Fungsi Bernilai Vektor - FMIPA Personal Blogs

Fungsi Bernilai Vektor
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Wono Setya Budhi
KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
1 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Limit
Theorem
Misalkan f : D ⊂ Rn → Rm fungsi bernilai vektor di Rm dengan n
variabel, dan misalkan pula a titik limit daerah definisi fungsi f .
Arti
lim f (~x ) = ~L = (l1 , . . . , lm )
~x →~a
adalah untuk setiap e > 0 ada bilangan δ > 0 sehingga untuk setiap
x di daerah definisi fungsi D yang memenuhi 0 < k~x −~ak < 0
memenuhi
kf (~x ) − ~Lk < e
Perhatikan bahwa kita dapat menulis limx →a f (~x ) sebagai
lim
(x1 ,..., xn ) →(a1 ,...,an )
(f1 (x1 , . . . , xn ), . . . , fm (x1 , . . . , xn ))
dengan ~a = (a1 , . . . , an ) dan ~x = (x1 , . . . , xn )
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
2 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Limit
Theorem
Misalkan f : D ⊂ Rn → Rm fungsi bernilai vektor di Rm dengan n
variabel, dan misalkan pula a titik limit daerah definisi fungsi f .
Arti
lim f (~x ) = ~L = (l1 , . . . , lm )
~x →~a
adalah untuk setiap e > 0 ada bilangan δ > 0 sehingga untuk setiap
x di daerah definisi fungsi D yang memenuhi 0 < k~x −~ak < 0
memenuhi
kf (~x ) − ~Lk < e
Perhatikan bahwa kita dapat menulis limx →a f (~x ) sebagai
lim
(x1 ,..., xn ) →(a1 ,...,an )
(f1 (x1 , . . . , xn ), . . . , fm (x1 , . . . , xn ))
dengan ~a = (a1 , . . . , an ) dan ~x = (x1 , . . . , xn )
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
2 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Limit
Theorem
Misalkan f : D ⊂ Rn → Rm fungsi bernilai vektor di Rm dengan n
variabel, dan misalkan pula a titik limit daerah definisi fungsi f .
Arti
lim f (~x ) = ~L = (l1 , . . . , lm )
~x →~a
adalah untuk setiap e > 0 ada bilangan δ > 0 sehingga untuk setiap
x di daerah definisi fungsi D yang memenuhi 0 < k~x −~ak < 0
memenuhi
kf (~x ) − ~Lk < e
Perhatikan bahwa kita dapat menulis limx →a f (~x ) sebagai
lim
(x1 ,..., xn ) →(a1 ,...,an )
(f1 (x1 , . . . , xn ), . . . , fm (x1 , . . . , xn ))
dengan ~a = (a1 , . . . , an ) dan ~x = (x1 , . . . , xn )
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
2 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Limit
Perhatikan bahwa
~
f (~x ) − L
q
(f1 (~x ) − l1 )2 + . . . + (fm (~x ) − lm )2
dan |fi (~x ) − li | ≤ f (~x ) − ~L m untuk setiap i.
R
Ini mengatakan bahwa lim~x →~a f (x ) = ~L = (l1 , . . . , lm ) maka
Rm
=
lim fi (~x ) = li
~x →~a
untuk setiap i = 1, . . ., m
Sebaliknya f (~x ) − ~L m ≤
1
m
(|fi (~x ) − l1 | + . . . + |fm (~x ) − lm |)
Ini mengatakan bahwa lim~x →~a fi (~x ) = li untuk setiap i = 1, . . . , m
maka
lim f (x ) = ~L = (l1 , . . . , lm )
R
~x →~a
Dengan demikian limit dari fungsi vektor di Rm dapat dipandang
sebagai limit dari m fungsi.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
3 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Limit
Perhatikan bahwa
~
f (~x ) − L
q
(f1 (~x ) − l1 )2 + . . . + (fm (~x ) − lm )2
dan |fi (~x ) − li | ≤ f (~x ) − ~L m untuk setiap i.
R
Ini mengatakan bahwa lim~x →~a f (x ) = ~L = (l1 , . . . , lm ) maka
Rm
=
lim fi (~x ) = li
~x →~a
untuk setiap i = 1, . . ., m
Sebaliknya f (~x ) − ~L m ≤
1
m
(|fi (~x ) − l1 | + . . . + |fm (~x ) − lm |)
Ini mengatakan bahwa lim~x →~a fi (~x ) = li untuk setiap i = 1, . . . , m
maka
lim f (x ) = ~L = (l1 , . . . , lm )
R
~x →~a
Dengan demikian limit dari fungsi vektor di Rm dapat dipandang
sebagai limit dari m fungsi.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
3 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Limit
Perhatikan bahwa
~
f (~x ) − L
q
(f1 (~x ) − l1 )2 + . . . + (fm (~x ) − lm )2
dan |fi (~x ) − li | ≤ f (~x ) − ~L m untuk setiap i.
R
Ini mengatakan bahwa lim~x →~a f (x ) = ~L = (l1 , . . . , lm ) maka
Rm
=
lim fi (~x ) = li
~x →~a
untuk setiap i = 1, . . ., m
Sebaliknya f (~x ) − ~L m ≤
1
m
(|fi (~x ) − l1 | + . . . + |fm (~x ) − lm |)
Ini mengatakan bahwa lim~x →~a fi (~x ) = li untuk setiap i = 1, . . . , m
maka
lim f (x ) = ~L = (l1 , . . . , lm )
R
~x →~a
Dengan demikian limit dari fungsi vektor di Rm dapat dipandang
sebagai limit dari m fungsi.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
3 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Limit
Perhatikan bahwa
~
f (~x ) − L
q
(f1 (~x ) − l1 )2 + . . . + (fm (~x ) − lm )2
dan |fi (~x ) − li | ≤ f (~x ) − ~L m untuk setiap i.
R
Ini mengatakan bahwa lim~x →~a f (x ) = ~L = (l1 , . . . , lm ) maka
Rm
=
lim fi (~x ) = li
~x →~a
untuk setiap i = 1, . . ., m
Sebaliknya f (~x ) − ~L m ≤
1
m
(|fi (~x ) − l1 | + . . . + |fm (~x ) − lm |)
Ini mengatakan bahwa lim~x →~a fi (~x ) = li untuk setiap i = 1, . . . , m
maka
lim f (x ) = ~L = (l1 , . . . , lm )
R
~x →~a
Dengan demikian limit dari fungsi vektor di Rm dapat dipandang
sebagai limit dari m fungsi.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
3 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Limit
Perhatikan bahwa
~
f (~x ) − L
q
(f1 (~x ) − l1 )2 + . . . + (fm (~x ) − lm )2
dan |fi (~x ) − li | ≤ f (~x ) − ~L m untuk setiap i.
R
Ini mengatakan bahwa lim~x →~a f (x ) = ~L = (l1 , . . . , lm ) maka
Rm
=
lim fi (~x ) = li
~x →~a
untuk setiap i = 1, . . ., m
Sebaliknya f (~x ) − ~L m ≤
1
m
(|fi (~x ) − l1 | + . . . + |fm (~x ) − lm |)
Ini mengatakan bahwa lim~x →~a fi (~x ) = li untuk setiap i = 1, . . . , m
maka
lim f (x ) = ~L = (l1 , . . . , lm )
R
~x →~a
Dengan demikian limit dari fungsi vektor di Rm dapat dipandang
sebagai limit dari m fungsi.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
3 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Theorem
Misalkan f (x ) fungsi bernilai vektor di Rm dengan n variabel dan a
titik limit dari daerah definisi fungsi f . Kemudian
lim f (~x ) = ~L = (l1 , . . . , lm )
~x →~a
jika dan hanya jika
lim fi (x ) = li
~x →~a
untuk setiap i = 1, . . . , m.
Atau
lim (f1 (x ), . . . , fn (x )) = ( lim f1 (x ), . . . , lim fm (x ))
~x →~a
~x →~a
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
~x →~a
4 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Theorem
Misalkan f (x ) fungsi bernilai vektor di Rm dengan n variabel dan a
titik limit dari daerah definisi fungsi f . Kemudian
lim f (~x ) = ~L = (l1 , . . . , lm )
~x →~a
jika dan hanya jika
lim fi (x ) = li
~x →~a
untuk setiap i = 1, . . . , m.
Atau
lim (f1 (x ), . . . , fn (x )) = ( lim f1 (x ), . . . , lim fm (x ))
~x →~a
~x →~a
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
~x →~a
4 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Contoh Limit
Untuk mencari limit fungsi
lim
(x,y ) →(0,0)
sin xy
xy
,p
2
xy
x + y2
!
cukup dengan mencari nilai
sin xy
= 1 dan
→(0,0) xy
lim
(x,y )
lim
(x,y ) →(0,0)
maka
lim
(x,y ) →(0,0)
xy
sin xy
xy
,p
2
xy
x + y2
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
p
x2 + y2
=0
!
= (1, 0)
5 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Contoh Limit
Untuk mencari limit fungsi
lim
(x,y ) →(0,0)
sin xy
xy
,p
2
xy
x + y2
!
cukup dengan mencari nilai
sin xy
= 1 dan
→(0,0) xy
lim
(x,y )
lim
(x,y ) →(0,0)
maka
lim
(x,y ) →(0,0)
xy
sin xy
xy
,p
2
xy
x + y2
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
p
x2 + y2
=0
!
= (1, 0)
5 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Contoh Limit
Untuk mencari limit fungsi
lim
(x,y ) →(0,0)
sin xy
xy
,p
2
xy
x + y2
!
cukup dengan mencari nilai
sin xy
= 1 dan
→(0,0) xy
lim
(x,y )
lim
(x,y ) →(0,0)
maka
lim
(x,y ) →(0,0)
xy
sin xy
xy
,p
2
xy
x + y2
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
p
x2 + y2
=0
!
= (1, 0)
5 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Turunan
Serupa dengan yang lalu, Turunan fungsi vektor f di a adalah bagian
linear terhadap ∆x = (∆x1 , . . . , ∆x1 ) dari
f (a + ∆x ) − f (a)
Definition
Misalkan f fungsi n variabel dengan nilainya merupakan vektor di Rm
dan daerah definisi fungsi adalah himpunan buka D di Rn .
Turunan fungsi f di a ∈ D adalah transformasi linear L : Rn → Rm
sehingga
kf (a + ∆x ) − f (a) − L(∆x )km
lim
=0
k∆x kn
∆x →~0
dengan k − kp menyatakan norm di Rp .
Turunan ini ditulis sebagai df (a) = f 0 (a) = L, sedangkan nilai
f 0 (a)(∆x ) = L(∆x ) = df (a)(∆x )
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
6 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Turunan
Serupa dengan yang lalu, Turunan fungsi vektor f di a adalah bagian
linear terhadap ∆x = (∆x1 , . . . , ∆x1 ) dari
f (a + ∆x ) − f (a)
Definition
Misalkan f fungsi n variabel dengan nilainya merupakan vektor di Rm
dan daerah definisi fungsi adalah himpunan buka D di Rn .
Turunan fungsi f di a ∈ D adalah transformasi linear L : Rn → Rm
sehingga
kf (a + ∆x ) − f (a) − L(∆x )km
lim
=0
k∆x kn
∆x →~0
dengan k − kp menyatakan norm di Rp .
Turunan ini ditulis sebagai df (a) = f 0 (a) = L, sedangkan nilai
f 0 (a)(∆x ) = L(∆x ) = df (a)(∆x )
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
6 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Turunan
Serupa dengan yang lalu, Turunan fungsi vektor f di a adalah bagian
linear terhadap ∆x = (∆x1 , . . . , ∆x1 ) dari
f (a + ∆x ) − f (a)
Definition
Misalkan f fungsi n variabel dengan nilainya merupakan vektor di Rm
dan daerah definisi fungsi adalah himpunan buka D di Rn .
Turunan fungsi f di a ∈ D adalah transformasi linear L : Rn → Rm
sehingga
kf (a + ∆x ) − f (a) − L(∆x )km
lim
=0
k∆x kn
∆x →~0
dengan k − kp menyatakan norm di Rp .
Turunan ini ditulis sebagai df (a) = f 0 (a) = L, sedangkan nilai
f 0 (a)(∆x ) = L(∆x ) = df (a)(∆x )
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
6 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Turunan
Serupa dengan yang lalu, Turunan fungsi vektor f di a adalah bagian
linear terhadap ∆x = (∆x1 , . . . , ∆x1 ) dari
f (a + ∆x ) − f (a)
Definition
Misalkan f fungsi n variabel dengan nilainya merupakan vektor di Rm
dan daerah definisi fungsi adalah himpunan buka D di Rn .
Turunan fungsi f di a ∈ D adalah transformasi linear L : Rn → Rm
sehingga
kf (a + ∆x ) − f (a) − L(∆x )km
lim
=0
k∆x kn
∆x →~0
dengan k − kp menyatakan norm di Rp .
Turunan ini ditulis sebagai df (a) = f 0 (a) = L, sedangkan nilai
f 0 (a)(∆x ) = L(∆x ) = df (a)(∆x )
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
6 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Turunan
Seperti pada limit, turunan dapat juga dilakukan perkomponen.
Misalkan kita mempunyai fungsi f : R2 → R2 dengan fungsi
komponen
f1 (x, y )
f (x, y ) = (f1 (x, y ) , f2 (x, y )) atau f (x, y ) =
f2 (x, y )
f1 (a + ∆x, b + ∆y )
Berdasarkan fungsi skalar
=
f2 (a + ∆x, b + ∆y )
"
#
∂f1
1
f1 (a, b ) + ∂f
a,
b
∆x
+
a,
b
∆y
+
.
.
.
(
)
(
)
∂x
∂y
∂f2
2
f2 (a, b ) + ∂f
a,
b
∆x
+
(
)
∂x
∂y (a, b ) ∆y + . . .
#
" ∂f1
∂f1
a,
b
∆x
+
a,
b
∆y
+
.
.
.
(
)
(
)
f1 (a, b )
∂x
∂y
=
+ ∂f
∂f2
2
f2 (a, b )
a,
b
∆x
+
(
)
∂x
∂y (a, b ) ∆y + . . .
|
{z
}
Bagian Linear terhadap ∆x dan ∆y
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
7 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Turunan
Seperti pada limit, turunan dapat juga dilakukan perkomponen.
Misalkan kita mempunyai fungsi f : R2 → R2 dengan fungsi
komponen
f1 (x, y )
f (x, y ) = (f1 (x, y ) , f2 (x, y )) atau f (x, y ) =
f2 (x, y )
f1 (a + ∆x, b + ∆y )
Berdasarkan fungsi skalar
=
f2 (a + ∆x, b + ∆y )
"
#
∂f1
1
f1 (a, b ) + ∂f
a,
b
∆x
+
a,
b
∆y
+
.
.
.
(
)
(
)
∂x
∂y
∂f2
2
f2 (a, b ) + ∂f
a,
b
∆x
+
(
)
∂x
∂y (a, b ) ∆y + . . .
#
" ∂f1
∂f1
a,
b
∆x
+
a,
b
∆y
+
.
.
.
(
)
(
)
f1 (a, b )
∂x
∂y
=
+ ∂f
∂f2
2
f2 (a, b )
a,
b
∆x
+
(
)
∂x
∂y (a, b ) ∆y + . . .
|
{z
}
Bagian Linear terhadap ∆x dan ∆y
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
7 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Turunan
Seperti pada limit, turunan dapat juga dilakukan perkomponen.
Misalkan kita mempunyai fungsi f : R2 → R2 dengan fungsi
komponen
f1 (x, y )
f (x, y ) = (f1 (x, y ) , f2 (x, y )) atau f (x, y ) =
f2 (x, y )
f1 (a + ∆x, b + ∆y )
Berdasarkan fungsi skalar
=
f2 (a + ∆x, b + ∆y )
"
#
∂f1
1
f1 (a, b ) + ∂f
a,
b
∆x
+
a,
b
∆y
+
.
.
.
(
)
(
)
∂x
∂y
∂f2
2
f2 (a, b ) + ∂f
a,
b
∆x
+
(
)
∂x
∂y (a, b ) ∆y + . . .
#
" ∂f1
∂f1
a,
b
∆x
+
a,
b
∆y
+
.
.
.
(
)
(
)
f1 (a, b )
∂x
∂y
=
+ ∂f
∂f2
2
f2 (a, b )
a,
b
∆x
+
(
)
∂x
∂y (a, b ) ∆y + . . .
|
{z
}
Bagian Linear terhadap ∆x dan ∆y
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
7 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Turunan
f1 (a + ∆x, b + ∆y )
f2 (a + ∆x, b + ∆y )
=
f1 (a, b )
f2 (a, b )
"
+
|
=
f1 (a, b )
f2 (a, b )
"
+
∂f1
∂x
∂f2
∂x
(a, b )
(a, b )
∂f1
∂y
∂f2
∂y
(a, b )
(a, b )
#
(a, b ) ∆x +
(a, b ) ∆x +
∂f1
∂x
∂f2
∂x
∂f1
∂y
∂f2
∂y
(a, b ) ∆y
(a, b ) ∆y
{z
Bagian Linear terhadap ∆x da
∆x
∆y
Jadi, terhadap basis standar, matriks turunan fungsi f di (a, b ) adalah
"
#
∂f1
∂f1
∂x (a, b )
∂y (a, b )
∂f2
∂f2
∂x (a, b )
∂y (a, b )
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
8 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Turunan
f1 (a + ∆x, b + ∆y )
f2 (a + ∆x, b + ∆y )
=
f1 (a, b )
f2 (a, b )
"
+
|
=
f1 (a, b )
f2 (a, b )
"
+
∂f1
∂x
∂f2
∂x
(a, b )
(a, b )
∂f1
∂y
∂f2
∂y
(a, b )
(a, b )
#
(a, b ) ∆x +
(a, b ) ∆x +
∂f1
∂x
∂f2
∂x
∂f1
∂y
∂f2
∂y
(a, b ) ∆y
(a, b ) ∆y
{z
Bagian Linear terhadap ∆x da
∆x
∆y
Jadi, terhadap basis standar, matriks turunan fungsi f di (a, b ) adalah
"
#
∂f1
∂f1
∂x (a, b )
∂y (a, b )
∂f2
∂f2
∂x (a, b )
∂y (a, b )
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
8 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Turunan
Misalkan diketahui fungsi f : Rm → Rn , turunan fungsi f di titik a
adalah transformasi linear f 0 (x ) dengan matriks penyajian terhadap
basis standar adalah






∂f1
∂x1
∂f2
∂x1
∂f1
∂x2
∂f2
∂x2
..
.
...
...
..
.
∂f1
∂xn
∂f2
∂xn
∂fm
∂x1
∂fm
∂x2
...
∂fm
∂xn
..
.
..
.






m ×n
dengan turunan dihitung pada titik a = (a1 , . . . , am ).
h i
∂fi
Secara singkat ditulis sebagai matriks ∂x
dan disingkat sebagai
j
matriks Jacobi.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
9 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Turunan
Misalkan diketahui fungsi f : Rm → Rn , turunan fungsi f di titik a
adalah transformasi linear f 0 (x ) dengan matriks penyajian terhadap
basis standar adalah






∂f1
∂x1
∂f2
∂x1
∂f1
∂x2
∂f2
∂x2
..
.
...
...
..
.
∂f1
∂xn
∂f2
∂xn
∂fm
∂x1
∂fm
∂x2
...
∂fm
∂xn
..
.
..
.






m ×n
dengan turunan dihitung pada titik a = (a1 , . . . , am ).
h i
∂fi
Secara singkat ditulis sebagai matriks ∂x
dan disingkat sebagai
j
matriks Jacobi.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
9 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Turunan
Misalkan diketahui fungsi f : Rm → Rn , turunan fungsi f di titik a
adalah transformasi linear f 0 (x ) dengan matriks penyajian terhadap
basis standar adalah






∂f1
∂x1
∂f2
∂x1
∂f1
∂x2
∂f2
∂x2
..
.
...
...
..
.
∂f1
∂xn
∂f2
∂xn
∂fm
∂x1
∂fm
∂x2
...
∂fm
∂xn
..
.
..
.






m ×n
dengan turunan dihitung pada titik a = (a1 , . . . , am ).
h i
∂fi
Secara singkat ditulis sebagai matriks ∂x
dan disingkat sebagai
j
matriks Jacobi.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
9 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Turunan
Example
Diketahui fungsi
f (x1 , x2 ) = x12 x2 , x13 − x23 , x1 x22
Tentukan turunan f di sebarang titik (x1 , x2 ).
Solution
Turunan fungsi f adalah matriks ukuran. . .
yaitu

2x1 x2
x12
f 0 (x1 , x2 ) =  3x12 −3x22 
x22
2x1 x2

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
10 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Turunan
Example
Diketahui fungsi
f (x1 , x2 ) = x12 x2 , x13 − x23 , x1 x22
Tentukan turunan f di sebarang titik (x1 , x2 ).
Solution
Turunan fungsi f adalah matriks ukuran. . .
yaitu

2x1 x2
x12
f 0 (x1 , x2 ) =  3x12 −3x22 
x22
2x1 x2

Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
10 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Turunan dan Diferensial
Bandingkan dengan fungsi satu variabel y = p (x ). Turunan di titik a
adalah p 0 (a) dan diferensial dy = p 0 (a) dx
C
D
2
A
1
F
dy
y = f (x )
0
1
B
E
2
3
dx
−1
Untuk fungsi vektor ~y = f (~x ), diferensialnya adalah

  ∂f1

∂f1  
. . . ∂x
dy1
dx
1
∂x1
n
 ..   ..
..   .. 
..
 . = .
.
.  . 
∂fm Vektor ∂fm
dymFMIPA ITB)
dxn
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri,
Fungsi Bernilai
...
11 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Turunan dan Diferensial
Bandingkan dengan fungsi satu variabel y = p (x ). Turunan di titik a
adalah p 0 (a) dan diferensial dy = p 0 (a) dx
C
D
2
A
1
F
dy
y = f (x )
0
1
B
E
2
3
dx
−1
Untuk fungsi vektor ~y = f (~x ), diferensialnya adalah

  ∂f1

∂f1  
. . . ∂x
dy1
dx
1
∂x1
n
 ..   ..
..   .. 
..
 . = .
.
.  . 
∂fm Vektor ∂fm
dymFMIPA ITB)
dxn
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri,
Fungsi Bernilai
...
11 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Example
Diketahui fungsi
f (x, y ) = x 2 − xy , xy + y 2
Tentukan turunan f di (2, 1) dan apa artinya?
Solution
Turunan fungsi f adalah matriks ukuran . . .
yaitu
0
f (2, 1) =
2x − y
y
−x
x + 2y
=
(2,1)
3 −2
1 4
Kita akan mencari peta dari persegi satuan yang berpangkal di (2, 1)
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
12 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Example
Diketahui fungsi
f (x, y ) = x 2 − xy , xy + y 2
Tentukan turunan f di (2, 1) dan apa artinya?
Solution
Turunan fungsi f adalah matriks ukuran . . .
yaitu
0
f (2, 1) =
2x − y
y
−x
x + 2y
=
(2,1)
3 −2
1 4
Kita akan mencari peta dari persegi satuan yang berpangkal di (2, 1)
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
12 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Example
Diketahui fungsi
f (x, y ) = x 2 − xy , xy + y 2
Tentukan turunan f di (2, 1) dan apa artinya?
Solution
Turunan fungsi f adalah matriks ukuran . . .
yaitu
0
f (2, 1) =
2x − y
y
−x
x + 2y
=
(2,1)
3 −2
1 4
Kita akan mencari peta dari persegi satuan yang berpangkal di (2, 1)
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
12 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Solution
Kita akan mencari peta dari persegi satuan yang berpangkal di (2, 1)
D
C
2
dy
A
1
−1
B
dx
0
1
2
3
−1
Kita akan mencari peta garis x = 2, x = 3, y = 1 dan y = 2 oleh
fungsinya.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
13 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Solution
Kita akan mencari peta dari persegi satuan yang berpangkal di (2, 1)
D
C
2
dy
A
1
−1
B
dx
0
1
2
3
−1
Kita akan mencari peta garis x = 2, x = 3, y = 1 dan y = 2 oleh
fungsinya.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
13 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Solution
Kita akan mencari peta dari persegi satuan yang berpangkal di (2, 1)
D
C
2
dy
A
1
−1
B
dx
0
1
2
3
−1
Kita akan mencari peta garis x = 2, x = 3, y = 1 dan y = 2 oleh
fungsinya.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
13 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Example
Diketahui fungsi f (x, y ) = x 2 − xy , xy + y 2
Solution
Kita akan mencari peta garis x = 2, x = 3, y = 1 dan y = 2 oleh
fungsinya.
perhatikan bahwa peta titik (2, 1) adalah
f (2, 1) = (4 − 2, 2 + 1) = (2, 3)
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
−1
A
−−
2Bernilai
1 01 2Vektor
345
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi
6
14 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Example
Diketahui fungsi f (x, y ) = x 2 − xy , xy + y 2
Solution
Kita akan mencari peta garis x = 2, x = 3, y = 1 dan y = 2 oleh
fungsinya.
perhatikan bahwa peta titik (2, 1) adalah
f (2, 1) = (4 − 2, 2 + 1) = (2, 3)
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
−1
A
−−
2Bernilai
1 01 2Vektor
345
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi
6
14 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Example
Diketahui fungsi f (x, y ) = x 2 − xy , xy + y 2
Solution
Kita akan mencari peta garis x = 2, x = 3, y = 1 dan y = 2 oleh
fungsinya.
perhatikan bahwa peta titik (2, 1) adalah
f (2, 1) = (4 − 2, 2 + 1) = (2, 3)
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
−1
A
−−
2Bernilai
1 01 2Vektor
345
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi
6
14 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Example
Diketahui fungsi f (x, y ) = x 2 − xy , xy + y 2
Solution
Kita akan mencari peta garis x = 2, x = 3, y = 1 dan y = 2 oleh
turunannya, yaitu pemetaan linear
du
3 −2
dx
=
dv
1 4
dy
Wono Setya Budhi
10
9
8
7
6
5
4
A
3
2
1
(KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
15 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Example
Diketahui fungsi f (x, y ) = x 2 − xy , xy + y 2
Solution
Kita akan mencari peta garis x = 2, x = 3, y = 1 dan y = 2 oleh
turunannya, yaitu pemetaan linear
du
3 −2
dx
=
dv
1 4
dy
Wono Setya Budhi
10
9
8
7
6
5
4
A
3
2
1
(KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
15 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
10
9
8
7
6
5
4
A
3
2
1
−2 −1
−1
01
2
3
4
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
5
6
16 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
10
9
8
7
6
5
4
A
3
2
1
−2 −1
−1
01
2
3
4
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
5
6
16 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
10
9
8
7
6
5
4
A
3
2
1
−2 −1
−1
01
2
3
4
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
5
6
16 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
10
9
8
7
6
5
4
A
3
2
1
−2 −1
−1
01
2
3
4
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
5
6
16 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
10
9
8
7
6
5
4
A
3
2
1
−2 −1
−1
01
2
3
4
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
5
6
16 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
10
9
8
7
6
5
4
A
3
2
1
−2 −1
−1
01
2
3
4
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
5
6
16 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
10
9
8
7
6
5
4
A
3
2
1
−2 −1
−1
01
2
3
4
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
5
6
16 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
du
3 −2
dx
Arti geometri
=
mentransformasikan
dv
1 4
dy
persegi satuan menjadi persegi di ruang peta
10
9
8
7
6
5
4
A
3
D
2
dy
A B
dx
1
−1
−1
C
01
2
3
2
1
−2 −1
−1
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
01
2
3
4
5
6
17 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
du
3 −2
dx
Arti geometri
=
mentransformasikan
dv
1 4
dy
persegi satuan menjadi persegi di ruang peta
10
9
8
7
6
5
4
A
3
D
2
dy
A B
dx
1
−1
−1
C
01
2
3
2
1
−2 −1
−1
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
01
2
3
4
5
6
17 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
du
3 −2
dx
Arti geometri
=
mentransformasikan
dv
1 4
dy
persegi satuan menjadi persegi di ruang peta
10
9
8
7
6
5
4
A
3
D
2
dy
A B
dx
1
−1
−1
C
01
2
3
2
1
−2 −1
−1
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
01
2
3
4
5
6
17 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
du
3 −2
dx
Arti geometri
=
mentransformasikan
dv
1 4
dy
persegi satuan menjadi persegi di ruang peta
10
9
8
7
6
5
4
A
3
D
2
dy
A B
dx
1
−1
−1
C
01
2
3
2
1
−2 −1
−1
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
01
2
3
4
5
6
17 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
du
3 −2
dx
Arti geometri
=
mentransformasikan
dv
1 4
dy
persegi satuan menjadi persegi di ruang peta
10
9
8
7
6
5
4
A
3
D
2
dy
A B
dx
1
−1
−1
C
01
2
3
2
1
−2 −1
−1
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
01
2
3
4
5
6
17 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
du
3 −2
dx
Arti geometri
=
mentransformasikan
dv
1 4
dy
persegi satuan menjadi persegi di ruang peta
Untuk menghitung luas segi empat dengan salah satu titik sudut
(0, 0), dan yang berdampingan mempunyai koordinat (a, b ) dan
(c, d ) adalah
p
p
a2 + b 2 c 2 + d 2 sin ∠ (a, b ) (c, d ) = |ad − bc |
Untuk kasus kita, titik sudut (0, 0), (3, 1) dan (−2, 4), luas segi
empat adalah 14.
du
a c
dx
Secara umum, jika diferensialnya adalah
=
,
dv
b d
dy
maka luas segi empat peta adalah |ad − bc | dan ditulis
dudv = |ad − bc | dxdy
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
18 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
du
3 −2
dx
Arti geometri
=
mentransformasikan
dv
1 4
dy
persegi satuan menjadi persegi di ruang peta
Untuk menghitung luas segi empat dengan salah satu titik sudut
(0, 0), dan yang berdampingan mempunyai koordinat (a, b ) dan
(c, d ) adalah
p
p
a2 + b 2 c 2 + d 2 sin ∠ (a, b ) (c, d ) = |ad − bc |
Untuk kasus kita, titik sudut (0, 0), (3, 1) dan (−2, 4), luas segi
empat adalah 14.
du
a c
dx
Secara umum, jika diferensialnya adalah
=
,
dv
b d
dy
maka luas segi empat peta adalah |ad − bc | dan ditulis
dudv = |ad − bc | dxdy
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
18 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
du
3 −2
dx
Arti geometri
=
mentransformasikan
dv
1 4
dy
persegi satuan menjadi persegi di ruang peta
Untuk menghitung luas segi empat dengan salah satu titik sudut
(0, 0), dan yang berdampingan mempunyai koordinat (a, b ) dan
(c, d ) adalah
p
p
a2 + b 2 c 2 + d 2 sin ∠ (a, b ) (c, d ) = |ad − bc |
Untuk kasus kita, titik sudut (0, 0), (3, 1) dan (−2, 4), luas segi
empat adalah 14.
du
a c
dx
Secara umum, jika diferensialnya adalah
=
,
dv
b d
dy
maka luas segi empat peta adalah |ad − bc | dan ditulis
dudv = |ad − bc | dxdy
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
18 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
du
3 −2
dx
Arti geometri
=
mentransformasikan
dv
1 4
dy
persegi satuan menjadi persegi di ruang peta
Untuk menghitung luas segi empat dengan salah satu titik sudut
(0, 0), dan yang berdampingan mempunyai koordinat (a, b ) dan
(c, d ) adalah
p
p
a2 + b 2 c 2 + d 2 sin ∠ (a, b ) (c, d ) = |ad − bc |
Untuk kasus kita, titik sudut (0, 0), (3, 1) dan (−2, 4), luas segi
empat adalah 14.
du
a c
dx
Secara umum, jika diferensialnya adalah
=
,
dv
b d
dy
maka luas segi empat peta adalah |ad − bc | dan ditulis
dudv = |ad − bc | dxdy
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
18 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Untuk fungsi m variabel di Rn , y = f (x )
maka diferensialnya adalah
dy = f 0 (a) dx
”luas” peta ”persegi satuan” di Rm adalah
dy1 . . . dyn = det f 0 (a) dx1 . . . dxm
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
19 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Untuk fungsi m variabel di Rn , y = f (x )
maka diferensialnya adalah
dy = f 0 (a) dx
”luas” peta ”persegi satuan” di Rm adalah
dy1 . . . dyn = det f 0 (a) dx1 . . . dxm
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
19 / 18
Limit, Turunan Parsial dan Turunan
Arti Geometri Turunan
Untuk fungsi m variabel di Rn , y = f (x )
maka diferensialnya adalah
dy = f 0 (a) dx
”luas” peta ”persegi satuan” di Rm adalah
dy1 . . . dyn = det f 0 (a) dx1 . . . dxm
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
19 / 18