III_1 Peubah dan Fungsi Kompleks

Darpublic
Nopember 2013
www.darpublic.com
Peubah dan Fungsi Kompleks
Bilangan Nyata dan Bilangan Khayal
Kita tinjau sebuah persamaan s 2 + 1 = 0 . Akar-akar persamaan ini adalah
s12 = − 1
Akar ini adalah suatu bilangan yang kita sebut bilangan khayal atau bilangan imajiner,
yang hanya dapat kita angankan. Bilangan ini berbeda dari apa yang kita sebut bilangan
nyata, seperti 1, 2, 4 dan seterusnya; akar kwadrat dari bilangan nyata positif adalah juga
merupakan bilangan nyata, misalnya 1 = ±1; 4 = ±2; 16 = ±4 . Sebutlah akar kwadrat
bilangan nyata negatif di atas sebagai j = − 1 . Dengan menggunakan pengertian j = − 1
sebagai satuan, maka kita dapat mengatakan bilangan imajiner yang lain seperti j1, j 2, j 4 ...
dan seterusnya.
Definisi Bilangan Kompleks
Suatu bilangan kompleks s merupakan kombinasi antara bilangan nyata dan bilangan
imajiner, dan didefinisikan sebagai
s = σ + jω
(1)
di mana σ dan ω keduanya adalah bilangan nyata. Dalam bahasa matematika kita katakana
bahwa σ dan ω keduanya merupakan elemen dari suatu set bilangan nyata, ℜ, dan kita
tuliskan dengan menggunakan simbol σ ∈ ℜ dan ω ∈ ℜ.
Representasi bilangan kompleks seperti (1) di atas disebut representasi sudut siku, dan
σ kita sebut sebagai bagian nyata dari s dan ditulis Re(s) = σ, ω adalah bagian imajiner dari s
dituliskan Im(s) = ω. Catatan: singkatan Re dari real (nyata) dan Im dari imaginer (khayal,
imajiner).
Operasi Aljabar Bilangan Kompleks
Penjumlahan dan Pengurangan. Penjumlahan bilangan kompleks adalah sebagai
berikut.
s1 + s 2 = (σ1 + jω1 ) + (σ 2 + jω 2 ) = (σ1 + σ 2 ) + j (ω1 + ω 2 )
s1 − s 2 = (σ1 + jω1 ) − (σ 2 + jω 2 ) = (σ 1 − σ 2 ) + j (ω1 − ω 2 )
Perkalian. Perkalian dua bilangan kompleks adalah sebagai berikut.
( s1 )( s 2 ) = (σ1 + jω1 )(σ 2 + jω 2 ) = (σ1σ 2 − ω1ω 2 ) + j (ω1σ 2 + σ 1ω 2 )
Jika s1 = s 2 = j1 maka ( s1 )( s 2 ) = j1 × j1 = j 2 = −1
Pembagian. Pembagian satu bilangan kompleks oleh bilangan kompleks yang lain
adalah sebagai berikut.
1/6
Darpublic
Nopember 2013
www.darpublic.com
s1 σ1 + jω1 σ 2 − jω 2 (σ1σ 2 + ω1ω 2 ) + j (ω1σ 2 − σ1ω 2 )
=
×
=
s 2 σ 2 + jω 2 σ 2 − jω 2
σ 22 + ω 22
CONTOH-1. : Jika s1 = 2 + j3 dan s 2 = 3 + j 4 maka
s1 + s 2 = (2 + j 3) + (3 + j 4) = 5 + j 7
s1 − s 2 = (2 + j 3) − (3 + j 4) = −1 − j1
( s1 )( s 2 ) = (2 + j 3)(3 + j 4) = (6 − 12) + j (8 + 9) = −6 + j17
s1 2 + j 3 3 − j 4 (6 + 12) + j (−8 + 9) 18
1
=
×
=
=
+ j
2
2
s2 3 + j4 3 − j4
25
25
3 +4
Representasi Grafis Bilangan Kompleks
Suatu bilangan kompleks dapat kita pandang sebagai pasangan berurut dari dua
bilangan riil.
s = σ + jω (penulisan bentuk sudut siku)
(σ,ω) (pasangan berurut dari dua bilangan riil)
(2)
Dengan pandangan ini kita dapat menggambarkannya dalam sistem koordinat
Cartesian seperti pada Gb.1.a. Bidang dengan sumbu koordinat Re (sumbu riil) dan Im
(sumbu imajiner) ini disebut bidang kompleks atau bidang s. Suatu kumpulan bilangan
kompleks akan terletak di bidang kompleks ini.
Pasangan berurut (σ,ω) dapat pula diasosiasikan dengan sebuah vektor seperti terlihat
pada Gb.1.b.; dengan kata lain vektor tersebut merepresentasikan bilangan kompleks. Jadi
suatu bilangan kompleks
s = σ + jω dapat kita nyatakan sebagai s = ρ cos θ + jρ sin θ
dengan ρ adalah panjang vector dan θ adalah sudut antara vector dengan sumbu
nyata.
*
(σ,ω)
jω
Re
a) Pasangan berurut bilangan
(σ,ω) dalam koordinat Cartesian
ρ
θ
σ
Re
b). Representasi bilangan
kompleks secara vektor
Gb.1. Representasi grafis bilangan kompleks.
Representasi Bilangan Kompleks Bentuk Sudut Siku dan Bentuk Polar
Pernyataan Bilangan Kompleks. Ada dua cara untuk pernyataan vektor dari suatu
bilangan kompleks yaitu bentuk sudut siku dan bentuk polar. Bentuk sudut siku adalah
seperti yang kita pakai untuk menyatakan definisi bilangan kompleks, yaitu s = σ + jω .
Bentuk polar diturunkan dari bentuk sudut siku melalui relasi geometri sederhana
2/6 Sudaryatno Sudirham, Peubah dan Fungsi Kompleks
Darpublic
Nopember 2013
σ = ρ cos θ
ω = ρ sin θ
dan
ρ = σ 2 + ω2
www.darpublic.com
dan
 ω
θ = tan −1  
σ
(3)
yang digambarkan pada Gb.1.b. Dengan menggunakan persamaan atau identitas Euler,
yaitu
e jθ = cos θ + j sin θ
(4)
representasi polar dari bilangan kompleks menjadi
s = ρe jθ
(5)
Nilai absolut (magnitude) s adalah ρ, ditulis | s | = ρ = σ 2 + ω 2 . Sudut θ disebut sudut fasa,
dituliskan ∠s = θ.
CONTOH-2 : Misalkan suatu bilangan kompleks s = 10 e j0,5.
Nilai bilangan kompleks ini adalah |s| = 10 dan sudut fasanya ∠s = 0,5 rad.
Bentuk sudut sikunya adalah: s = 10 (cos 0,5 + j sin 0,5) = 10 (0,88 + j 0,48) = 8,8 + j 4,8
CONTOH-3 : Misalkan suatu bilangan kompleks s = 3+ j4.
Nilai absolut s adalah | s | = ρ = 3 2 + 4 2 = 5
4
3
Sudut fasanya adalah ∠s = θ = tan −1 = 0,93 rad .
Representasi polar adalah: s = 5e j0,93
CONTOH-4 : Misalkan suatu bilangan kompleks s = −1.
Representasi polar adalah : s = −1 = e jπ = e −jπ
Pemahaman : tan −1 
0 
 tidak bernilai tunggal. Kita harus berhati-hati menentukan
 −1
sudut fasanya. Di sini kita harus memilih π rad.
CONTOH-5 : Representasi polar dari bilangan kompleks mempermudah operasi
perkalian dan pembagian.
( s1 )( s 2 ) = ρ1e jθ1 ρ 2 e jθ 2 = ρ1ρ 2 e j ( θ1 + θ 2 )
s1 ρ1e jθ1
ρ
=
= 1 e j (θ1 −θ2 )
j
θ
s2 ρ 2e 2 ρ 2
Konjugat Kompleks. Konjugat dari suatu bilangan kompleks diperoleh dengan
mengganti j dengan −j . Jika s = σ + jω maka konjugatnya adalah s = σ − jω . Perhatikan Gb.2.
Im
s = σ + jω
Re
s*= σ − jω
3/6
Darpublic
Nopember 2013
www.darpublic.com
Gb.2. Konjugat bilangan kompleks.
Relasi-relasi antara suatu bilangan kompleks dengan konjugatnya adalah sebagai berikut:
( s )( s*) =| s | 2 atau |s| = s s * ;
[s1 + s 2 ]* = s1* + s 2* ;
*
[s1 s 2 ]* = (s1* )(s 2* );
 s1 
s1*
=
 
s1*
 s2 
Fungsi Kompleks
Fungsi kompleks F(s) memetakan suatu set bilangan kompleks ke dalam satu set
bilangan kompleks. Satu set bilangan kompleks yang dipetakan itu merupakan peubah
bebas sedangkan hasil pemetaan yaitu F(s) adalah peubah tak bebas (lihat pembahasan
tentang fungsi). Untuk memperjelas pernyataan ini kita akan lihat suatu contoh.
CONTOH-6: Tinjaulah suatu kumpulan bilangan kompleks
s1 = ρe j ( π / 5)
Jika |ρ| bervariasi secara kontinyu, sementara θ = π / 5 adalah konstan, maka
kumpulan bilangan kompleks ini jika digambatkan di bidang komples akan terlihat
sebagai garis lurus yang membentuk sudut θ = π / 5 dengan sumbu nyata seperti
terlihat pada Gb.3.a.
Misalkan suatu bilangan kompleks s 2 = 2e j ( π / 5) , dan tinjau suatu fungsi kompleks
F ( s ) = s1 × s 2 .
F ( s ) = s1 × s 2 = ρe j ( π / 5) × 2e j ( π / 5) = αe j ( 2 π / 5) dengan α = 2ρ
Karena |ρ| bervariasi secara kontinu maka |α| juga akan bervariasi secara
kontinyu. Jika fungsi kompleks F (s) digambarkan di bidang kompleks, maka F (s)
akan terlihat sebagai kumpulan bilangan kompleks yang lain, yang merupakan peta
dari kumpulan s1, seperti terlihat pada Gb.3.b.
Im
Im
Re
a)
Re
b)
Gb.3. Kumpulan bilangan kompleks s1 dan F(s).
Pole dan Zero
Fungsi kompleks pada contoh-6 di atas mudah untuk digambarkan karena sudut fasa
fungsi, θ, bernilai konstan. Pada umumnya fungsi kompleks tidaklah demikian; sudut θ
maupun ρ bervariasi, sehingga kumpulan fungsi kompleks akan mengisi seluruh domain di
bidang kompleks. Dalam praktik tidak pula kita memerlukan gambaran fungsi di seluruh
4/6 Sudaryatno Sudirham, Peubah dan Fungsi Kompleks
Darpublic
Nopember 2013
www.darpublic.com
domain, melainkan pada titik-titik tertentu yang memberikan nilai kritis pada fungsi
kompleks. Nilai-nilai kritis tersebut adalah pole dan zero.
Pole. Suatu fungsi kompleks F(s) dikatakan mempunyai pole di s = p1 jika
lim F ( s ) = ∞
(6)
s → p1
Jadi pole merupakan peubah bebas kompleks yang apabila mendekatinya maka nilai
fungsi akan mendekati tak hingga. Itulah sebabnya pole disebut nilai kritis.
Zero. Suatu fungsi kompleks F(s) dikatakan mempunyai zero di s = z1 jika
lim F ( s ) = 0
(7)
s → z1
Jadi zero merupakan peubah bebas kompleks yang apabila mendekatinya maka nilai
fungsi akan mendekati nol. Itulah sebabnya zero juga disebut nilai kritis.
CONTOH-7 : Tinjau suatu fungsi kompleks F ( s ) =
s−b
, a ≠ b . Tentukan pole dan zero
s−a
fungsi ini.
Fungsi ini mempunyai pole di s = a karena pada nilai s = a fungsi akan
bernilai tak menentu.
Fungsi ini mempunyai zero di s = b karena pada nilai s = a fungsi akan bernilai
nol.
Fungsi Rasional Kompleks
Fungsi rasional kompleks adalah fungsi kompleks yang merupakan rasio dua polinom
kompleks dengan koefisien nyata.
F (s) =
bm s m + bm−1 s m−1 + L + b0
a n s + a n−1 s
n
n −1
+ L + a0
=
B( s)
A( s )
(8)
Koefisien bm , bm−1 , L, b adalah bilangan-bilangan nyata; demikian pula a n , a n−1 , L, a juga
bilangan nyata. Didefinisikan bahwa orde dari fungsi ini adalah n. Fungsi rasional kompleks
F(s) dikatakan proper jika m ≤ n ; dikatakan not proper jika m > n. Fungsi rasional yang not
proper, dengan m > n, sering juga disebut fungsi non-kausal.
Dengan mengeluarkan factor
bm
kita dapat menuliskan fungsi rasional (8) menjadi
an
F (s) =
bm
an
bm−1 m−1
b
s
+L+ 0
bm
bm
a
a
s n + n −1 s n −1 + L + 0
an
an
sm +
b
b
s + m−1 s m−1 + L + 0
bm
bm
=K
a
a
s n + n−1 s n−1 + L + 0
an
an
(8.a)
m
5/6
Darpublic
Nopember 2013
www.darpublic.com
Jika F(s) adalah fungsi rasional dengan koefisien nyata, kita dapat menyatakan
pembilang dan penyebut dalam faktor-faktor linier.
F (s) =
K ( s − z1 )( s − z 2 ) L ( s − z m )
( s − p1 )(s − p 2 ) L ( s − p n )
(9)
Jika koefisien F(s) nyata maka akar-akar kompleks dari pembilang dan penyebut akan
berupa pasangan konjugat. (Kita ingat bahwa perkalian dua bilangan kompleks konjugat
akan berupa bilangan nyata). Pernyataan fungsi rasional dalam bentuk seperti (9) ini
memperlihatkan dengan jelas pole dan zero-nya. Pada umumnya kita menghadapi fungsi
yang proper, sehingga jumlah zero lebih kecil dari jumlah pole. Dalam keadaan demikian
sering dinganggap bahwa fungsi demikian mempunyai (n −m) zero di tak hingga.
CONTOH-8 : Misalkan kita mempunyai fungsi rasional F ( s ) =
Fungsi ini dapat ditulis sebagai F1 ( s ) =
( s + 1)( s + 2)
.
( s + 2)(s + 4)
( s + 1)(s + 2) ( s + 1)
=
.
( s + 2)( s + 4) ( s + 4)
F1(s) merupakan bentuk tereduksi dari F(s). Pembilang dan penyebut dari fungsi F(s)
mempunyai faktor yang sama yaitu (s + 2) dan faktor yang sama ini dapat dieliminir.
Pembilang dan penyebut dari fungsi tereduksi F1(s) mempunyai pula faktor sama, yaitu
1. Jadi faktor yang sama antara polinom B(s) dan A(s) pada F1(s) adalah 1; dua polinom
yang demikian ini disebut coprime. Dalam menangani fungsi rasional kita bekerja pada
bentuk yang tereduksi; kita menganggap bahwa pembilang dan penyebut adalah
coprime.
Diagram Pole-Zero. Fungsi rasional dapat direpresentasikan secara grafis dengan
hanya menggambarkan posisi-posisi nilai kritis pole dan zero dalam bidang kompleks. Pole
diberi tanda “×” sedangkan zero diberi tanda “o”. Hasilnya kita sebut diagram pole-zero. Kita
lihat contoh berikut.
CONTOH-9 : Tinjau fungsi F ( s ) =
5( s − 1)
.
( s + 1)(s + 2 + j1)(s + 2 − j1)
Im
×
−2
×
1
×
−1
Re
−1
2
Zero ada di s = 1 ;
Pole ada di s = −1, (−2−j1), (−2+j1).
Perhatikan bahwa koefisien K tidak mempengaruhi posisi pole dan zero.
6/6 Sudaryatno Sudirham, Peubah dan Fungsi Kompleks