MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN

MENENTUKAN AKAR-AKAR PERSAMAAN
PANGKAT EMPAT
Supriyono
Jurusan Pendidikan Matematika
FKIP Universitas Muhammadiyah Purworejo
Abstrak
Tulisan ini terdiri 3 bagian yaitu (1) bagian pendahuluan yang
membahas bentuk umum persamaan pangkat empat dan usaha para
ahli matematika untuk menemukan metode menentukan akar-akar
persamaan polinom; (2) bagian pembahasan yaitu penurunan rumusrumus untuk menentukan akar-akar persamaan pangkat empat; (3)
bagian penutup yang berisi ringkasan rumus untuk menentukan akarakar persamaan pangkat empat.
Kata Kunci: polinom, akar, persamaan pangkat empat
Pendahuluan
Bentuk
umum
persamaan
polinom dalam berderajat n adalah:
n
1 n-1
2 n-2
a.x + a x + a x
akarnya dapat dicari dengan menggunakan rumus ABC yaitu:
+ … +an-1xan=0,
x1 =
a ≠ 0 dengan ai (i = 0, 1, 2, … n)
adalah konstanta real. Jika variabel
x2 =
x derajat dengan suatu bilangan
b 
b²  4a
2a
b 
b²  4a
2a
kompleks sedemikian hingga kali
Untuk polinom berderajat
mat tersebut menjadi pernyataan
tiga atau persamaan kubik yang
yang bernilai benar, maka bilangan
ber-bentuk a0x 3 + a1x² + a2x + a3
kompleks tersebut dinamakan akar-
= 0; a ≠ 0 dengan ai (i = 0, 1, 2, 3)
akar persamaan polinom.
konstanta
Untuk polinom berderajat dua
atau persamaan kuadrat yang berbentuk ax² + bx + c = 0, a ≠ 0, akar-
rasional,
akar-akarnya
dapat dicari dengan memisalkan:
b=
a2
a
a
; c = 1 dan d = 3 ;
a0
a0
a0
Supriyono: Menentukan Akar-akar Persamaan Pangkat Empat
9
sehingga persamaan kubik dibentuk
menjadi:
x3 + bx² + cx + d = 0
b3 =
p
b
3z
x1 = z1 – 2 – 3
dengan w = –
z1
adalah
2
z = –
+
2
2
–
z = –
2
3
R=
real.
Misalkan x = y + k, k konstan,
akar
R atau
(y + k)4 + b1 (y + k)3 + b2 (y + k) +
y4 + (4k + b)y3 + (6k² + 3b1k + b2)y²
+ (4k3 + 3bk² + 2b2k + b3)y +
R
(k4+b1k3+b2k² + b3k + b4) = 0.
Jika diambil k = –1/4b1 maka
b²
3
diperoleh: y4
bc
2b 3
q=d–
+
3
27
Pembahasan
Perhatikan
persamaan (2) dapat ditulis:
b3 (y + k) + b4 = 0 atau
p3
q2
+
;
27
4
p=c–
dibentuk
dengan b1, b2, b3, dan b4 konstanta
persamaan:
3
dapat
x4 + b1.x3 + b2.x² + b3.x + b4=0; (2)
1
1
+
i 3
2
2
satu
(1)
a4
, maka
a0
menjadi:
b
pw
–
3
3z1
salah
a1
a
; b2 = 2 ;
a0
a0
a3
; b4 =
a0
persamaan
pw²
b
x2 = z1w – 3z 1 – 3
x3 = z1w² –
Jika diambil b1 =
bentuk
umum
3 2

 b 2  b1 
8  y² +
+ 
1 3 1

 b1  b1b 2  b 3 
2
8
y
+
1 2
b1 .b2
16
–1/4 b1b3 –
3 4
b1
256
= 0
b4
persamaan pangkat empat berikut:
atau dapat ditulis dalam bentuk:
a0x4 + a1x3 + a2x² + a3x + a2 = 0;
y4 + c1y² + c2y + c3 = 0……… (3)
a0 ≠ 0 ………………..… (1)
dengan:
dengan ai (i = 0, 1, 2, 3, 4) kons-
3
c1 = b 2  b12
8
tanta real.
10
Supriyono: Menentukan Akar-akar Persamaan Pangkat Empat
+
1
1
c2 = b13  b1b 2  b3 ;
8
2
c3 = b4 +
5
c1z² + (2 c12 – c3)z +
2
z3 +
1 2
1
3 4
b1 .b2 b1b3 –
b1
16
4
256
1 3 1 2
 c1  c 2  = 0 atau dapat ditulis
8 
2
z3 +d1z² + d2z + d3 = 0 ………
Persamaan (3) merupakan persamaan pangkat empat yang direduksi. Jadi persamaan pangkat empat dalam bentuk (1) dapat direduksi menjadi bentuk (3) dengan
dengan
d1 =
5
c1 ; d2 = 2 c12 – c3;
2
d3 =
1 3 1
1
c1  c1c3  c22 ;
2
2
8
Persamaan (7) dapat diselesaikan
mengambil
x=y–
(7)
1
b1 ……..………..
4
dengan reduksi.
(4)
Misal z = w –
selanjutnya persamaan (3) dapat
1 1
d1. ……… (8)
3 3
diperoleh:
ditulis dalam bentuk:
y4 + c1y² = c2y – c3 …….…
(5)
Jika kedua ruas persamaan (5) di-
1 

w3+  d 2  d12  w+
3 

2 3
1

d1  = 0
 d 3  d1d 2 
27 
3

2
tambah z²+2y²z + 2c1z +2c1y² + c1
maka diperoleh:
ditulis w3 + e1.w + e2 = 0 ….… (9)
(y³ + c1 +z)² = (c1 + 2z)y² - c2y
dengan:
2
1
+ ( c – c3 + 2c1.z + z²) …………(6)
Bentuk
persamaan
sedemikian
hingga
(6)
ruas
pilih
z
kanan
berbentuk kuadrat sempurna. Hal ini
dapat dipenuhi jika:
c22 –4(c + 2z)(c – c + 2 c12 z + z) = 0
1
1
3
atau
1
e1 = d 2  d12 ;
3
1
2
e2 = d3  d1d 2  d13
3
27
Selanjutnya untuk menyelesaikan
persamaan (9),
misalkan w = r = k ………… (10)
(r + k)3 + e1(r + k) + e2 = 0, atau
r3 + k3 + e2 + (3rk + e1) (r+k) = 0,
Supriyono: Menentukan Akar-akar Persamaan Pangkat Empat
11
Ambil r3 + k3 + e2 = 0 dan
(3rk + e1) (r + k), r + k ≠ 0
Selanjutnya substitusi nilai z dari
Diperoleh 3rk + e1 = 0 atau
rk = –
persamaan (14) ke persamaan (6)
1
e1
3
2
1 

 y²  c1  k  r - d1  =
3 

3
1
rk  =   e1  …...……… (11)
 3 
3
(c1 + 2k + 2k –
Dari r3 + k3 + e2 = 0 diperoleh :
r3 = – k3 – e2 ……………...… (12)
Dengan
mensubstitusi
persamaan
(12) ke persamaan (11), diperoleh:
k 
2


1 

c1   k  r -   c3  atau dapat
3 



(y² + n)² = j.y² – c2y + n² – c3
(15)
1 3
+ e2k –
e1 = 0 …… (13)
27
3
dengan n = c1 + k + r –
Persamaan (13) merupakan persamaan
kuadrat dalam k², sehingga dapat
diselesaikan dengan rumus kuadrat:
k3 = –
2
d1).y² - c2y +
3
ditulis:
1 3
(– k3 – e2)k3 = –
e1 atau
27
3 2
1
d1 …………… (14)
3
z=k+r–
1
e2 +
2
k3 = –
1 3 1 2
e1  e 2
27
4
1
e2 –
2
2
d1 maka dapat
3
diuraikan menjadi:
(y² + n)² = j.(y – m)² ……… (16)
atau
1 3 1 2
e1  e 2
27
4
j = c1 + 2k + 2r –
1
d1 dan
3
dengan m =
.
c2
.
2j
Persamaan (6) dapat diselesaikan
Dengan mensubstitusikan salah satu
sebagai berikut:
nilai k ke persamaan (12), diperoleh
(y² + n) = (y – m)√j atau
nilai r. Selanjutnya nilai k dan r
(y² + n) = – (y – m) √j
disubstitusi
Sehingga diperoleh:
ke
persamaan
(10),
diperoleh nilai w = k + r. Nilai w
y² - y √j + n + m √j = 0 atau
disubstitusi
y² + y √j + n + m√j = 0
ke
persamaan
(8),
sehingga diperoleh:
12
Supriyono: Menentukan Akar-akar Persamaan Pangkat Empat
Dengan
menggunakan
rumus
kuadrat diperoleh:
j
y1 =
+
2
y3 =
 j
+
2
y2 =
j
+
2
y4 =
 j
+
2
Nilai-nilai

j 4 n  m j
2

;
j 4 n  m j
2

j 4 n  m j
2

persamaan pangkat empat.
Contoh penggunaan rumus:
1.
;

2
y1,
y2,
y3,
dan
y4
disubstitusikan ke persamaan (4)
sehingga diperoleh:

y1 =
j
+
2
j 4 n  m j
y2 =
j
+
2
j 4 n  m j
y3 =
j
+
2
j 4 n  m j
y4 =
j
+
2
j 4 n  m j
2

2

2

2
dengan:
1
n = c1 + k + r – d1 ;
3
j = c1 + 2k + 2r –
2
d1
3
c2
2j
Jadi x1, x2, x3, dan x4 akar-akar
;
j 4 n  m j
m=
3 2
b1
8
c1 = b2 –
 – 1b
1
4
 – 1b
1
4
3
(6)
8
= – 3 – 6 = – 9;
=–3–
1 3
1
b1 – b1b2 + b3
8
2
1
1
= (64) - (4)(–3) – 10
8
2
= – 4;
c2 =
 – 1b
1
4
 – 1b
4
Tentukan akar-akar persamaan pangkat empat:
x4 + 4x3 + 3x² – 10x + 8 = 0
Penyelesaian:
Dari persamaan pangkat empat
di atas diketahui:
b1 = 4;
b2 = – 3;b3 = – 10;
dan b4 = 8 sehingga diperoleh:
1
c3 = b4 +
1 2
1
b1 b 2 – b1b3 –
16
4
3 4
b1
256
= 8 – 3 + 10 = 12;
d1 =
5
5
c1 =
(–9)
2
2
Supriyono: Menentukan Akar-akar Persamaan Pangkat Empat
13
 45
;
2
=
5
;
2
r=
d2 = 2 c12 – c3 = 2(–9)² – 12
n = c1 + k + r –
= 150;
1 3
1
1
c1 c1 – c1c3 – c22
2
2
8
d3 =
=–9+
1
1
(– 9)(12) – (16)
2
8
 625
;
=
2
=
=
j
  45 


2
d1
2 

e1 = d2 –
= 150 –
3
3
=
e2 = d3 –
d1d 2 2d13  625
=
–

2
3
27
2
  45 
  45 

 (150) 2

2 
 2 

–
3
27
 125
=
4
k3 = –
1
e2 +
2
1 3 1 2
e1  e 2
4
27
3
=
125
+
8
125
;
8
5
k =
;
2
=
14
2
75 125
   
4  4 
27
4
3
5
5
15
+
+
2
2
2
7
2
= c1 + 2k + 2r –
2
d1
3
= c1 + 2z
= – 9 + 5 + 15 = 16;
2
 75
4
1
d1
3
m =
4
1
c2
=
=
;
32
8
2j
7 1

16  4  16 
16
2 8

x1 =
+
2
2
1
– (4) = 1
4
x2
=
16
2
7 1

16 4.  16
2 8

2
1
– (4) = 1
4
7 1 
16 4.  16
16
2 8 
x3= –
+
2
2
1
– (4) = – 2
4
Supriyono: Menentukan Akar-akar Persamaan Pangkat Empat
–
7 1 
16 4.  16
16
2 8 
x4 = –
–
2
2
1
– (4) = – 4
4
d1 =
pangkat empat
4x4 – 8√2x3 + 20x² –12√2x + 9= 0
Penyelesaian:
=
=5–
c2 =
3
(– 2√2)² = 5 – 3 = 2;
8
1 3
1
b1 – b1b2 + b3
8
2
= – 2√2
c3 = b4 +
–
1
+ 5√2 – 3√2 = 0;
2
1 2
1
b1 b3 – b1b3
16
4
3 4
b1
256
1
3
1
(2)3–
(2)(1)–
2
2
8
(0 =
2
e2 = d3 –
d1d 2 2d13

3
27
2
(3)(7)
15
25
=3–
–
=
3
27
27
b1 = – 2√2; b2 = 5; b3 = – 3;
2 2
b1
c1 = b2 –
31
1 3
1
1
c1 c1 – c1c3 – c22
2
2
8
5 =  4
d 12
e1 = d2 –
= 17 –
3
3
3
atas diketahui:
9
; sehingga:
4
5
5
c1 =
(2) = 5;
2
2
3;
Dari persamaan pangkat empat di
b4 =
5
3
–3–
= 1;
2
4
d2 = 2 c12 – c3 = 2(2)² – 1 = 7;
d3 =
Jadi akar-akar persamaan
x4 + 4x3 – 3x² – 10x + 8 = 0,
adalah: – 4, – 2, 1, 1.
2. Tentukan akar-akar persamaan
9
+
4
=
1
e2 +
2
k3 = –
1 3 1 2
e1  e 2
27
4
3
2
1  16
1 4 1 16
k =–
   
 +
2  27
27 3  4 27
3
=
8
;
27
k = –
2
2
;r=–
;
3
3
n = c1 + k + r –
=2–
1
d1
3
5
2
2
–
–
= 1;
3
3
3
j = c1 + 2k + 2r –
2
d1 = c1 + 2z
3
Supriyono: Menentukan Akar-akar Persamaan Pangkat Empat
15
m=
0
c2
=
8
2j
3
x1 =
4
+
2
–
–
x3 =

 4  4 1  0  4
2




 4  4 1  0  4
2



+ 104x² – 8√3x – 15 = 0
Penyelesaian:
Dari persamaan pangkat empat di
atas diketahui:
b1 = 2√3; b2 =

c1 = b2 –



1 3 1
b1 – b1b2 + b3
8
2
c2 =
1
1
√2 – i
2 2 =
4
2
 



1
1
√2 – i
2 2 =
4
2
x4 + 2√2x3 + 5x² – 3√2x –
–
= – 4√3;
3
8 = 0,
2
–
adalah:
1
√2 + i;
2
1
√2+i;
2
1
√2 – i;
2
1
√2 – 3 ;
2
=
–
1 2
1
b1 b3 – b1b3
16
4
3 4
b1
256
 15
1
 13 
+
(12)  
16
16
2
1
3
√3 –
(2√3)4 = 3
2
256
d1 =
16
1
√3
2
c3 = b4 +
Jadi akar-akar persamaan
 
3
3  13 
1
1
2 3 –
2 3  
8
2
2
=
 4  4 1 0  4
 4
+
2
2
–
3 2
b1
8
13
3
–
( 2√3)² = 2;
2
8
=

13
1
; b3 =
3;
2
2
 15
sehingga:
16
b4 =
1
1
√2 + i
2 2 =
4
2
4 4 1 0  4
 4
+
2
2
–
x4 =
= 0
1
1
√2 + i
2 2 =
4
2
4
+
2
x2 =
3. Tentukan akar-akar persamaan
pangkat empat: 16x4 + 32√3x3
4
4
10
–
–
=–4
3
3
3
=2–
5
5
c1 =
(2) = 5;
2
2
Supriyono: Menentukan Akar-akar Persamaan Pangkat Empat
d2 = 2 c12 – c3 = 2(2)² – 3 = 5;
d3 =
1 3
1
1
c1 – c1c3 – c22
2
2
8
1
1
(2)3 –
(2)(3)
2
2
=
–
e1 = d2 –
c2
= – 1,08291009 ;
2j
m =
–
=5–
=–
k3 = –
=
1
(b1)
4
=1,394270935–1,933015919 i
1 2
5
d1 = 5 –
3
2
x2 =

j 4 n  m j
j
+
2
–
1
(b1)
4
=1,394270935–1,933015919 i
2(125)
(5)(5)
–
3
27
x3 =
e2
+
2
55
+
27
= 3,703703704
k = 1,547196278;
r = 0,718144897;
n = c1 + k + r –
= 2,59944101;
= 3,19888202;
2
1
(b1)
4
x4 =
j
+
2
–

j 4 n  m j

2
1
(b1)
4
= – 0,771294525
Jadi akar-akar persamaan
1
d1
3
j = c1 + 2k + 2r –

= – 0,01725576
1 3 1 2
e1  e 2
27
4
-1000 12100
+
729
2916

j 4 n  m j
j
+
2
–

2
1
2 3
d1d2
d
3
27 1
110
27

2
1
( – 4√3)²= – 5;
8
 10
=
3
e2 = d3 –

j 4 n  m j
j
+
2
x1 =
16x4 + 32√3x3 + 104x² – 8√3x – 15 = 0
adalah:
2,771294525
;
1,394270935 + 1,933015919 i ;
2
d1
3
– 0,01725576 ;
1,394270935 – 1,933015919 i
Supriyono: Menentukan Akar-akar Persamaan Pangkat Empat
17
= 3;
4. Tentukan akar-akar persama-an
pangkat empat 16x4 – 32√3x3 +
d3 =
1 3
1
1
c1 – c1c3 – c22
2
2
8
8x² – 32x + 1 = 0
Penyelesaian:
Dari persamaan pangkat empat di
atas diketahui:
b1 = – 2; b2=
c1 = b2 –
–
1
1
; b3 =–4; b4 =
16
2
sehingga:
3 2
b1 =
8
1
3
–
( 2)²
2
8
= – 1;
1
1
(–1)3 –
(–1) (–1)
2
2
=
1
(16) = – 3;
8
d 12
e1 = d2 –
=3–
3
=
11
12
d 1d 2
2d 13
e2 = d3 –
+
3
27
1
1 2
c2 = b13 – b1 b2 + b3
8
2
2
1
1
1
= (–2)3 – (–2)²
–2
2
8
2
=3–
=–4
1 2
1
c3 = b4 +
b1 b3 – b1b3
16
4
3 4
–
b1
256
=
1
1
1
+
(4)
16
16
2
–
2
1
(– 2) (– 2) –
(2)4
256
2
=–1
d1 =
5
5
5
c1 =
(–2) = –
;
2
2
2
d2 = 2 c12 – c3 = 2(–1)² – (–1)
18
-52
2
3
=–
k3 = –
=
5
(3)
2
3
5
2
2
+
27
3
179
108
e2
+
2
179
+
216
1 3 1 2
e1  e 2
27
4
1331,1
32041
+
46656 46656
= 1,674444639
k = 1,187472601;
r = – 0,43418669;
n = c1 + k + r –
1
d1
3
= 0,586619244;
Supriyono: Menentukan Akar-akar Persamaan Pangkat Empat
+ 1,183210091 i ; 0,091166308;
2
d1
3
j = c1 + 2k + 2r –
– 0,237909539 – 1,183210091i
= 2,173238489;
m=
c2
= – 0,92028556;
2j
j
+
2
x1 =
–
–

j 4 n  m j


dengan bentuk umum

2
1
(b1)
4
≠ 0, ai (i = 0, 1, 2, 3, 4) konstan-ta
real, dapat ditulis dalam bentuk
x4 + b1x3 + b2x2 + b3x + b4 = 0; b1,
a1
a2
a3
b1 = a 0 ; b2 = a 0 ; b3 = a 0 ;
a4
b4 = a 0 .
Persamaan tersebut mempunyai
empat akar komplek, yang dapat
= – 0,237909539
ditentukan rumus sebagai berikut:
+ 1,183210091 i
j
–
2
x4 =
–
a
b2, b3, dan b4 konstanta real deng-an
2
j 4 n  m j
Persamaan pangkat empat
a0x4 +a1x3 +a2x2 + a3x + a4 = 0;
2
1
(b1) = 0,091166308
4
j
+
2
x3 =

1
(b1) = 2,383024484
4
j
x2 =
–
2
–

j 4 n  m j
Penutup

j 4 n  m j

2
1
(b1)
4
= – 0,237909539
+ 1,183210091 i
Jadi akar-akar persamaan 16x4 –

x1 =
j+
2
j 4 n  m j
x2 =
j+
2
j 4 n  m j
x3 =
j+
2
j 4 n  m j
x4 =
j+
2
j 4 n  m j
2

2

2

32x3 + 8x² – 32x + 1 = 0 adalah:
dengan:
2,383024484; – 0,237909539
n = c1 + k + r –
2
 – 1 (b1)
4
 – 1 (b1)
4
 – 1 (b1)
4
 – 1 (b1)
4
1
d1 ;
3
Supriyono: Menentukan Akar-akar Persamaan Pangkat Empat
19
j = c1 + 2k + 2r –
2
c
d1; m = 2
3
2j
Daftar Pustaka
Nielsen, Kaj. L; 1969 Algebra: A
Modern Approach With
Review.Question & Answer
A Barnes & Nolle Outline.
Vance E.P. 1975. Modern Algebra
and Trigonometri. Inria
Edition,
Addisonwesley
Publishing Company. Inc.
20
Supriyono: Menentukan Akar-akar Persamaan Pangkat Empat