Fungsi Bernilai Vektor - FMIPA Personal Blogs

Fungsi Bernilai Vektor
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Wono Setya Budhi
KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
1 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Aljabar Fungsi Bernilai Vektor
Misalkan kita mempunyai fungsi bernilai vektor f , g : R m → R n .
Fungsi ini dapat dibentuk menjadi fungsi baru, misalkan melalui
penjumlahan
(f + g ) (x ) = f (x ) + g (x )
Tetapi untuk perkalian, kita hanya mengenal perkalian titik (ingat di
Aljabar Linear), yaitu
(f · g ) (x ) = f (x ) · g (x )
= f1 (x ) g1 (x ) + . . . + fn (x ) gn (x )
Kita juga dapat membentuk fungsi baru melalui perkalian skalar yaitu
(cf ) (x ) = cf (x )
= (cf1 (x ) , . . . , cfn (x ))
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
2 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Aljabar Fungsi Bernilai Vektor
Misalkan kita mempunyai fungsi bernilai vektor f , g : R m → R n .
Fungsi ini dapat dibentuk menjadi fungsi baru, misalkan melalui
penjumlahan
(f + g ) (x ) = f (x ) + g (x )
Tetapi untuk perkalian, kita hanya mengenal perkalian titik (ingat di
Aljabar Linear), yaitu
(f · g ) (x ) = f (x ) · g (x )
= f1 (x ) g1 (x ) + . . . + fn (x ) gn (x )
Kita juga dapat membentuk fungsi baru melalui perkalian skalar yaitu
(cf ) (x ) = cf (x )
= (cf1 (x ) , . . . , cfn (x ))
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
2 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Aljabar Fungsi Bernilai Vektor
Misalkan kita mempunyai fungsi bernilai vektor f , g : R m → R n .
Fungsi ini dapat dibentuk menjadi fungsi baru, misalkan melalui
penjumlahan
(f + g ) (x ) = f (x ) + g (x )
Tetapi untuk perkalian, kita hanya mengenal perkalian titik (ingat di
Aljabar Linear), yaitu
(f · g ) (x ) = f (x ) · g (x )
= f1 (x ) g1 (x ) + . . . + fn (x ) gn (x )
Kita juga dapat membentuk fungsi baru melalui perkalian skalar yaitu
(cf ) (x ) = cf (x )
= (cf1 (x ) , . . . , cfn (x ))
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
2 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Aljabar Fungsi Bernilai Vektor
Misalkan kita mempunyai fungsi bernilai vektor f , g : R m → R n .
Fungsi ini dapat dibentuk menjadi fungsi baru, misalkan melalui
penjumlahan
(f + g ) (x ) = f (x ) + g (x )
Tetapi untuk perkalian, kita hanya mengenal perkalian titik (ingat di
Aljabar Linear), yaitu
(f · g ) (x ) = f (x ) · g (x )
= f1 (x ) g1 (x ) + . . . + fn (x ) gn (x )
Kita juga dapat membentuk fungsi baru melalui perkalian skalar yaitu
(cf ) (x ) = cf (x )
= (cf1 (x ) , . . . , cfn (x ))
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
2 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Fungsi Komposisi
Misalkan kita mempunyai fungsi f : R2 → R2 dengan
(u, v ) = f (x, y ) dengan aturan misalkan
u = x 2 − xy
v = xy + y 2
Selanjutnya, misalkan x, y masing-masing juga bergantung kepada
s, t dalam bentuk
x = as + bt
y = cs + dt
Selanjutnya, (u, v ) juga dapat dipandang sebagai fungsi dari s, t yaitu
u = (as + bt )2 − (as + bt ) (cs + dt )
v = (as + bt ) (cs + dt ) + (cs + dt )2
Misalkan (x, y ) = g (s, t ) dengan g : R2 → R2 , maka rumus yang
terakhir tersebut dapat dipandang sebagai
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
3 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Fungsi Komposisi
Misalkan kita mempunyai fungsi f : R2 → R2 dengan
(u, v ) = f (x, y ) dengan aturan misalkan
u = x 2 − xy
v = xy + y 2
Selanjutnya, misalkan x, y masing-masing juga bergantung kepada
s, t dalam bentuk
x = as + bt
y = cs + dt
Selanjutnya, (u, v ) juga dapat dipandang sebagai fungsi dari s, t yaitu
u = (as + bt )2 − (as + bt ) (cs + dt )
v = (as + bt ) (cs + dt ) + (cs + dt )2
Misalkan (x, y ) = g (s, t ) dengan g : R2 → R2 , maka rumus yang
terakhir tersebut dapat dipandang sebagai
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
3 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Fungsi Komposisi
Misalkan kita mempunyai fungsi f : R2 → R2 dengan
(u, v ) = f (x, y ) dengan aturan misalkan
u = x 2 − xy
v = xy + y 2
Selanjutnya, misalkan x, y masing-masing juga bergantung kepada
s, t dalam bentuk
x = as + bt
y = cs + dt
Selanjutnya, (u, v ) juga dapat dipandang sebagai fungsi dari s, t yaitu
u = (as + bt )2 − (as + bt ) (cs + dt )
v = (as + bt ) (cs + dt ) + (cs + dt )2
Misalkan (x, y ) = g (s, t ) dengan g : R2 → R2 , maka rumus yang
terakhir tersebut dapat dipandang sebagai
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
3 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Fungsi Komposisi
Misalkan kita mempunyai fungsi f : R2 → R2 dengan
(u, v ) = f (x, y ) dengan aturan misalkan
u = x 2 − xy
v = xy + y 2
Selanjutnya, misalkan x, y masing-masing juga bergantung kepada
s, t dalam bentuk
x = as + bt
y = cs + dt
Selanjutnya, (u, v ) juga dapat dipandang sebagai fungsi dari s, t yaitu
u = (as + bt )2 − (as + bt ) (cs + dt )
v = (as + bt ) (cs + dt ) + (cs + dt )2
Misalkan (x, y ) = g (s, t ) dengan g : R2 → R2 , maka rumus yang
terakhir tersebut dapat dipandang sebagai
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
3 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Fungsi Komposisi
Misalkan kita mempunyai fungsi f : R2 → R2 dengan
(u, v ) = f (x, y )
Misalkan (x, y ) = g (s, t ) dengan g : R2 → R2 , maka komposisi
fungsi adalah (u, v ) = f (g (s, t )) = f ◦ g (s, t ).
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
4 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Fungsi Komposisi
Misalkan kita mempunyai fungsi f : R2 → R2 dengan
(u, v ) = f (x, y )
Misalkan (x, y ) = g (s, t ) dengan g : R2 → R2 , maka komposisi
fungsi adalah (u, v ) = f (g (s, t )) = f ◦ g (s, t ).
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
4 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Fungsi Komposisi
Misalkan kita mempunyai fungsi f : R2 → R2 dengan
(u, v ) = f (x, y )
Misalkan (x, y ) = g (s, t ) dengan g : R2 → R2 , maka komposisi
fungsi adalah (u, v ) = f (g (s, t )) = f ◦ g (s, t ).
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
4 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Turunan Fungsi Bernilai Vektor
Turunan fungsi vektor diharapkan mempunyai sifat yang sama dengan
fungsi yang sudah dikenal.
Turunan penjumlahan fungsi
(f + g ) 0 (a ) = f 0 (a ) + g 0 (a )
Turunan perkalian fungsi
(f · g ) 0 (a ) = f 0 (a ) · g (a ) + f (a ) · g 0 (a )
Turunan perkalian skalar
(cf )0 (a) = cf 0 (a)
Komposisi
(f ◦ g )0 (a) = f 0 (g (a)) ◦ g 0 (a)
dengan ◦ dipandang sebagai komposisi transformasi
(perkalian matriks)
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
5 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Turunan Fungsi Bernilai Vektor
Turunan fungsi vektor diharapkan mempunyai sifat yang sama dengan
fungsi yang sudah dikenal.
Turunan penjumlahan fungsi
(f + g ) 0 (a ) = f 0 (a ) + g 0 (a )
Turunan perkalian fungsi
(f · g ) 0 (a ) = f 0 (a ) · g (a ) + f (a ) · g 0 (a )
Turunan perkalian skalar
(cf )0 (a) = cf 0 (a)
Komposisi
(f ◦ g )0 (a) = f 0 (g (a)) ◦ g 0 (a)
dengan ◦ dipandang sebagai komposisi transformasi
(perkalian matriks)
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
5 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Turunan Fungsi Bernilai Vektor
Turunan fungsi vektor diharapkan mempunyai sifat yang sama dengan
fungsi yang sudah dikenal.
Turunan penjumlahan fungsi
(f + g ) 0 (a ) = f 0 (a ) + g 0 (a )
Turunan perkalian fungsi
(f · g ) 0 (a ) = f 0 (a ) · g (a ) + f (a ) · g 0 (a )
Turunan perkalian skalar
(cf )0 (a) = cf 0 (a)
Komposisi
(f ◦ g )0 (a) = f 0 (g (a)) ◦ g 0 (a)
dengan ◦ dipandang sebagai komposisi transformasi
(perkalian matriks)
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
5 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Turunan Fungsi Bernilai Vektor
Turunan fungsi vektor diharapkan mempunyai sifat yang sama dengan
fungsi yang sudah dikenal.
Turunan penjumlahan fungsi
(f + g ) 0 (a ) = f 0 (a ) + g 0 (a )
Turunan perkalian fungsi
(f · g ) 0 (a ) = f 0 (a ) · g (a ) + f (a ) · g 0 (a )
Turunan perkalian skalar
(cf )0 (a) = cf 0 (a)
Komposisi
(f ◦ g )0 (a) = f 0 (g (a)) ◦ g 0 (a)
dengan ◦ dipandang sebagai komposisi transformasi
(perkalian matriks)
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
5 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Turunan Fungsi Bernilai Vektor
Turunan fungsi vektor diharapkan mempunyai sifat yang sama dengan
fungsi yang sudah dikenal.
Turunan penjumlahan fungsi
(f + g ) 0 (a ) = f 0 (a ) + g 0 (a )
Turunan perkalian fungsi
(f · g ) 0 (a ) = f 0 (a ) · g (a ) + f (a ) · g 0 (a )
Turunan perkalian skalar
(cf )0 (a) = cf 0 (a)
Komposisi
(f ◦ g )0 (a) = f 0 (g (a)) ◦ g 0 (a)
dengan ◦ dipandang sebagai komposisi transformasi
(perkalian matriks)
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
5 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Turunan Fungsi Komposisi
Misalkan f dan g masing-masing diberikan dalam bentuk


 u = u (x, y , z )
 x = x (s, t )
v = v (x, y , z ) dan g :
y = y (s, t )
f :


w = w (x, y , z )
z = z (s, t )
Carilah matriks turunan pemetaan f (g (s, t ))
Matriks turunan masing-masing adalah
 ∂u ∂u ∂u 

f 0 (g (a)) = 
∂x
∂v
∂x
∂z
∂x
∂y
∂v
∂y
∂z
∂y
∂z
∂v
∂z
∂z
∂z


0
 dan g (a) = 
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
∂x
∂s
∂y
∂s
∂z
∂s
∂x
∂t
∂y
∂t
∂z
∂t


6 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Turunan Fungsi Komposisi
Misalkan f dan g masing-masing diberikan dalam bentuk


 u = u (x, y , z )
 x = x (s, t )
v = v (x, y , z ) dan g :
y = y (s, t )
f :


w = w (x, y , z )
z = z (s, t )
Carilah matriks turunan pemetaan f (g (s, t ))
Matriks turunan masing-masing adalah
 ∂u ∂u ∂u 

f 0 (g (a)) = 
∂x
∂v
∂x
∂z
∂x
∂y
∂v
∂y
∂z
∂y
∂z
∂v
∂z
∂z
∂z


0
 dan g (a) = 
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
∂x
∂s
∂y
∂s
∂z
∂s
∂x
∂t
∂y
∂t
∂z
∂t


6 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Turunan Fungsi Komposisi
Misalkan f dan g masing-masing diberikan dalam bentuk


 u = u (x, y , z )
 x = x (s, t )
v = v (x, y , z ) dan g :
y = y (s, t )
f :


w = w (x, y , z )
z = z (s, t )
Carilah matriks turunan pemetaan f (g (s, t ))
Komposisinya dan turunannya menjadi

 u = u (s, t ) = u (x (s, t ) , y (s, t ) , z (s, t ))
v = v (s, t ) = v (x (s, t ) , y (s, t ) , z (s, t ))
f ◦g :

w = w (s, t ) = w (x (s, t ) , y (s, t ) , z (s, t ))
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor

dan 
∂u
∂s
∂v
∂s
∂w
∂s
∂u
∂t
∂v
∂t
∂w
∂t
7 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Turunan Fungsi Komposisi
Misalkan f dan g masing-masing diberikan dalam bentuk


 u = u (x, y , z )
 x = x (s, t )
v = v (x, y , z ) dan g :
y = y (s, t )
f :


w = w (x, y , z )
z = z (s, t )
Carilah matriks turunan pemetaan f (g (s, t ))
Komposisinya dan turunannya menjadi

 u = u (s, t ) = u (x (s, t ) , y (s, t ) , z (s, t ))
v = v (s, t ) = v (x (s, t ) , y (s, t ) , z (s, t ))
f ◦g :

w = w (s, t ) = w (x (s, t ) , y (s, t ) , z (s, t ))
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor

dan 
∂u
∂s
∂v
∂s
∂w
∂s
∂u
∂t
∂v
∂t
∂w
∂t
7 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Turunan Fungsi Komposisi
Komposisinya dan turunannya menjadi

 u = u (s, t ) = u (x (s, t ) , y (s, t ) , z (s, t ))
v = v (s, t ) = v (x (s, t ) , y (s, t ) , z (s, t ))
f ◦g :

w = w (s, t ) = w (x (s, t ) , y (s, t ) , z (s, t ))


∂u
∂s
∂v
∂s
∂w
∂s
∂u
∂t
∂v
∂t
∂w
∂t


=

∂u
∂x
∂v
∂x
∂z
∂x
∂u
∂y
∂v
∂y
∂z
∂y
∂u
∂z
∂v
∂z
∂z
∂z



∂x
∂s
∂y
∂s
∂z
∂s
∂x
∂t
∂y
∂t
∂z
∂t

dan 
∂u
∂s
∂v
∂s
∂w
∂s
∂u
∂t
∂v
∂t
∂w
∂t


dengan
∂u
∂u ∂x
∂u ∂y
∂u ∂z
=
+
+
∂s
∂x ∂s
∂y ∂s
∂z ∂s
∂u
∂u ∂x
∂u ∂y
∂u ∂z
=
+
+
∂t
∂x ∂t
∂y ∂t
∂z ∂t
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
8 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Turunan Fungsi Komposisi
Komposisinya dan turunannya menjadi

 u = u (s, t ) = u (x (s, t ) , y (s, t ) , z (s, t ))
v = v (s, t ) = v (x (s, t ) , y (s, t ) , z (s, t ))
f ◦g :

w = w (s, t ) = w (x (s, t ) , y (s, t ) , z (s, t ))


∂u
∂s
∂v
∂s
∂w
∂s
∂u
∂t
∂v
∂t
∂w
∂t


=

∂u
∂x
∂v
∂x
∂z
∂x
∂u
∂y
∂v
∂y
∂z
∂y
∂u
∂z
∂v
∂z
∂z
∂z



∂x
∂s
∂y
∂s
∂z
∂s
∂x
∂t
∂y
∂t
∂z
∂t

dan 
∂u
∂s
∂v
∂s
∂w
∂s
∂u
∂t
∂v
∂t
∂w
∂t


dengan
∂u
∂u ∂x
∂u ∂y
∂u ∂z
=
+
+
∂s
∂x ∂s
∂y ∂s
∂z ∂s
∂u
∂u ∂x
∂u ∂y
∂u ∂z
=
+
+
∂t
∂x ∂t
∂y ∂t
∂z ∂t
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
8 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Turunan Fungsi Komposisi
Cara Mengingat
Misalkan u = u (x, y , z ), maka
du =
∂u
∂u
∂u
dx +
dy + dz
∂x
∂y
∂z
Selanjutnya, jika (x (t ) , y (t ) , z (t )), maka kita akan mengenal
Dalam hal ini
du
∂u dx
∂u dy
∂u dz
=
+
+
dt
∂x dt
∂y dt
∂z dt
Tetapi jika (x (s, t ) , y (s, t ) , z (s, t )), maka kita akan mengenal
dan ∂u
∂t
Dalam hal ini:
∂u
∂u ∂x
∂u ∂y
∂u ∂z
=
+
+
∂s
∂x ∂s
∂y ∂s
∂z ∂s
∂u
∂u ∂x
∂u ∂y
∂u ∂z
=
+
+
∂t
∂x ∂t
∂y ∂t
∂z ∂t
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
du
dt
∂u
∂s
9 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Turunan Fungsi Komposisi
Cara Mengingat
Misalkan u = u (x, y , z ), maka
du =
∂u
∂u
∂u
dx +
dy + dz
∂x
∂y
∂z
Selanjutnya, jika (x (t ) , y (t ) , z (t )), maka kita akan mengenal
Dalam hal ini
du
∂u dx
∂u dy
∂u dz
=
+
+
dt
∂x dt
∂y dt
∂z dt
Tetapi jika (x (s, t ) , y (s, t ) , z (s, t )), maka kita akan mengenal
dan ∂u
∂t
Dalam hal ini:
∂u
∂u ∂x
∂u ∂y
∂u ∂z
=
+
+
∂s
∂x ∂s
∂y ∂s
∂z ∂s
∂u
∂u ∂x
∂u ∂y
∂u ∂z
=
+
+
∂t
∂x ∂t
∂y ∂t
∂z ∂t
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
du
dt
∂u
∂s
9 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Turunan Fungsi Komposisi
Cara Mengingat
Misalkan u = u (x, y , z ), maka
du =
∂u
∂u
∂u
dx +
dy + dz
∂x
∂y
∂z
Selanjutnya, jika (x (t ) , y (t ) , z (t )), maka kita akan mengenal
Dalam hal ini
du
∂u dx
∂u dy
∂u dz
=
+
+
dt
∂x dt
∂y dt
∂z dt
Tetapi jika (x (s, t ) , y (s, t ) , z (s, t )), maka kita akan mengenal
dan ∂u
∂t
Dalam hal ini:
∂u
∂u ∂x
∂u ∂y
∂u ∂z
=
+
+
∂s
∂x ∂s
∂y ∂s
∂z ∂s
∂u
∂u ∂x
∂u ∂y
∂u ∂z
=
+
+
∂t
∂x ∂t
∂y ∂t
∂z ∂t
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
du
dt
∂u
∂s
9 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Turunan Fungsi Komposisi
Cara Mengingat
Misalkan u = u (x, y , z ), maka
du =
∂u
∂u
∂u
dx +
dy + dz
∂x
∂y
∂z
Selanjutnya, jika (x (t ) , y (t ) , z (t )), maka kita akan mengenal
Dalam hal ini
du
∂u dx
∂u dy
∂u dz
=
+
+
dt
∂x dt
∂y dt
∂z dt
Tetapi jika (x (s, t ) , y (s, t ) , z (s, t )), maka kita akan mengenal
dan ∂u
∂t
Dalam hal ini:
∂u
∂u ∂x
∂u ∂y
∂u ∂z
=
+
+
∂s
∂x ∂s
∂y ∂s
∂z ∂s
∂u
∂u ∂x
∂u ∂y
∂u ∂z
=
+
+
∂t
∂x ∂t
∂y ∂t
∂z ∂t
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
du
dt
∂u
∂s
9 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Turunan Fungsi Komposisi
Cara Mengingat
Misalkan u = u (x, y , z ), maka
du =
∂u
∂u
∂u
dx +
dy + dz
∂x
∂y
∂z
Selanjutnya, jika (x (t ) , y (t ) , z (t )), maka kita akan mengenal
Dalam hal ini
du
∂u dx
∂u dy
∂u dz
=
+
+
dt
∂x dt
∂y dt
∂z dt
Tetapi jika (x (s, t ) , y (s, t ) , z (s, t )), maka kita akan mengenal
dan ∂u
∂t
Dalam hal ini:
∂u
∂u ∂x
∂u ∂y
∂u ∂z
=
+
+
∂s
∂x ∂s
∂y ∂s
∂z ∂s
∂u
∂u ∂x
∂u ∂y
∂u ∂z
=
+
+
∂t
∂x ∂t
∂y ∂t
∂z ∂t
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
du
dt
∂u
∂s
9 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Operator Turunan
Misalkan u = (x, y , z ) dengan x = x (s, t ), y = y (s, t ), dan
z = z (s, t ).
2
∂2 u ∂2 u
Kita akan mencari turunan kedua ∂∂su2 , ∂s∂t
, ∂t 2 .
∂u ∂x
∂u ∂y
∂z
∂u
Kita mengetahui bahwa ∂s = ∂x ∂s + ∂y ∂s + ∂u
∂z ∂s , maka definisikan
operator turunan terhadap s, yaitu
∂
∂x ∂
∂y ∂
∂z ∂
=
+
+
∂s
∂s ∂x
∂s ∂y
∂s ∂z
serupa turunan terhadap t.
2
Untuk mencari turunan kedua, ∂∂su2 , jika langsung digunakan operator
di atas untuk ∂u
∂s , hasilnya adalah
∂ ∂u
∂x ∂ ∂u
∂y ∂ ∂u
∂z ∂ ∂u
=
+
+
∂s ∂s
∂s ∂x ∂s
∂s ∂y ∂s
∂s ∂z ∂s
Perhatikan bahwa tidak boleh ada
space yang berbeda.
∂2 u
∂x ∂s ,
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
karena x, s dua variabel di
10 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Operator Turunan
Misalkan u = (x, y , z ) dengan x = x (s, t ), y = y (s, t ), dan
z = z (s, t ).
2
∂2 u ∂2 u
Kita akan mencari turunan kedua ∂∂su2 , ∂s∂t
, ∂t 2 .
∂u ∂x
∂u ∂y
∂z
∂u
Kita mengetahui bahwa ∂s = ∂x ∂s + ∂y ∂s + ∂u
∂z ∂s , maka definisikan
operator turunan terhadap s, yaitu
∂
∂x ∂
∂y ∂
∂z ∂
=
+
+
∂s
∂s ∂x
∂s ∂y
∂s ∂z
serupa turunan terhadap t.
2
Untuk mencari turunan kedua, ∂∂su2 , jika langsung digunakan operator
di atas untuk ∂u
∂s , hasilnya adalah
∂ ∂u
∂x ∂ ∂u
∂y ∂ ∂u
∂z ∂ ∂u
=
+
+
∂s ∂s
∂s ∂x ∂s
∂s ∂y ∂s
∂s ∂z ∂s
Perhatikan bahwa tidak boleh ada
space yang berbeda.
∂2 u
∂x ∂s ,
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
karena x, s dua variabel di
10 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Operator Turunan
Misalkan u = (x, y , z ) dengan x = x (s, t ), y = y (s, t ), dan
z = z (s, t ).
2
∂2 u ∂2 u
Kita akan mencari turunan kedua ∂∂su2 , ∂s∂t
, ∂t 2 .
∂u ∂x
∂u ∂y
∂z
∂u
Kita mengetahui bahwa ∂s = ∂x ∂s + ∂y ∂s + ∂u
∂z ∂s , maka definisikan
operator turunan terhadap s, yaitu
∂
∂x ∂
∂y ∂
∂z ∂
=
+
+
∂s
∂s ∂x
∂s ∂y
∂s ∂z
serupa turunan terhadap t.
2
Untuk mencari turunan kedua, ∂∂su2 , jika langsung digunakan operator
di atas untuk ∂u
∂s , hasilnya adalah
∂ ∂u
∂x ∂ ∂u
∂y ∂ ∂u
∂z ∂ ∂u
=
+
+
∂s ∂s
∂s ∂x ∂s
∂s ∂y ∂s
∂s ∂z ∂s
Perhatikan bahwa tidak boleh ada
space yang berbeda.
∂2 u
∂x ∂s ,
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
karena x, s dua variabel di
10 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Operator Turunan
Misalkan u = (x, y , z ) dengan x = x (s, t ), y = y (s, t ), dan
z = z (s, t ).
2
∂2 u ∂2 u
Kita akan mencari turunan kedua ∂∂su2 , ∂s∂t
, ∂t 2 .
∂u ∂x
∂u ∂y
∂z
∂u
Kita mengetahui bahwa ∂s = ∂x ∂s + ∂y ∂s + ∂u
∂z ∂s , maka definisikan
operator turunan terhadap s, yaitu
∂
∂x ∂
∂y ∂
∂z ∂
=
+
+
∂s
∂s ∂x
∂s ∂y
∂s ∂z
serupa turunan terhadap t.
2
Untuk mencari turunan kedua, ∂∂su2 , jika langsung digunakan operator
di atas untuk ∂u
∂s , hasilnya adalah
∂ ∂u
∂x ∂ ∂u
∂y ∂ ∂u
∂z ∂ ∂u
=
+
+
∂s ∂s
∂s ∂x ∂s
∂s ∂y ∂s
∂s ∂z ∂s
Perhatikan bahwa tidak boleh ada
space yang berbeda.
∂2 u
∂x ∂s ,
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
karena x, s dua variabel di
10 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Operator Turunan
Misalkan u = (x, y , z ) dengan x = x (s, t ), y = y (s, t ), dan
z = z (s, t ).
2
∂2 u ∂2 u
Kita akan mencari turunan kedua ∂∂su2 , ∂s∂t
, ∂t 2 .
∂u ∂x
∂u ∂y
∂z
∂u
Kita mengetahui bahwa ∂s = ∂x ∂s + ∂y ∂s + ∂u
∂z ∂s , maka definisikan
operator turunan terhadap s, yaitu
∂
∂x ∂
∂y ∂
∂z ∂
=
+
+
∂s
∂s ∂x
∂s ∂y
∂s ∂z
serupa turunan terhadap t.
2
Untuk mencari turunan kedua, ∂∂su2 , jika langsung digunakan operator
di atas untuk ∂u
∂s , hasilnya adalah
∂ ∂u
∂x ∂ ∂u
∂y ∂ ∂u
∂z ∂ ∂u
=
+
+
∂s ∂s
∂s ∂x ∂s
∂s ∂y ∂s
∂s ∂z ∂s
Perhatikan bahwa tidak boleh ada
space yang berbeda.
∂2 u
∂x ∂s ,
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
karena x, s dua variabel di
10 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Operator Turunan dan Turunan Kedua
Perhatikan bahwa tidak boleh ada
space yang berbeda.
2
v
2
1
∂2 u
∂x ∂s ,
karena x, s dua variabel di
y
2
1
1
u
−1
−1
01
2
yang ada, hanya
3
t
x
−1
−1
01
∂u ∂u ∂2 u ∂2 u ∂2 u
∂x , ∂y , ∂x 2 , ∂x ∂y , ∂y 2
2
3
serta
s
−1
−1
01
2
3
∂x ∂x ∂2 x ∂2 x ∂2 x
∂s , ∂t , ∂s 2 , ∂s∂t , ∂t 2
dan tentu saja, u diganti dengan v serta x diganti dengan y atau z.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
11 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Operator Turunan dan Turunan Kedua
Perhatikan bahwa tidak boleh ada
space yang berbeda.
2
v
2
1
∂2 u
∂x ∂s ,
karena x, s dua variabel di
y
2
1
1
u
−1
−1
01
2
yang ada, hanya
3
t
x
−1
−1
01
∂u ∂u ∂2 u ∂2 u ∂2 u
∂x , ∂y , ∂x 2 , ∂x ∂y , ∂y 2
2
3
serta
s
−1
−1
01
2
3
∂x ∂x ∂2 x ∂2 x ∂2 x
∂s , ∂t , ∂s 2 , ∂s∂t , ∂t 2
dan tentu saja, u diganti dengan v serta x diganti dengan y atau z.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
11 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Operator Turunan dan Turunan Kedua
Perhatikan bahwa tidak boleh ada
space yang berbeda.
2
v
2
1
∂2 u
∂x ∂s ,
karena x, s dua variabel di
y
2
1
1
u
−1
−1
01
2
yang ada, hanya
3
t
x
−1
−1
01
∂u ∂u ∂2 u ∂2 u ∂2 u
∂x , ∂y , ∂x 2 , ∂x ∂y , ∂y 2
2
3
serta
s
−1
−1
01
2
3
∂x ∂x ∂2 x ∂2 x ∂2 x
∂s , ∂t , ∂s 2 , ∂s∂t , ∂t 2
dan tentu saja, u diganti dengan v serta x diganti dengan y atau z.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
11 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Operator Turunan dan Turunan Kedua
Perhatikan bahwa tidak boleh ada
space yang berbeda.
2
v
2
1
∂2 u
∂x ∂s ,
karena x, s dua variabel di
y
2
1
1
u
−1
−1
01
2
yang ada, hanya
3
t
x
−1
−1
01
∂u ∂u ∂2 u ∂2 u ∂2 u
∂x , ∂y , ∂x 2 , ∂x ∂y , ∂y 2
2
3
serta
s
−1
−1
01
2
3
∂x ∂x ∂2 x ∂2 x ∂2 x
∂s , ∂t , ∂s 2 , ∂s∂t , ∂t 2
dan tentu saja, u diganti dengan v serta x diganti dengan y atau z.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
11 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Operator Turunan
Misalkan u = (x, y , z ) dengan x = x (s, t ), y = y (s, t ), dan
z = z (s, t ).
2
Untuk mencari turunan kedua, ∂∂su2 ,
∂ ∂u
∂ ∂u ∂x
∂u ∂y
∂u ∂z
=
+
+
∂s ∂s
∂s ∂x ∂s
∂y ∂s
∂z ∂s
∂ ∂u ∂x
=
+...
∂s ∂x ∂s
∂x
Untuk mencari ∂s∂ ∂u
∂x ∂s , maka dituliskan
∂ ∂u ∂x
∂x
∂ ∂x ∂u
∂ ∂u
=
+
∂s ∂x ∂s
∂s ∂x
∂s
∂s ∂s ∂x
| {z }
ini yang pakai operator
∂x ∂x ∂ ∂u
∂y ∂ ∂u
∂z ∂ ∂u
=
+
+
∂s ∂s ∂x ∂x
∂s ∂y ∂x
∂s ∂z ∂x
2
∂u ITB)
∂ x FMIPA
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri,
Fungsi Bernilai Vektor
12 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Operator Turunan
Misalkan u = (x, y , z ) dengan x = x (s, t ), y = y (s, t ), dan
z = z (s, t ).
2
Untuk mencari turunan kedua, ∂∂su2 ,
∂ ∂u
∂ ∂u ∂x
∂u ∂y
∂u ∂z
=
+
+
∂s ∂s
∂s ∂x ∂s
∂y ∂s
∂z ∂s
∂ ∂u ∂x
=
+...
∂s ∂x ∂s
∂x
Untuk mencari ∂s∂ ∂u
∂x ∂s , maka dituliskan
∂ ∂u ∂x
∂x
∂ ∂x ∂u
∂ ∂u
=
+
∂s ∂x ∂s
∂s ∂x
∂s
∂s ∂s ∂x
| {z }
ini yang pakai operator
∂x ∂x ∂ ∂u
∂y ∂ ∂u
∂z ∂ ∂u
=
+
+
∂s ∂s ∂x ∂x
∂s ∂y ∂x
∂s ∂z ∂x
2
∂u ITB)
∂ x FMIPA
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri,
Fungsi Bernilai Vektor
12 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Operator Turunan
Misalkan u = (x, y , z ) dengan x = x (s, t ), y = y (s, t ), dan
z = z (s, t ).
2
Untuk mencari turunan kedua, ∂∂su2 ,
∂ ∂u
∂ ∂u ∂x
∂u ∂y
∂u ∂z
=
+
+
∂s ∂s
∂s ∂x ∂s
∂y ∂s
∂z ∂s
∂ ∂u ∂x
=
+...
∂s ∂x ∂s
∂x
Untuk mencari ∂s∂ ∂u
∂x ∂s , maka dituliskan
∂x
∂ ∂u ∂x
∂ ∂u
∂ ∂x ∂u
=
+
∂s ∂x ∂s
∂s ∂x
∂s
∂s ∂s ∂x
| {z }
ini yang pakai operator
∂x ∂x ∂ ∂u
∂y ∂ ∂u
∂z ∂ ∂u
=
+
+
∂s ∂s ∂x ∂x
∂s ∂y ∂x
∂s ∂z ∂x
2
∂ x FMIPA
∂u ITB)
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri,
Fungsi Bernilai Vektor
12 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Operator Turunan
Untuk mencari
∂
∂s
∂u ∂x
∂x ∂s
∂
∂s
∂u ∂x
∂x ∂s
, maka dituliskan
∂x ∂ ∂u
∂y ∂ ∂u
∂z ∂ ∂u
=
+
+
∂s ∂x ∂x
∂s ∂y ∂x
∂s ∂z ∂x
2
∂ x ∂u
+ 2
∂s ∂x
∂2 u ∂x 2
∂x
∂y
∂2 u ∂x
∂z
∂2 u
= 2
+
+
∂x
∂s
∂y ∂x ∂s
∂s
∂z ∂x ∂s
∂s
2
∂ x ∂u
+ 2
∂s ∂x
Kita tinggal menghitung
∂ ∂u ∂z
∂ ∂u ∂y
dan
∂s ∂y ∂s
∂s ∂z ∂s
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
13 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Operator Turunan
Untuk mencari
∂
∂s
∂u ∂x
∂x ∂s
∂
∂s
∂u ∂x
∂x ∂s
, maka dituliskan
∂x ∂ ∂u
∂y ∂ ∂u
∂z ∂ ∂u
=
+
+
∂s ∂x ∂x
∂s ∂y ∂x
∂s ∂z ∂x
2
∂ x ∂u
+ 2
∂s ∂x
∂2 u ∂x 2
∂x
∂y
∂2 u ∂x
∂z
∂2 u
= 2
+
+
∂x
∂s
∂y ∂x ∂s
∂s
∂z ∂x ∂s
∂s
2
∂ x ∂u
+ 2
∂s ∂x
Kita tinggal menghitung
∂ ∂u ∂z
∂ ∂u ∂y
dan
∂s ∂y ∂s
∂s ∂z ∂s
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
13 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Contoh Transformasi Turunan
Example
Misalkan u (x, t ) fungsi yang mempunyai turunan kedua dan
memenuhi persamaan gelombang satu dimensi
c 2 uxx = utt
Tuliskan persamaan gelombang tersebut dalam koordinat ξ = x − ct
dan η = x + ct
Solution
Transformasi di soal dapat ditulis sebagai
x=
ξ+η
ξ−η
dan y =
2
2
Jadi u (x, t ) dapat ditransformasi menjadi fungsi yang bergantung
pada ξ dan η.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
14 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Contoh Transformasi Turunan
Example
Misalkan u (x, t ) fungsi yang mempunyai turunan kedua dan
memenuhi persamaan gelombang satu dimensi
c 2 uxx = utt
Tuliskan persamaan gelombang tersebut dalam koordinat ξ = x − ct
dan η = x + ct
Solution
Transformasi di soal dapat ditulis sebagai
x=
ξ+η
ξ−η
dan y =
2
2
Jadi u (x, t ) dapat ditransformasi menjadi fungsi yang bergantung
pada ξ dan η.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
14 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Contoh Transformasi Turunan
Example
Misalkan u (x, t ) fungsi yang mempunyai turunan kedua dan
memenuhi persamaan gelombang satu dimensi
c 2 uxx = utt
Tuliskan persamaan gelombang tersebut dalam koordinat ξ = x − ct
dan η = x + ct
Solution
Transformasi di soal dapat ditulis sebagai
x=
ξ+η
ξ−η
dan y =
2
2
Jadi u (x, t ) dapat ditransformasi menjadi fungsi yang bergantung
pada ξ dan η.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
14 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Contoh Transformasi Turunan
Solution
ξ +η
ξ −η
Transformasi di soal dapat ditulis sebagai x = 2 dan y = 2 . Jadi
u (x, t ) dapat ditransformasi menjadi fungsi yang bergantung pada ξ
dan η.
Kita harus mencari
∂u ∂u
∂x , ∂y .
Dalam hal ini
∂u
∂u ∂ξ
∂u ∂η
∂u
∂u
=
+
=
+
∂x
∂ξ ∂x
∂η ∂x
∂ξ
∂η
Perhatikan operator
∂
∂x
=
∂
∂ξ
+
∂
∂η
Selanjutnya
∂ ∂u
∂ ∂u
∂u
∂ ∂u
∂ ∂u
=
+
=
+
∂x ∂x
∂x ∂ξ
∂η
∂x ∂ξ
∂x ∂η
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
15 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Contoh Transformasi Turunan
Solution
ξ +η
ξ −η
Transformasi di soal dapat ditulis sebagai x = 2 dan y = 2 . Jadi
u (x, t ) dapat ditransformasi menjadi fungsi yang bergantung pada ξ
dan η.
Kita harus mencari
∂u ∂u
∂x , ∂y .
Dalam hal ini
∂u
∂u ∂ξ
∂u ∂η
∂u
∂u
=
+
=
+
∂x
∂ξ ∂x
∂η ∂x
∂ξ
∂η
Perhatikan operator
∂
∂x
=
∂
∂ξ
+
∂
∂η
Selanjutnya
∂ ∂u
∂ ∂u
∂u
∂ ∂u
∂ ∂u
=
+
=
+
∂x ∂x
∂x ∂ξ
∂η
∂x ∂ξ
∂x ∂η
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
15 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Contoh Transformasi Turunan
Solution
ξ +η
ξ −η
Transformasi di soal dapat ditulis sebagai x = 2 dan y = 2 . Jadi
u (x, t ) dapat ditransformasi menjadi fungsi yang bergantung pada ξ
dan η.
Kita harus mencari
∂u ∂u
∂x , ∂y .
Dalam hal ini
∂u
∂u ∂ξ
∂u ∂η
∂u
∂u
=
+
=
+
∂x
∂ξ ∂x
∂η ∂x
∂ξ
∂η
Perhatikan operator
∂
∂x
=
∂
∂ξ
+
∂
∂η
Selanjutnya
∂ ∂u
∂ ∂u
∂u
∂ ∂u
∂ ∂u
=
+
=
+
∂x ∂x
∂x ∂ξ
∂η
∂x ∂ξ
∂x ∂η
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
15 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Contoh Transformasi Turunan
Solution
ξ +η
ξ −η
Transformasi di soal dapat ditulis sebagai x = 2 dan y = 2 . Jadi
u (x, t ) dapat ditransformasi menjadi fungsi yang bergantung pada ξ
dan η.
Kita harus mencari
∂u ∂u
∂x , ∂y .
Dalam hal ini
∂u
∂u ∂ξ
∂u ∂η
∂u
∂u
=
+
=
+
∂x
∂ξ ∂x
∂η ∂x
∂ξ
∂η
Perhatikan operator
∂
∂x
=
∂
∂ξ
+
∂
∂η
Selanjutnya
∂ ∂u
∂ ∂u
∂u
∂ ∂u
∂ ∂u
=
+
=
+
∂x ∂x
∂x ∂ξ
∂η
∂x ∂ξ
∂x ∂η
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
15 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Contoh Transformasi Turunan
Solution
ξ +η
ξ −η
Transformasi di soal dapat ditulis sebagai x = 2 dan y = 2 . Jadi
u (x, t ) dapat ditransformasi menjadi fungsi yang bergantung pada ξ
dan η.
Kita harus mencari
∂u ∂u
∂x , ∂y .
Dalam hal ini
∂u
∂u ∂ξ
∂u ∂η
∂u
∂u
=
+
=
+
∂x
∂ξ ∂x
∂η ∂x
∂ξ
∂η
Perhatikan operator
∂
∂x
=
∂
∂ξ
+
∂
∂η
Selanjutnya
∂ ∂u
∂ ∂u
∂u
∂ ∂u
∂ ∂u
=
+
=
+
∂x ∂x
∂x ∂ξ
∂η
∂x ∂ξ
∂x ∂η
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
15 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Contoh Transformasi Turunan
Solution
ξ +η
ξ −η
Transformasi di soal dapat ditulis sebagai x = 2 dan y = 2 . Jadi
u (x, t ) dapat ditransformasi menjadi fungsi yang bergantung pada ξ
dan η.
Kita harus mencari
∂u ∂u
∂x , ∂y .
Dalam hal ini
∂u
∂u ∂ξ
∂u ∂η
∂u
∂u
=
+
=
+
∂x
∂ξ ∂x
∂η ∂x
∂ξ
∂η
Perhatikan operator
∂
∂x
=
∂
∂ξ
+
∂
∂η
Selanjutnya
∂ ∂u
∂ ∂u
∂u
∂ ∂u
∂ ∂u
=
+
=
+
∂x ∂x
∂x ∂ξ
∂η
∂x ∂ξ
∂x ∂η
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
15 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Contoh Transformasi Turunan
Solution
∂
∂x
∂u
∂x
∂
=
∂x
∂u
∂u
+
∂ξ
∂η
∂
=
∂x
∂u
∂ξ
∂
+
∂x
∂u
∂η
Dalam hal ini
Carilah
∂
∂x
∂
∂x
∂u
∂η
∂u
∂ξ
∂ ∂u
=
∂x ∂ξ
∂
∂2 u
∂
∂u
∂2 u
=
+
= 2+
∂ξ
∂η
∂ξ
∂ξ
∂η∂ξ
∂2 u
∂2 u
+ 2
∂ξ∂η ∂η
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
16 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Contoh Transformasi Turunan
Solution
∂
∂x
∂u
∂x
∂
=
∂x
∂u
∂u
+
∂ξ
∂η
∂
=
∂x
∂u
∂ξ
∂
+
∂x
∂u
∂η
Dalam hal ini
Carilah
∂
∂x
∂
∂x
∂u
∂η
∂u
∂ξ
∂ ∂u
=
∂x ∂ξ
∂
∂2 u
∂
∂u
∂2 u
=
+
= 2+
∂ξ
∂η
∂ξ
∂ξ
∂η∂ξ
∂2 u
∂2 u
+ 2
∂ξ∂η ∂η
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
16 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Contoh Transformasi Turunan
Solution
∂
∂x
∂u
∂x
∂
=
∂x
∂u
∂u
+
∂ξ
∂η
∂
=
∂x
∂u
∂ξ
∂
+
∂x
∂u
∂η
Dalam hal ini
Carilah
∂
∂x
∂
∂x
∂u
∂η
∂u
∂ξ
∂ ∂u
=
∂x ∂ξ
∂
∂2 u
∂
∂u
∂2 u
=
+
= 2+
∂ξ
∂η
∂ξ
∂ξ
∂η∂ξ
∂2 u
∂2 u
+ 2
∂ξ∂η ∂η
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
16 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Contoh Transformasi Turunan
Solution
∂
∂x
∂u
∂x
∂
=
∂x
∂u
∂u
+
∂ξ
∂η
∂
=
∂x
∂u
∂ξ
∂
+
∂x
∂u
∂η
Dalam hal ini
Carilah
∂
∂x
∂
∂x
∂u
∂η
∂u
∂ξ
∂ ∂u
=
∂x ∂ξ
∂
∂2 u
∂
∂u
∂2 u
=
+
= 2+
∂ξ
∂η
∂ξ
∂ξ
∂η∂ξ
∂2 u
∂2 u
+ 2
∂ξ∂η ∂η
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
16 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Contoh Transformasi Turunan
Solution
Hasil akhir
∂2 u
∂2 u
∂2 u
∂2 u
+
=
+
2
∂x 2
∂ξ 2
∂ξ∂η ∂η 2
karena u mempunyai turunan kedua yang kontinu
Selanjutnya
2
2
2
∂2 u
2∂ u
2 ∂ u
2∂ u
=
c
−
2c
+
c
∂t 2
∂ξ 2
∂ξ∂η
∂η 2
Dengan demikian, persamaan gelombang dalam koordinat (ξ, η )
adalah
∂2 u
∂2 u
4c 2
= 0 atau
=0
∂ξ∂η
∂ξ∂η
jika c 6= 0.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
17 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Contoh Transformasi Turunan
Solution
Hasil akhir
∂2 u
∂2 u
∂2 u
∂2 u
+
=
+
2
∂x 2
∂ξ 2
∂ξ∂η ∂η 2
karena u mempunyai turunan kedua yang kontinu
Selanjutnya
2
2
2
∂2 u
2∂ u
2 ∂ u
2∂ u
=
c
−
2c
+
c
∂t 2
∂ξ 2
∂ξ∂η
∂η 2
Dengan demikian, persamaan gelombang dalam koordinat (ξ, η )
adalah
∂2 u
∂2 u
4c 2
= 0 atau
=0
∂ξ∂η
∂ξ∂η
jika c 6= 0.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
17 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Contoh Transformasi Turunan
Solution
Hasil akhir
∂2 u
∂2 u
∂2 u
∂2 u
+
=
+
2
∂x 2
∂ξ 2
∂ξ∂η ∂η 2
karena u mempunyai turunan kedua yang kontinu
Selanjutnya
2
2
2
∂2 u
2∂ u
2 ∂ u
2∂ u
=
c
−
2c
+
c
∂t 2
∂ξ 2
∂ξ∂η
∂η 2
Dengan demikian, persamaan gelombang dalam koordinat (ξ, η )
adalah
∂2 u
∂2 u
4c 2
= 0 atau
=0
∂ξ∂η
∂ξ∂η
jika c 6= 0.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
17 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Persamaan Gelombang
2
Kita telah melihat bahwa persamaan c 2 ∂∂xu2 −
∂2 u
=0
ξ = x − ct dan η = x + ct menjadi ∂ξ∂η
Dengan demikan
hasilnya nol.
∂u
∂η
∂2 u
∂t 2
= 0 di koordinat
= p1 (η ) karena kalau diturunkan terhadap ξ
Selanjutnya
u (ξ, η ) = p (η ) + q (ξ )
= p (x + ct ) + q (x − ct )
dengan p (η ) =
R
p1 (η ) d η
Solusid 0 Alambert
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
18 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Persamaan Gelombang
2
Kita telah melihat bahwa persamaan c 2 ∂∂xu2 −
∂2 u
=0
ξ = x − ct dan η = x + ct menjadi ∂ξ∂η
Dengan demikan
hasilnya nol.
∂u
∂η
∂2 u
∂t 2
= 0 di koordinat
= p1 (η ) karena kalau diturunkan terhadap ξ
Selanjutnya
u (ξ, η ) = p (η ) + q (ξ )
= p (x + ct ) + q (x − ct )
dengan p (η ) =
R
p1 (η ) d η
Solusid 0 Alambert
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
18 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Persamaan Gelombang
2
Kita telah melihat bahwa persamaan c 2 ∂∂xu2 −
∂2 u
=0
ξ = x − ct dan η = x + ct menjadi ∂ξ∂η
Dengan demikan
hasilnya nol.
∂u
∂η
∂2 u
∂t 2
= 0 di koordinat
= p1 (η ) karena kalau diturunkan terhadap ξ
Selanjutnya
u (ξ, η ) = p (η ) + q (ξ )
= p (x + ct ) + q (x − ct )
dengan p (η ) =
R
p1 (η ) d η
Solusid 0 Alambert
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
18 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Persamaan Gelombang
2
Kita telah melihat bahwa persamaan c 2 ∂∂xu2 −
∂2 u
=0
ξ = x − ct dan η = x + ct menjadi ∂ξ∂η
Dengan demikan
hasilnya nol.
∂u
∂η
∂2 u
∂t 2
= 0 di koordinat
= p1 (η ) karena kalau diturunkan terhadap ξ
Selanjutnya
u (ξ, η ) = p (η ) + q (ξ )
= p (x + ct ) + q (x − ct )
dengan p (η ) =
R
p1 (η ) d η
Solusid 0 Alambert
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
18 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Divergensi dan Kurl Medan Vektor
Misalkan F : R3 → R3 , turunan fungsi ini adalah
 ∂F ∂F ∂F 

dF = 
1
1
1
∂x
∂F2
∂x
∂F3
∂x
∂y
∂F2
∂y
∂F3
∂y
∂z
∂F2
∂z
∂F3
∂z


Untuk matriks, kita menganalisa tentang tracenya
∇·F =
∂F1
∂F2
∂F3
+
+
∂x
∂y
∂z
yang disebut sebagai divergensi.
Untuk determinan, kita sudah melihat pada saat transformasi.
Cara lain untuk memahami matriks ini adalah melihat matriks
t
t
simetrinya dF +2dF dan matriks anti simetrinya dF −2dF
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
19 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Divergensi dan Kurl Medan Vektor
Misalkan F : R3 → R3 , turunan fungsi ini adalah
 ∂F ∂F ∂F 

dF = 
1
1
1
∂x
∂F2
∂x
∂F3
∂x
∂y
∂F2
∂y
∂F3
∂y
∂z
∂F2
∂z
∂F3
∂z


Untuk matriks, kita menganalisa tentang tracenya
∇·F =
∂F1
∂F2
∂F3
+
+
∂x
∂y
∂z
yang disebut sebagai divergensi.
Untuk determinan, kita sudah melihat pada saat transformasi.
Cara lain untuk memahami matriks ini adalah melihat matriks
t
t
simetrinya dF +2dF dan matriks anti simetrinya dF −2dF
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
19 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Divergensi dan Kurl Medan Vektor
Misalkan F : R3 → R3 , turunan fungsi ini adalah
 ∂F ∂F ∂F 

dF = 
1
1
1
∂x
∂F2
∂x
∂F3
∂x
∂y
∂F2
∂y
∂F3
∂y
∂z
∂F2
∂z
∂F3
∂z


Untuk matriks, kita menganalisa tentang tracenya
∇·F =
∂F1
∂F2
∂F3
+
+
∂x
∂y
∂z
yang disebut sebagai divergensi.
Untuk determinan, kita sudah melihat pada saat transformasi.
Cara lain untuk memahami matriks ini adalah melihat matriks
t
t
simetrinya dF +2dF dan matriks anti simetrinya dF −2dF
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
19 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Divergensi dan Kurl Medan Vektor
Misalkan F : R3 → R3 , turunan fungsi ini adalah
 ∂F ∂F ∂F 

dF = 
1
1
1
∂x
∂F2
∂x
∂F3
∂x
∂y
∂F2
∂y
∂F3
∂y
∂z
∂F2
∂z
∂F3
∂z


Untuk matriks, kita menganalisa tentang tracenya
∇·F =
∂F1
∂F2
∂F3
+
+
∂x
∂y
∂z
yang disebut sebagai divergensi.
Untuk determinan, kita sudah melihat pada saat transformasi.
Cara lain untuk memahami matriks ini adalah melihat matriks
t
t
simetrinya dF +2dF dan matriks anti simetrinya dF −2dF
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
19 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Divergensi dan Kurl Medan Vektor
Kita sudah mengenal gradien ∇φ, yaitu operator ∇ dikenakan pada
fungsi skalar φ.
Operator ∇ yang dikenakan pada fungsi bernilai vektor F : R3 → R3
Ada dua. Hasil kali skalar
∂F1
∂F2
∂F3
∇·F =
+
+
∂x
∂y
∂z
yang disebut sebagai divergensi.
Hasil kali vektor (khusus untuk R3 )
i
j
k ∂
∇ × F = ∂x ∂y∂ ∂z∂ F F F 1
2
3
∂F2
∂F3
∂F1
∂F2
∂F1
∂F3
−
i−
−
j+
−
k
=
∂y
∂z
∂x
∂z
∂x
∂y
Kita akan mempelajari arti fisis bentuk ini.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
20 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Divergensi dan Kurl Medan Vektor
Kita sudah mengenal gradien ∇φ, yaitu operator ∇ dikenakan pada
fungsi skalar φ.
Operator ∇ yang dikenakan pada fungsi bernilai vektor F : R3 → R3
Ada dua. Hasil kali skalar
∂F1
∂F2
∂F3
∇·F =
+
+
∂x
∂y
∂z
yang disebut sebagai divergensi.
Hasil kali vektor (khusus untuk R3 )
i
j
k ∂
∇ × F = ∂x ∂y∂ ∂z∂ F F F 1
2
3
∂F2
∂F3
∂F1
∂F2
∂F1
∂F3
−
i−
−
j+
−
k
=
∂y
∂z
∂x
∂z
∂x
∂y
Kita akan mempelajari arti fisis bentuk ini.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
20 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Divergensi dan Kurl Medan Vektor
Kita sudah mengenal gradien ∇φ, yaitu operator ∇ dikenakan pada
fungsi skalar φ.
Operator ∇ yang dikenakan pada fungsi bernilai vektor F : R3 → R3
Ada dua. Hasil kali skalar
∂F1
∂F2
∂F3
∇·F =
+
+
∂x
∂y
∂z
yang disebut sebagai divergensi.
Hasil kali vektor (khusus untuk R3 )
i
j
k ∂
∇ × F = ∂x ∂y∂ ∂z∂ F F F 1
2
3
∂F2
∂F3
∂F1
∂F2
∂F1
∂F3
−
i−
−
j+
−
k
=
∂y
∂z
∂x
∂z
∂x
∂y
Kita akan mempelajari arti fisis bentuk ini.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
20 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Divergensi dan Kurl Medan Vektor
Kita sudah mengenal gradien ∇φ, yaitu operator ∇ dikenakan pada
fungsi skalar φ.
Operator ∇ yang dikenakan pada fungsi bernilai vektor F : R3 → R3
Ada dua. Hasil kali skalar
∂F1
∂F2
∂F3
∇·F =
+
+
∂x
∂y
∂z
yang disebut sebagai divergensi.
Hasil kali vektor (khusus untuk R3 )
i
j
k ∂
∇ × F = ∂x ∂y∂ ∂z∂ F F F 1
2
3
∂F2
∂F3
∂F1
∂F2
∂F1
∂F3
−
i−
−
j+
−
k
=
∂y
∂z
∂x
∂z
∂x
∂y
Kita akan mempelajari arti fisis bentuk ini.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
20 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Divergensi dan Kurl Medan Vektor
Kita sudah mengenal gradien ∇φ, yaitu operator ∇ dikenakan pada
fungsi skalar φ.
Operator ∇ yang dikenakan pada fungsi bernilai vektor F : R3 → R3
Ada dua. Hasil kali skalar
∂F1
∂F2
∂F3
∇·F =
+
+
∂x
∂y
∂z
yang disebut sebagai divergensi.
Hasil kali vektor (khusus untuk R3 )
i
j
k ∂
∇ × F = ∂x ∂y∂ ∂z∂ F F F 1
2
3
∂F2
∂F3
∂F1
∂F2
∂F1
∂F3
−
i−
−
j+
−
k
=
∂y
∂z
∂x
∂z
∂x
∂y
Kita akan mempelajari arti fisis bentuk ini.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
20 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Divergensi dan Kurl Medan Vektor
Nilai !F=2
3
2
3
Nilai !F=0
2
1
1
0
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3
-2
-1
0
1
2
3
Yang pertama F (x, y ) = (x, y ) dan yang kedua F (x, y ) = (y , x )
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
21 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Divergensi dan Kurl Medan Vektor
Nilai !F=2
3
2
3
Nilai !F=0
2
1
1
0
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3
-2
-1
0
1
2
3
Yang pertama F (x, y ) = (x, y ) dan yang kedua F (x, y ) = (y , x )
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
21 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Divergensi dan Kurl Medan Vektor
Nilai ! F = 0
3
2
Nilai ! F = 2
3
2
1
1
0
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3
-2
-1
0
1
2
3
Yang pertama F (x, y ) = (y , −x ) dan yang kedua
F (x, y ) = (x + y , y − x )
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
22 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Divergensi dan Kurl Medan Vektor
Nilai ! F = 0
3
2
Nilai ! F = 2
3
2
1
1
0
0
-1
-1
-2
-2
-3
-3
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3
-2
-1
0
1
2
3
Yang pertama F (x, y ) = (y , −x ) dan yang kedua
F (x, y ) = (x + y , y − x )
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
22 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Divergensi dan Kurl Medan Vektor
Nilai ! F = 0
3
2
1
0
-1
-2
-3
-3
-2
-1
0
1
2
3
F (x, y ) = (x + y , −y − x )
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
23 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Divergensi dan Kurl Medan Vektor
Nilai ! F = 0
3
2
1
0
-1
-2
-3
-3
-2
-1
0
1
2
3
F (x, y ) = (x + y , −y − x )
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
23 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Divergensi dan Kurl Medan Vektor
Medan vektor dengan ∇ × F = 0 atau
∂F2
∂x
−
∂F1
∂y
=0
3
2
1
0
-1
-2
-3
-3
-2
-1
0
1
2
3
F (x, y ) = (x, y )
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
24 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Divergensi dan Kurl Medan Vektor
Medan vektor dengan ∇ × F = 0 atau
∂F2
∂x
−
∂F1
∂y
=0
3
2
1
0
-1
-2
-3
-3
-2
-1
0
1
2
3
F (x, y ) = (x, y )
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
24 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Divergensi dan Kurl Medan Vektor
Medan vektor dengan ∇ × F = 0 atau
3
3
2
2
1
1
0
0
-1
-1
-2
-2
-3
∂F2
∂x
−
∂F1
∂y
=0
-3
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3
-2
-1
0
1
2
3
F (x, y ) = (y , x ) dan yang kedua F (x, y ) = (y , −x ), yang kedua
∇ × F 6= 0.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
25 / 25
Aljabar Fungsi, Fungsi Komposisi dan Turunannya
Divergensi dan Kurl Medan Vektor
Medan vektor dengan ∇ × F = 0 atau
3
3
2
2
1
1
0
0
-1
-1
-2
-2
-3
∂F2
∂x
−
∂F1
∂y
=0
-3
-3
-2
-1
0
1
2
3
-3
-2
-1
0
1
2
3
F (x, y ) = (y , x ) dan yang kedua F (x, y ) = (y , −x ), yang kedua
∇ × F 6= 0.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB)
Fungsi Bernilai Vektor
25 / 25