Pengukuran Radian Pengukuran Radian Contoh soal Lingkaran

Pengukuran Radian
Contoh soal
Dalam Trigonometri, pengukuran yang
paling sering digunakan selain pengukuran
sudut adalah pengukuran radian.
Radian adalah pengukuran sudut pusat
dimana busurnya sama dengan panjang dari
jari-jari lingkaran.
r
s=r
s
Hitung dalam pengukuran
sudut (derajad) yang sama
dengan 3π
4
degrees radians
=
2π
360°
d
3π 4
=
2π
360°
2πd = 270π
d = 135°
Pengukuran Radian
Terdapat 2π radiandalam satu putaran
penuh (sekali mengelilingi lingkaran)
Terdapat 360° dalam satu putaran penuh
Untuk merubah derajad ke radian atau
radian ke derajad, digunakan aturan
degrees radians
=
2π
360°
Lingkaran Satuan
Diberikan sebuah
lingkaran dalam
koordinat kartesius
dengan pusat di titik asal
dan jari-jari 1
Tentukan sebuah titik
dalam lingkaran yang
berada di kuadran I.
Tentukan pengukuran
radian yang sama
dengan 210°
degrees radians
=
360°
2π
210°
r
=
360° 2π
360r = 420π
420π 7π
r=
=
360
6
Lingkaran Satuan
Lingkaran Satuan
Hubungkan titik asal dengan
titik yang dipilih dan tarik garis
lurus ke x-axis.
Terciptalah segitiga dengan
panjang sisi miring sebesar 1.
Koordinat dari titik yang dipilih merupakan
sinus dan kosinus dari sudut θ.
Lingkaran Satuan
Panjang dari kakikainya adalah
koordinat x dan y dari
titik yang dipilih.
Terapkan definisi
trigonometri maka
y
sin = = y
1
y
sin = = y
1
x
cos = =x
1
Fungsi Trigonometric
θ adl
sudut
positif
x
cos = =x
1
1
y
sin(θ ) = y
1
csc =
y
cos =x
sec =
y
tan =
x
x
cot =
y
x
1
x
θ adl
sudut
putaran
1
x
y
Sepanjang Lingkaran
Jika kita pindahkan
titik yang dipilih
keliling lingkaran ke
kuadran II, III, dan
IV, definisi baru dari
fungsi trigonometric
ini masih berlaku.
Sudut Acuan
Sudut yang berada di kuadrant II, III, dan
IV akan mempunyai nilai sin, cos, dan
fungsi trigonometri yang lain yang identik
kepada nilai di kuadrant I kecuali tandanya.
Sudut yang lancip yang menghasilkan nilai
yang sama disebut Sudut Acuan.
Sudut Acuan
Sudut Acuan adalah sudut antara titik yang
dipilih dan busur x-axis yang terdekat.
Sudut Acuan adalah sudut dimana sebuah
segitiga positif ditarik tegal lurus dari sebuah
garis yang ditarik tegak lurus terhadap x-axis
dari titik asal dan titik pilihan.
Kuadran II
Sudut Asal
Untuk sebuah sudut, θ,
di kuadran II, Sudut
Acuannya adl π − θ
Di kuadran II,
Sudut Acuan
sin(θ) positif
cos(θ) negatif
tan(θ) negatif
Kuadrant III
Sudut Asal
Semua Sin Tan Cos
Untuk sebuah sudut,
θ, di kuadran III,
Sudut Acuannya adl
θ-π
Di kuadran III,
Sudut Acuan
Gunakan istilah “Semua Sin Tan Cos”
untuk mengingat tanda positif dalam uadran
Sin
Sine positif
sin(θ) negatif
cos(θ) negatif
tan(θ) positif
Tan
Tan positif
Kuadran IV
Sudut Istimewa
Sudut Acuan
Untuk sebuah sudut,
θ, di kuadran IV,
Sudut Acuannya adl
2π − θ
Di kuadran IV,
Sudut Asal
sin(θ) negatif
cos(θ) positif
tan(θ) negatif
Angles measured in degrees:
sin 45o = cos 45o =
1
and tan 45o = 1
2
Angles measured in radians:
sin π / 4 = cos π / 4 =
1
and tan π / 4 = 1
2
Semua
Semua fungsi
positif
Cos
Cos positif
Sudut Istimewa
0
1
0
¥
1/ 2
3/2
2/2
3/3
2
1/2
3
2/2
3/2
1
2
2 3 /3
1
¥
¥
3
1
2
3 /3
¥
0
3 /2 1/2 3 2 3 /3 2 3/3
2 2 1
2/2 2/2 1
2
1/ 2
3/2 3/3
2 3/3 3
Angles measured in degrees:
1
sin 30o = cos 60o =
2
3
sin 60o = cos30o =
2
1
o
= 3
tan 60 =
tan 30o
0
1
3/2
2/2 2/2
3/2 1/2
1/2
1
0
3/2
2/2
1/ 2
1/2
0
The 16-Titik di Lingkaran Satuan
0
1
1
2 3 /3
2
0
3 /3
1
2
¥
1
3 2 3/3
0
1
2 3/3
2 2
0
3
2/2 1
3 /2 3/3
1
¥
2
2
¥
2
¥
3
1
3 /3
¥
0
2
3/3
2
2 3 /3
1
1
3
¥
Identitas Trigonometri
Identitas adalah sebuah persamaan yang
bernilai benar untuk semua peubah
(variabel)
Terdapat beberapa identitas trigonometri
yang berguna dalam merubah penampakan
ekspresi.
Harus dihapal!!!
Identitas Trigonometri
Identitas hasil bagi
sin x=
Identitas Pembagian
tan x =
sin x
cos x
1
sec x
cot x =
cos x
sin x
tan x=
1
cot x
Identitas Trigonometri
Identitas Co-fungsi
1
csc x
cos x=
Identitas Trigonometri
Fungsi dari sebuah sudut = cofungsi dari komplemennya
°
sin x=cos90 x °
sec x=csc90 x
°
tan x=cot 90 x Sin 60 = cos 30
3/2= 3/2
Sin(2/3)=cos(/3)
Sec 60 = csc 30
2=2
sec(2/3)=csc(/3)
Identitas Trigonometri
Identitas Setengah Sudut
sin
cos
x
1cos x
=±
2
2
x
1cos x
=±
2
2
Identitas Trigonometri
Sin 15=sin (30/2)
= 1cos 30
=
2
1 3/2
2
= 2 3 = 2 3
4
2
Identitas Trigonometri
cos (22.5)=cos(45/2)
1cos 45
=
2
= 11/ 2
2
3
3
=
=
4 2
Dasar identitas
cos 2θ = 1 − 2sin θ
cos 2θ = 2cos 2 θ − 1
2cos θ cos φ = cos(θ + φ ) + cos(θ − φ )
sin 2θ = 2sin θ cos φ
2sin θ sin φ = cos(θ − φ ) − cos(θ + φ )
2 tan θ
1 − tan 2 θ
Identitas Trigonometri
cos(θ + φ ) = cosθ cos φ − sin θ sin φ
cos(θ − φ ) = cosθ cos φ + sin θ sin φ
Identitas Pythagoras
2sin θ cos φ = sin(θ + φ ) + sin(θ − φ )
2
tan 2θ =
Identitas Trigonometri
cos 2θ = cos 2 θ − sin 2 θ
2
2
Phitagoras
sin xcos x =1
Bagi dengan sin2x
1cot x =csc x
Bagi dengan cos2x
tan x 1=sec x
2
2
sin(θ + φ ) = sin θ cos φ + cosθ sin φ
sin(θ +- φ ) = sin θ cos φ − cosθ sin φ
2
2
tan θ + tan φ
1 − tan θ tan φ
tan θ − tan φ
tan(θ − φ ) =
1 + tan θ tan φ
tan(θ + φ ) =