bab vii. trigonometri - Les Private Statistik

BAB VII. TRIGONOMETRI
5. tan (A + B) =
tan A + tan B
1 − tan A. tan B
6. tan (A - B) =
tan A − tan B
1 + tan A. tan B
Pengertian Sinus, Cosinus dan Tangen
Sin α =
r
y
r
Rumus-rumus Sudut Rangkap :
y
Cos α =
x
r
Tan α =
y
x
α
x
1. sin 2A = 2 sin A cosA
2. cos 2A = cos 2 A - sin 2 A
3. tan 2A =
Hubungan Fungsi Trigonometri :
Rumus Jumlah Fungsi :
1. sin 2 α + cos 2 α = 1
2. tan α =
sin α
cos α
3. sec α =
1
cos α
2 tan A
1 − (tan A) 2
Perkalian Æ jumlah/selisih
1. 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B)
2 2 cos A sin B = sin (A+B) – sin (A-B)
3 2 cos A cos B= cos (A+B) + cos (A-B)
4. -2sin A sin B = cos (A+B) – cos(A-B)
Jumlah/selisih Æ perkalian
1
4. cosec α =
sin α
1. Sin A + sin B = 2 sin
cos α
sin α
1
1
(A + B) cos (A –B)
2
2
2. Sin A - sin B = 2 cos
1
1
(A + B) sin (A –B)
2
2
5 . cotan α =
6. tan 2 α + 1 = sec 2 α
3. cos A + cos B = 2 cos
7. cot an 2 α + 1 = cos ec 2 α
1
1
(A + B) cos (A –B)
2
2
4. cos A - cos B = - 2 sin
Rumus-rumus Penjumlahan dan Pengurangan :
1. sin (A + B) = sin A cos B + cos A Sin B
2. sin (A - B) = sin A cos B - cos A Sin B
3. cos (A + B) = cos A cos B – sin A Sin B
4. cos (A - B) = cos A cos B + sin A Sin B
www.belajar-matematika.com - 1
1
1
(A + B) sin (A –B)
2
2
Kuadrant III :
Sudut-sudut istimewa :
α
00
30 0
45 0
Sin
0
1
1
Cos
1
1
Tan
0
1
2
2
3
3
2
1
2
1
3
60 0
2
1
2
1
2
90 0
3 1
Sin (180 0 + θ ) = -sin θ
Cos (180 0 + θ ) = -cos θ
tan (180 0 + θ ) = tan θ
0
2
3
Kuadrant IV :
~
Sin (360 0 - θ ) = -sin θ
Cos (360 0 - θ ) = cos θ
tan (360 0 - θ ) = -tan θ
Tanda-tanda fungsi pada setiap kuadrant :
Aturan sinus dan cosinus
C
II
I
γ
b
Sin +
β
α
III
Tan +
IV
A
c
Cos +
aturan sinus
Kuadrant I
Kuadrant II Kuadrant III Kuadrant IV
+
+
+
180 0 - α 180 0 + α
+
+
α
Sin
Cos
Tan
360 0 - α
+
-
a
b
c
=
=
sin β
sin γ
sin α
Aturan cosinus
1. a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos α
2. b 2 = a 2 + c 2 - 2ac cos β
Hubungan nilai perbandingan sudut di semua
kuadrant:
Kuadrant I
Sin (90 0 - θ ) = cos θ
Cos (90 0 - θ ) = sin θ
tan (90 0 - θ ) = cotan θ
3. c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos γ
Luas Segitiga
Luas segitiga =
1
ab sin γ
2
=
1
ac sin β
2
=
1
bc sin α
2
Kuadratn II :
Sin (180 - θ ) = sin θ
Cos (180 0 - θ ) = -cos θ
tan (180 0 - θ ) = -tan θ
0
a
Semua +
www.belajar-matematika.com - 2
B
Hubungan Koordinat Cartesius dan Koordinat Kutub :
Persamaan dan pertidaksamaan Trigonometri
1. Persamaan
P(x,y) Æ koordinat cartesius
P(r, α 0 )Æ koordinat kutub
a. sin x = sin α , maka x1 = α + k. 360 0
x 2 = ( 180 0 - α ) + k. 360 0
y
α0
x
P (x,y) → P (r, α 0 )
r=
x +y
2
Rumus umum penyelesaian persamaan trigonometri
adalah :
b. cos x = cos α , maka x1, 2 = ± α + k. 360 0
c. tan x = tan α , maka x = α + k. 180 0
2
α 0 didapat dari tan α 0 =
y
x
Persamaan umum trigonometri adalah :
a cos x + b sin x = c : dimana c = k cos (x - α )
P (r, α 0 ) → P (x,y)
x = r cos α 0 ; y = r sin α 0
dengan k =
a2 + b2 :
persamaan lengkapnya:
jadi , p (x,y) = p(r cos α 0 , r sin α 0 )
a cos x + b sin x = k cos (x - α ) = c
Nilai Maksimum dan Minimum
α didapat dari tan α =
1. Jika y = k cos (x + n π ) dengan k > 0 maka
a. maksimum jika y = k dimana cos (x + n π ) = 1
sehingga (x + n π )= 0
b. minimum jika y = -k dimana cos (x + n π ) = -1
sehingga (x + n π )= π
b
a
Syarat agar persamaan a cos x + b sin x = c mempunyai
jawaban adalah :
c2 ≤ a2 + b2
2. Jika y = k sin (x + n π ) dengan k > 0 maka
a. maksimum jika y = k dimana sin (x + n π ) = 1
sehingga (x + n π )=
π
2
b. minimum jika y = -k dimana sin (x + n π ) = -1
3π
sehingga (x + n π )=
2
2. Pertidaksamaan
Pertidaksamaan-pertidaksamaan trigonometri seperti
sin ax ≤ c, cos ax ≥ c dan sebagainya dapat
diselesaiakan dengan menggunakan langkah-langkah
umum pertidaksamaan seperti :
- Diagram garis bilangan
- Grafik fungsi trigonometri
www.belajar-matematika.com - 3
Fungsi Trigonometri:
1. Fungsi Sinus : f(x) = sin x
.
Ciri-ciri grafik fungsi sinus (sinusoida) y = sin x
a. Mempunyai nilai maksimum 1 dan nilai minimu -1
b. Mempunyai amplitudo Æ ½ ( nilai maksimum – nilai minimum) = ½ (1 – (-1)) = ½ .(2) = 1
c. Memiliki Periode sebesar 2 π
d. Periodisitas fungsi : sin (x + k.2 π ) = sin x, k ∈ bilangan bulat
2. Fungsi Cosinus : f(x) = cos x
Ciri-ciri grafik fungsi cosinus : y = cos x
a. Mempunyai nilai maksimum 1 dan nilai minimu -1
b. Mempunyai amplitudo Æ ½ ( nilai maksimum – nilai minimum) = ½ (1 – (-1)) = ½ .(2) = 1
c. Memiliki Periode sebesar 2 π
d. Periodisitas fungsi : cos (x + k.2 π ) = cos x, k ∈ bilangan bulat
www.belajar-matematika.com - 4
2. Fungsi Tangen : f(x) = tan x
Ciri-ciri grafik fungsi y = tan x adalah :
a. Nilai maksimum = +~ (positif tidak terhinggaa) dan nilai minimum = - ~ (minus tak terhingga)
b. Mempunyai perioda sebesar π
c. Periodaisitas fungsi tan (x +k. π ) = tan x, k ∈ bilangan bulat
www.belajar-matematika.com - 5