revisi-makalah-kalkulus-fungsi-eksponen-dan

FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI
LOGARITMA
Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Kalkulus 1
Dosen Pengampu : Muhammad Istiqlal, M.Pd
Disusun Oleh :
1. Sufi Anisa
(23070160086)
2. Evi Mia Safitri
(23070160138)
3. Budi Nuryani
(23070160155)
4. Jundina Amajida
(23070160157)
INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN) SALATIGA
FAKULTAS TARBIYAH DAN ILMU KEGURUAN
TADRIS MATEMATIKA
FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, DAN
FUNGSI LOGARITMA
Jenis Fungsi
Fungsi real secara umum dibagi atas dua kelas yaitu:
 Fungsi aljabar (polinom, fungsirasional, akar, hargamutlak).
 Fungsi transenden, yaitu yang bukan fungsi aljabar (FungsiTrigonometri,
Fungsi Logaritma, Fungsi Eksponensial)
Pada bagian ini akan dipelajari berbagai macam fungsi transenden disertai
sifat-sifatnya.( )
Fungsi Transenden
A. Fungsi Trigonometri
miring
tinggi
alas
sin  
tinggi
miring
cos  
alas
miring
tan  
tinggi
alas
Definisi-definisi fungsi trigonometri berdasarkan sudut-sudut dan
segitiga siku-siku.
 Sifat Dasar Sinus dan Cosinus
Beberapa kenyataan jelas kelihatan dari definisi yang baru saja diberikan.
Pertama x dan y bervariasi antara -1 dan 1, sehingga
sin t  1
cos t  1
Karena t dan t  2 mentukan titik p  x, y  yang sama. Sehingga
Dikatakan sinus dan cosinus periodik dengan periode 2 , secara
lebih umum, suatu fungsi f dikatakan periodik jika terdapat suatu bilangan
sin  t  2   sin t
cos  t  2   cos t
positif p sedemikian sehingga f  t  p   f  t  untuk semua t dalam daerah
asal f . Dan bilangan p terkecil yang memenuhi disebut periode f .Titik
p yang berpadanan dengan t dan - t simetris terhadap sumbu x , sehingga
koordinat x -nya sama dan koordinat
y -nya hanya berbeda tanda.
( Purcell,1987:63 )
Akibatnya,
sin   x    sin x
cos   x   cos x
Dengan begitu dapat dikatakan bahwa sinus adalah fungsi ganjil
sedangkan cosinus adalah fungsi genap.Titik p yang berpadanan dengan t
dan pi/2-t simetris terhadap garis y = x sehingga koordinat-kooordinatnya
saling bertukar. Ini bererti bahwa


sin   t   cos t
2 


cos   t   sin t
2 
Akhirnya kita sebutkan sebuah kesamaan yang menghubungkan fungsifungsi sinus dan cosinus
sin 2 t  cos 2 t  1
Kesamaan ini muncul dari kenyataan bahwa y 2  x 2  1
Apabila digambarkan dengan grafik maka dapat ditemukan empat hal yang
berkaitan tentang grafik-grafik tersebut :
1. Sin t dan cos t keduanya berkisar dari -1 sampai 1
2. Kedua grafik berulang dengan sendirinya pada selang yang
berdampingan panjang 2 pi
3. Grafik y=sin t simetris terhadap titik asal dan y=cos t terhadap sumber
y
4. Grafik y=sin t sama seperti y=cost, tetapi bergeser pi/2 satuan ke
kanan.
Selain sinus dan kosinus, masih ada empat fungsi trigonometri
tambahan lainnya, yaitu: tangent, kotangen, sekan dan kosekan.
tan t 
sec t 
sin t
cos t
1
cos t
cot t 
scs 
cos t
sin t
1
sin t
Apapun yang telah diketahu mengenai sinus dan kosinus secara
otomatis akan memberikan kita pengetahuan mengenai empat fungsi baru
ini. ( Purcell,1987:64-65 )
Hubungan dengan trigonometri sudut, sudut biasanya diukur dalam
derajat atau radian, sudut yang berpadanan terhadap satu putaran penuh
berukuran 360 , tetapi hanya 2 radian.sedangkan sudut lurus berukuran
180 atau  radian.
180   radian ≈ 3.1415927 radian
Ini menuju pada konversi biasa sehingga terlihat fakta-fakta berikut.
1 radian ≈ 57, 29578
1 ≈ 0,0174533 radian
Pembagian ke dalam 2 berlatar belakang pada pemakaian radian yang
umum dalam kalkulus. Khususnya, perhatikan bahwa panjang busur s dari
potongan busur sebuah lingkaran radius r dengan sudut pusat t radian
memenuhi, yakni
s
2 r

t
2
Sehingga , s  rt
Bila r = 1 maka s = t
Dalam kalkulus, ketika kita menjumpai sebuah sudut yang di ukur dalam
derajat, kita hampir selalu mengubahnya kedalam radian sebelum
melakukan perhitungan. ( Purcell,1994:66)
Misalnya
sin 31, 6  sin(31, 6 

180
radian) ≈ sin (0, 552)
Identitas Trigonometri
sin 2 x  cos 2 x  1
1  tan 2 x  sec 2 x
1  cot 2 x  csc 2 x
tan x  tan y
1  tan x tan y
tan x  tan y
tan  x  y  
1  tan x tan y
sin 2 x  2 sin x cos x
tan  x  y  
sin  x  y   sin x cos y  sin x cos y
sin  x  y   sin x cos y  sin x cos y
cos  x  y   cos x cos y  sin x sin y
cos  x  y   cos x cos y  sin x sin y
sin  x  y   sin x cos y  sin x cos y
cos 2 x  cos 2 x  sin 2 x  2 cos 2 x  1  1  2 sin 2 x
B.
Fungsi Eksponensial
a. Fungsi Eksponensial Asli
Fungsi
eksponensial
natural
adalah
suatu
fungsi
yang
didefinisikan oleh persamaan f(x) = ex. Bilangan e adalah suatu
bilangan real yang merupakan jawaban tunggal dari persamaan
ln x = 1. Nilai hamparannya adalah e = 2,71828.....
Definisi
Fungsi eksponensial merupakan invers dari ln x. dan ditulis sebgai exp,
yaitu
x= exp y↔ y = ln x
dengan definisi itu sehingga diperoleh :
i. exp(ln x) = x
x>0
ii. ln (exp y) = y
untuk semua y
(Purcell, 1994 : 367-388)
Fungsi eksponensial f(x) = ex merupakan salah satu fungsi
yang paling sering muncul dalam kalkulus dan penerapannya,
karena itu sangat penting untuk akrab dengan sifat-sifat fungsi
eksponensial natural yang diperoleh dari fakta bahwa ia
merupakan invers dari fungsi logaritma natural (Stewart, 2001 :
475)
 Sifat-Sifat Eksponensial Natural
Fungsi eksponensial f(x) = ex merupakan fungsi naik yang
kontinu dengan daerah asal R dan daerah nilai (0,∞). Jadi ex> 0
untuk setiap x. Juga
lim ex = 0
lim ex = ∞
x
x
Jadi sumbu-x merupakan asimtot(*) datar dari f(x) = ex
(*)
Asimtot adalah suatu garis lurus yang didekati kurva lengkung dengan jarak
semakin lama semakin kecil mendekati nol di jauh tak terhingga

Hukum-Hukum Eksponensial
Jika x dan y bilangan real dan rasional, maka :

ex+y = exey
ex
= y
e

e

(ex)y = exy
x-y
b. Fungsi Eksponensial Umum
Kita telah mendefinisikan e√2, ex, dan pangkat tak rasional e
lainnya dalam pasal yang terdahulu. Bagaimana dengan bilanganbilangan 2√2, ππ, πe, √2π, dan pangkat tak rasional lainnya dan
bilangan-bilangan bukan e? Kita hendak mendefinisikan ax untuk
a > 0 dan x bilangan real sembarang. Apabila r = p/q bilangan
q
rasional, maka ar = ( a )p. Maka diketahui bahwa :
ar = exp(ln ar) = exp (r ln a) = er ln a
Definisi
Untuk a > 0 dan x bilangan real sembarang , ax = ex ln a
Teorema
Jika a > 0, a,x, dan y bilangan real sembarang, maka :
1. ax+y = ax ay
2. ax-y =
ax
ay
3. (ax)y = axy
4. (ab)x = axbx
( Purcell, 1994 : 393-394)
Sifat-sifat tersebut yang membuat fungsi eksponensial di
anggap penting, yang di sebut hukum eksponen. Fungsi
eksponensial sering muncul dalam model matematika untuk alam
dan kemasyarakatan. Contohnya dalam pembahasaan mengenai
pertumbuhan populasi dan peluruhan zat radioaktif. (Stewart,
2001 : 476)
C.
Fungsi Logaritma
a. Fungsi Logaritma Asli ( Natural)
Logarita dengan bilangan pokok e disebut logarita natural
dan mempunyai lambing khusus Log x = In x. Jika a= e dan
kitaganti log e dengan “In”. Fungsi logaritma asli memang ada
hubungannya dengan fungsi logaritma yang telah di pelajari
dalam sekolah lanjutan.
In x= y ↔ey = x
In (ex) = x x ∈ R
eln x = x
x>0
Khususnya untuk x = 1 kita dapatkan In e = 1. (stewart)
Definisi
Fungsi logaritma asli, di tulis sebagai In, didefinisikan dengan

In x =
x
1
1
dt , x  0
t
Dari definisinya adalah himpunan bilangan riil positif.

Sifat Logaritma Asli
Teorema
Apabila a dan b bilangan-bilangan positif dan r sebuah
bilangan rasional, maka
In 1= 0
Inab = In a + In b
a
In𝑏= In a – In b
r
In a = r In a
Logarita natural
misal tentukan x jika ln x = 5 jadi x =e5
Jika anda berasalah dengan labang ln gantilah dengan loge.
Dengan deikian persaaan enjadi logex= 5 sehingga menurut
definisi logarita e5=x
catatan :
log x artinya logritma dengan basis 10
In x artinya logaritma dengan basis (bilangan natural, e
=2,71….)
Catatan :
Huruf a disebut basis logaritma atau bilangan dasar, dengan
ketentuan a>0 dan a≠ 1. Untuk a= 10, bentuk
10
log x cukup
ditulis. log x. Logaritma dengan basis sepuluh dinamakan
logaritma biasa. Jika log x = y berarti 𝑥 = 10𝑦 . Sedangkan untuk
a= e= 2,718…, bentuk elog x ditulis sebagai In x ( dibaca :“ lon
x”) dan disebut logaritma natural (logaritma Napier) .Logaritma
natural
banyak
dipakai
dalam
kalkulus.Hubungan
antara
logaritma natural dengan logaritma biasa adalah :
Log x = (In x) ( In e), karena log e =0, 43429448…, maka log x =
( 0, 43429448…) In x, dan In x =( 2,302585) log x. x disebut
numerous, yaitu bilangan yang dicari logaritmanya dengan syarat
x > 0. Y disebu thasil logaritma, nilainya bisa positif, nol atau
negative. penulisan y = alog x kadang-kadang ditulis dalam
bentuk y= loga x. Namun dalam kesempatan sekarang ini kita
mengguna kannotasi yang pertama Untuk menyatakan suatu
bilangan x dalam notasi ilmiah, maka bilangan itu ditulis dalam
bentuk :
x = A x 10k, dengan 1 A < 10 dan k bilanganbulat.
Sebab log 10 =1
log x  log( A 10k )
= log A  log10
k
= log A  k log10
= log A  k
b. Sifat Logaritma Umum
Fungsi logaritma dengan bilangan a > 0 dan a≠1 adalah
invers dari fungsi eksponen dengan dasar (bilangan pokok) a.
Fungsi eksponen
y  g ( x)  a x maka inversnya adalah fungsi
logaritma y  f ( x) a log x dengan kata lain y = a log x , jika dan
hanya jika x = ay. Karena ay > 0 untuk setiap y real dengaan a > 0,
maka haruslah x > 0. Fungsi Logarita mepunyai daerah asal
(0,+∞) dan daerah hasil R dan kontinu karena merupakan invers
dari suatu fungsi kontinu yakni fungsi eksponensial.( Stewart,
2001 : 486-487)
Definisi
Jika a > 0, a ≠ 1, y = log x  x  a
a
y
Jadi, jika x > 0,alog x merupakan eksponen yang bila diterapkan
pada bilangan pokok a akan memberikan x.
Teorema
Jika a >1 fungsi f ( x)  log x merupakan fungsi satu-ke-satu
kontinu dan naik dengan daerah asal (0,∞) dan daerah nilai R.
Jika ,y>0 dan r bilangan real sebarang maka :
1.
a
log (xy) = alog x + alog y
2.
a
log (xr )= r alog x
3.
a
log𝑦 = alog x –alog y( Stewart, 2001 : 487)
x
 Penerapan Fungsi Logaritma
Contoh penerapan fungsi logaritma di bidang kimia antara lain:
 Sifat termodinmika pada atom atau molekul
 persamaan model kinetic orde satu dan orde dua
 fungsi suhu terhadap konstanta ekuilirium ( Dwi :22)
Soal :
1) Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan berikut :
a) a
adalah
sudut
lancip
dengan
tan a 
1
,
2
jika
sin( x  a)  0 , nilai 1  sin 2x  …..
b) e5-3x = 10
c)
5
log( x  4) 5 log x = 1
2) Buktikan !
a) sin 2x  2sin x cos x
b) (a x ) y  a xy
c)
d)
a
log 𝑚p = p alog 𝑚
a
log m 
b
log m
b
log a
3) Suatu kelompok bakteri bertumbuh dan laju yang sebanding
dengan besarnya kelompom itu. Pada awal ada 10.000 dan
setelah 10 hari kelompok itu terdiri atas 24.000 bakteri.
Berapakah banyaknya bakteri setelah 25 hari?
4) Konversikan ukuran berikut ke radian (gunakan π dalam
jawaban anda)
a) 240°
b) 540°
c) 18°
d) -60°
5) Periksa kebenaran kesamaan berikut
a) (1 + sin x) (1 – sin x) =
b) Sec t – sin t tan t = cos t
1
sec 2 x
DAFTAR PUSTAKA
1. Purcell, Edwin J. dan Dale Varberg.1994.Kalkulus dan Geometri Jilid 1
Edisi 5.Jakarta : Erlangga
2. Stewart, James.2001.Kalkulus Jilid 1. Jakarta : Erlangga