MASSA GRAVITON BERDASARKAN TEORI de

MASSA GRAVITON BERDASARKAN TEORI de RHAMGABADADZE-TOLLEY DALAM MODEL ALAM SEMESTA
DATAR FRIEDMANN-LEMAITRE-ROBERTSON-WALKER
AHMAD KHOIRUL FALAH
DEPARTEMEN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
i
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN
SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Massa graviton
berdasarkan teori de Rham-Gabadadze-Tolley dalam model alam semesta datar
Friedmann-Lemaitre-Roberson-Walker adalah benar karya saya dengan arahan
dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada
perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya
yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam
teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini.
Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut
Pertanian Bogor.
Bogor, Maret 2016
Ahmad Khoirul Falah
NIM G74120032
ii
ABSTRAK
AHMAD KHOIRUL FALAH. Massa Graviton Berdasarkan Teori de RhamGabadadze-Tolley dalam Model Alam Semesta Datar Friedmann-LemaitreRoberson-Walker. Dibimbing oleh HUSIN ALATAS.
Teori Relativitas Umum memprediksi ekspansi alam semesta diperlambat,
sedangkan hasil observasi supernova tipe Ia mendapati ekspansi alam semesta
dipercepat. Teori Relativitas Umum dimodifikasi melalui pendekatan teori
gravitasi bermassa nonlinier oleh de Rham-Gabadadze-Tolley (dRGT). Massa
graviton dimunculkan untuk dinamika skala sangat besar. Persamaan medan
Einstein teori dRGT dapat dirumuskan dari prinsip variasi. Selanjutnya dengan
memilih
metrik
datar
Friedmann-Lemaitre-Roberson-Walker
dapat
diformulasikan bentuk persamaan Friedmann yang relevan dengan model
ekspansi dipercepat. Hasil akhirnya, dengan membandingkan massa graviton dari
metode Extremely Low Energy (ELE) dapat dihitung massa kritis graviton yaitu
sekitar
.
Kata kunci: massa graviton, teori dRGT, persamaan medan Einstein, persamaan
Friedmann, ekspansi alam semesta dipercepat.
ABSTRACT
AHMAD KHOIRUL FALAH. Graviton Mass from de Rham-Gabadadze-Tolley
Theory in Flat Universe Model Friedmann-Lemaitre-Roberson-Walker.
Supervised by HUSIN ALATAS.
General Relativity Theory predict that expansion of the universe is
decelarated, nevertheless observations of type Ia supernova indicates that the
expansion of the universe is actually accelerated. General relativity theory was
modified by de Rham-Gabadadze-Tolley (dRGT) with nonlinear massive gravity
theory. Graviton mass appear for large scale distance. Einstein field equation of
dRGT theory can be derived from variational principle. Furthermore, by using flat
metric Friedmann-Lemaitre-Roberson-Walker led to the Friedmann equation with
accelerated model. Finally, by comparing graviton mass from Extremely Low
Energy (ELE) can be calculated critical graviton mass approximately
.
Keywords: graviton mass, dRGT theory, Einstein field equation, Friedmann
equation, accelerating universe.
iii
MASSA GRAVITON BERDASARKAN TEORI de RHAMGABADADZE-TOLLEY DALAM MODEL ALAM SEMESTA
DATAR FRIEDMANN-LEMAITRE-ROBERTSON-WALKER
AHMAD KHOIRUL FALAH
Skripsi
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar
Sarjana Sains
pada
Departemen Fisika
DEPARTEMEN FISIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
BOGOR
2016
v
PRAKATA
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas
segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang
dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan September 2015 ini ialah
teori gravitasi, dengan judul “Massa Graviton B rdasarkan T ori d RhamGabadadze-Tolley dalam Model Alam Semesta Datar Friedmann-LemaitreRoberson-Walk r”
Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Husin Alatas selaku
pembimbing yang telah banyak memberi saran, bimbingan, perhatian, dan
kesabarannya kepada penulis selama ini. Beliaulah guru dan sahabat yang telah
memperkenalkan keindahan dibalik persamaan-persamaan Teori Relativitas
Umum Einstein yang elegan, serta menumbuhkan lebih dalam kecintaan penulis
pada bidang fisika teoretik. Ungkapan salam penuh cinta penulis sampaikan
kepada kedua orang tua, Bapak Ahmad Jahid dan Ibu Dede Khoiriyah, serta adikadik dirumah, terimakasih atas segala doa, dukungan dan kasih sayangnya. Tak
lupa rasa terima kasih sebesar-besarnya kepada seluruh dosen Departemen Fisika
IPB yang telah ikhlas mengajarkan banyak ilmu selama penulis menjadi
mahasiswa. Terakhir kepada teman-teman fisika IPB khususnya angkatan 49 dan
marboth asrama masjid Al-Hurriyyah IPB, terimakasih atas kebersamaannya
selama ini.
Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Maret 2016
Ahmad Khoirul Falah
vi
DAFTAR ISI
DAFTAR GAMBAR
viii
DAFTAR LAMPIRAN
viii
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
Perumusan Masalah
1
Hipotesis
1
Manfaat Penelitian
2
Ruang Lingkup Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Tensor
2
Persamaan Medan Einstein
3
Metrik Friedmann-Lemaitre-Roberson-Walker
4
Persamaan Friedmann
4
Tensor Energi-Momentum Fluida Ideal
4
Teori Gravitasi Bermassa Fierz-Pauli
5
Diskontinuitas van Dam-Veltman-Zakharov
5
Mekanisme Vainshtein
6
Medan Hantu Boulware-Deser
6
Teori Gravitasi Bermassa de Rham-Gabadadze-Tolley
7
METODE
7
Waktu dan Tempat Penelitian
7
Alat
8
Metode Penelitian
8
HASIL DAN PEMBAHASAN
Persamaan Medan Einstein Teori dRGT
8
8
Persamaan Friedmann Teori dRGT
10
Ekspansi Alam Semesta dan Massa Graviton
12
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
15
15
vii
Saran
15
DAFTAR PUSTAKA
15
LAMPIRAN
17
RIWAYAT HIDUP
24
viii
DAFTAR GAMBAR
1 Grafik fungsi faktor skala terhadap parameter waktu kosmik untuk tiga
jenis proporsi (
).
14
DAFTAR LAMPIRAN
A Konvensi Penjumlahan Einstein
B Satuan Alam (Natural Unit)
C Persamaan Medan Einstein dari Prinsip Aksi
D Tensor Ricci dalam Metrik Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker
E Kode Matlab Gambar 1
16
17
18
20
22
1
PENDAHULUAN
Latar Belakang
Teori Relativitas Umum (TRU) menjelaskan keterkaitan ruang, waktu, dan
gravitasi yang dirumuskan oleh Albert Einstein pada tahun 1915. Dalam TRU
gravitasi tidak lagi dipandang sebagai gaya, melainkan manifestasi dari
kelengkungan ruangwaktu.1 TRU merupakan konsep yang mendasari kosmologi,
dan kosmologi adalah aplikasi penting TRU. Observasi dari pergerakan galaksi
menunjukkan bahwa alam semesta kita berekspansi.2
Pada tahun 1998, para astronom menemukan bahwa ekspansi alam
semesta mengalami percepatan. Jika TRU benar, maka harus ada energi gelap
(dark energy) sebagai penyebabnya. Secara sederhana energi gelap ialah
interpretasi dari konstanta kosmologi, yang secara fisis dapat diartikan sebagai
energi vakum. Tetapi orde konstanta kosmologi terlalu kecil untuk menghasilkan
kerapatan energi yang sesuai prediksi teori fisika partikel. Sehingga terdapat
kemungkinan TRU salah atau perlu dimodifikasi.3
Salah satu modifikasi yaitu penambahan massa graviton. Gagasan ini
sudah diperkenalkan oleh Fierz dan Pauli sejak tahun 1939. Namun sempat
diragukan karena pada tahun 1970 van Dam-Veltman-Zakharov (vDVZ)
menunjukkan teori gravitasi bermassa Fierz-Pauli tidak konsisten dengan
persamaan medan linier saat limit takbermassa. Selanjutnya pada tahun 1972
Vainshtain mengusulkan mekanisme nonlinier untuk menghindari diskontinuitas
vDVZ. Langsung ditahun yang sama Boulware dan Deser menunjukkan model
nonlinier mengandung medan hantu yang kemudian disebut medan hantu
Boulware-Deser. Barulah pada tahun 2010 masalah medan hantu Boulware-Deser
dapat dihindari dengan teori gravitasi bermassa nonlinier de Rham-GabadazeTolley.4,5
Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan menghitung massa graviton berdasarkan teori de
Rham-Gabadaze-Tolley (dRGT) dalam model alam semesta datar FriedmannLemaitre-Robertson-Walker (FLRW) untuk menjelaskan fenomena ekspansi
dipercepat.
Rumusan Masalah
Teori dRGT digunakan untuk menghitung persamaan medan Einstein
melalui prinsip aksi, merumuskan persamaan Friedmann, dan memeriksa
kontinuitasnya untuk limit takbermassa. Serta menganalisis evolusi faktor skala
terhadap parameter waktu kosmik untuk menghitung massa graviton.
Hipotesis
Teori dRGT menyediakan model alam semesta yang berekspansi
dipercepat dan massa graviton dapat ditentukan.
2
Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah menambah perbendaharaan informasi
tentang massa graviton.
Ruang Lingkup Penelitian
Penelitian ini melingkupi perhitungan matematis persamaan medan
Einstein dan persamaan Friedmann berdasarkan TRU yang dimodifikasi oleh teori
gravitasi bermassa nonlinier untuk membangun model alam semesta.
TINJAUAN PUSTAKA
Tensor
TRU adalah salah satu teori fisika modern yang cukup besar peranannya
dalam menerangkan struktur ruangwaktu dan jagad raya. Teori ini adalah teori
yang indah, memiliki daya pikat ramalan terhadap gejala alam yang cukup
menarik, namun memiliki persyaratan matematika berupa analisis tensor. Tensor
merupakan perluasan dari vektor, seperti halnya vektor merupakan perluasan dari
skalar. Skalar adalah tensor rank-0 dan vektor adalah tensor rank-1. Dalam TRU
terdapat dua jenis sistem koordinat, yaitu koordinat kovarian dan kontravarian.
Untuk membedakan kedua sistem koordinat tersebut digunakan indeks atas untuk
kontravarian dan indeks bawah untuk kovarian. Sebuah tensor rank-2 kovarian
dan kontravarian berlaku transformasi:
Tensor kovarian
(1.a)
Tensor kontravarian
(1.b)
Tensor Metrik dan Ruang Riemann
Tensor metrik menggambarkan jarak terdekat antara dua titik dalam ruang
(geodesik). Ruang tiga dimensi dengan bentuk
dinamakan
ruang datar atau ruang Euclid. Jika suatu sistem koordinat tidak memenuhi bentuk
tersebut maka dinamakan ruang lengkung atau ruang Riemann. Bentuk
untuk
ruang datar empat dimensi disebut ruangwaktu Minkowski:
(2)
tensor metrik dari geodesik (2):
Secara umum kuadrat jarak antara dua buah titik di dalam ruang sembarang
berdimensi N dinyatakan dalam:
(3)
3
dengan
. Tensor metrik juga dapat digunakan untuk menaikkan dan
menurunkan indeks:
(4.a)
(4.b)
Tensor Riemann-Christoffel dan Tensor Ricci
Tensor Riemann-Christoffel dirumuskan sebagai berikut:
(5.a)
(5.b)
Besaran
disebut simbol Christoffel. Kontraksi
menghasilkan tensor Ricci
.
terhadap indeks (
)
(6)
Tensor Ricci menyatakan kelengkungan ruangwaktu atau disebut juga tensor
curvature.6
Persamaan Medan Einstein
TRU dibangun berdasarkan prinsip ekivalensi dan prinsip kovariansi
umum. Efek gravitasi terkait dengan geometri. Deskripsi lebih lengkap gravitasi
terangkum dalam sebuah persamaan medan yang berlaku secara umum untuk
berbagai sistem fisis. 7 Sebagaimana teori fisika pada umumnya, rumusan gravitasi
TRU dapat diturunkan melalui prinsip variasi.8
(7)
dengan
disebut kerapatan Lagrangian Einstein-Hilbert,
adalah skalar Ricci, dan
adalah kerapatan Lagrangian materi. Melalui prinsip
ini, persamaan medan Einstein diturunkan dengan melakukan variasi sedemikian
rupa sehingga
, kemudian diperoleh (lampiran C):
(8)
Persamaan (8) dinamakan persamaan medan Einstein yang menyatakan
bahwa kehadiran materi menyebabkan ruangwaktu melengkung dan
kelengkungan ruangwaktu menyebabkan materi bergerak. Besaran
disebut
tensor energi-momentum dan konstanta
diturunkan dari limit Newtonian. Untuk penulisan selanjutnya diberlakukan
satuan alam (natural unit) c=1 dan
dengan
-
(lihat lampiran B), sehingga
merupakan massa Planck.4,7
Untuk aproksimasi medan lemah metrik
dapat diuraikan sebagai metrik
Minkowski
ditambahkan suku gangguan kecil :
(9)
4
Sebagai catatan, persamaan medan yang dilinearisasi dapat diturunkan dari
Lagrangian Einstein-Hilbert berikut:9
(10)
Metrik Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker
Metrik FLRW dibangun berdasarkan prinsip kosmologi, yakni asumsi
alam semesta bersifat homogen dan isotropik. Metrik FLRW dalam bentuk
yaitu:
(11)
Fungsi R(t) disebut faktor skala dan konstanta k disebut indeks kurvatur. Nilai k =
-1 untuk alam semesta hipebola, k=0 untuk alam semesta datar, dan k=1 untuk
alam semesta bola. 10
Persamaan Friedmann
Dinamika kosmologi dalam geometri ruangwaktu sepenuhnya ditentukan
oleh faktor skala R(t). Untuk mengetahui bentuk R(t) diperlukan solusi persamaan
medan Einstein. Representasi dari solusi persamaan medan Einstein untuk metrik
FLRW disebut Persamaan Friedmann. Bentuknya sebagai berikut:
(12.a)
(12.b)
Persamaan (12.a) dan (12.b) memungkinkan kita mempelajari ekspansi alam
semesta tanpa membutuhkan persamaan keadaan tertentu. Jika
selalu positif,
k “ k l r ”
bernilai negatif. Di masa kini R>0 (dari definisi)
dan
(karena yang terdeteksi pergeseran merah bukan pergeseran biru),
maka bentuk kurva R(t) versus t cekung kebawah. Interpretasi ini berlawanan
dengan hasil observasi yang menyatakan alam semesta mengembang dipercepat
(bentuk kurva cekung keatas). 8,10
Tensor Energi-Momentum Fluida Ideal
Prinsip kosmologi homogen dan isotropik mengizinkan distribusi kontinu
materi di alam semesta dapat diaproksimasi oleh tensor energi-momentum fluida
ideal:
(13)
Untuk setiap tensor energi-momentum berlaku:
(14)
5
yang merupakan bentuk pernyataan hukum kekekalan energi. Persamaan
kekekalan energi fluida ideal dalam metrik FLRW yaitu:
(15)
Dalam kosmologi, biasanya digunakan asumsi persamaan keadaan berikut:
(16)
dengan w disebut parameter keadaan yang nilainya w=0 untuk material debu
(dust) dan w=1/3 untuk radiasi. Sehingga solusi persamaan (15) yaitu:
(17)
yang menyatakan evolusi kerapatan sebagai fungsi faktor skala.
8
Teori Gravitasi Bermassa Fierz-Pauli
Keberadaan energi gelap yang sudah disinggung di bagian pendahuluan
menjadi salah satu motivasi dari teori gravitasi bermassa. Pada skala besar TRU
dimodifikasi dengan cara menambahkan suku massa graviton. Modifikasi ini
sekaligus memungkinkan massa graviton memperbaiki masalah konstanta
kosmologi. Adalah Fierz dan Pauli yang pertamakali mengkonstruksi suku massa
tersebut untuk metrik linier disekitar ruangwaktu datar,
- .
(18)
Kerapatan Lagrangian menjadi:
(19)
Empat suku pertama di ruas kanan merupakan Lagrangian Einstein-Hilbert untuk
ruangwaktu datar. Indeks
dapat dinaikkan dan diturunkan menggunakan
metrik ,
. 11, 12
Diskontinuitas van Dam-Veltman-Zakharov
Aksi pada Lagrangian (19) menghasilkan bentuk persamaan gerak linier:
(20)
Notasi
but op r tor ’Al b rt U tuk u b r p rt k l t t k b r
M solusi komponen
persamaan (20) ialah:
(21)
Pada limit tak bermassa
6
(22)
Sedangkan dari persamaan gerak linier gravitasi takbermassa yang memenuhi
transformasi Lorentz-Gauge:
(23)
Solusi
sumber titik bermassa M persamaan gerak (23) ialah:
(24)
Diskontinuitas persamaan (22) dan (24) pertamakali dideteksi oleh van Dam,
Veltman, dan Zakharov. Korespondensi dari gravitasi takbermassa menjadi
gravitasi bermassa mempunyai syarat perubahan
. Jika hasil ini diterapkan
untuk kasus pembelokan cahaya yang menurut gravitasi takbermassa dirumuskan
oleh:
(25)
Syarat korespondensi membuat sudut pembelokan cahaya versi teori Fierz-Pauli
menjadi:
(26)
Perbedaan antara persamaan (25) dan persamaan (26) mencapai 25%. Prediksi
linier TRU berbeda dengan teori Fierz-Pauli saat limit tak bermassa. Bentuk linier
telah melanggar asas kontinuitas dalam fisika, inilah yang disebut diskontinuitas
vDVZ.4
Mekanisme Vainshtein
Mekanisne Vainshtein digagas oleh Vainshtein ketika menelaah solusi
statik bersimetri bola teori Fierz-Pauli. Pada jarak yang sangat jauh dari sumber,
teori dapat dideskripsikan secara linier, sehingga semua mode graviton bermassa
berpropagasi, menghasilkan penyimpangan besar terhadap TRU berupa
diskontinuitas vDVZ. Vainshtein mengusulkan bahwa terdapat jarak tertentu dari
sumber yang membatasi linieritas dapat diberlakukan. Jarak tersebut disebut jarijari Vainshtein,
. Di daerah
prediksi linier tidak bisa dibenarkan.13
nonlinieritas mulai mendominasi dan
Medan Hantu Boulware-Deser
Boulware dan Deser mempelajari beberapa spesifikasi bentuk nonlinier
gravitasi bermassa dan menunjukkan bahwa terdapat hantu ketidakstabilan (ghostlike instability). Teori linier mempunyai lima derajat kebebasan, sedangkan teori
nonlinier menghasilkan enam derajat kebebasan. Satu derajat kebebasan tambahan
dalam bentuk medan skalar disebut medan hantu Boulware-Deser.4
7
Teori Gravitasi Bermassa Nonlinier de Rham-Gabadadze-Tolley
Teori Fierz-Pauli memiliki cacat berupa diskontinuitas vDVZ dan medan
hantu Boulware-Deser. Generalisasi teori Fierz-Pauli yang bebas diskontinuitas
vDVZ dan medan hantu Boulware-Deser dirumuskan oleh de Rham-GabadadzeTolley (dRGT). Melalui cara Stuckelberg didefinisikan tensor kovarian:
(27)
Untuk unit Gauge
, tensor
- menjadi metrik gangguan. Tensor
dapat dinyatakan dalam tensor polinomial berikut:
(28)
Invers persamaan (29) ialah:
-
-
-
-
-
Dengan menyatakan
sebagai metrik fiducial, sehingga:
(29)
Bentuk kerapatan Lagrangiannya adalah:
(30.a)
dengan
adalah konstanta parameter, dan
(30.b)
Not […]
y t k trace tensor terhadap metrik
. Ketiadaan medan hantu
pada persamaan (30.a) berlaku untuk metrik latar belakang Minkowski. 14,15
METODE
Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilaksanakan selama lima bulan mulai dari bulan September
2015 sampai Januari 2016. Tempat penelitian dilakukan di Laboratorium Fisika
Teori dan Komputasi, Departemen Fisika Fakultas Metematika dan Ilmu
Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor.
8
Alat
Pada penetlitian ini alat-alat yang digunakan berupa alat tulis (kertas/buku
tulis, pena, pensil), laptop/komputer milik pribadi dengan processor intel ® core
™ B9
or
B n menggunakan windows 7 professonal.
Metode Penelitian
Studi Pustaka
Studi pustaka dilakukan untuk memahami persamaan medan Einstein,
prinsip aksi, teori gravitasi bermassa Fierz-Pauli, serta menganalisis suku
nonlinier dRGT.
Penurunan Persamaan Medan Einstein dan Persamaan Friedmann
Proses ini dilakukan melalui prinsip aksi dari teori dRGT untuk
mendapatkan persamaan medan Einstein dilanjutkan mencari persamaan
Friedmann.
Analisis Faktor Skala
Dengan memanfaatkan parameter kosmologi yang tersedia, persamaan
Friedmann dapat dibentuk sedemikian rupa sehingga dapat memberikan gambaran
evolusi faktor skala terhadap waktu kosmik.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Persamaan Medan Einstein Teori dRGT
Persamaan medan Einstein konvensional dapat diturunkan dari kalkulus
variasi (lampiran C). Melalui cara yang sama akan diturunkan persamaan medan
Einstein teori dRGT dengan melakukan aksi pada Lagrangian (30.a):
Untuk mendapatkan persamaan medan Einstein variasikan
(31)
terhadap metrik
,
(32)
Sebagai catatan, alam semesta datar memiliki indeks kurvatur k=0 dan
metrik fiducial yaitu metrik minkowski
. Tensor
pada persamaan (29)
menjadi:
9
(33)
Variasi tensor (33):
Kemudian diperoleh:
(34.a)
(34.b)
(34.c)
(34.d)
2
Persamaan (34.a)-(34.d) memberikan pemecahan variasi suku-suku ruas kanan
persamaan (32).
(35.a)
(35.b)
[
(35.c)
[
][
[
[
][
]
[
(35.d)
[
][
[
]
(35.e)
Substitusi persamaan (35.a)-(35.e) kedalam persamaan (32).
10
-
-
-
-
-
-
(36)
Karena
sedangkan
Einstein teori dRGT:
sembarang maka diperoleh persamaan medan
(37.a)
Atau dalam bentuk kovarian ditulis:
(37.b)
dengan
(37.c)
Untuk limit graviton takbermassa
, persamaan medan Einstein teori dRGT
kembali menjadi persamaan medan Einstein biasa.
Persamaan Friedmann Teori dRGT
Persamaan Friedmann diperoleh dari persamaan medan Einstein yang
diimplementasikan dalam metrik FLRW. Bentuk ekivalen persamaan (37.b) yaitu.
(38)
Bongkar tensor Ricci persamaan (38) menggunakan persamaan (6). Kemudian
substitusi metrik (11) dengan k=0 sehingga diperoleh komponen tensor Ricci
(Lampiran D):
-
(39)
11
Distribusi materi dan energi alam semesta dapat didekati dengan tensor
energi-momentum fluida ideal. Substitusi metrik (11) kedalam tensor energimomentum (13), sehingga bentuk suku kedua persamaan (14):
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
(40)
-
-
Persamaan (39) dan (40) dapat digabungkan sesuai persamaan (38):
(41.a)
(41.b)
(41.c)
(41.d)
Suku terakhir persamaan (41) harus diperbaiki dengan menentukan kuantitas .
Mengacu persamaan (33) untuk metrik FLRW datar dan metrik fidusial
Minkowski diperoleh:
;
Diperoleh komponen
(42)
pada persamaan (37.c):
(43.a)
(43.b)
(43.c)
(43.d)
9
(43.e)
Persamaan (41.b), (41.c), dan (41.d) menjadi ekivalen sehingga persamaan (41)
tereduksi:
(44.a)
(44.b)
12
Sedikit teknik aljabar sederhana membawa kepada bentuk berikut ini:
(45.a)
(45.b)
Inilah Persamaan Friedmann teori dRGT. Jika diperiksa pada limit
maka
persamaan (45.a) dan (45.b) kembali menjadi persamaan (12.a) dan (12.b) yang
merupakan persamaan Friedmann biasa.
Ekspansi Alam Semesta dan Massa Graviton
Faktor skala merupakan kunci untuk mempelajari dinamika kosmologi.
Informasi mengenai faktor skala dapat diketahui dengan mencari solusi persamaan
diferensial (45.a) dan (45.b). Namun parameter pada persamaan tersebut belum
dinyatakan dalam kuantitas yang terukur. Sebelum membahas lebih jauh,
nyatakan persamaan (45.b) dalam bentuk berikut:
(46)
Kerapatan
harus memenuhi hukum kekekalan energi sehingga berlaku
perbandingan (17). Asumsikan fluida alam semesta terdiri dari materi dan radiasi:
(47)
dengan
berturut-turut merupakan kerapatan massa, kerapatan
radiasi, dan faktor skala masa kini
. Untuk alasan teknis dibuat beberapa
definisi:
(48)
Faktor skala selanjutnya diungkapkan dalam bentuk
. Disini juga
diperkenalkan parameter Hubble H, parameter takberdimensi
untuk kerapatan
fluida alam semesta dan untuk graviton. Kemudian persamaan (46) menjadi:
13
Langkah selanjutnya yaitu membagi setiap suku dengan kuadrat dari parameter
Hubble masa kini, .
(49)
Definisikan parameter waktu kosmik takberdimensi:
(50)
Sehingga diperoleh:
(51)
Perlu diperhatikan bahwa setiap suku persamaan diatas merupakan kuantitas
takberdimensi.
Hasil observasi kosmologi memberikan nilai-nilai:
Dan untuk
sangat besar suku ketiga, keenam, dan ketujuh persamaan (51)
dapat diabaikan.
(52)
Persamaan (49) menjadi:
(53)
Pada masa kini
dan
, diperoleh normalisasi:
(54)
Karena
dan
memberikan nilai
numerik persamaan (52) untuk tiga jenis proporsi (
. Solusi
) ialah:
14
Gambar 1 Grafik fungsi faktor skala terhadap parameter waktu kosmik
untuk tiga jenis proporsi (
).
Garis titik-titik pada gambar 1 merupakan kondisi ketika
=0, atau
representasi dari persamaan Friedmann konvensional. Terlihat dari bentuk kurva
cekung kebawah persamaan Friedmann konvensional menghendaki ekspansi alam
semesta diperlambat. Hal ini bertentangan dengan hasil observasi supernova tipe
Ia yang mendapati ekspansi alam semesta seharusnya dipercepat8. Melaui
pendekatan teori gravitasi bermassa nonlinier (Nonlinear Massive Gravity
Theory), yakni teori dRGT, kurva ekspansi alam semesta ditunjukkan oleh garis
tebal. Pemberian massa graviton membuat kurva menjadi cekung keatas. Dengan
demikian teori dRGT dapat mendeskripsikan ekspansi dipercepat tanpa
membutuhkan energi gelap.
Selain itu diperoleh massa kritis yang ditunjukkan oleh garis putus-putus.
Kondisi ini terjadi ketika parameter kerapatan
dan
. Massa graviton berdasarkan metode Extremely Low Energy (ELE)16 ialah
. Melalui definisi (48) diperoleh nilai
yang
memberikan massa kritis graviton:
15
Massa kritis ini menjadi nilai minimum supaya ekspansi alam semesta tidak
diperlambat.
SIMPULAN DAN SARAN
Simpulan
Teori dRGT merupakan pendekatan gravitasi bermassa nonlinier yang
bebas diskontinuitas vDVZ dan medan hantu Boulware-Deser. Persamaan medan
Einstein dan persamaan Friedmann teori ini dapat kembali ke bentuk
konvensional untuk limit graviton takbermassa. Teori dRGT juga memberikan
model alam semesta yang relevan dengan fenomena ekspansi dipercepat tanpa
membutuhkan energi gelap. Selain itu dengan mengambil massa graviton
dari metode ELE, diperoleh massa kritis graviton
sebagai massa yang membatasi model alam semesta dipercepat
dan diperlambat.
Saran
Penelitian ini hanya membahas model alam semesta datar sehingga metrik
fiducial menjadi metrik Minkowski dan indeks kurvatur sama dengan nol. Untuk
penelitian selanjutnya ada baiknya meninjau untuk kasus metrik fiducial umum.
DAFTAR PUSTAKA
1. Wald RM. 1984. General Relativity, The University of Chicago Press,
Chicago. Hal. 3, 67.
2. Hartle James B. 2003. Gravity, An Introduction to Einstein General
Relativity, Addison Wesley, New York. Hal. 10, 347.
3. Song YS, Koyama K. 2009. Consistency test of general relativity from large
scale structure of the Universe. arXiv:0802.3897v3 [astro-ph]. Hal. 1.
4. Hinterbichler, Kurt. 2011. Theoretical aspects of massive gravity.
arXiv:1105.3735v2 [hep-th] 2 Oct 2011. Hal. 10-11, 13, 23-30.
5. Alberte, Lasma. 2013. Non-linear Massive Gravity. [Disertasi]. Munchen: an
der Fakultat fur Physik der Ludwig-Maximilians-Universitat. Hal. 3-4.
6. Anugraha R. 2011. Teori Relativitas dan Kosmologi. Yogyakarta (ID): UGM
Press. Hal. 61-70.
7. Hidayat, T. 2010. Teori Relativitas Einstein Sebuah Pengantar. Penerbit ITB,
Bandung. Hal. 183, 189.
8. Hobson, H.R. Efstathiou, G. Lasenby, A.N. 2006. General Relativity an
Introduction for Physicists. Cambridge University Press, Cambridge. Hal.
188, 376, 379-380, 524, 545-546.
9. Carol S. 2004. Spacetime and Geometry An Introduction to General
Relativity. Addison Wesley, San Francisco. Hal. 274-275.
10. Weinberg, S. 1972. Gravitation and Cosmology: Principles and Application
of The General Theory of Relativity. Jhon Wiley & Sons, Inc. New York,
London, Sydney, Toronto. Hal. 412, 473.
11. Hassan, S. F. 2011. On non-linear actions for massive gravity.
arXiv:1103.6055v3 [hep-th] 1 Jul 2011. Hal. 1, 3.
16
12. Marco Crisostomi. 2014. Massive Gravity. [Disertasi]. Université Paris
Diderot. Hal. 5.
13. Babichev, E. Deffayet, C. 2013. An introduction to the Vainshtein
mechanism. arXiv:1304.7240v2 [gr-qc] 6 Sep 2013. Hal. 18.
14. C. de Rham, G. Gabadadze, A. Tolley. 2011. Ghost free massive gravity in
the Stuckelberg language. arXiv:1107.3820v1 [hep-th] 19 Jul 2011. Hal. 1-2.
15. Fasiello Matteo, Andrew J. Tolley. 2012. Cosmological perturbations in
massive gravity and the Higuchi bound. arXiv:1206.3852v3 [hep-th] 5 Jul
2012. Hal. 3-4.
16. Valev, Dimitar. 2005. Neutrino and graviton rest mass estimations by a
phenomenological approach. arXiv.org:hep-ph/0507255. Hal. 7.
17
LAMPIRAN
Lampiran A Konvensi Penjumlahan Einstein
Persamaan-persamaan dalam tulisan ini menggunakan konvensi
penjumlahan Einstein. Jika di dalam sebuah bentuk terdapat sepasang indeks yang
sama dengan salah satu terletak diatas dan yang lainnya dibawah, maka
penjumlahan harus dilakukan terhadap bentuk tersebut meliputi jangkauan indeks
berulang. Contoh, untuk =0,1,2,..., N:
18
Lampiran B Satuan Alam (Natural Unit)
Secara umum penggunaan satuan alam (natural unit) dalam fisika partikel
dan kosmologi berarti:
Dimana , c, dan
adalah reduksi konstanta Planck, kecepatan cahaya, dan
konstanta Boltzmann. Semua besaran dinyatakan dalam kuantitas energi dengan
satuan eV. Contoh:
9
Satuan
Nilai
1 eV-1 panjang
1.97 x 10-7 m
1 eV massa
1.78 x 10-36 kg
1 eV-1 waktu
6.58 x 10-16 s
1 eV suhu
1.16 x 104 K
Derivasi
19
Lampiran C Persamaan Medan Einstein dari Prinsip Aksi
Bentuk paling sederhana prinsip aksi gravitasi disebut prinsip aksi
Einstein-Hilbert:
Persamaan medan Einstein diperoleh dari variasi
terhadap
Suku kedua dan ketiga perlu disesuaikan dalam bentuk variasi
-
-
-
:
.
-
-
-
-
Berdasarkan teorema divergensi
dengan syarat batas akan membuat
ialah integral terhadap permukaan tertutup
. Sisanya tinggal
dan
sehingga:
Karena secara umum
dan sembarang, maka kondisi yang harus dipenuhi
agar variasi
adalah:
Untuk persamaan medan dengan kehadiran materi akan memberikan:
Ekspresi
adalah kerapatan lagrangian Einstein-Hilbert.
Variasi S terhadap
:
20
Dari hasil sebelumnya variasi Einstein-Hilbert menghasilkan:
Kemudian definisikan tensor energi-momentum:
Sehingga diperoleh persamaan medan Einstein dengan kehadiran materi:
Dengan
diperoleh dari pendekatan Newton.
21
Lampiran D Tensor Ricci dalam Metrik Friedmann-Lemaitre-RobertsonWalker
Kuadrat jarak antara dua buah titik di dalam metrik FLRW diberikan:
Komponen tensor metrik kovarian yang bernilai tidak nol adalah:
Karena
komponen tensor metrik kontravarian yaitu:
Simbol Christoffel dapat dihitung dengan menggunakan formula:
Dalam metrik FLRW komponen-komponen simbol Crhistoffel yang tidak bernilai
nol:
o
ot
Kemudian besaran tensor Ricci dirumuskan sebagai:
Dari simbol christoffel diatas diperoleh komponen-komponen tensor Ricci:
22
Lampiran E Kode Matlab Gambar 1
Fungsi utama:
function [x,y,z,w]=FdRGTrk4(fdrgt,friedmann,friedmann1,
x0,y0,z0,w0,xt,n)
h=(xt-x0)/n;
x=zeros(n+1,1);
y=zeros(n+1,1);
z=zeros(n+1,1);
w=zeros(n+1,1);
x(1)=x0;
y(1)=y0;
z(1)=z0;
w(1)=w0;
for i=1:n
x(i+1)=x(i)+h;
ky1=h*fdrgt(x(i),y(i));
ky2=h*fdrgt(x(i)+h/2,y(i)+ky1/2);
ky3=h*fdrgt(x(i)+h/2,y(i)+ky2/2);
ky4=h*fdrgt(x(i)+h,y(i)+ky3);
y(i+1)= y(i)+(ky1+2*ky2+2*ky3+ky4)/6;
end
for i=1:n
x(i+1)=x(i)+h;
kz1=h*friedmann(x(i),z(i));
kz2=h*friedmann(x(i)+h/2,z(i)+kz1/2);
kz3=h*friedmann(x(i)+h/2,z(i)+kz2/2);
kz4=h*friedmann(x(i)+h,z(i)+kz3);
z(i+1)= z(i)+(kz1+2*kz2+2*kz3+kz4)/6;
end
for i=1:n
x(i+1)=x(i)+h;
kw1=h*friedmann1(x(i),w(i));
kw2=h*friedmann1(x(i)+h/2,w(i)+kw1/2);
kw3=h*friedmann1(x(i)+h/2,w(i)+kw2/2);
kw4=h*friedmann1(x(i)+h,w(i)+kw3);
w(i+1)= w(i)+(kw1+2*kw2+2*kw3+kw4)/6;
end
plot(x,y, '-k');
%marker: solid;
hold on;
plot(x,z, ':k');
%marker: dashed;
hold on;
plot(x,w, '--k');
%marker: dotted;
xlabel('Parameter waktu kosmik','fontname', 'times new roman',
'fontsize', 12);
ylabel('Faktor skala','fontname', 'times new roman', 'fontsize',
12);
Fungsi panggilan:
function v = fdrgt(x,y)
Omo = 0.3;
Oro = 0.00005;
Ogo = 0.7;
v= sqrt(Omo/y+Oro/(y^2)+Ogo*y^2);
23
function v = friedmann(x,z)
Omo = 1;
Oro = 0.00005;
Ogo = 0;
v= sqrt(Omo/z+Oro/(z^2)+Ogo*z^2);
function v = friedmann1(x,w)
Omo = 0.85;
Oro = 0.00005;
Ogo = 0.15;
v= sqrt(Omo/w+Oro/(w^2)+Ogo*w^2);
Command window:
[x,y,z,w]=FdRGTrk4(@fdrgt,@friedmann,@friedmann1, 0,1,1,1,1.5,100)
24
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Cirebon pada tanggal 24 Juli
1994 dari pasangan Ahmad Jahid dan Dede
Khoiriyah
sebagai
anak
pertama
dari
lima
bersaudara. Penulis menyelesaikan pendidikan
sekolah dasar pada tahun 2006 di SDN 2 Ender
Cirebon, kemudian penulis melanjutkan pendidikan
di SMPN 1 Babakan (2006-2009) dan di SMAN 1
Babakan (2009-2012). Penulis diterima sebagai mahasiswa Institut Pertanian
Bogor di Departemen Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
pada tahun 2012 melalui jalur SMPTN Undangan dan menerima beasiswa
Bidikmisi.
Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif sebagai Asisten Praktikum
mata kuliah Fisika Dasar 2 (2014), Gelombang (2015-2016), dan Pendidikan
Agama Islam (2016). Selain itu penulis aktif sebagai pengurus Dewan Musholah
Asrama TPB IPB (2012-2013), Lembaga Dakwah Kampus Al Hurriyyah (20122014), Paguyuban Bidikmisi IPB (2013), Keluarga Muslim Fisika (2014-2015),
Salam Islamic Student Center (2014), Ketua Departemen Sains dan Teknologi
Himpunan Mahasiswa Fisika IPB (2014-2015), serta Ketua Panitia Physics Expo
2015. Penulis juga merupakan pengajar fisika Tutorial Bidikmisi IPB (2013),
truktur T h
t ff p
j rB
L
b
P
Tul
Qur’
j r
Qur’
M j
Al Hurr yy h (2014-2015),
MA Kor t (2015) serta pengajar fisika dan
matematika Bimbingan Belajar Primagama cabang Dramaga dan Ciomas (20142016).