II. UJI HIPOTESIS TENTANG DUA POPULASI 1. Uji Hipotesis

II. UJI HIPOTESIS TENTANG DUA POPULASI
1. Uji Hipotesis tentang µ dua populasi
Misal sampel I : x1, x2, …. Xn1 ukuran sampel n1
II : x1, x2, …. Xn1 ukuran sampel n2
Dari kedua sampel random Independen diambil dari suatu populasi, masingmasing populasi mempunyai mean µ1 dan µ2 dan Variansi 12 dan 12 dengan
µ1 dan µ2 tidak diketahui.
Misal X 1 dan S12 adalah harga estimasi titik untuk µi dan i2 , i = 1 dan 2 maka
dalam uji hipotesis kita dapat membandingkan µ1 dan µ2 dengan cara :
a. Rumusan Hipotesis :
A. H0 : µ1 = µ2 versus H1 : µ1 ≠ µ2
B. H0 : µ1 ≤ µ2 versus H1 : µ1  µ2
C. H0 : µ1 ≥ µ2 versus H1 : µ1  µ2
b. Tentukan tingkat signifikansi = 
c. Tentukan daerah kritis.
A.H0 ditolak jika z > z/2 atau z < - z /2
B.H0 ditolak jika z > z/2
C. H0 ditolak jika z < - z/2
d. Hitung statistik penguji:
*
Z 
( X 1  X 2 )  ( 1   2 )
 12
n1
*
Z 

2
n2
( X 1  X 2 )  ( 1   2 )
2
Jika 12 dan 22 diketahui
2
S1
S
 2
n1
n2
Jika 12 dan 22 tidak diketahui dan
n1 dan n2 besar
•Jika 12 dan 22 tidak diketahui tetapi kedua variansi dianggap sama maka :
Z 
( X 1  X 2 )  ( 1   2 )
 1
1 

Sp 2 

n

n
2 
 1
( n1  1) S1  ( n 2  1) S 2

n1  n 2  2
2
2
dengan Sp
e. Kesimpulan.
** Keterangan : - Harga (µ1 - µ2 ) dianggap nol jika tidak diketahui
- Sesuai dengan H0 : µ1 = µ2  µ1 - µ2 = 0
2
Contoh:
Seorang ahli gizi ingin melihat pengaruh serat kasar terhadap
pertumbuhan tumor usus besar. Digunakan 60 ekor tikus sebagai obyek
percobaan. 30 ekor tikus diambil secara random dan diberi diet tanpa
serat sedang yang lain dengan diet lengkap. Setelah 1 tahun diperoleh
data berat tumor rata-rata kelompok I adalah 1,53 gr dan deviasi
standar 0,83 gr, kelompok II (kontrol) mempunyai berat tumor rata-rata
1,28 dan deviasi standar 0,31 gr. Dapatkah ahli gizi tersebut
menyimpulkan bahwa serat kasar mempengaruhi pertumbuhan tumor
usus besar pada tikus?
Langkah pengujian:
- Sampel berukuran besar  30, tetapi 2 tidak diketahui diasumsikan = 52
a. Rumusan hipotesis
H0 : 1 = 2
Versus H1 : 1  2
b. tingkat signifikansi  = 0,05
c. daerah kritis : (Z  /2 = 1,96)
H0 ditolak jika Zhit > 1,96 atau
Zhit < - 1,96
d. statistik penguji
 hit 
1,53  1,28
(0,38) 2 (0,31) 2

30
30
 hit 
( X 1  X 2 )  ( 1   2 )
2
2
S1
S
 2
n1
n2
Z hit  2,79
e. kesimpulan : karena Zhit > 1,96 maka H0 ditolak
Jadi dapat disimpulkan bahwa serat
mempengaruhi pertumbuhan tumor usus besar.
kasar
2. Uji Hipotesis Dua Proporsi
Contoh :
Kita ingin membandingkan daya tahan dari 2 buah produk susu kaleng
dari pabrik A dan B. Untuk keperluan tersebut diperiksa 100 kaleng dari
A dan ternyata hanya 23 buah yang mempunyai umur simpan lebih dari
600 hari. Dari pabrik B diambil 200 kaleng dan ternyata hanya 52 buah
yang mempunyai umur simpan lebih dari 600 hari. Apakah dapat
disimpulkan bahwa kedua produk tersebut mempunyai proporsi umur
simpan lebih dari 600 hari yang sama?
Jawab :
Sampel berukuran besar  dist. Z
a. Hipotesis :
H0 : P1 = P2
Versus H1 : P1  P2
b. Tingkat signifikansi = 0,05
c. Daerah kritis
- Z  /2 = 1,96 (Tabel III)
- H0 ditolak jika:
Z > 1,96 atau Z < - 1,96
d. Statistik penguji :
x1  x2
ˆ
P
n1  n2
 x1 x2 
    ( P1  P 2)
n1 n2 

Z
1
1 
ˆ
ˆ

P (1  P )  
 n1 n2 
Diketahui
X1 = 23
X2 = 52
n1 = 100
n2 = 200
23  52
ˆ
P
 0,25
300
dan
Z hit 
23
52

100 100
1 
 1
(0,25)( 0,75)


 100 200 
(harga P1 dan P2 tidak diketahui sehingga P1 – P2 =
nol)
e. Kesimpulan : Karena Zhit > - Z/2 dan Zhit < Z/2
maka H0 tidak ditolak / diterima. Jadi dapat disimpulkan bahwa
proporsi produk kedua pabrik yang mempunyai umur simpan
lebih dari 600 hari sama.
Zhit = - 0,57
3. Uji hipotesis tentang  dua populasi dengan sampel kecil.
Statistik penguji yang digunakan :
a. bila  1 2   2 2   2
t
( X 1  X 2 )  ( 1   2 )
1
1 
Sp 2   
 n1 n2 
(n1  1) S1  (n2  1) S 2
2
Sp 
n1  n2  2
2
dengan
2
- Berdistribusi t-student dengan derajat bebas k=(n1 + n2 – 2)
- Nilai (µ1 - µ2) = nol jika tidak diketahui
b. Jika  1   2
2
t
2
( X 1  X 2 )  ( 1   2 )
2
2
S1
S2

n1
n2
Berdistribusi mendekati distribusi t - student dengan derajat bebas :
 S1 2   S 2 2 



n
n
1
2 
k   2  
2
2
 S1 
 S2 




n
n
 1    2 
n1  1
n2  1
Daerah kritis penolakan
A : Dua sisi
H0 ditolak jika t > t (k ; /2) atau
t < - t (k ; /2)
B : Satu sisi positif
H0 ditolak jika t > t (k ; )
C : Satu sisi negatif
H0 ditolak jika t < - t (k ; )
Contoh :
Perusahaan makanan kaleng ingin menguji apakah dua macam kualitas
hasil produksinya mempunyai umur simpan yang sama. Untuk penelitian ini
diambil sampel secara random :
Produk daging kelas A : n1 = 10 kaleng, umur simpan 2600 hari dengan
deviasi standar 300 hari.
Produk daging kelas B : n2 = 15 kaleng, umur simpan 2400 hari dengan
deviasi standar 200 hari.
Diasumsikan kedua populasi berdistribusi normal dengan variansi sama.
Jawab : asumsi dist. normal, tetap karena sampel berukuran kecil (n < 30)
maka digunakan dist t.
a. Rumusan hipotesis :
H0 : µ1 = µ2
versus H1 : µ1 ≠ µ2
b. Tingkat signifikansi  = 0,05
c. Daerah kritis :
k = n1 + n2 – 2 = 10 + 15 – 2 = 23
H0 ditolak jika :
t > t (k ; /2)

t > 2,069
t < - t (k ; /2) 
t > 2,069
d. Statistik penguji :
t
( X 1  X 2 )  ( 1   2 )
1
1 
Sp   
 n1 n2 
2
Sehingga :
µ1 - µ2 = 0
t
;
/2 = 0,025
(10  1)(300) 2  (15  1)( 200) 2
Sp 
10  15  2
2
 73260,87
2600  2400
1 
 1
73260,8  


 10 15 
 1,81
e. Kesimpulan : karena t = 1,81 maka H0 diterima.
Jadi umur simpan kedua kualitas produk tersebut sama.
4. Uji Hipotesis Tentang Variansi Dua Populasi Normal.
- Uji hipotesis H0 : 12 = 22
Vs
H 1 = 12 ≠ 22
adalah mendukung asumsi bahwa 12 = 22 = 2
- statistik penguji yang digunakan :
F 
S1
2
S2
2
- Daerah kritis.
A. Dua sisi / wilayah.
H0 ditolak jika : F > F (n1 – 1 ; n2 – 1 ; /2)
atau
1
F
F (n2  1; n1  1;  / 2)
B. Satu sisi positif.
H0 ditolak jika : F > F (n1 – 1 ; n2 – 1 ; )
C. Satu sisi negatif.
H0 ditolak jika
F
1
F (n2  1; n1  1;  )
Contoh :
Seorang ahli gizi mempelajari pengaruh protein pada suatu jenis makanan
tradisional terhadap kenaikan berat badan. Untuk hal ini dibutuhkan anak
tikus yang masih dalam masa pertumbuhan. Didalam laboratorium terdapat
2 jenis tikus untuk mengetahui variabilitasnya diambil sampel jenis I 10
ekor dan diperoleh standar deviasi 0,36 gr dan sampel jenis II sebanyak 16
ekor dengan deviasi standar 0,07 gr. Apakah data ini menunjukkan
perbedaan variabilitas yang sangat nyata!
Jawab :
a. Rumusan hipotesis:
H0 : 12 = 22 versus
H 1 : 12 ≠ 22
b.  = 0,02 (/2 = 0,01  sangat nyata)
c. Daerah kritis
H0 ditolak jika F > 4,00 atau
F<
< 0,257
d. Statistik penguji
F
S1
2
S2
2
(0,36) 2

 0,17
2
(0,87)
e. Kesimpulan : Karena F = 0,17 < 0,257 maka H0 ditolak ; jadi kedua jenis
tikus mempunyai variabilitas yang sangat nyata berbeda maka
sebaiknya digunakan satu jenis tikus saja.
III. UJI HIPOTESIS UNTUK DATA BERPASANGAN
Data berpasangan : data pada sampling ke II tidak independen terhadap
sampling ke I  observasi dilakukan pada elemen populasi yang sama.
Maka digunakan statistik penguji :
t
X1  X 2
Sd n

d
Sd n
1 n
2
Sd 
(
d

d
)
 i
n  1 i 1
2
Di = selisih antara data sampling I dan II pada elemen sampel yang sama ke i.
1 n
d   di
n i 1
Dengan demikian maka antar selisih di merupakan dta yang saling bebas
(Independen). Berdistribusi normal dengan k = (n – 1) sehingga untuk n < 30
H0
H1
Daerah kritis
µ1 ≤ µ2 atau µd ≤ 0
µ1 > µd atau µd > 0
t > t (n – 1, )
µ1 ≥ µ2 atau µd ≥ 0
µ1 < µd atau µd < 0
t < - t (n – 1, )
µ1 = µ2 atau µd = 0
µ1 ≠ µd atau µd ≠ 0
t < - t (n – 1, /2)
Atau t > t (n – 1, /2)
Contoh :
Seorang peneliti ingin mempelajari apakah pengaruh “jogging” enam
hari/minggu selama enam minggu akan menurunkan detak nadi untuk
orang laki-laki berumur 40 – 50 tahun. Dengan sampel 8 orang
diperoleh data:
Sampel
1
2
3
4
5
6
7
8
Detak Nadi sebelum
74 86 80 98
85
83
74
92
Detak Nadi sesudah
70 85 82 90
82
79
71
89
Jawab :
a. H0 : µ1 = µ2
Vs
H 1 : µ1 > µ2
b.  = 0,05
c. Daerah kritis dari tabel IV
H0 ditolak bila
thit > t (8 – 3 ; 0,05)
atau
thit > 1,895
d. Statistik penguji
1 n
d   di
n i 1
1 n
Sd 
(d i  d ) 2

n  1 i 1
2
Selisih di =
X1i – X2i
1
74 – 70
4
1
1
2
86 – 85
1
-2
4
3
80 – 82
-2
-5
25
4
98 – 90
8
5
25
5
85 – 82
3
0
0
6
83 – 79
4
1
1
7
74 – 71
3
0
0
8
92 – 89
3
0
0
24
0
56
Jumlah
d
24
3
8
Sd 2 
56
8
7
t
di - d
(di - d )2
Sampel
d
3

3
Sd n
8 8
e. Kesimpulan : karena thit = 3 > 1,895 maka H0 ditolak.
Jadi program jogging dapat menurunkan detak nadi populasi
tersebut.