Materi 7_ Derivatif fungsi trigonometri

Fungsi
Trigonometri,
Trigonometri, Logaritmik,
Logaritmik,
dan Eksponensial
Turunan Fungsi Trigonometri
Jika y = sin x maka
dy d sin x sin( x + ∆x) − sin x
=
=
dx
dx
∆x
sin x cos ∆x + cos x sin ∆x − sin x
=
∆x
Untuk nilai yang kecil, ∆x menuju nol, cos∆x = 1 dan sin∆x = ∆x.
Oleh karena itu
d sin x
= cos x
dx
Jika
y = cos x maka
dy d cos x cos( x + ∆x) − cos x
=
=
dx
dx
∆x
cos x cos ∆x − sin x sin ∆x − cos x
=
∆x
Untuk nilai yang kecil, ∆x menuju nol, cos∆x = 1 dan sin∆x = ∆x.
Oleh karena itu
d cos x
= − sin x
dx
Turunan fungsi trigonometri yang lain tidak terlalu sulit untuk dicari.
d tan x d  sin x  cos 2 x − sin x(− sin x)
1
= 
=
=
= sec 2 x

dx
dx  cos x 
cos 2 x
cos 2 x
d cot x d  cos x  − sin 2 x − cos x(cos x )
−1
2
=
=
=
−
csc
x

=
2
2
dx
dx  sin x 
sin x
sin x
d sec x d  1  0 − ( − sin x)
sin x
=
=
= sec x tan x

=
2
2
dx
dx  cos x 
cos x
cos x
d csc x d  1  0 − (cos x) − cos x
=
=
= − csc x cot x

=
2
2
dx
dx  sin x 
sin x
sin x
Contoh:
Hubungan antara tegangan kapasitor vC dan arus kapasitor iC adalah
iC = C
dvC
dt
Tegangan pada suatu kapasitor dengan kapasitansi C = 2×10-6 farad
merupakan fungsi sinus vC = 200sin400t volt. Arus yang mengalir pada
kapasitor ini adalah
iC = C
dvC
d
= 2 × 106 × (200 sin 400t ) = 0,160 cos 400t ampere
dt
dt
vC
vC
iC
iC
200
100
0
0
-100
-200
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05 t [detik]
Contoh:
Arus pada suatu inductor L = 2,5 henry merupakan fungsi sinus
iL = −0,2cos400t ampere.
Hubungan antara tegangan induktor vL dan arus induktor iL adalah
di
vL = L L
dt
di
d
v L = L L = 2,5 × (− 0,2 cos 400t ) = 2,5 × 0,2 × sin 400t × 400 = 200 sin 400t
dt
dt
vL iL
vL
iL
200
100
0
0
-100
-200
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
t[detik]
Turunan Fungsi Trigonometri Inversi
y = sin −1 x
x = sin y
dx = cos ydy
1
x
y
dy
1
=
dx cos y
dy
1
=
dx
1 − x2
1 − x2
y = cos −1 x
x = cos y
1
y
x
1 − x2
dx = − sin ydy
dy
−1
=
dx sin y
dy
−1
=
dx
1 − x2
y = tan −1 x
x = tan y
1+ x2
y
x
dx =
1
dy
2
cos y
dy
= cos 2 y
dx
dy
1
=
dx 1 + x 2
1
y = cot −1 x
x = cot y
1+ x2
y
x
1
dx =
−1
2
dy
sin y
dy
= − sin 2 y
dx
dy
−1
=
dx 1 + x 2
y = sec −1 x
x = sec y =
x
1
cos y
x2 − 1
y
1
y = csc
−1
x = csc y =
x
x
y
x2 − 1
1
dx =
0 − (− sin x)
2
dy
cos y

1 
dy cos 2 y
x

=
=
×
dx
sin y
x 2  x 2 − 1 
1
=
x x2 − 1
1
sin y
dx =
0 − (cos x)
2
sin y
dy sin 2 y
1
=
=−
×
2
dx − cos y
x
=
−1
x x2 − 1
dy
x
x2 − 1
Fungsi Trigonometri Dari Suatu Fungsi
Jika v = f(x), maka
d (sin v) d (sin v ) dv
dv
=
= cos v
dx
dv dx
dx
d (cos v) d (cos v) dv
dv
=
= − sin v
dx
dv dx
dx
d (tan v) d  sin v  cos 2 x + sin 2 x dv
dv
= sec 2 v
=

=
dx
dx  cos v 
dx
dx
cos 2 x
d (cot v ) d  cos v 
2 dv
=

 = − csc v
dx
dx  sin v 
dx
d (sec v ) d  1  0 + sin v dv
dv
=
= sec v tan v

=
dx
dx  cos v 
dx
cos 2 v dx
d (csc v) d  1 
dv
=

 = − csc v cot v
dx
dx  sin v 
dx
Jika w = f(x), maka
d (sin −1 w)
1
dw
=
dx
1 − w2 dx
d (cos −1 w)
dw
1
=−
dx
1 − w2 dx
d (tan −1 w)
1 dw
=
dx
1 + w2 dx
d (cot −1 w)
1 dw
=−
dx
1 + w 2 dx
d (sec −1 w)
1
dw
=
dx
w w2 − 1 dx
d (csc −1 w)
1
dw
=−
dx
w w2 − 1 dx
Fungsi Logaritmik
dan
Fungsi Eksponensial
Turunan Fungsi Logaritmik
Fungsi logaritmik f ( x) = ln x didefinisikan melalui suatu integral
f ( x) = ln x =
6
y
5
1/t
ln x =
4
3
x1
∫1 t
dt
x1
∫1 t dt
1
0
1
2
1/x
x
3
Tentang integral akan
dipelajari lebih lanjut
luas bidang yang dibatasi
oleh kurva (1/t) dan
sumbu-t, dalam selang
antara t = 1 dan t = x
2
0
( x > 0)
4
x +∆x
ln(x+∆x)−lnx
d ln x 1
=
dx
x
t
1/(x+∆x)
d ln x ln( x + ∆x) − ln( x)
1 
=
=

dx
∆x
∆x 
x + ∆x 1
∫x

dt 
t 
Luas bidang ini lebih kecil dari luas
persegi panjang (∆x × 1/x). Namun jika ∆x
makin kecil, luas bidang tersebut akan
makin mendekati (∆x × 1/x); dan jika ∆x
mendekati nol luas tersebut sama dengan
(∆x × 1/x).
Turunan Fungsi Eksponensial
ln y = x ln e = x
y = ex
penurunan secara implisit di kedua sisi
d ln y 1 dy
=
=1
dx
y dx
dy
= y = ex
dx
Jadi turunan dari ex adalah ex itu sendiri
atau
.
y′ = e x
y = e tan
y′′′ = e x
dst.
de v de v dv
dv
=
= ev
dx
dv dx
dx
Jika v = v(x)
−1
y′′ = e x
x
dy
= e tan
dx
−1
x
−1
tan −1 x
d tan x e
=
dx
1 + x2