makalah-kalkulus-fungsi-eksponen-dan-logaritma-2

FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI
LOGARITMA
Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Kalkulus 1
Dosen Pengampu : Muhammad Istiqlal, M.Pd
Disusun Oleh :
1. Sufi Anisa
(23070160086)
2. Evi Mia Safitri
(23070160138)
3. Budi Nuryani
(23070160155)
4. Jundina Amajida
(23070160157)
INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN) SALATIGA
FAKULTAS TARBIYAH DAN ILMU KEGURUAN
TADRIS MATEMATIKA
FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI
LOGARITMA
A. JenisFungsi
Fungsi real secara umum dibagi atas dua kelas yaitu:
 Fungsi aljabar (polinom, fungsi rasional, akar, hargamutlak).
 Fungsi transenden, yaitu yang bukan fungsi aljabar (Fungsi Trigonometri,
Fungsi Logaritma, Fungsi Eksponensial)
Pada bagian ini akan dipelajari berbagai macam fungsi transenden disertai sifatsifatnya.
Fungsi Transenden
A. Fungsi Trigonometri
miring
tinggi
alas
sin  
tinggi
miring
cos  
alas
miring
tan  
tinggi
alas
Definisi-definisi fungsi trigonometri berdasarkan sudut-sudut dan segitiga
siku-siku, ini tidak berlaku untuk sudut tumpul .
 Sifat Dasar Sinus dan Cosinus
Beberapa kenyataan jelas kelihatan dari definisi yang baru saja diberikan.
Pertama x dan y bervariasi antara -1 dan 1, sehingga
sin t  1
cos t  1
Karena t dan t  2 mentukan titik p  x, y  yang sama. Sehingga
sin  t  2   sin t
cos  t  2   cos t
Dikatakan sinus dan cosinus periodik dengan periode 2 , secara lebih umum,
suatu fungsi f dikatakan periodik jika terdapat suatu bilangan positif p
sedemikian sehingga f  t  p   f  t  untuk semua t dalam daerah asal f .
Dan bilangan p terkecil yang memenuhi disebut periode f .
Titik p yang berpadanan dengan t dan - t simetris terhadap sumbu x ,
sehingga koordinat x -nya sama dan koordinat y -nya hanya berbeda tanda.
Akibatnya,
sin   x    sin x
cos   x   cos x
Dengan begitu dapat dikatakan bahwa sinus adalah fungsi ganjil sedangkan
cosinus adalah fungsi genap. Titik p yang berpanan dengan t dan pi/2-t
simetris terhadap garis y=x sehingga koordinat-kooordinatnya saling bertukar.
Ini bererti bahwa


sin   t   cos t
2 


cos   t   sin t
2 
Akhirnya kita sebutkan sebuah kesamaan yang menghubungkan fungsi-fungsi
sinus dan cosinus
sin 2 t  cos 2 t  1
Kesamaan ini muncul dari kenyataan bahwa y 2  x 2  1
Apabila ditafsirkan melalui grafik akan ditemukan empat hal sebagai berikut :
1. Sin t dan cos t keduanya berkisar dari -1 sampai 1
2. Kedua grafik berulang dengan sendirinya pada selang yang berdampingan
panjang 2pi
3. Grafik y=sin t simetris terhadap titik asal dan y=cos t terhadap sumber y
4. Grafik y=sin t sama seperti y=cost, tetapi bergeser pi/2 satuan ke kanan
Identitas Trigonometri
sin 2   cos 2   1
1  tan 2   sec 2 
1  cot 2   csc 2 
tan x  tan y
1  tan x tan y
tan x  tan y
tan  x  y  
1  tan x tan y
sin 2  2 sin  cos 
tan  x  y  
sin  x  y   sin x cos y  sin x cos y
sin  x  y   sin x cos y  sin x cos y
cos  x  y   cos x cos y  sin x sin y
cos  x  y   cos x cos y  sin x sin y
sin  x  y   sin x cos y  sin x cos y
cos 2  cos 2   sin 2 
 2 cos 2   1
 1  2 sin 2 
B. Fungsi Eksponensial
a. Eksponen
Sebagaimana yang telah kita ketahui, bahwa notasi eksponen
atau notasi pangkat sangat berguna untuk menuliskan hasil kali
sebuah bilangan dengan bilangan itu sendiri dalam bentuk yang lebih
ringkas, misalnya :
1. 34 = 3 x 3 x 3 x 3
2. (-2)2 = (-2) x (-2)
Sudah menjadi
kelaziman untuk
menuliskan perkalian
sembarang bilangan real a sebanyak n kali, yaitu a x a x a x ... x a
sebagai an. Dengan kata lain, didefinisikan bahwa untuk setiap
a ϵ R (himpunan bilangan Real) dengan n bilangan bulat positif,
notasi an adalah hasil kali n buah faktor a, yaitu :
an = a x a x a x a x ... x a
Tentunya kita masih ingat, bahwa bentu an dibaca “a pangkat
n” atau “a eksponen n”. Bilangan a dinamakan bilangan pokok
atau basis, sedangkan bilangan n dinamakan pangkat atau
eksponen atau indeks.
b. Fungsi Eksponensial Umum
Perhatikanlah dua buah fungsi elementer dalam bentuk seperti
ini :
Y = f(x) = x3 dan y = f(x) = 3x
Dalam fungsi y = x3 dengan pangkat variabel adalah konstan,
sehingga fungsi ini termasuk ke dalam salah satu contoh fungsi
aljabar. Sedangkan pada contoh yang kedua, yaitu y = 3x, variabelnya
muncul sebagai pangkat atau eksponen. Fungsi y = 3x merupakan
contoh sebuah fungsi yang bukan fungsi aljabar melainkan fungsi
transenden,
yaitu
sebuah
contoh
fungsi
eksponen.
Suatu fungsi yang memuat variabel sebagai pangkat atau eksponen
kita namakan fungsi eksponen. Secara lengkapnya, fungsi eksponen
didefinisikan sbb :
Definisi 1
Fungsi eksponen adalah fungsi yang mempunyai bentuk umum
f(x) = ax dengan a > 0 dan a ≠ 1.
Secara simbolik, fungsi eksponen dapat ditulis dalam bentuk
sebagai berikut :
f = {(x,y) | y = ax, a>0, a≠1}
Teorema
Jika a > 0 dan a ≠ 1, maka f(x) = ax merupakan fungsi kontinu
dengan daerah asal R dan daerah nilai (0,∞). Khususnya, ax > 0
untuk setiap x. Jika 0 < a < 1, f(x) = ax merupakan fungsi turun; jika
a > 1, f naik. Jika a, b < 0 dan x, y ϵ R, maka :
1. ax+y = ax ay
2. ax-y =
ax
ay
3. (ax)y = axy
4. (ab)x = axbx
c. Fungsi Eksponensial Asli
Fungsi eksponensial natural adalah suatu fungsi yang
didefinisikan oleh persamaan f(x) = ex. Bilangan e adalah suatu
bilangan real yang merupakan jawaban tunggal dari persamaan
ln x = 1. Nilai hamparannya adalah e = 2,71828.....
Fungsi eksponensial f(x) = ex merupakan salah satu fungsi
yang paling sering muncul dalam kalkulus dan penerapannya, karena
itu sangat penting untuk akrab dengan sifat-sifat fungsi eksponensial
natural.
Sifat-Sifat Eksponensial Natural
Fungsi eksponensial f(x) = ex merupakan fungsi naik yang
kontinu dengan daerah asal R dan daerah nilai (0,∞). Jadi ex > 0
untuk setiap x. Juga
lim ex = 0
x
lim ex = ∞
x
Jadi sumbu-x merupakan asimtot(*) datar dari f(x) = ex
(*)
Asimtot adalah suatu garis lurus yang didekati kurva lengkung dengan jarak
semakin lama semakin kecil mendekati nol di jauh tak terhingga
Hukum-Hukum Eksponensial
Jika x dan y bilangan real dan rasional, maka :

ex+y = exey

ex-y =

(ex)y = exy
ex
ey
C. Fungsi Logaritma
a. Fungsi Logaritma Umum
Fungsi logaritma dengan bilangan a > 0 dan a≠1 adalah invers
dari fungsi eksponen dengan dasar (bilangan pokok) a. Fungsi
eksponen y= g(x)= ax maka inversnya adalah fungsi logaritma y=
f(x)= alog x dengan kata lain y = a log x , jika dan hanya jika x = ay.
Karena ay > 0 untuk setiap y real dengaan a> 0, maka haruslah x > 0.
Fungsi Logarita mepunyai daerah asal (0,∞) dan daerah hasil R dan
kontinu karena merupakan invers dari suatu fungsi kontinu yakni
fungsi eksponensial.
Definisi 1
Jika a > 0, a ≠ 1, y = log x  x  a
a
y
Teorema
Jika a >1 fungsi f(x)= log x merupakan fungsi satu-ke-satu
kontinu dan naik dengan daerah asal (0,∞) dan daerah nilai R. Jika
,y>0 dan r bilangan real sebarang maka :
1.
a
log (xy) = alog x + alog y
2.
a
log (xr )= r alog x
3.
a
log 𝑦 = alog x – alog y
x
Catatan :
Huruf a disebut basis logaritma atau bilangan dasar, dengan
ketentuan a>0 dan a≠ 1. Untuk a= 10, bentuk
10
log x cukup ditulis.
log x. Logaritma dengan basis sepuluh dinamakan logaritma biasa.
Jika log x = y berarti 𝑥 = 10𝑦 . Sedangkan untuk a= e= 2,718…,
bentuk elog x ditulis sebagai In x ( dibaca :“ lon x”) dan disebut
logaritma natural (logaritma Napier) .Logaritma natural banyak
dipakai dalam kalkulus. Hubungan antara logaritma natural dengan
logaritma biasa adalah :
Log x = (In x) ( In e), karena log e =0, 43429448…, maka log x = ( 0,
43429448…) In x, dan In x =( 2,302585…) log x.
x disebut numerous, yaitu bilangan yang dicari logaritmanya dengan
syarat x > 0
y disebut hasil logaritma, nilainya bisa positif, nol atau negative.
penulisan y = alog x kadang-kadang ditulis dalam bentuk y = loga x.
Namun dalam kesempatan sekarang ini kita menggunakan notasi
yang pertama. Untuk menyatakan suatu bilangan x dalam notasi
ilmiah, maka bilangan itu ditulis dalam bentuk :
x = A x 10k, dengan 1 A < 10 dan k bilangan bulat.
Sebab log 10 =1
log x  log( A 10k )
= log A  log10
k
= log A  k log10
= log A  k
 Fungsi Logaritma
Contoh penerapan fungsi logaritma di bidang kimia :
 Sifat termodinmika pada atom atau molekul
 persamaan model kinetic orde satu dan orde dua
 fungsi suhu terhadap konstanta ekuilirium
b. Fungsi Logaritma Asli
Logarita dengan bilangan pokok e disebut logarita natural dan
mempunyai labang khusus Log x = In x. Jika a=e dan kita ganti log
e dengan “In”. Fungsi logaritma asli memang ada hubungannya
dengan fungsi logaritma yang telah di pelajari dalam sekolah
lanjutan.
In x= y  ey = x
In ( ex) =x x€R
EIn x= x
x>0
Khususnya untuk x = 1 kita dapatkan In e = 1.
Definisi
Fungsi logaritma asli, di tulis sebagai In, didefinisikan dengan
x
1
dt , x  0

Sifat Logaritma Asli
Teorema
Apabila a dan b bilangan-bilangan positif dan r sebuah bilangan
rasional, maka
In 1= 0
In ab = In a + In b
a
In 𝑏 = In a – In b
r
In a = r In a
Logarita natural
misal tentukan x jika ln x = 5 jadi x =e5
Jika anda berasalah dengan labang ln gantilah dengan loge
.Dengan deikian persaaan enjadi
logex= 5 sehingga enurut
definisi logarita e5=x
catatan :
log x artinya logritma dengan basis 10
In x artinya logaritma dengan basis (bilangan natural, e =2,71….)
Soal :
1) Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut :
a)
5
log( x  4) 5 log x = 1
b)
2) Buktikan !
a)
a
log 𝑚p = p alog 𝑚
a
b)
log m 
b
log m
b
log a
DAFTAR PUSTAKA
1. Drs. Karso.Fungsi Eksponen dan Fungsi Logaritma Beserta Beberapa
Aplikasinya.pdf
2. Purcell, Edwin J. dan Dale Varberg.1994.Kalkulus dan Geometri Jilid 1 Edisi
5.Jakarta : Erlangga
3. Stewart, James.Kalkulus Jilid 1. Jakarta : Erlangga