Fisika Dasar I FI-1101

DEPARTMEN FISIKA ITB
BENDA TEGAR
FI-1101© 2004 Dr. Linus Pasasa MS
Bab 6-1
DEPARTMEN FISIKA ITB
Bahan Cakupan



Gerak Rotasi
Vektor Momentum Sudut
Sistem Partikel

Momen Inersia

Dalil Sumbu Sejajar

Dinamika Benda Tegar

Menggelinding

Hukum Kekekalan Momentum Sudut Benda Tegar

Statika Benda Tegar
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-2
DEPARTMEN FISIKA ITB
Gerak Rotasi & Pergeseran Sudut
 Tinjau dahulu besaran-besaran vektor gerak rotasi.
 Dalam proses rotasi, pergeseran sudut:
θ  θ2  θ1
 Satuan SI untuk pergeseran
sudut adalah radian (rad)
360
1 rad 
 57,3
2
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-3
DEPARTMEN FISIKA ITB
Gerak Rotasi & Pergeseran Sudut
 kecepatan sudut rata-rata:
θ2  θ1 θ


t 2  t1
t
 kecepatan sudut sesaat:
 d
  lim   lim

t 0
t 0 t
dt
Satuan SI untuk kecepatan sudut adalah
radian per detik (rad/s)
Arah kecepatan sudut sama dengan arah pergeseran sudut.
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-4
DEPARTMEN FISIKA ITB
Gerak Rotasi & Pergeseran Sudut
Arah kecepatan sudut:
Aturan tangan kanan
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-5
DEPARTMEN FISIKA ITB
Gerak Rotasi & Pergeseran Sudut
2  1
 Percepatan sudut rata-rata:

 

t 2  t1
t
 Percepatan sudut sesaat:
 d
  lim

t 0 t
dt
Satuan SI untuk percepatan sudut adalah
radian per detik (rad/s2)
Arah percepatan sudut sama dengan arah kecepatan sudut.
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-6
DEPARTMEN FISIKA ITB
Persamaan Kinematika Rotasi
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-7
DEPARTMEN FISIKA ITB
Perumusan Gerak Rotasi
 Kecepatan tangensial:
v

kecepatan
linear
r

 dalam rad/s
kecepatan
tangensial
 Percepatan tangensial:
a
percepatan
linear

r

 dalam rad/s2 
percepatan
tangensial
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-8
DEPARTMEN FISIKA ITB
Perumusan Gerak Rotasi
 Percepatan sentripetal (dng arah radial ke
dalam):
2
v
2
ar    r
r
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-9
DEPARTMEN FISIKA ITB
Torsi – Momen gaya
 Torsi didefenisikan
sebagai hasil kali
besarnya gaya
dengan panjangnya
lengan
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-10
DEPARTMEN FISIKA ITB
Torsi – Momen gaya
 Torsi berarah positif apabila gaya menghasilkan
rotasi yang berlawanan dengan arah jarum jam.
 Satuan SI dari Torsi: newton.m (N.m)
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-11
DEPARTMEN FISIKA ITB
Vektor Momentum Sudut
 Momentum sudut L dari sebuah benda yang
berotasi tehadap sumbu tetap didefenisikan
sbb:
  
 
L  r  p  m(r  v)
l  mvr sin 
 rp  rmv
 r p  r mv
•Satuan SI adalah Kg.m2/s.
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-12
Vektor Momentum Sudut
DEPARTMEN FISIKA ITB
 Perubahan momentum sudut terhadap waktu
diberikan oleh:
dL
d

r  p 
dt
dt
d
dr
dp 



r  p    p   r  
dt
dt
dt
 v  mv 
0
Jadi
dL
dp
r
dt
dt
l
ingat
FEXT 
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
dp
dt
Bab 6-13
DEPARTMEN FISIKA ITB
Vektor Momentum Sudut
 Perubahan momentum sudut terhadap waktu
diberikan oleh:
dL
 r  FEXT
dt
dL
dp
r
dt
dt
Akhirnya kita peroleh:
 EXT
Analog dengan
FEXT
dp

dt
dL

dt
!!
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-14
Hukum Kekekalan Momentum
Sudut
DEPARTMEN FISIKA ITB


 EXT 
dL dimana
dt
Lr p
Jika torsi resultan = nol, maka
dan 
EXT  r  FEXT
 EXT
dL

0
dt
Hukum kekekalan momentum sudut
I11  I22
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-15
DEPARTMEN FISIKA ITB
Hukum Kekekalan Momentum
 Linear
o Jika SF = 0, maka p konstan.
 Rotasi
o Jika S = 0, maka L konstan.
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-16
DEPARTMEN FISIKA ITB
p = mv
Momentum Sudut:
Defenisi & Penurunan
 Untuk gerak linear sistem partikel berlaku
dp
Momentum kekal jika
FEXT 
FEXT  0
dt
 Bagaimana dng Gerak Rotasi?
Untuk Rotasi, Analog gaya F adalah Torsi
Analog momentum p adalah
  r F
Lr p
momentum sudut
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-17
DEPARTMEN FISIKA ITB
Sistem Partikel
 Untuk sistem partikel benda tegar, setiap partikel
memiliki kecepatan sudut yang sama, maka
momentum sudut total:
n
L  l1  l2  l3    ln   li
i 1
n
dL n dli

  net ,i   net
dt i 1 dt i 1
Perubahan momentum sudut sistem hanya disebabkan oleh
torsi gaya luar saja.
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-18
DEPARTMEN FISIKA ITB
Sistem Partikel
 Perhatikan sistem partikel benda tegar yg berotasi
pd bidang x-y, sumbu rotasi z. Total momentum
sudut adalah jumlah masing2 momentum sudut
partikel:
L   r  p   m r  v   m r v k̂
i
i
i
i
i i
i
i
(krn ri dan vi tegak lurus)
i i i
v1
Arah L sejajar sumbu z
Gunakan vi =  ri , diperoleh
L   mi ri  kˆ
2


L  I
m2
v2
i
j
r2

m3
i r1 m1
r3
v3
Analog dng p = mv !!
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-19
DEPARTMEN FISIKA ITB
Vektor Momentum Sudut
 DEFINISI
Momentum sudut dari sebuah benda yang
berotasi tehadap sumbu tetap adalah hasil
kali dari momen inersia benda dengan
kecepatan sudut terhadap sumbu rotasi
tersebut.


L  I
 Demikan juga dengan torsi (Hk II Newton
untuk gerak rotasi):




dL d ( I )
d
 

I
 I
dt
dt
dt

Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-20
DEPARTMEN FISIKA ITB
Vektor Momentum Sudut
L  I
 Jika tidak ada torsi luar, L kekal. Artinya bahwa
hasil perkalian antara I dan  kekal
I   mi ri
2
L  I
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
L  I
Bab 6-21
Momen Inersia
DEPARTMEN FISIKA ITB
Momen Inersia bagi suatu sistem partikel benda tegar
didefenisikan sebagai
I   mi ri m1r1  m2 r2  ...
2
2
2
i
I = momen inersia benda tegar,
menyatakan ukuran inersial sistem untuk berotasi
terhadap sumbu putarnya
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-22
Momen Inersia
DEPARTMEN FISIKA ITB
Untuk benda yang mempunyai distribusi massa kontinu,
momen inersianya diberikan dalam bentuk integral
I   mi ri  I   r dm
2
2
i
I   r dm   ρr dV
2
z
2
Dimana Elemen Volume
y
dm
x
dV  rdr  d  dl
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-23
DEPARTMEN FISIKA ITB
Momen Inersia
dV  rdr  d  dl
 dimana rdr : perubahan radius,
 dθ : perubahan sudut,
 dl : perubahan ketebalan.
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-24
Momen Inersia
DEPARTMEN FISIKA ITB
Untuk lempengan benda dibawah ini, momen
inersia dalam bentuk integral
I   r  rdr  d  dl 
2
Asumsi rapat massa ρ konstan
 Kita dapat membaginya dalam
3 integral sbb:
I    r rdr  
R
0
2
2
0
d  0 dl 
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
L
Bab 6-25
DEPARTMEN FISIKA ITB
Momen Inersia
R
r 
2
L
I       0  l 0
 4 0
4
Hasilnya adalah
4
Massa dari lempengan
tersebut
M     R  L
R
I
 2  L
4
2
Momen Inersia benda
1
2
I  MR
2
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-26
DEPARTMEN FISIKA ITB
Dalil Sumbu Sejajar
Untuk benda tegar bermassa M yang berotasi terhadap
sumbu putar sembarang yang berjarak h dari sumbu sejajar
yang melalui titik pusat massanya (ICM diketahui), momen
inersia benda dapat ditentukan dengan menggunakan:
Dalil Sumbu Sejajar
I  I cm  Mh
2
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-27
DEPARTMEN FISIKA ITB
Momen Inersia:
I
1
ml 2
12
ℓ
1 2
I  ml
3
R
R
I  mR
2
1
I  m( a 2  b 2 )
12
a
ℓ
b
I
1
mR 2
2
I
2
mR 2
5
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-28
Dinamika Benda Tegar
DEPARTMEN FISIKA ITB
 Mengikuti analog dari gerak translasi, maka kerja
oleh momen gaya didefenisikan sbb:
2
2
1
1
1
2
W   d   Id  I  I
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
2
2
1
2
2
1
Bab 6-29
DEPARTMEN FISIKA ITB
Energi Kinetik Rotasi
 Suatu benda yang bergerak rotasi, maka energi
kinetik akibat rotasi adalah
1
1
2
K   mi ri  
2
2
1 2
K  I
2
 m r 
 Dimana I adalah momen inersia,
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
2
2
i i
I   mi ri
2
Bab 6-30
DEPARTMEN FISIKA ITB
Energi Kinetik Rotasi
 Linear
 Rotasi
1
2
K  Mv
2
Massa
Kecepatan
Linear
1 2
K  I
2
Momen
Inersia
Kecepatan
Sudut
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-31
Prinsip Kerja-Energi
DEPARTMEN FISIKA ITB
 Sehingga, teorema Kerja-Energi untuk gerak
rotasi menjadi:
2
2
1
1
1
2
W   d   Id  I  I
2
2
1
2
2
1
1 2
K

I

rotasi
dimana
2
W  0 sehingga
W  K rotasi

Bila   0 ,maka
K rot  0 Hukum Kekekalan En. Kinetik Rotasi
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-32
DEPARTMEN FISIKA ITB
Menggelinding
 Menggelinding adalah peristiwa translasi dan
sekaligus rotasi
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-33
DEPARTMEN FISIKA ITB
Gerak Menggelinding: rotasi dan
translasi
s R
Ban bergerak dengan laju ds/dt
 vcom
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
d

 R
dt
Bab 6-34
DEPARTMEN FISIKA ITB
Gerak Menggelinding: rotasi dan
translasi
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-35
DEPARTMEN FISIKA ITB
Gerak Menggelinding: rotasi dan
translasi
The kinetic energy of rolling
K  12 I P 2
I P  I com  MR 2
K  I com  MR 
1
2
2
1
2
2
2
2
K  12 I com 2  12 Mvcom
 K r  Kt
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-36
DEPARTMEN FISIKA ITB
Gerak Menggelinding Di Bidang Miring
Gunakan:
N
R  Fg sin   I P
Fg sin 
R
fs
x

Fg
acom   R
Maka:
MR 2 g sin    I P acom
P

torsi = I 
Fg cos
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
I P  I com  MR 2
acom
g sin 

1  I com / MR 2
Bab 6-37
DEPARTMEN FISIKA ITB
Menggelinding
 Total energi kinetik benda yang menggelinding
sama dengan jumlah energi kinetik translasi
dan energi kinetik rotasi.
1
1
K  mv  I 0
2
2
0
2
2
V0

Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-38
DEPARTMEN FISIKA ITB
Hukum Kekekalan Energi Mekanik
Total Dengan Gerak Rotasi
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-39
DEPARTMEN FISIKA ITB
Kesetimbangan Benda Tegar
 Suatu benda tegar dikatakan setimbang
apabila memiliki percepatan translasi sama
dengan nol dan percepatan sudut sama
dengan nol.
 Dalam keadaan setimbang, seluruh resultan
gaya yang bekerja harus sama dengan nol,
dan resultan torsi yang bekerja juga harus
sama dengan nol:
SFx = 0 dan SFy = 0
S = 0
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-40
DEPARTMEN FISIKA ITB
Hubungan Besaran
Gerak Linear - Rotasi
Linear
x (m)
Rotasi
 (rad)
v (m/s)
 (rad/s)
a (m/s2)
 (rad/s2)
m (kg)
F (N)
I (kg·m2)
 (N·m)
p (N·s)
L (N·m·s)
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
Bab 6-41
Hubungan Besaran
Gerak Linear - Rotasi
DEPARTMEN FISIKA ITB
linear
perpindahan
kecepatan
percepatan
massa
gaya
x
v  dx / dt
a  dv / dt
m

F
Hk. Newton’s
F  ma
energi kinetik
K  (1 / 2)mv2
Kerja
W   Fdx
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
angular

  d / dt
  d / dt
I   mi ri2
  
  r F
  I
K  (1 / 2) I 2
W   d
Bab 6-42