Dasar Sistem Kendali BAB 4 ANALISA DOMAIN WAKTU 4.1 Test Input Signal Spesifikasi dalam domain waktu merupakan indek yang penting dalam sistem kendali, karena waktu umumnya digunakan sebagai variabel tak bebas dalam sistem kendali. Hal penting yang harus ditentukan di awal adalah apakah sistem stabil (akan dibahas pada bab berikutnya). Jika sistem stabil, respon dari suatu sinyal input dapat digunakan untuk mengukur performansi suatu sistem. Tetapi, karena sinyal input aktual dari suatu sistem biasanya tidak diketahui, maka biasanya digunakan sinyal input tes. Pendekatan ini sangat bermanfaat karena terdapat hubungan antara respon sistem dengan sinyal tes standar dan kemampuan sistem untuk beroperasi pada kondisi normal. Selain itu, dengan menggunakan input standar memungkinkan perancang untuk membandingkan beberapa rancangan. Sinyal input tes standar yang umum digunakan adalah step input, ramp input, dan parabolic input seperti diperlihatkan pada gambar 4-1. Tabel 4-1 memperlihatkan persamaan yang menyatakan sinyal test tersebut. Figure 4-1. Test input signals : (a) Step; (b) Ramp; (c) Parabolic. Prepared by Dr. Aryuanto ITN Malang, 2009 1 Dasar Sistem Kendali Tabel 4-1 Sinyal input tes Test signal r(t) R(s) Step r(t)=A, t>0 R(s)=A/s r(t)=0, t<0 Ramp R(s)=A/s2 r(t)=At, t>0 r(t)=0, t<0 Parabolic r(t)=At2, t>0 R(s)= 2A/s2 r(t)=0, t<0 4.2 Pole, Zero, and Respon sistem Respon output suatu sistem merupakan jumlah dari respon: forced response (respon paksaan) dan natural response (respon alami). Beberapa teknik seperti penyelesaian persamaan diferensial atau menggunakan inverse transformasi Laplace dapat digunakan untuk menghitung respon output tersebut. Tetapi metoda diatas memerlukan waktu yang lama. Dalam praktek, seringkali diperlukan teknik secara cepat untuk menganalisa hasil yang diinginkan dengan melakukan inspeksi. Teknik ini menyatakan atribut secara kualitatif menggunakan pole dan zero dan hubungannya dengan respon waktu. Pole dan Zero Sistem Orde-1 Diberikan fungsi transfer G(s) seperti pada gambar 4-2(a), terdapat sebuah pole pada s=-5, dan zero pada s=-2. Nilai-nilai ini diplot pada bidang-s pada gambar 4-2(b), dengan tanda (X) untuk pole dan (O) untuk zero. Untuk menunjukkan sifat-sifat pole dan zero, kita cari respon unit step dari sistem sbb: Dengan mengalikan fungsi transfer pada gambar 4-2(a) dengan fungsi step, akan menghasilkan C ( s) s2 . s( s 5) (1) Selanjutnya dengan ekspansi fractial fraction akan diperoleh : Prepared by Dr. Aryuanto ITN Malang, 2009 2 Dasar Sistem Kendali C ( s) s2 2 / 5 3/ 5 s ( s 5) s s5 (2) Sehingga c (t ) 2 3 5t e 5 5 (3) Figure 4-2. (a) System showing input and output;(b). pole-zero plot of the system; (c). evolution of a system response.Follow blue arrows to see the evolution of the response component generated by the pole or zero. Dari gambar yang diperlihatkan pada gambar 4-2(c), kita dapat membuat kesimpulan sebagai berikut: 1. Pole dari fungsi input menghasilkan bentuk dari respon paksaan (dalam hal ini, pole di titik origin menghasilkan fungsi step pada output) 2. Pole dari fungsi transfer menghasilkan bentuk dari respon alami (dalam hal ini, pole pada -5 menghasilkan e-5t). Prepared by Dr. Aryuanto ITN Malang, 2009 3 Dasar Sistem Kendali 3. Pole pada sumbu riil menghasilkan respon eksponensial dalam bentuk e t , dimana adalah lokasi pole pada sumbu riil. Sehingga, semakin ke kiri lokasi pole pada sumbu riil negatif, semakin cepat respon transien akan meluruh menuju nol. 4. Zero dan pole menghasilkan amplitudo kedua respon paksaan dan alami. CONTOH 4-1 Diberikan sistem seperti gambar di bawah ini. Tuliskan ouput c(t) dalam bentuk umum, tentukan bagian respon paksaan dan natural dari solusinya. R(s)=1/s s 3 ( s 2)( s 4)( s 5) C(s) Jawab: Dengan inspeksi, setiap pole menghasilkan eksponensial sebagai bagian dari respon alami. Pole fungsi input menghasilan respon paksaan Sehingga C ( s) K1 K K K 2 3 4 s s2 s4 s5 Respon paksaan (4) Respon alami 4.3 Sistem Orde-1 Gambar 4-3 memperlihatkan suaru sistem orde-1 tanpa zero. Jika input adalah unit step, R(s)=1/s, maka transformasi Laplace dari respon step C(s) adalah C ( s ) R( s )G ( s ) a s( s a ) (5) Dengan inverse transformasi Laplace, respon step diberikan oleh c(t ) c f (t ) c n (t ) 1 e at Prepared by Dr. Aryuanto ITN Malang, 2009 4 (6) Dasar Sistem Kendali dimana pole input pada origin menghasilkan respon paksaan c f (t ) 1 , dan pole sistem pada –a, seperti diperlihatkan pada gambar 4-3(b), menghasilkan respon alami c n (t ) e at . Plot dari persamaan (6) diperlihatkan pada gambar 4-4. Figure 4-3. (a). First-order system; (b). pole plot Figure 4-4. First-order system response to a unit step. Sekarang kita lihat pentingnya parameter a. Jika t=1/a, maka e at t 1 / a e 1 0,37 (7) atau c(t ) t 1 / a 1 e at Prepared by Dr. Aryuanto ITN Malang, 2009 5 t 1 / a 1 0.37 0,63 (8) Dasar Sistem Kendali Selanjutnya persamaan (6)-(8) digunakan untuk mendefinisikan performansi dari respon transient berikut ini: Time Constant (Konstanta Waktu) Kita menyebut 1/a sebagai konstanta waktu dari respon sistem. Dari pers. (7), konstanta waktu dapat dinyatakan sebagai waktu untuk e at untuk meluruh ke 37% dari nilai awalnya. Sedangkan dari pers. (8), konstanta waktu adalah waktu yang diperlukan oleh respon step untuk naik ke 63% dari nilai akhirnya. (Lihat gambar 44). Karena turunan dari e at adalah –a pada t=0, maka a adalah kecepatan perubahan dari eksponensial pada t=0. Sehingga konstanta waktu dapat dinyatakan sebagai spesifikasi respon transien untuk suatu sistem orde-1 yang menyatakan kecepatan dari sistem memberikan respon terhadap suatu input step. Konstanta waktu dapat juga diperoleh dari plot pole (gambar 4-3(b)). Karena pole dari fungsi transfer adalah –a, maka dapat dikatakan bahwa lokasi pole adalah kebalikan dari konstanta waktu, dan semakin jauh pole dari sumbu imaginer, semakin cepat respon transiennya. Rise Time, Tr Rise time didefiniskan sebagai waktu yang diperlukan oleh suatu gelombang dari 0,1 sampai 0,9 dari nilai akhir. Rise time dapat diperoleh dengan menyelesaikan persamaan (6) untuk c(t)=0,9 dan c(t)=0,1. Sehingga Tr 2,31 0,11 2,2 a a a (9) Settling Time, Ts Settling time didefinisikan sebagai waktu yang diperlukan suatu respon untuk mencapai dan berada pada 2% nilai akhirnya (ini merupakan definisi 2% settling time, terdapat juga definisi 5% settling time). Dengan c(t)=0,98 pada pers. (6) dan menyelesaikan waktu t, maka settling time dapat diperoleh: Prepared by Dr. Aryuanto ITN Malang, 2009 6 Dasar Sistem Kendali Ts 4 a (10) Fungsi transfer orde-1 melalui percobaan Seringkali tidak memungkinkan atau tidak praktis untuk memperoleh fungsi transfer suatu sistem secara analitik, seperti karena sistemnya tertutup atau komponenkomponennya sulit diidentifikasi. Karena fungsi transfer merepresentasikan hubungan input dan output suatu sistem, maka respon step suatu sistem dapat digunakan sebagai representasi, walaupun konstruksi dalamnya tidak diketahui. Dengan input step, kita dapat mengukur konstanta waktu dan nilai steady-state, dimana fungsi transfer dapat dihitung. Perhatikan sistem orde-1, G(s)=K/(s+a), yang memiliki respon step C ( s) K K /a K /a s( s a) s sa (11) Jika kita dapat mengidentifikasi K dan a dari percobaan di laboratorium, maka kita akan memperoleh fungsi transfer sistem tersebut. Sebagai contoh, kita asumsikan respon unit step diberikan pada gambar 4-5. Kita dapat melihat bahwa sistem tersebut orde-1, seperti tidak ada overshoot dan mempunyai nonzero initial slope. Dari respon pada gambar, kita ukur konstanta waktu, yaitu waktu yang diperlukan mencapai 63% nilai akhir. Karena nilai akhir adalah sekitar 0,72, maka konstanta waktu didapat pada saat kurva mencapai 0,63*0,72=0,45, atau sekitar 0,13 detik. Disini a=1/0,13=7,7. Untuk mencari K, kita dapat dari pers. (11) yang memberikan respon paksaan mencapai nilai steady-state K/a=0,72, sehingga diperoleh K=5,54. Maka fungsi transfer sistem adalah G(s)=5,54/(s+7,7). Prepared by Dr. Aryuanto ITN Malang, 2009 7 Dasar Sistem Kendali Figure 4-5. Laboratory results of a system step response test. 4.4 Sistem Orde-2 Gambar 4-6 akan digunakan sebagai acuan untuk membahas berbagai respon waktu sistem orde-2. Overdamped (Gambar 4-6(b)) Untuk respon ini C ( s) 9 9 s ( s 9 s 9) s (s 7.854)( s 1.146) 2 (12) Fungsi ini mempunyai sebuah pole pada origin yang berasal dari input unit step dan dua pole riil yang berasal dari sistem. Pole input pada origin menghasilkan respon paksaan konstan; setiap pole dari kedua pole sistem pada sumbu riil menghasilkan respon alami eksponensial dengan frekuensi eksponensial yang sama dengan lokasi pole. Disini, output dapat ditulis sebagai c(t ) K 1 K 2 e 7 ,854t K 3 e 1,146t . Respon ini diperlihatkan pada gambar 4-6(b) dan disebut Overdamped. Prepared by Dr. Aryuanto ITN Malang, 2009 8 Dasar Sistem Kendali Figure 4.6 Second-order systems, pole plots,and step responses. Prepared by Dr. Aryuanto ITN Malang, 2009 9 Dasar Sistem Kendali Underdamped (Gambar 4-6(c)) Untuk respon ini, C ( s) 9 s ( s 2 s 9) 2 (13) Fungsi ini mempunyai sebuah pole di origin yang berasal dari input unit step dan dua buah pole komplek yang berasal dari sistem. Dari gambar 4-6(c), pole yang menghasilkan respon alami adalah pada s 1 j 8 . Dengan membandingkan nilainilai ini dengan c(t) pada gambar yang sama, kita melihat bahwa bagian riil dari pole sesuai dengan frekuensi dari eksponensial yang merupakan aplitudo dari sinusoida, sedangkan bagian imajiner sesuai dengan frekuensi dari osilasi sinusoida. Gambar 4-7 memperlihatkan respon sinusoida teredam dari sistem orde-2. Respon transien terdiri dari amplitudo yang meluruh secara eksponensial yang dihasilkan oleh bagian riil dari pole sistem. Konstanta waktu peluruhan eksponensial sama dengan kebalikan dari bagian riil pole sistem. Nilai dari bagian imajiner adalah frekuensi dari sinusoida seperti terlihat pada gambar 4-7. Frekuensi sinusoida disebut sebagai frekuensi teredam dari osilasi (damped frequency of osscilation), d . Tipe respon sistem pada gambar 4-7 disebut sebagai underdamped, yaitu respon yang menuju kondisi steady-state melalui respon transien yang merupakan osilasi teredam. Figure 4-7. Second-order step response components generated by complex poles. Prepared by Dr. Aryuanto ITN Malang, 2009 10 Dasar Sistem Kendali Undamped (Gambar 4-6(d)) Untuk respon ini, C ( s) 9 s ( s 9) (14) 2 Fungsi ini mempunyai sebuah pole pada origin yang berasal dari input step dan dua pole imaginer yang berasal dari sistem. Pole input menghasilkan respon paksaan, dan dua pole sistem pada sumbu imajiner di j 3 menghasilkan respon alami sinusoida dengan frekuensi sama dengan lokasi pole pada sumbu imajiner. Disini output dapat dinyatakan sebagai : c(t ) K 1 K 4 cos(3t ) . Tipe dari respon ini, seperti diperlihatkan pada gambar 4-6(d) disebut sebagai undamped. Critically Damped (Gambar 4-6(e)) Untuk respon ini, C ( s) 9 9 s ( s 6s 9) s ( s 3) 2 (15) 2 Fungsi ini mempunyai sebuah pole pada origin yang berasal dari input step dan dua buah pole riil yang sama. Pole input menghasilkan respon paksaan, dan dua pole pada sumbu riil di -3 menghasilkan respon alami yang terdiri sebuah eksponensial dan sebuah eksponensial dikalikan dengan waktu, dimana frekuensi ekseponensial sama dengan lokasi pole riil. Disini, output dapat dinayatakan sebagai c(t ) K 1 K 2 e 3t K 3te 3t . Tipe dari respon ini, seperti diperlihatkan pada gambar 4-6(e) disebut critically damped. Critically damped merupakan respon tercepat yang mungkin tanpa overshoot yang menjadi ciri dari respon underdamped. Gambar 4-8 memperlihatkan respon step dari berbagai tipe redaman yang dibahas diatas. Prepared by Dr. Aryuanto ITN Malang, 2009 11 Dasar Sistem Kendali Figure 4-8. Step responses for second-order system damping cases. 4.5 Sistem Orde-2 Secara Umum Pada bagian ini kita definisikan dua spesifikasi dari sistem orde dua, natural frequency dan damping ratio. Kedua besaran ini dapat digunakan untuk menyatakan karakteristik respon waktu sistem orde-2, seperti halnya konstanta waktu untuk menyatakan respon sistem orde-1. Natural frequency, n Natural frequency dari sistem orde-2 adalah frekuensi osilasi dari sistem tanpa redaman. Damping ratio, Damping ratio didefiniskan sebagai Prepared by Dr. Aryuanto ITN Malang, 2009 frekuensi eksponensial frekuensi alami 12 (16) Dasar Sistem Kendali Sistem orde-2 yang diperlihatkan pada gambar 4-6 dapat dinyatakan dalam besaran dan n sebagai berikut: Perhartikan sistem yang dinyatakan G (s) b s as b 2 (17) Tanpa redaman, maka pole akan berada pada sumbu j , dan respon yang dihasilkan adalah undamped. Untuk pole yang berada di sumbu imajiner, maka a=0. Sehingga G (s) b s b (18) 2 Secara definisi, frekuensi alami, n , adalah frekuensi osilasi dari sistem ini. Karena pole dari sistem ini terletak pada sumbu j di j b , maka n b (19) atau b n 2 (20) Selanjutnya kita cari a dalam pers. (17). Asumsikan sebuah sistem underdamped, pole komplek mempunyai bagian riil, , yang sama dengan –a/2. Magnitudo dari nilai ini adalah frekuensi eksponensial (lihat bagian 4.4). Sehingga frekuensi eksponensial a/2 frekuensi natural n n (21) atau a 2 n (22) Sehingga fungsi transfer orde-2 secara umum dinyatakan : G (s) n 2 2 s 2 2 n s n CONTOH 4-2 Carilah dan n dari fungsi transfer G ( s ) Prepared by Dr. Aryuanto ITN Malang, 2009 13 36 s 4.2 s 36 2 (23) Dasar Sistem Kendali Jawab: Dengan membandingkan fungsi transfer di atas dengan bentuk umum pada pers. (23), diperoleh: 2 n 36 n 6 2 n 4,2 0,35 Gambar 4-9 memperlihatkan berbagai respon sistem orde-2 sebagai fungsi dari . Figure 4-9. Second-order response as a function of damping ratio Prepared by Dr. Aryuanto ITN Malang, 2009 14 Dasar Sistem Kendali 4.6 Sistem Orde-2 : Underdamped Beberapa spesifikasi respon underdamped didefiniskan sebagai berikut (lihat gambar 4-10): Figure 4-10. Second-order underdamped response specifications 1. Rise time, Tr. Waktu yang diperlukan untuk bergerak dari 0,1 sampai 0,9 dari nilai akhir. Tr 0.60 2.16 n 0 1 (24) 2. Peak time, Tp. Waktu yang diperlukan untuk mencapai puncak maksimum yang pertama. Tp n 1 (25) 2 3. Percent Overshoot, %OS. Nilai maksimum overshoot dinyatakan dalam persen dari nilai steady-state. Prepared by Dr. Aryuanto ITN Malang, 2009 15 Dasar Sistem Kendali %OS cmax c final e c final 100 (26) / 1 2 100 4. Settling time, Ts. Waktu yang diperlukan untuk mencapai dan tinggal dalam 2% dari nilai steady-state. Ts 4 n (27) Figure 4-11. Pole plot for an underdamped second-order system Gambar 4-11 memperlihatkan plot dari pole sistem orde-2 underdamped, yang merupakan gambaran lebih detil dari gambar 4-9. Dengan menggunakan teorema Pythagoras, kita peroleh bahwa jarak radial dari origin ke pole adalah frekuensi alami n , dan cos( ) . Sekarang, Peak time dan settling time dapat dinyatakan dengan lokasi pole, yaitu Tp Ts Prepared by Dr. Aryuanto ITN Malang, 2009 n 1 2 d (28) 4 4 n d (29) 16 Dasar Sistem Kendali dimana d adalah bagian imaginer dari pole dan disebut sebagai damped frequency of osscilation (frekuensi osilasi yang teredam), dan d adalah magnitudo bagian riil dari pole yang disebut sebagai exponential damping frequency (frekuensi redaman eksponensial). Pers. (28) menunjukkan bahwa Tp berbanding terbalik dengan bagian imajiner dari pole. Karena garis-garis horisontal pada bidang-s adalah garis-garis dengan nilai imaginer yang konstan, makan garis-garis tersebut juga merupakan garis-garis dari peak time yang konstan. Pers. (29) menunjukkan bahwa settling time berbanding terbalik dengan bagian bagian riil dari pole. Karena garis-garis vertikal pada bidang-s adalah garis-garis dengan nilai riil yang konstan, maka garis-garis ini adalah garisgaris dari settling time yang konstan. Karena cos( ) , maka garis-garis radial adalah garis-garis dari yang konstan. Dan karena %OS hanya merupakan fungsi dari , maka garis-garis radial juga merupakan garis-garis dari %OS yang konstan. Ketiga konsep ini diperlihatkan pada gambar 4-12. Figure 4-12. Lines of constant peak time,T overshoot, %OS Note: Ts2 < Ts1 Prepared by Dr. Aryuanto ITN Malang, 2009 17 , settling time,T , and percent p s ; Tp2 < Tp1 ; %OS < %OS 1 2 Dasar Sistem Kendali Gambar 4-13 memperlihatkan respon step untuk sistem orde-2 underdamped jika pole-pole bergerak dala arah vertikal, horisontal dan radial. Figure 4-13. Step responses of second-order underdamped systems as poles move:(a). with constant real part; (b). with constant imaginary part;(c). with constant damping ratio Referensi : 1. Richard C. Dorf, Robert H. Bishop, 2008, Modern Control System 11th edition, Pearson Prentice Hall. 2. Katsuhiko Ogata, 2002, Modern Control Engineering 4th edition, Prentice Hall. 3. N. S. Nise, 2004, Control Systems Engineering, John Wiley & Sons. 4. B. C. Kuo,2003, Automatic Control Systems, John Wiley & Sons. Prepared by Dr. Aryuanto ITN Malang, 2009 18
