Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan

Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan dari eksponen atau pemangkatan.
Rumus dasar logaritma:
bc= a ditulis sebagai blog a = c (b disebut basis)
Beberapa orang menuliskan blog a = c sebagai logba = c.

Di Indonesia, kebanyakan buku pelajaran Matematika menggunakan notasi blog a daripada
logba. Buku-buku Matematika berbahasa Inggris menggunakan notasi logba

Beberapa orang menulis ln a sebagai ganti elog a, log a sebagai ganti 10log a dan ld a sebagai
ganti 2log a.

Pada kebanyakan kalkulator, LOG menunjuk kepada logaritma berbasis 10 dan LN menunjuk
kepada logaritma berbasis e.
Logaritma
ac = b → ª log b = c
a = basis
b = bilangan yang dilogaritma
c = hasil logaritma
Sifat-sifat Logaritma
ª log a = 1
ª log 1 = 0
ª log aⁿ = n
ª log bⁿ = n • ª log b
ª log b • c = ª log b + ª log c
ª log b/c = ª log b – ª log c
ªˆⁿ log b m = m/n • ª log b
ª log b = 1 ÷ b log a
ª log b • b log c • c log d = ª log d
ª log b = c log b ÷ c log a
Basis yang sering dipakai atau paling banyak dipakai adalah basis 10, e≈ 2.71828... dan 2.
Logaritma (yang sering disingkat ‘log’) pertama kali ditemukan oleh John Napier–seorang warga
skotlandia dan Joost Burgi–warga swiss. Pada awalnya logaritma yang mereka temukan berbeda satu
sama lain dan juga berbeda dengan logaritma yang dikenal saat ini. John Napier menghitung dengan
metode aljabar, sedang Joost Burgi menganalisis dengan pendekatan geometri. Logaritma versi John
Napier dipublikasikan tahun 1614 sedang versi Joost Burgi dipublikasikan tahun 1620. Logaritma yang
didefinisikan sebagai eksponen (pangkat) dikembangkan oleh John Wallis pada 1685 dan Johann
Bernoulli pada 1694. Sedangkan logaritma yang dikenal saat ini merupakan kombinasi teori Napier dan
Henry Biggs pada tahun 1624.
Beberapa manfaat Logaritma antara lain, dipakai dalam fungsi penghitung kekuatan gempa, tingkat
kebisingan suara (satuan : desibel), menghitung tingkat pertumbuhan (manusia maupun bakteri) dan
menghitung usia fosil
FUNGSI LOGARITMA DAN GRAFIK FUNGSI LOGARITMA
A. Pengertian Logaritma
Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan atau invers dari eksponen atau
pemangkatan.
Perhatikan hal berikut.
23 = 8
34 = 81
42 = 16
Jika ruas kiri dipertukarkan tempatnya dengan ruas kanan dan sebaliknya menjadi:
8 = 23 ; 81 =34 ; 16 = 42
8 = 23 dapat ditulis sebagai 2log 8 = 3
81 = 34 dapat ditulis sebagai 3log 81 = 4
16 = 42 dapat ditulis sebagai 4log 16 = 2
(2log 8 dibaca “logaritma dari 8 dengan bilangan pokok 2”)
Hal ini berarti mencari logaritma suatu bilangan positif b dengan bilangan pokok a sama dengan mencari
pangkat dari b dalam bilangan pokok a tersebut.
Secara umum rumus dasar logaritma dapat ditulis:
alog b = c b = ac
a disebut bilangan pokok (basis) logaritma, a > 0 , a ≠ 1, a є R
b disebut numerus, yaitu bilangan yang akan dicari logaritmanya, b > 0, b є R
c disebut hasil logaritma
B. Fungsi Logaritma
Apabila terdapat fungsi eksponen f yang memetakan bilangan real x ke ax (ditulis f(x) = ax, dengan a > 0
dan a ≠ 1), inversnya adalah fungsi logaritma g yang mengawankan bilangan real x ke ªlog x (ditulis g(x) =
ªlog x).
Misalkan diketahui fungsi f(x) = 3x dengan daerah asal (domain) Df = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 }. Hubungan
antara x dengan f(x) = 3x dapat dilihat dalam tabel berikut.
Tabel 1
X
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x)
=
3x
1/27
1/9
1/3
1
3
9
27
Pada tabel terlihat adanya korespondensi satu-satu antara x dan f(x) = 3x. Sehingga dapat dikatakan
bahwa fungsi eksponen f(x) = 3x merupakan fungsi bijektif. Karena f(x) = 3x merupakan fungsi bijektif,
terdapat fungsi invers f-1 yang memetakan setiap anggota {1/27, 1/9, 1/3, 1, 3, 9, 27} dengan tepat satu
anggota {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} seperti diperlihatkan pada table berikut.
Tabel 2
f(x)=
3x
1/27
1/9
1/3
1
3
9
27
g(x)
-3
-2
-1
0
1
2
3
Jika fungsi invers dari f(x) = 3x disebut fungsi g(x). Dengan demikian, g(x) dapat ditentukan sebagai
berikut.
y = f(x) = 3x
log y = x logx
log y = x log 3
x = log y
log 3
x = 3log y
f-1 (y) = 3log y
f-1 (x) = 3log x
Jadi, invers dari f(x) = 3x adalah g(x) = f-1(x) = 3log x yang merupakan fungsi logaritma dengan bilangan
pokok 3.
Berdasarkan uraian diatas, pengertian fungsi logaritma adalah suatu fungsi yang memetakan setiap x
bilangan real dengan aturan g(x) = alog x, x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Contoh :
1. Diketahui f(x) = 5log x . Tentukan f(x) + f (5/x)
1- 2 5log x
Penyelesaian:
f (5/x) = 5log 5/x
1- 2 5log 5/x
= 5log 5 – 5log x
1- 2 (5log 5 – 5log x)
= 1 - 5log x
1 - 2 (1 – 5log x)
= 1 – 5log x
1 – 2 + 2 5log x
= 1 – 5log x
-1 + 2 5log x
f(x) + f(5/x) = 5log x + 1 – 5log x
1- 2 5log x -1 + 2 5log x
= 5log x _ 1 + 5log x
1- 2 5log x 1 - 2 5log x
= -1 + 2 5log x
1 - 2 5log x
= _ 1- 2 5log x
1- 2 5log x
=-1
Dengan cara ringkas, dapat dikerjakan sebagai berikut. Karena pada fungsi logaritma berlaku f (x/y) = f(x)
- f(y), maka f(x) + f(5/x) = f(x) + f(5) - f(x)= f(5).
Jadi, f(x) + f(5/x) = f(5) = 5log 5 = 1 = - 1
1- 2 5log 5 1 – 2
2. Diketahui f(x) = 4log (x2 - 8x + 16). Tentukan titik potong kurva fungsi f dengan : a. sumbu X b. sumbu
Y
Penyelesaian:
a. Titik potong dengan sumbu X. Syaratnya f(x) = 0. Oleh karena itu,
f(x) = 4log (x2 – 8x + 16)
0 = 4log (x2 – 8x + 16)
4log (x2 – 8x + 16) = 4log 1
x2 – 8x + 16 = 1
x2 – 8x + 15 = 0
(x – 5)(x – 3) = 0
x = 5 atau x = 3
Jadi, titik potongnya dengan sumbu X adalah (5, 0) dan (3, 0).
b. Titik potong dengan sumbu Y syaratnya, x = 0. Oleh karena itu,
f(x) = 4log (x2 – 8x + 16)
= 4log (02 – 8(0) + 16)
= 4log 16
= 4log 42
=2
Jadi, titik potongnya dengan sumbu Y adalah (0, 2).
C. Grafik Fungsi Logaritma
Untuk menggambar grafik fungsi logaritma, dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut.
Langkah 1 : Buatlah tabel yang menghubungkan x dengan y = f(x) = alog x, yaitu dengan memilih
beberapa nilai x sehingga y dapat ditentukan.
Langkah 2 : Gambarlah titik-titik (x, y) yang diperoleh dari langkah 1 pada bidang Cartesius, kemudian
hubungkan titik-titik tersebut dengan kurva yang mulus sehingga diperoleh grafik fungsi logaritma.
Dengan mengetahui bentuk grafik fungsi logaritma, kita dapat menentukan sifat-sifat fungsi logaritma
tersebut.
1. Grafik Fungsi Logaritma dengan Basis a > 1
Contoh :
1. Gambarlah grafik fungsi y = f(x) = 2log x.
Penyelesaian:
Langkah 1 :
Tabel fungsi y = f(x) = 2log x adalah sebagai berikut.
Tabel 3
X…8421..⅛…
f(x) = 2log x … 3 2 1 0 -1 -2 -3 …
Langkah 2 :
Grafiknya adalah sebagai berikut.
y
y = 2log x
3•
024
8x
Gambar 1
2. Gambarlah grafik fungsi y = f(x) = 3log x.
Penyelesaian:
Tabel fungsi y = f(x) = 3log x adalah sebagai berikut.
Tabel 4
X … 9 3 1 1/3
1/9
1/27
…
f(x) = 3log x … 2 1 0 -1 -2 -3 …
Grafiknya adalah sebagai berikut.
y
y = 3log x
1
013
9x
Gambar 2
Dari Gambar 1 dan Gambar 2 tampak bahwa domain fungsi f(x) = 2log x dan fungsi f(x)
= 3log x adalah himpunan bilangan real positif atau Df = { x | x > 0, x є R }, sedangkan
range-nya adalah himpunan bilangan real.
Dengan memperhatikan contoh di atas, tampak bahwa fungsi logaritma y = f(x) =
alog x, dengan a > 1, merupakan fungsi naik karena untuk x1 ≤ x2 maka alog x1 ≤ alog x2. [1]
2. Grafik Fungsi Logaritma dengan Basis 0 < a < 1
Grafik fungsi logaritma dengan basis 0 < a < 1 dapat digambarkan dengan memilih
beberapa nilai x sehingga nilai y = alog x dapat ditentukan. Kemudian, pasangan nilai tersebut
digambar dalam diagram Cartesius dan dihubungkan dengan sebuah kurva mulus.
Contoh :
Gambarlah grafik fungsi logaritma y = f(x) = .log x.
Penyelesaian:
Buat tabel f(x) = .log x terlebih dahulu.
Tabel 5
X…⅛..1248…
f(x) = ½log x … 3 2 1 0 -1 -2 -3 …
Dengan melukis pasangan koordinat titik-titik yang diperoleh pada tabel, lalu
menghubungkannya dengan sebuah kurva mulus, kita dapatkan grafik fungsi f(x) = .log x
seperti pada gambar berikut.
y
0248x
3 y = .log x
Gambar 3
Dengan memperhatikan contoh di atas, tampak bahwa fungsi logaritma f(x) = alog x
dengan 0 < a < 1 adalah fungsi turun karena x1 ≤ x2 maka alog x1 ≥ alog x2. [2]
Coba gambar grafik seperti contoh-contoh di atas, untuk fungsi
a. f(x) = 3log x c. f(x) = ⅓log x;
b. f(x) = 4log x d. f(x) =.log x.
c. Pernahkah fungsi f(x) = alog x, untuk a > 1 merupakan fungsi turun? Dan pernahkah
fungsi f(x) = alog x , untuk 0 < a < 1 menjadi fungsi naik?
3. Grafik Fungsi f(x) = alog x dan g(x) = 1/alog x
Jika grafik y = f(x) = 2log x dan grafik fungsi y = g(x) = .log x digambarkan dalam satu
bidang koordinat, gambar grafiknya adalah sebagai berikut.
y
3 y = 2log x
01
248x
-3
y = .log x
Gambar 4
Dari gambar 4, dapat dikatakan bahwa:
a. Grafik fungsi logaritma f(x) = alog x dan g(x) = 1/alog x simetri terhadap sumbu X. Hal ini
berarti bahwa fungsi g(x) = 1/alog x dapat diperoleh dengan mencerminkan grafik f(x) =
alog x terhadap sumbu X atau sebaliknya.
b. Grafik fungsi f(x) = alog x dan grafik fungsi g(x) = 1/alog x melalui titik (1, 0).
c. Grafik fungsi f(x) = alog x dan grafik fungsi g(x) = 1/alog x selalu barada di sebelah kanan
sumbu Y.
d. Daerah asal kedua fungsi adalah himpunan bilangan real positif atau D = (0, ∞)
dan daerah hasilnya adalah R = (-∞, ∞).
e. Fungsi f(x) = alog x merupakan fungsi naik dan fungsi g(x) = 1/alog x merupakan fungsi
turun.
f. Grafik fungsi f(x) = alog x dan grafik fungsi g(x) = 1/alog x tidak pernah memotong
sumbu Y, tetapi terus-menerus mendekatinya. Oleh karena itu, sumbu Y merupakan
asimtot tegak bagi kedua grafik fungsi tersebut.[3]
4. Grafik Fungsi f(x) = ax dan g(x) = alog x
Jika grafik fungsi y = f(x) = 2x dan y = g(x) = 2log x, serta grafik y = f(x) =
(1/2)x dan y = g(x) = .log x digambarkan dalam satu bidang koordinat Cartesius, maka
hasilnya adalah sebagai berikut.
► Grafik fungsi y = f(x) = 2x dan y = g(x) = 2log x
Tabel 6
X…0123…
f(x) = 2x … 1 2 4 8 …
y
8 y = 2x
y=x
4
y = 2log x
2
0x
12348
Gambar 5
► Grafik fungsi y = f(x) = (1/2)x dan y = g(x) = .log x
Tabel 7
x…0248…
F(x) = (1/2)x … 1 -1 -2 -3 …
y
y = (1/2)x
8y=x
4
2
1
-3 -2 -1 1 2
48x
-1
-2
-3
Gambar 6 y = .log x
Dengan memperhatikan contoh di atas, kita mendapatkan beberapa hal menarik tentang
grafik fungsi eksponen f(x) = ax dan grafik fungsi logaritma g(x) = alog x sebagai berikut.
a. Grafik fungsi eksponen f(x) = ax dan grafik fungsi logaritma g(x) = alog x simetri
terhadap garis y = x. hal ini berarti bahwa grafik fungsi g(x) = alog x dapat diperoleh
dengan mencerminkan grafik f(x) = ax terhadap garis y = x atau sebaliknya.
b. Fungsi eksponen f(x) = ax merupakan fungsi invers dari fungsi logaritma g(x) = alog x
atau sebaliknya.