1 Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik

Darpublic
Oktober 2013
www.darpublic.com
1. Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik
Fungsi
Apabila suatu besaran y memiliki nilai yang tergantung dari nilai besaran lain x, maka
dikatakan bahwa besaran y tersebut merupakan fungsi besaran x. Contoh: panjang batang
logam merupakan fungsi temperatur.
Secara umum suatu fungsi dituliskan sebagai sebuah persamaan
y = f (x)
(1)
Perhatikan bahwa penulisan y = f (x) bukanlah berarti y sama dengan f kali x, melainkan
untuk menyatakan bahwa y merupakan fungsi dari x yang tidak lain adalah sebuah aturan
atau sebuah ketentuan berapakah y akan memiliki nilai jika kepada x kita berikan suatu nilai.
y dan x adalah peubah (variable) yang dibedakan menjadi peubah-tak-bebas (y) dan
peubah-bebas (x). Peubah-bebas x adalah simbol dari suatu besaran yang bisa memiliki nilai
sembarang dari suatu set bilangan. Sementara peubah-tak-bebas y memiliki nilai yang
tergantung dari nilai yang dimiliki x.
Dilihat dari nilai yang dimiliki oleh ruas kiri dan ruas kanan, (1) adalah sebuah
persamaan. Namun kedua ruas itu memiliki peran yang berbeda. Kita ambil contoh dalam
relasi fisis
LT = L0 (1 + λT )
dengan LT adalah panjang sebatang logam pada temperatur T, L0 adalah panjang pada
temperatur nol, T temperatur dan λ adalah koefisien muai panjang. Panjang batang
tergantung dari temperatur; makin tinggi temperatur makin panjang batang logam. Namun
sebaliknya, makin panjang batang logam tidak selalu berarti temperaturnya makin tinggi.
Jika logam tersebut mengalami beban tarikan misalnya, ia akan bertambah panjang namun
tidak bertambah temperaturnya.
Walaupun nilai x di ruas kanan (1) bisa berubah secara bebas, sementara ruas kiri
tergantung dari ruas kanan, namun nilai x tetap harus ditenttukan sebatas mana ia boleh
bervariasi.
Domain
Domain ialah rentang nilai (interval nilai) di mana peubah-bebas x bervariasi. Dalam
kebanyakan aplikasi, rentang nilai ini bisa berbentuk sebagai berikut:
a). rentang nilai berupa bilangan-nyata yang terletak antara dua nilai a dan b. Kita
tuliskan rentang nilai ini sebagai
a<x<b
1/10
Darpublic
Oktober 2013
www.darpublic.com
Ini berarti bahwa x bisa memiliki nilai lebih besar dari a namun lebih kecil dari b.
Rentang ini disebut rentang terbuka, yang dapat kita gambarkan sebagi berikut:
a
b
a dan b tidak termasuk dalam rentang tersebut.
b). rentang nilai
a≤x<b
yang kita gambarkan sebagai
a
b
Di sini a masuk dalam rentang nilai, tetapi b tidak. Ini merupakan rentang setengah
terbuka.
c). rentang nilai
a≤x≤b
Dalam rentang ini baik a maupun b masuk dalam rentang nilai. Ini adalah rentang
tertutup, dan kita gambarkan
a
b
Kurva, Kekontinyuan, Simetri
Kurva. Fungsi y = f (x) dapat divisualisasikan secara grafis. Dalam visualisasi ini kita
memerlukan koordinat. Suatu garis horisontal memanjang dari −∞ ke arah kiri sampai +∞ ke
arah kanan, ditetapkan sebagai sumbu-x atau absis. Pada garis ini ditetapkan pula titik
referensi 0 serta panjang satuan skala, sedemikian rupa sehingga kita dapat
menggambarkan nilai-nilai x pada garis ini (lihat Gb.1); peubah x memiliki nilai yang berupa
bilangan-nyata.
y 3
Q[-2,2]
2
II
P[2,1]
1
I
0
-4
-3
-2
-1
0
III -1
-2
R[-3,-3]
1
IV
2
3 x 4
S[3,-2]
-3
-4
Gb.1. Sistem koordinat x-y atau koordinat sudut-siku.
Catatan: Suatu bilangan-nyata dapat dinyatakan dengan desimal terbatas maupun
desimal tak terbatas. Contoh: 1, 2, 3, ......adalah bilangan-nyata bulat; 1,586 adalah
bilangan-nyata dengan desimal terbatas; π adalah bilangan-nyata dengan desimal tak
2/10 Sudaryatno Sudirham, Pengertian Fungsi dan Grafik
Darpublic
Oktober 2013
www.darpublic.com
terbatas, yang jika dibatasi sampai sembilan angka di belakang koma nilainya adalah
3,141592654.
Selain sumbu-x ditetapkan pula sumbu-y yang tegak lurus pada sumbu-x, memanjang
ke −∞ arah ke bawah dan +∞ arah ke atas, yang melewati titik referensi 0 di sumbu-x dan
disebut ordinat. Titik perpotongan sumbu-y dengan sumbu-x merupakan titik referensi yang
disebut titik-asal dan kita tulis berkoordinat [0,0]. Pada sumbu-y ditetapkan juga satuan
skala seperti halnya pada sumbu-x, yang memungkinkan kita untuk menggambarkan posisi
bilangan-nyata di sumbu-y. Besaran fisik yang dinyatakan dengan peubah-tak-bebas dalam
skala sumbu-y tidak harus sama dengan besaran fisik dan skala sumbu-x; misalnya sumbu-x
menunjukkan waktu dengan satuan detik/skala, sedangkan sumbu-y menunjukkan jarak
dengan satuan meter/skala.
Bidang datar di mana kita menggambarkan sumbu-x dan sumbu-y, selanjutnya kita sebut
bidang x-y, akan terbagi dalam 4 kuadran, yaitu kuadran I, II, III dan IV seperti terlihat pada
Gb.1. Setiap titik K pada bidang datar ini dapat kita nyatakan posisinya sebagai K[xk,yk],
dengan xk dan yk berturut-turut menunjukkan jumlah skala di sumbu-x dan di sumbu-y dari
titik K yang sedang kita tinjau. Pada Gb.1. misalnya, posisi empat titik yang digambarkan di
kuadran I, II, III, IV, masing-masing kita tuliskan sebagai P[2,1], Q[-2,2], R[-3,-3] dan S[3,-2].
Dengan demikian setiap pasangan bilangan-nyata akan bersesuaian dengan satu titik di
bidang x-y. Dengan cara inilah pasangan nilai yang dimiliki oleh ruas kiri dan ruas kanan
suatu fungsi y = f(x) dapat divisualisasikan pada bidang x-y. Visualisasi itu akan berbentuk
kurva fungsi y di bidang x-y, dan kurva ini memiliki persamaan y = f(x), sesuai dengan
pernyataan fungsi yang divisualisasikannya.
Contoh: sebuah fungsi
y = 0,5 x
(2)
Setiap nilai x akan menentukan satu nilai y. Jika kita muatkan dalam suatu tabel, nilai x
dan y akan terlihat seperti pada Tabel-1.
Tabel-1.1.
x
y
-1
-0,5
0
0
1
0,5
2
1
3
1,5
4
2
dst.
dst.
Fungsi y = 0,5 x yang memiliki pasangan nilai x dan y seperti tercantum dalam Tabel-1. di
atas akan memberikan kurva seperti terlihat pada Gb.2. Kurva ini berbentuk garis lurus
melalui titik-asal [0,0] dan memiliki kemiringan tertentu (yang akan kita pelajari lebih
lanjut), dan persamaan garis ini adalah y = 0,5 x .
2,5
y
2
R
1,5
∆y
Q
1
∆x
0,5
P
0
-0,5 0
1
2
3
x
4
-1
Gb.1.2. Kurva dari fungsi y = 0,5 x
3/10
Darpublic
Oktober 2013
www.darpublic.com
Dengan contoh ini, relasi (1.2) yang merupakan relasi fungsional, setelah berbentuk
kurva berubah menjadi sebuah persamaan yaitu persamaan dari kurva yang diperoleh.
Ruas kiri dan kanan persamaan ini menjadi berimbang karena melalui kurva tersebut
kita bisa mendapatkan dengan mudah nilai y jika diketahui nilai x, dan sebaliknya kita
juga dapat memperoleh nilai x jika diketahui nilai y.
Dengan contoh di atas kita mengerti bahwa fungsi y = 0,5 x membentuk kurva dengan
persamaan y = 0,5 x di bidang x-y. Dalam contoh ini titik-titik P, Q, dan R terletak pada garis
tersebut dengan koordinat P[-1,-0,5], Q[2,1], R[3,1.5]. Pengertian tentang fungsi dan
persamaan kurva ini perlu kita fahami benar karena kedua istilah ini akan muncul secara
paralel dalam pembahasan bentuk-bentuk geometris.
Kekontinyuan. Suatu fungsi yang kontinyu dalam suatu rentang nilai x tertentu, akan
membentuk kurva yang tidak terputus dalam rentang tersebut. Syarat untuk terjadinya
fungsi yang kontinyu dinyatakan sebagai berikut:
Suatu fungsi y = f(x) yang terdefinisi di sekitar x = c dikatakan kontinyu di x = c jika
dipenuhi dua syarat:
(1) fungsi tersebut memiliki nilai yang terdefinisi sebesar f(c) di x = c;
(2) nilai f(x) akan menuju f(c) jika x menuju c; pernyataan ini kita tuliskan sebagai
lim f ( x ) = f (c ) yang kita baca limit f(x) untuk x menuju c sama dengan f(c).
x →c
Contoh: Kita lihat misalnya fungsi y = 1/x. Pada x = 0 fungsi ini tidak terdefinisi karena
1/0 tidak dapat kita tentukan berapa nilainya; lim f ( x) tidak terdefinisi jika x menuju
x→c
nol. Kedua persyaratan kekontinyuan tidak dipenuhi; ia merupakan fungsi tak-kontinyu
di x = 0. Hal ini berbeda dengan fungsi yang terdefinisikan di x = 0 sebagai
y = u ( x),
y = 1 untuk x ≥ 0
y = 0 untuk x < 0
yang bernilai 0 untuk x < 0 dan bernilai 1 untuk x ≥ 0. Perhatikan Gb.3.
y
1
y = 1/x
-10
-5
0
0
5
x 10
y = 1/x
-1
Tak terdefinikan di x = 0.
y = u(x)
y
1
0
0
x
Terdefinisikan di x = 0
Gb.3. Fungsi y = 1 / x dan y =u(x)
4/10 Sudaryatno Sudirham, Pengertian Fungsi dan Grafik
Darpublic
Oktober 2013
www.darpublic.com
Simetri. Kurva suatu fungsi mungkin simetris terhadap garis atau titik tertentu
a) jika fungsi tidak berubah apabila x kita ganti dengan −x maka kurva fungsi
tersebut simetris terhadap sumbu-y;
b) jika fungsi tidak berubah apabila x dan y dipertukarkan, kurva fungsi tersebut
simetris terhadap garis-bagi kuadran I dan III.
c) jika fungsi tidak berubah apabila y diganti dengan −y, kurva fungsi tersebut
simetris terhadap sumbu-x.
d) jika fungsi tidak berubah jika x dan y diganti dengan −x dan −y, kurva fungsi
tersebut simetris terhadap titik-asal [0,0].
Contoh: Perhatikan contoh pada Gb.4. Kurva y = 0,3x2 simetris terhadap sumbu-y. Jika
kita ganti nilai x = 2 dengan x = - 2, nilai tidak berubah karena x berpangkat genap. Kurva
y = 0,05x3 simetris terhadap titik-asal [0,0]. Di sini x berpangkat ganjil sehingga fungsi
tidak akan berubah jika x diganti – x dan y diganti – y.
Kurva x 2 + y 2 = 9 simetris terhadap sumbu-x, simetris terhadap sumbu-y, simetris
terhadap garis-bagi kuadran I dan III, dan juga simetris terhadap garis-bagi kuadran II
dan IV.
6
y = 0,3x
tidak berubah bila x diganti −x
y
2
3
tidak berubah jika x dan y
diganti dengan −x dan −y
0
-6
0
-3
y = 0,05x3
-3
-6
3
x
6
y2 + x2 = 9
tidak berubah jika
x diganti −x
x dan y diganti dengan −x dan −y
x dan y dipertukarkan
y diganti dengan −y
Gb.4. Contoh-contoh kurva fungsi yang memiliki simetri.
Bentuk Implisit
Suatu fungsi kebanyakan dinyatakan dalam bentuk eksplisit dimana peubah-tak-bebas y
secara eksplisit dinyatakan dalam x, seperti y = f (x) . Namun sering kali kita jumpai pula
bentuk implisit di mana nilai y tidak diberikan secara eksplisit dalam x. Berikut ini adalah
beberapa contoh bentuk implisisit.
x2 + y2 =1
xy = 1
y2 = x
(3)
x 2 + xy + y 2 = 8
Walaupun tidak dinyatakan secara eksplisit, setiap nilai peubah-bebas x akan
memberikan satu atau lebih nilai peubah-tak-bebas y. Contoh pertama sampai ke-tiga pada
5/10
Darpublic
Oktober 2013
www.darpublic.com
(3) dengan mudah kita ubah dalam bentuk eksplisit sehingga untuk menggambarkan fungsi
tersebut kedalam sistem koordinat x-y dengan menggunakan tabel tidaklah terlalu sulit.
Contoh yang ke-empat agak sulit, namun persamaan tersebut dapat dijadikan bentuk
persamaan kuadrat.
x 2 + xy + y 2 = 8 ⇒ y 2 + xy + ( x 2 − 8) = 0
yang akar-akarnya adalah
y1 , y 2 =
− x ± x 2 − 4( x 2 − 8)
2
Nilai y1 dan y2 dapat dihitung untuk setiap x yang masih memberikan nilai nyata untuk y.
Perhatikan bahwa akar-akar persamaan ini dapat kita tuliskan sebagai
y=
x 2 − 4( x 2 − 8)
2
−x
±
2
(4)
yang merupakan bentuk pernyataan eksplisit y = f ( x ) . Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.5.
y 8
4
-4
-2
0
0
2
x
4
-4
-8
Gb.5. Kurva
y=
−x
±
2
x 2 − 4( x 2 − 8)
2
Fungsi Bernilai Tunggal dan Fungsi Bernilai Banyak
Fungsi Bernilai Tunggal. Fungsi yang hanya memiliki satu nilai peubah-tak-bebas
untuk setiap nilai peubah-bebas, disebut fungsi bernilai tunggal. Berikut ini contoh fungsi
bernilai tunggal.
1). y = 0,5 x 2 .
Pada fungsi ini setiap nilai x hanya memberikan satu nilai y. Kurva dari fungsi ini
diperlihatkan pada Gb.6. Kita tahu bahwa kurva fungsi ini simetris terhadap sumbu-y namun
dalam gambar ini terutama diperlihatkan rentang x ≥ 0.
8
y
6
4
2
-1
0
0
1
2
3
Gb.6. Kurva y = 0,5 x
x 4
2
6/10 Sudaryatno Sudirham, Pengertian Fungsi dan Grafik
Darpublic
Oktober 2013
www.darpublic.com
2). y = + x .
Pada fungsi ini, y hanya mengambil nilai positif. Oleh karena itu ia bernilai tunggal
dengan kurva seperti terlihat pada Gb.7.
1,6
y
1,2
0,8
0,4
0
0
0,5
1
1,5
x 2
Gb.7. Kurva y = + x
3). y = − x .
Peubah tak-bebas y hanya mengambil nilai negatif. Oleh karena itu ia bernilai tunggal
dengan kurva seperti terlihat pada Gb.8. Sesungguhnya kurva fungsi ini adalah
pasangan dari kurva y = + x . Hal ini terlihat pada Gb.1.11 di mana y mengambil nilai
baik positif maupun negatif.
0
0
-0,4
0,5
1
1,5
x 2
-0,8
-1,2
y
-1,6
Gb.8. Kurva y = − x
4). y = log10 x .
Sebelum melihat kurva fungsi ini ada baiknya kita mengingat kembali tentang logaritma.
log10 adalah logaritma dengan basis 10; log10a berarti berapakah 10 harus
dipangkatkan agar diperoleh a. Jadi y = log10 x berarti 10 y = x
y1 = log 10 1 = 0 ;
y 2 = log 10 1000 = 3 ;
y 3 = log 10 2 = 0,30103 ;
...dst.
Kurva fungsi y = log10 x terlihat pada Gb.9.
y
0,8
0,4
0
0
1
2
3
x 4
-0,4
-0,8
Gb.9. Kurva y = log10 x
7/10
Darpublic
Oktober 2013
www.darpublic.com
5). y = x = x 2 .
Fungsi ini berlaku untuk nilai x negatif maupun positif. Perhatikanlah bahwa
hanya sama dengan x, melainkan ± x. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.10.
x 2 tidak
y 4
3
2
1
-4
-3
-2
-1
0
0
1
2
3 x4
Gb.10. Kurva y = x = x 2
Fungsi Bernilai Banyak. Jika untuk satu nilai peubah-bebas terdapat lebih dari satu
nilai peubah-tak-bebas, fungsi tersebut disebut bernilai banyak. Berikut ini adalah contoh
fungsi bernilai banyak.
1). Fungsi y = ± x .
Perhatikan bahwa ada dua nilai y untuk setiap nilai x. Sesungguhnya x bernilai ± x dan
bukan hanya x saja. Kurva fungsi ini terlihat pada Gb.11. Jika y hanya mengambil nilai
positif atau negatif saja, fungsi akan menjadi bernilai tunggal, sebagaimana disebutkan
pada contoh 2 dan 3 pada fungsi bernilai tunggal .
y 2
1,5
1
0,5
0
-0,5 0
-1
-1,5
-2
0,5
1
1,5
2
2,5
x
3
Gb.11. Kurva y = ± x
2). Fungsi y 2 = 1 / x .
Fungsi ini bernilai banyak; ada dua nilai y untuk setiap nilai x. Kurva fungsi ini
diperlihatkan pada Gb.12.
10
y
5
0
0
1
2
x
-5
-10
Gb.12. Kurva y 2 = 1 / x
8/10 Sudaryatno Sudirham, Pengertian Fungsi dan Grafik
3
Darpublic
Oktober 2013
www.darpublic.com
Fungsi Dengan Banyak Peubah Bebas
Fungsi dengan banyak peubah bebas tidak hanya tergantung dari satu peubah bebas
saja, x, tetapi juga tergantung dari peubah bebas yang lain. Misalkan suatu fungsi dengan
dua peubah bebas x dan t dinyatakan sebagai
y = f ( x, t )
(5)
Sesungguhnya dalam peristiwa fisis banyak fungsi yang merupakan fungsi dengan
peubah-bebas banyak, misalnya persamaan gelombang berjalan. Simpangan gelombang
berjalan merupakan fungsi dari posisi (x) dan waktu (t).
Secara umum kita menuliskan fungsi dengan peubah-bebas banyak sebagai
w = f ( x, y , z , u , v )
(6)
untuk menyatakan secara eksplisit fungsi w dengan peubah bebas x, y, z,u,dan v.
Fungsi dengan peubah bebas banyak juga mungkin bernilai banyak, misalnya
ρ2 = x 2 + y 2 + z 2
(7)
Fungsi ini akan bernilai tunggal jika kita hanya meninjau nilai positif dari ρ dan kita nyatakan
fungsi yang bernilai tunggal ini sebagai
ρ = + x2 + y2 + z2
(8)
Sistem Koordinat Polar
Selain sistem koordinat sudut-siku di mana posisi titik dinyatakan dalam skala sumbu-x dan
sumbu-y, kita mengenal pula sistem koordinat polar. Dalam sistem koordinat polar ini posisi
titik dinyatakan oleh jarak titik ke titik asal [0,0] yang diberi simbol r, dan sudut yang
terbentuk antara r dengan sumbu-x yang diberi simbol θ. Kalau dalam koordinat sudut-siku
posisi titik dinyatakan sebagai P(x,y) maka dalam koordinat polar dinyatakan sebagai P(r,θ).
Hubungan antara koordinat susut siku dan koordinat polar adalah
y = r sin θ ;
x = r cos θ ;
r = x2 + y2
(9)
θ = tan −1 ( y / x )
Hubungan ini terlihat pada Gb.13.
y
rcosθ
P
r
rsinθ
θ
x
Gb.13. Hubungan koordinat sudut-siku dan koordinat polar.
9/10
Darpublic
Oktober 2013
www.darpublic.com
Fungsi Parametrik
Dalam koordinat sudut-siku fungsi y = f (x) mungkin juga dituliskan sebagai
y = y (t ) x = x(t )
(10)
jika y dan x masing-masing tergantung dari peubah lain t. Fungsi yang demikian disebut fungsi
parametrik dengan t sebagai parameter.
Pembatasan Bahasan
Dalam pembahasan tentang fungsi kita hanya akan membahas fungsi-fungsi dengan
peubah bebas tunggal sedangkan fungsi dengan banyak peubah bebas dibahas tulisan lain.
Dalam seri tulisan ini kita akan membahas terlebih dulu fungsi-fungsi bilangan nyata dan
disusul dengan fungsi bilangan kompleks.
10/10 Sudaryatno Sudirham, Pengertian Fungsi dan Grafik