Standar
Kolom menunjukkan nilai desimal kedua Z
Z
0.00
0.01
....
0.06
0.0
Baris menunjukkan nilai Z
sampai desimal pertama
0.1
.
.
.
1.2
P(Z < 1.26) = 0.8962
2.0
0.8962
Prosedur Menentukan Nilai
Peluang Normal
Untuk mendapatkan nilai P(a < X < b) jika
X berdistribusi normal:
Gambarkan kurva normal dari
permasalahan yang ditanyakan


Transformasi X ke Z

Gunakan tabel normal standar
Contoh: Menghitung Probabilitas Normal


Misal, X=panjang ikan hiu Ordo
Orectolobiformes saat matang gonad yg
didaratkan di PPN Brondong Lamongan
Jika X berdistribusi normal dengan mean=86
cmdan standar deviasi=27cm, hitung nilai
P(X<95)
a) Gambarkan kurva normal dari permasalahan yang
ditanyakan
X
86.0
95
Contoh: Menghitung Peluang Normal
b) Transformasi X Z
X  μ 95  86
Z

 0.33
σ
27
μ = 18
σ=5
86 95
P(X < 95)
μ=0
σ=1
X
0 0.33
P(Z < 0.33)
Z
Contoh: Menghitung Peluang Normal
P(X < 86)
b) Hitung peluang dengan bantuan Tabel normal
Z
.00
.01
.02
= P(Z < 0.33)
.03
0.6293
0.0 .5000 .5040 .5080 .5120
0.1 .5398 .5438 .5478 .5517
0.2 .5793 .5832 .5871 .5910
Z
0.3 .6179 .6217 .6255 .6293
0.00
0.33
Contoh: Menghitung Peluang Normal

Tentukan P(X > 95)
X
86
95
Chap 6-35
Contoh: Menghitung Peluang Normal
(continued)

Tentukan P(X > 95)…
P(X > 95) = P(Z > 0.33) = 1.0 - P(Z ≤ 0.33)
= 1.0 - 0.6293 = 0.3707
0.6293
1.000
1.0 - 0.6293 =
0.3707
Z
0
0.33
Z
0
0.33
Chap 6-36
Contoh: Menghitung Pleuang
Normal

Tentukan P(86 < X < 95)
86 95
X
Contoh: Menghitung
Probabilitas Normal

Tentukan P(86 < X < 95)
Hitung nilai Z
X  μ 86  86
Z

0
σ
27
X  μ 95  86
Z

 0.33
σ
27
86 95
X
0 0.12
Z
P(86< X < 95)
= P(0 < Z < 0.33)
Chap 6-38
Contoh: Menghitung Peluang Normal
P(86 < X < 95)
= P(0 < Z < 0.33)
Z
.00
.01
.02
.03
= P(Z < 0.33) – P(Z ≤ 0)
= 0.6293 - 0.5000 = 0.1293
0.0 .5000 .5040 .5080 .5120
0.1293
0.1 .5398 .5438 .5478 .5517
0.5000
0.2 .5793 .5832 .5871 .5910
0.3 .6179 .6217 .6255 .6293
Z
0.00
0.12
Chap 6-39
Contoh: Menghitung Probabilitas Normal

Tentukan P(77 < X < 86)
X
86
77
Contoh: Menghitung Probabilitas Normal
(continued)
Tentukan P(77 < X < 86)…
P(77 < X < 86)
= P(-0.33 < Z < 0)
0.1293
= P(Z < 0) – P(Z ≤ -0.33)
= 0.5000 - 0.3707 = 0.1293
0.3707
Distribusi normal bersifat simetris,
sehingga nilai probabilitasnya sama
dengan P(0 < Z < 0.33)
77 86
-0.33 0
X
Z