7. Trigonometri

BAB VII. TRIGONOMETRI
5. tan (A + B) =
tan A + tan B
1 − tan A. tan B
6. tan (A - B) =
tan A − tan B
1 + tan A. tan B
Pengertian Sinus, Cosinus dan Tangen
Sin α =
r
y
r
Rumus-rumus Sudut Rangkap :
y
Cos α =
x
r
Tan α =
y
x
α
x
1. sin 2A = 2 sin A cosA
2. cos 2A = cos 2 A - sin 2 A
3. tan 2A =
Hubungan Fungsi Trigonometri :
Rumus Jumlah Fungsi :
1. sin 2 α + cos 2 α = 1
2. tan α =
sin α
cos α
3. sec α =
1
cos α
2 tan A
1 − (tan A) 2
Perkalian Æ jumlah/selisih
1. 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B)
2 2 cos A sin B = sin (A+B) – sin (A-B)
3 2 cos A cos B= cos (A+B) + cos (A-B)
4. -2sin A sin B = cos (A+B) – cos(A-B)
Jumlah/selisih Æ perkalian
1
4. cosec α =
sin α
1. Sin A + sin B = 2 sin
cos α
sin α
1
1
(A + B) cos (A –B)
2
2
2. Sin A - sin B = 2 cos
1
1
(A + B) sin (A –B)
2
2
5 . cotan α =
6. tan 2 α + 1 = sec 2 α
3. cos A + cos B = 2 cos
7. cot an 2 α + 1 = cos ec 2 α
1
1
(A + B) cos (A –B)
2
2
4. cos A - cos B = - 2 sin
Rumus-rumus Penjumlahan dan Pengurangan :
1. sin (A + B) = sin A cos B + cos A Sin B
2. sin (A - B) = sin A cos B - cos A Sin B
3. cos (A + B) = cos A cos B – sin A Sin B
4. cos (A - B) = cos A cos B + sin A Sin B
www.belajar-matematika.com - 1
1
1
(A + B) sin (A –B)
2
2
7. SOAL-SOAL TRIGONOMETRI
EBTANAS1993
1. Bila 0 0 < a < 90 0 dan tan a 0 =
A.
5
6
B.
25
36
C.
1
11
6
5
11
5
D.
36
, maka sin a 0
E.
1
11
36
Jawab:
Gunakan pengertian sinus,cosinus dan tangen
CD adalah tinggi ∆ ABC
1
1
Luas ∆ ABC = . alas . tinggi = . AB . CD
2
2
Lihat aturan sinus & cosinus :
1
1
Luas ∆ ABC = ab sin γ = ac sin β
2
2
1
= bc sin α
2
Diketahui:
b = AC = 4cm;
c = AB = 3cm;
α = 60 0
Maka :
1
1
. AB . CD = bc sin α
2
2
r
y 5
x
Luas ∆ ABC =
11
Tan a 0 =
r=
=
y
5
=
x
11
x +y
2
= 6.
1
. AB . CD = 3
2
2
11 + 25 = 36 = 6
y
5
=
r
6
jawabannya adalah A
2. Diketahui ∆ ABC dengan panjang sisi AB = 3 cm, AC
= 4 cm dan ∠CAB = 60 0 . CD adalah tinggi ∆ ABC.
Panjang CD = …
B.
3 =3
3
3
Jawabannya adalah E
EBTANAS2002
3 cm
1
.
2
1
. 3. CD = 3 3
2
1
. CD = 3
2
CD = 2. 3
sin a 0 =
2
A.
3
1
1
bc sin α = . 4.3 . sin 60 0
2
2
C. 2 cm
E. 2
3 cm
EBTANAS1999
3. Nilai dari sin 1020 0 = …..
A. -1
B. -
1
2
3
C. -
1
2
D.
1
2
jawab :
3 cm
Jawab:
3
D.
2
3 cm
C
sin 1020 0 = sin ( α + 2. 360 0 )
= sin 300 0
4cm
60 0
3cm
A
D
sin x = sin α , maka x1 = α + k. 360 0
lihat hubungan nilai perbandingan sudut:
B
sin 300 0 = sin ( 360 0 - 60 0 )
1
3
= - sin 60 0 = 2
jawabannya adalah B
www.matematika-sma.com - 1
E.
1
2
3
UMPTN1990
sin 270 0. cos135 0 − tan 135 0
4.
=…
sin 150 0. cos 225 0
A. -2
1
2
B. -
C.
1
2
D.
UAN 2002
8
12
dan tan B=
, A sudut
17
5
tumpul dan B sudut lancip. Nilai sin (A-B)=…
5. Diketahui sin A =
E. 2
A. -
140
221
C.
21
221
B. -
21
221
D.
171
221
jawab:
(1) sin 270 0 = sin (180 0 + 90 0 ) = - sin 90 0
E.
220
221
= -1
Jawab:
(2) cos 135
0
0
0
= cos (180 - 45 ) = - cos 45
0
sin (A-B)= sin A cos B - cos A Sin B
1
2
=-
2
diketahui:
y
8
=
17
r
x
cos A = ;
r
sin A =
(3) tan135
0
sin 135 0
=
cos135 0
cos 135 0 = -
1
2
2
r = x2 + y2
1
2
2
sehingga tan135 0 = - 1
sin 135 = sin 45 0 =
r2 = x2 + y2
x2 = r2 - y2
(4) sin150 0 = sin (180 0 - 30 0 ) = sin30 0
1
=
2
0
(5) cos 225 = cos (180 0 + 45 0 ) = - cos 45 0
1
=2
2
x = r2 − y2
289 − 64 =
= 17 2 − 8 2 =
sehingga cos A =
masukkan ke dalam persamaan:
tan B=
sin 270 0. cos135 0 − tan 135 0
=
sin 150 0. cos 225 0
1
(−1).(−
2 ) − (−1)
2
1
1
.(−
2)
2
2
225 = 15
15
17
y
12
=
5
x
r = x 2 + y 2 = 12 2 + 5 2 = 169 = 13
sehingga : sin B =
1
.2 + 2
1
2
2 +1
1+ 2
4
2
2
=
=
=
. ()
1
2
2
2
−
2
−
4
4
1+ 2
= - 2 (1+ 2 )
=-4
2
tidak ada jawaban yang tepat
y 12
x
5
dan cos B= =
=
r
13
r
13
maka :
sin (A-B) = sin A cos B - cos A Sin B
=
8 5
15 12
.
.
17 13 17 13
=
40 180
140
= 221 221
221
jawabannya adalah A
www.matematika-sma.com - 2
ingat rumus :
UAN2006
6. Nilai dari cos 465 0 - cos 165 0 adalah….
A.
B.
1
2
2
1
2
3
C.
D.
3
E.
a cos x + b sin x = k cos (x - α )
(-cos x - 3 sin x) diubah menjadi bentuk
k cos (x - α )
6
k=
1
2
6
diketahui a = -1 ; b= -
jawab :
k = 1+ 3 =
cos A - cos B = - 2 sin
1
1
(A + B) sin (A –B)
2
2
cos 465 0 - cos 165 0
= - 2 sin
= -2 sin
a2 + b2
0
0
0
- 2 sin 315 0 sin 150 0 = -2 . (1
2
1
2
2).
2
sehingga α = 180 0 + 60 0 = 240 0 =
4
π
3
sehingga bentuk (-cos x - 3 sin x) dapat diubah
4
π)
menjadi = 2 cos (x 3
jawabannya adalah A
1
2
UAN2003
8. Persamaan grafik di bawah adalah =….
2
jawabannya dalah A
3 sin x) dapat diubah dalam
4
π)
3
4
π)
B.- 2 cos ( x +
3
1
π)
C. 2 cos ( x +
3
jawab:
3 sin x) :
cos x bernilai -, dan sin x bernilai -,
maka x berada di kuadran III :
1
sin 315 = sin (360 - 45 ) = - sin 45 = 2
1
sin 150 0 = sin (180 0 - 30 0 ) = sin 30 0 =
2
A. 2 cos ( x -
3
lihat soal di atas : (-cos x -
= - 2 sin 315 0 sin 150 0
UAN2005
7. Bentuk (-cos x bentuk:
b
=
a
α = 60 0
1
1
(630 0 ) sin (300 0 )
2
2
=
4 =2
lihat di tabel sudut-sudut istimewa:
1
1
(465 0 +165 0 ) sin (465 0 –165 0 )
2
2
0
tan α =
3
7
π)
6
7
E. . 2 cos ( x π)
6
D. .- 2 cos ( x -
A. y = 2 sin (x B. y = sin (2x C. y = 2 sin (x +
www.matematika-sma.com - 3
π
2
π
2
π
2
π
)
D. y = sin (2x +
)
E. . y = 2 sin (2x + π )
)
2
)
y = sin x
1
y=
2
1
= sin x ; x = 30 0 atau x = 150 0 (150 0 tidak masuk
2
range soal)
y = -3
-3 = sin x Æ tidak ada yang memenuhi
jawab:
Fungsi grafik adalah fungsi sinus,
fungsi umumnya adalah:
2π
x+θ)
y = A sin (
T
A = amplitude = ½ (nilai maksimum-nilai
minimum)
= ½ (2 –(-2) ) = 2
T = 2 π (perioda sinus dan cosinus)
y = 2 sin (
sehingga didapat x = 30 0 ,
1
maka cos x = cos 30 0 =
2
2π
x + θ ) = 2 sin (x + θ )
2π
3
jawabannya adalah E
untuk cari θ , chek nilai :
UAN2006
10. Himpunan penyelesaian persamaan
2 cos x + 2 sin x = 1 untuk 0 0 ≤ x ≤ 360 0 adalah
(0 0 , 2) Æ 2 = 2 sin (0 0 + θ )
1 = sin θ
θ = 90
A. {15 0 , 255 0 }
0
Jadi persamaan grafiknya adalah y = 2 sin (x +
π
2
UAN2005
9. Diketahui persamaan 2 sin 2 x + 5 sin x – 3 = 0
π
2
<x<
π
2
B. {30 0 , 255 0 }
C. {60 0 , 180 0 }
jawabannya adalah C
Dan -
)
D. {75 0 , 315 0 }
E. {105 0 , 345 0 }
, nilai cos x adalah….
Jawab:
1
A. 3
2
1
B. 2
1
C.
2
1
D.
2
1
E.
2
3
2
rumus umum :
a cos x + b sin x = k cos (x - α )
a=
2 ;b=
jawab:
k=
misal : y = sin x, maka persamaan diatas dapat
dijabarkan menjadi :
tan α =
2y 2 + 5 y – 3 = 0
(2y -1) (y +3) = 0
y=
1
atau y= -3
2
2
a2 + b2 =
b
=
a
α = 45 0
2
2
4 =2
=1
k cos (x - α ) = 2 cos (x - 45 0 ) = 1
cos (x - 45 0 ) =
1
2
x - 45 0 = 60 0 atau x - 45 0 = (360 0 - 60 0 )
x = 105 0
x = 300 0 + 45 0 = 345 0
www.matematika-sma.com - 4
(ingat cos + di kuadran I ( 0 0 - 90 0 ) dan
di kuadran IV (270 0 - 360 0 ) )
Jadi himpunan penyelesaiannya :
{ 105 0 , 345 0 }
Jawabannya adalah E.
www.matematika-sma.com - 5
Kuadrant III :
Sudut-sudut istimewa :
α
00
30 0
45 0
Sin
0
1
1
Cos
1
1
Tan
0
1
2
2
3
3
2
1
2
1
3
60 0
2
1
2
1
2
90 0
3 1
Sin (180 0 + θ ) = -sin θ
Cos (180 0 + θ ) = -cos θ
tan (180 0 + θ ) = tan θ
0
2
3
Kuadrant IV :
~
Sin (360 0 - θ ) = -sin θ
Cos (360 0 - θ ) = cos θ
tan (360 0 - θ ) = -tan θ
Tanda-tanda fungsi pada setiap kuadrant :
Aturan sinus dan cosinus
C
II
I
γ
b
Sin +
β
α
III
Tan +
IV
A
c
Cos +
aturan sinus
Kuadrant I
Kuadrant II Kuadrant III Kuadrant IV
+
+
+
180 0 - α 180 0 + α
+
+
α
Sin
Cos
Tan
360 0 - α
+
-
a
b
c
=
=
sin β
sin γ
sin α
Aturan cosinus
1. a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos α
2. b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos β
Hubungan nilai perbandingan sudut di semua
kuadrant:
Kuadrant I
Sin (90 0 - θ ) = cos θ
Cos (90 0 - θ ) = sin θ
tan (90 0 - θ ) = cotan θ
3. c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos γ
Luas Segitiga
Luas segitiga =
1
ab sin γ
2
=
1
ac sin β
2
=
1
bc sin α
2
Kuadratn II :
Sin (180 - θ ) = sin θ
Cos (180 0 - θ ) = -cos θ
tan (180 0 - θ ) = -tan θ
0
a
Semua +
www.belajar-matematika.com - 2
B
Hubungan Koordinat Cartesius dan Koordinat Kutub :
Persamaan dan pertidaksamaan Trigonometri
1. Persamaan
P(x,y) Æ koordinat cartesius
P(r, α 0 )Æ koordinat kutub
a. sin x = sin α , maka x1 = α + k. 360 0
x 2 = ( 180 0 - α ) + k. 360 0
y
α0
x
P (x,y) → P (r, α 0 )
r=
x +y
2
Rumus umum penyelesaian persamaan trigonometri
adalah :
b. cos x = cos α , maka x1, 2 = ± α + k. 360 0
c. tan x = tan α , maka x = α + k. 180 0
2
α 0 didapat dari tan α 0 =
y
x
Persamaan umum trigonometri adalah :
a cos x + b sin x = c : dimana c = k cos (x - α )
P (r, α 0 ) → P (x,y)
x = r cos α 0 ; y = r sin α 0
dengan k =
a2 + b2 :
persamaan lengkapnya:
jadi , p (x,y) = p(r cos α 0 , r sin α 0 )
a cos x + b sin x = k cos (x - α ) = c
Nilai Maksimum dan Minimum
α didapat dari tan α =
1. Jika y = k cos (x + n π ) dengan k > 0 maka
a. maksimum jika y = k dimana cos (x + n π ) = 1
sehingga (x + n π )= 0
b. minimum jika y = -k dimana cos (x + n π ) = -1
sehingga (x + n π )= π
b
a
Syarat agar persamaan a cos x + b sin x = c mempunyai
jawaban adalah :
c2 ≤ a2 + b2
2. Jika y = k sin (x + n π ) dengan k > 0 maka
a. maksimum jika y = k dimana sin (x + n π ) = 1
sehingga (x + n π )=
π
2
b. minimum jika y = -k dimana sin (x + n π ) = -1
3π
sehingga (x + n π )=
2
2. Pertidaksamaan
Pertidaksamaan-pertidaksamaan trigonometri seperti
sin ax ≤ c, cos ax ≥ c dan sebagainya dapat
diselesaiakan dengan menggunakan langkah-langkah
umum pertidaksamaan seperti :
- Diagram garis bilangan
- Grafik fungsi trigonometri
www.belajar-matematika.com - 3
Fungsi Trigonometri:
1. Fungsi Sinus : f(x) = sin x
.
Ciri-ciri grafik fungsi sinus (sinusoida) y = sin x
a. Mempunyai nilai maksimum 1 dan nilai minimu -1
b. Mempunyai amplitudo Æ ½ ( nilai maksimum – nilai minimum) = ½ (1 – (-1)) = ½ .(2) = 1
c. Memiliki Periode sebesar 2 π
d. Periodisitas fungsi : sin (x + k.2 π ) = sin x, k ∈ bilangan bulat
2. Fungsi Cosinus : f(x) = cos x
Ciri-ciri grafik fungsi cosinus : y = cos x
a. Mempunyai nilai maksimum 1 dan nilai minimu -1
b. Mempunyai amplitudo Æ ½ ( nilai maksimum – nilai minimum) = ½ (1 – (-1)) = ½ .(2) = 1
c. Memiliki Periode sebesar 2 π
d. Periodisitas fungsi : cos (x + k.2 π ) = cos x, k ∈ bilangan bulat
www.belajar-matematika.com - 4
2. Fungsi Tangen : f(x) = tan x
Ciri-ciri grafik fungsi y = tan x adalah :
a. Nilai maksimum = +~ (positif tidak terhinggaa) dan nilai minimum = - ~ (minus tak terhingga)
b. Mempunyai perioda sebesar π
c. Periodaisitas fungsi tan (x +k. π ) = tan x, k ∈ bilangan bulat
www.belajar-matematika.com - 5