DSK4

Dasar Sistem Kendali
BAB 4
ANALISA DOMAIN WAKTU
4.1 Test Input Signal
Spesifikasi dalam domain waktu merupakan indek yang penting dalam sistem kendali,
karena waktu umumnya digunakan sebagai variabel tak bebas dalam sistem kendali.
Hal penting yang harus ditentukan di awal adalah apakah sistem stabil (akan dibahas
pada bab berikutnya). Jika sistem stabil, respon dari suatu sinyal input dapat
digunakan untuk mengukur performansi suatu sistem. Tetapi, karena sinyal input
aktual dari suatu sistem biasanya tidak diketahui, maka biasanya digunakan sinyal
input tes. Pendekatan ini sangat bermanfaat karena terdapat hubungan antara respon
sistem dengan sinyal tes standar dan kemampuan sistem untuk beroperasi pada
kondisi normal. Selain itu, dengan menggunakan input standar memungkinkan
perancang untuk membandingkan beberapa rancangan.
Sinyal input tes standar yang umum digunakan adalah step input, ramp input, dan
parabolic input seperti diperlihatkan pada gambar 4-1. Tabel 4-1 memperlihatkan
persamaan yang menyatakan sinyal test tersebut.
Figure 4-1. Test input signals : (a) Step; (b) Ramp; (c) Parabolic.
Prepared by Dr. Aryuanto
ITN Malang, 2009
1
Dasar Sistem Kendali
Tabel 4-1 Sinyal input tes
Test signal
r(t)
R(s)
Step
r(t)=A, t>0
R(s)=A/s
r(t)=0, t<0
Ramp
R(s)=A/s2
r(t)=At, t>0
r(t)=0, t<0
Parabolic
r(t)=At2, t>0
R(s)= 2A/s2
r(t)=0, t<0
4.2 Pole, Zero, and Respon sistem
Respon output suatu sistem merupakan jumlah dari respon: forced response (respon
paksaan) dan natural response (respon alami). Beberapa teknik seperti penyelesaian
persamaan diferensial atau menggunakan inverse transformasi Laplace dapat
digunakan untuk menghitung respon output tersebut.
Tetapi metoda diatas
memerlukan waktu yang lama. Dalam praktek, seringkali diperlukan teknik secara
cepat untuk menganalisa hasil yang diinginkan dengan melakukan inspeksi. Teknik
ini menyatakan atribut secara kualitatif menggunakan pole dan zero dan hubungannya
dengan respon waktu.
Pole dan Zero Sistem Orde-1
Diberikan fungsi transfer G(s) seperti pada gambar 4-2(a), terdapat sebuah pole pada
s=-5, dan zero pada s=-2. Nilai-nilai ini diplot pada bidang-s pada gambar 4-2(b),
dengan tanda (X) untuk pole dan (O) untuk zero. Untuk menunjukkan sifat-sifat pole
dan zero, kita cari respon unit step dari sistem sbb:
Dengan mengalikan fungsi transfer pada gambar 4-2(a) dengan fungsi step, akan
menghasilkan
C ( s) 
s2
.
s( s  5)
(1)
Selanjutnya dengan ekspansi fractial fraction akan diperoleh :
Prepared by Dr. Aryuanto
ITN Malang, 2009
2
Dasar Sistem Kendali
C ( s) 
s2
2 / 5 3/ 5


s ( s  5)
s
s5
(2)
Sehingga
c (t ) 
2 3  5t
 e
5 5
(3)
Figure 4-2. (a) System showing input and output;(b). pole-zero plot of the system; (c).
evolution of a system response.Follow blue arrows to see the evolution of the
response component generated by the pole or zero.
Dari gambar yang diperlihatkan pada gambar 4-2(c), kita dapat membuat kesimpulan
sebagai berikut:
1. Pole dari fungsi input menghasilkan bentuk dari respon paksaan (dalam hal
ini, pole di titik origin menghasilkan fungsi step pada output)
2. Pole dari fungsi transfer menghasilkan bentuk dari respon alami (dalam hal
ini, pole pada -5 menghasilkan e-5t).
Prepared by Dr. Aryuanto
ITN Malang, 2009
3
Dasar Sistem Kendali
3. Pole pada sumbu riil menghasilkan respon eksponensial dalam bentuk e t ,
dimana   adalah lokasi pole pada sumbu riil. Sehingga, semakin ke kiri
lokasi pole pada sumbu riil negatif, semakin cepat respon transien akan
meluruh menuju nol.
4. Zero dan pole menghasilkan amplitudo kedua respon paksaan dan alami.
CONTOH 4-1
Diberikan sistem seperti gambar di bawah ini. Tuliskan ouput c(t) dalam bentuk
umum, tentukan bagian respon paksaan dan natural dari solusinya.
R(s)=1/s
s 3
( s  2)( s  4)( s  5)
C(s)
Jawab:
Dengan inspeksi, setiap pole menghasilkan eksponensial sebagai bagian dari respon
alami. Pole fungsi input menghasilan respon paksaan Sehingga
C ( s) 
K1
K
K
K
 2  3  4
s
s2 s4 s5
Respon paksaan
(4)
Respon alami
4.3 Sistem Orde-1
Gambar 4-3 memperlihatkan suaru sistem orde-1 tanpa zero. Jika input adalah unit
step, R(s)=1/s, maka transformasi Laplace dari respon step C(s) adalah
C ( s )  R( s )G ( s ) 
a
s( s  a )
(5)
Dengan inverse transformasi Laplace, respon step diberikan oleh
c(t )  c f (t )  c n (t )  1  e  at
Prepared by Dr. Aryuanto
ITN Malang, 2009
4
(6)
Dasar Sistem Kendali
dimana pole input pada origin menghasilkan respon paksaan c f (t )  1 , dan pole
sistem pada –a, seperti diperlihatkan pada gambar 4-3(b), menghasilkan respon alami
c n (t )  e  at . Plot dari persamaan (6) diperlihatkan pada gambar 4-4.
Figure 4-3. (a). First-order system; (b). pole plot
Figure 4-4. First-order system response to a unit step.
Sekarang kita lihat pentingnya parameter a. Jika t=1/a, maka
e  at
t 1 / a
 e 1  0,37
(7)
atau
c(t ) t 1 / a  1  e  at
Prepared by Dr. Aryuanto
ITN Malang, 2009
5
t 1 / a
 1  0.37  0,63
(8)
Dasar Sistem Kendali
Selanjutnya persamaan (6)-(8) digunakan untuk mendefinisikan performansi dari
respon transient berikut ini:
Time Constant (Konstanta Waktu)
Kita menyebut 1/a sebagai konstanta waktu dari respon sistem. Dari pers. (7),
konstanta waktu dapat dinyatakan sebagai waktu untuk e  at untuk meluruh ke 37%
dari nilai awalnya. Sedangkan dari pers. (8), konstanta waktu adalah waktu yang
diperlukan oleh respon step untuk naik ke 63% dari nilai akhirnya. (Lihat gambar 44).
Karena turunan dari e  at adalah –a pada t=0, maka a adalah kecepatan perubahan dari
eksponensial pada t=0. Sehingga konstanta waktu dapat dinyatakan sebagai
spesifikasi respon transien untuk suatu sistem orde-1 yang menyatakan kecepatan dari
sistem memberikan respon terhadap suatu input step.
Konstanta waktu dapat juga diperoleh dari plot pole (gambar 4-3(b)). Karena pole dari
fungsi transfer adalah –a, maka dapat dikatakan bahwa lokasi pole adalah kebalikan
dari konstanta waktu, dan semakin jauh pole dari sumbu imaginer, semakin cepat
respon transiennya.
Rise Time, Tr
Rise time didefiniskan sebagai waktu yang diperlukan oleh suatu gelombang dari 0,1
sampai 0,9 dari nilai akhir. Rise time dapat diperoleh dengan menyelesaikan
persamaan (6) untuk c(t)=0,9 dan c(t)=0,1. Sehingga
Tr 
2,31 0,11 2,2


a
a
a
(9)
Settling Time, Ts
Settling time didefinisikan sebagai waktu yang diperlukan suatu respon untuk
mencapai dan berada pada 2% nilai akhirnya (ini merupakan definisi 2% settling time,
terdapat juga definisi 5% settling time). Dengan c(t)=0,98 pada pers. (6) dan
menyelesaikan waktu t, maka settling time dapat diperoleh:
Prepared by Dr. Aryuanto
ITN Malang, 2009
6
Dasar Sistem Kendali
Ts 
4
a
(10)
Fungsi transfer orde-1 melalui percobaan
Seringkali tidak memungkinkan atau tidak praktis untuk memperoleh fungsi transfer
suatu sistem secara analitik, seperti karena sistemnya tertutup atau komponenkomponennya sulit diidentifikasi. Karena fungsi transfer merepresentasikan hubungan
input dan output suatu sistem, maka respon step suatu sistem dapat digunakan sebagai
representasi, walaupun konstruksi dalamnya tidak diketahui. Dengan input step, kita
dapat mengukur konstanta waktu dan nilai steady-state, dimana fungsi transfer dapat
dihitung.
Perhatikan sistem orde-1, G(s)=K/(s+a), yang memiliki respon step
C ( s) 
K
K /a K /a


s( s  a)
s
sa
(11)
Jika kita dapat mengidentifikasi K dan a dari percobaan di laboratorium, maka kita
akan memperoleh fungsi transfer sistem tersebut.
Sebagai contoh, kita asumsikan respon unit step diberikan pada gambar 4-5. Kita
dapat melihat bahwa sistem tersebut orde-1, seperti tidak ada overshoot dan
mempunyai nonzero initial slope. Dari respon pada gambar, kita ukur konstanta
waktu, yaitu waktu yang diperlukan mencapai 63% nilai akhir. Karena nilai akhir
adalah sekitar 0,72, maka konstanta waktu didapat pada saat kurva mencapai
0,63*0,72=0,45, atau sekitar 0,13 detik. Disini a=1/0,13=7,7.
Untuk mencari K, kita dapat dari pers. (11) yang memberikan respon paksaan
mencapai nilai steady-state K/a=0,72, sehingga diperoleh K=5,54. Maka fungsi
transfer sistem adalah G(s)=5,54/(s+7,7).
Prepared by Dr. Aryuanto
ITN Malang, 2009
7
Dasar Sistem Kendali
Figure 4-5. Laboratory results of a system step response test.
4.4 Sistem Orde-2
Gambar 4-6 akan digunakan sebagai acuan untuk membahas berbagai respon waktu
sistem orde-2.
Overdamped (Gambar 4-6(b))
Untuk respon ini
C ( s) 
9
9

s ( s  9 s  9) s (s  7.854)( s  1.146)
2
(12)
Fungsi ini mempunyai sebuah pole pada origin yang berasal dari input unit step dan
dua pole riil yang berasal dari sistem. Pole input pada origin menghasilkan respon
paksaan konstan; setiap pole dari kedua pole sistem pada sumbu riil menghasilkan
respon alami eksponensial dengan frekuensi eksponensial yang sama dengan lokasi
pole. Disini, output dapat ditulis sebagai c(t )  K 1  K 2 e 7 ,854t  K 3 e 1,146t . Respon ini
diperlihatkan pada gambar 4-6(b) dan disebut Overdamped.
Prepared by Dr. Aryuanto
ITN Malang, 2009
8
Dasar Sistem Kendali
Figure 4.6 Second-order systems, pole plots,and step responses.
Prepared by Dr. Aryuanto
ITN Malang, 2009
9
Dasar Sistem Kendali
Underdamped (Gambar 4-6(c))
Untuk respon ini,
C ( s) 
9
s ( s  2 s  9)
2
(13)
Fungsi ini mempunyai sebuah pole di origin yang berasal dari input unit step dan dua
buah pole komplek yang berasal dari sistem. Dari gambar 4-6(c), pole yang
menghasilkan respon alami adalah pada s  1  j 8 . Dengan membandingkan nilainilai ini dengan c(t) pada gambar yang sama, kita melihat bahwa bagian riil dari pole
sesuai dengan frekuensi dari eksponensial yang merupakan aplitudo dari sinusoida,
sedangkan bagian imajiner sesuai dengan frekuensi dari osilasi sinusoida.
Gambar 4-7 memperlihatkan respon sinusoida teredam dari sistem orde-2. Respon
transien terdiri dari amplitudo yang meluruh secara eksponensial yang dihasilkan oleh
bagian riil dari pole sistem. Konstanta waktu peluruhan eksponensial sama dengan
kebalikan dari bagian riil pole sistem. Nilai dari bagian imajiner adalah frekuensi dari
sinusoida seperti terlihat pada gambar 4-7. Frekuensi sinusoida disebut sebagai
frekuensi teredam dari osilasi (damped frequency of osscilation),  d . Tipe respon
sistem pada gambar 4-7 disebut sebagai underdamped, yaitu respon yang menuju
kondisi steady-state melalui respon transien yang merupakan osilasi teredam.
Figure 4-7. Second-order step response components generated by complex poles.
Prepared by Dr. Aryuanto
ITN Malang, 2009
10
Dasar Sistem Kendali
Undamped (Gambar 4-6(d))
Untuk respon ini,
C ( s) 
9
s ( s  9)
(14)
2
Fungsi ini mempunyai sebuah pole pada origin yang berasal dari input step dan dua
pole imaginer yang berasal dari sistem. Pole input menghasilkan respon paksaan, dan
dua pole sistem pada sumbu imajiner di  j 3 menghasilkan respon alami sinusoida
dengan frekuensi sama dengan lokasi pole pada sumbu imajiner. Disini output dapat
dinyatakan sebagai : c(t )  K 1  K 4 cos(3t   ) . Tipe dari respon ini, seperti
diperlihatkan pada gambar 4-6(d) disebut sebagai undamped.
Critically Damped (Gambar 4-6(e))
Untuk respon ini,
C ( s) 
9
9

s ( s  6s  9) s ( s  3) 2
(15)
2
Fungsi ini mempunyai sebuah pole pada origin yang berasal dari input step dan dua
buah pole riil yang sama. Pole input menghasilkan respon paksaan, dan dua pole pada
sumbu riil di -3 menghasilkan respon alami yang terdiri sebuah eksponensial dan
sebuah eksponensial dikalikan dengan waktu, dimana frekuensi ekseponensial sama
dengan
lokasi
pole
riil.
Disini,
output
dapat
dinayatakan
sebagai
c(t )  K 1  K 2 e 3t  K 3te 3t . Tipe dari respon ini, seperti diperlihatkan pada gambar
4-6(e) disebut critically damped. Critically damped merupakan respon tercepat yang
mungkin tanpa overshoot yang menjadi ciri dari respon underdamped.
Gambar 4-8 memperlihatkan respon step dari berbagai tipe redaman yang dibahas
diatas.
Prepared by Dr. Aryuanto
ITN Malang, 2009
11
Dasar Sistem Kendali
Figure 4-8. Step responses for second-order system damping cases.
4.5 Sistem Orde-2 Secara Umum
Pada bagian ini kita definisikan dua spesifikasi dari sistem orde dua, natural
frequency dan damping ratio. Kedua besaran ini dapat digunakan untuk menyatakan
karakteristik respon waktu sistem orde-2, seperti halnya konstanta waktu untuk
menyatakan respon sistem orde-1.
Natural frequency,  n
Natural frequency dari sistem orde-2 adalah frekuensi osilasi dari sistem tanpa
redaman.
Damping ratio, 
Damping ratio didefiniskan sebagai
 
Prepared by Dr. Aryuanto
ITN Malang, 2009
frekuensi eksponensial
frekuensi alami
12
(16)
Dasar Sistem Kendali
Sistem orde-2 yang diperlihatkan pada gambar 4-6 dapat dinyatakan dalam besaran
 dan  n sebagai berikut:
Perhartikan sistem yang dinyatakan
G (s) 
b
s  as  b
2
(17)
Tanpa redaman, maka pole akan berada pada sumbu j , dan respon yang dihasilkan
adalah undamped. Untuk pole yang berada di sumbu imajiner, maka a=0. Sehingga
G (s) 
b
s b
(18)
2
Secara definisi, frekuensi alami,  n , adalah frekuensi osilasi dari sistem ini. Karena
pole dari sistem ini terletak pada sumbu j di  j b , maka
n  b
(19)
atau
b  n
2
(20)
Selanjutnya kita cari a dalam pers. (17). Asumsikan sebuah sistem underdamped, pole
komplek mempunyai bagian riil,  , yang sama dengan –a/2. Magnitudo dari nilai ini
adalah frekuensi eksponensial (lihat bagian 4.4). Sehingga
 
frekuensi eksponensial 
a/2


frekuensi natural
n
n
(21)
atau
a  2 n
(22)
Sehingga fungsi transfer orde-2 secara umum dinyatakan :
G (s) 
n 2
2
s 2  2 n s   n
CONTOH 4-2
Carilah  dan  n dari fungsi transfer G ( s ) 
Prepared by Dr. Aryuanto
ITN Malang, 2009
13
36
s  4.2 s  36
2
(23)
Dasar Sistem Kendali
Jawab:
Dengan membandingkan fungsi transfer di atas dengan bentuk umum pada pers. (23),
diperoleh:
2
 n  36     n  6
2 n  4,2      0,35
Gambar 4-9 memperlihatkan berbagai respon sistem orde-2 sebagai fungsi dari  .
Figure 4-9. Second-order response as a function of damping ratio
Prepared by Dr. Aryuanto
ITN Malang, 2009
14
Dasar Sistem Kendali
4.6 Sistem Orde-2 : Underdamped
Beberapa spesifikasi respon underdamped didefiniskan sebagai berikut (lihat gambar
4-10):
Figure 4-10. Second-order underdamped response specifications
1. Rise time, Tr. Waktu yang diperlukan untuk bergerak dari 0,1 sampai 0,9 dari
nilai akhir.
Tr 
0.60  2.16
n
0 1
(24)
2. Peak time, Tp. Waktu yang diperlukan untuk mencapai puncak maksimum
yang pertama.
Tp 

n 1  
(25)
2
3. Percent Overshoot, %OS. Nilai maksimum overshoot dinyatakan dalam
persen dari nilai steady-state.
Prepared by Dr. Aryuanto
ITN Malang, 2009
15
Dasar Sistem Kendali
%OS 
cmax c final
e
c final
 100
(26)
   / 1 2 


 100
4. Settling time, Ts. Waktu yang diperlukan untuk mencapai dan tinggal dalam
 2% dari nilai steady-state.
Ts 
4
 n
(27)
Figure 4-11. Pole plot for an underdamped second-order system
Gambar 4-11 memperlihatkan plot dari pole sistem orde-2 underdamped, yang
merupakan gambaran lebih detil dari gambar 4-9. Dengan menggunakan teorema
Pythagoras, kita peroleh bahwa jarak radial dari origin ke pole adalah frekuensi alami
 n , dan cos( )   . Sekarang, Peak time dan settling time dapat dinyatakan dengan
lokasi pole, yaitu
Tp 
Ts 
Prepared by Dr. Aryuanto
ITN Malang, 2009

n 1   2


d
(28)
4
4

 n  d
(29)
16
Dasar Sistem Kendali
dimana  d adalah bagian imaginer dari pole dan disebut sebagai damped frequency of
osscilation (frekuensi osilasi yang teredam), dan  d adalah magnitudo bagian riil dari
pole yang disebut sebagai exponential damping frequency (frekuensi redaman
eksponensial).
Pers. (28) menunjukkan bahwa Tp berbanding terbalik dengan bagian imajiner dari
pole. Karena garis-garis horisontal pada bidang-s adalah garis-garis dengan nilai
imaginer yang konstan, makan garis-garis tersebut juga merupakan garis-garis dari
peak time yang konstan. Pers. (29) menunjukkan bahwa settling time berbanding
terbalik dengan bagian bagian riil dari pole. Karena garis-garis vertikal pada bidang-s
adalah garis-garis dengan nilai riil yang konstan, maka garis-garis ini adalah garisgaris dari settling time yang konstan. Karena cos( )   , maka garis-garis radial
adalah garis-garis dari  yang konstan. Dan karena %OS hanya merupakan fungsi
dari  , maka garis-garis radial juga merupakan garis-garis dari %OS yang konstan.
Ketiga konsep ini diperlihatkan pada gambar 4-12.
Figure 4-12. Lines of constant peak time,T
overshoot, %OS Note: Ts2 < Ts1
Prepared by Dr. Aryuanto
ITN Malang, 2009
17
, settling time,T , and percent
p
s
; Tp2 < Tp1 ; %OS < %OS
1
2
Dasar Sistem Kendali
Gambar 4-13 memperlihatkan respon step untuk sistem orde-2 underdamped jika
pole-pole bergerak dala arah vertikal, horisontal dan radial.
Figure 4-13. Step responses of second-order underdamped systems as poles move:(a).
with constant real part; (b). with constant imaginary part;(c). with constant damping
ratio
Referensi :
1. Richard C. Dorf, Robert H. Bishop, 2008, Modern Control System 11th edition,
Pearson Prentice Hall.
2. Katsuhiko Ogata, 2002, Modern Control Engineering 4th edition, Prentice
Hall.
3. N. S. Nise, 2004, Control Systems Engineering, John Wiley & Sons.
4. B. C. Kuo,2003, Automatic Control Systems, John Wiley & Sons.
Prepared by Dr. Aryuanto
ITN Malang, 2009
18