Pertemuan 2 - Binus Repository

Pertemuan 2
Geometri sferik
Sasaran
Pengkajian tentang
geometri segitiga siku-siku
Pokok Bahasan
Geometri segitiga siku-siku
Formula Pythagoras
(Geometri Euklid)
Segitiga ABC siku-siku bila dan hanya bila
salah satu sudut A, B atau C siku-siku.
Formula Pythagoras menyatakan:
bila segitiga ABC siku-siku maka kuadrat
salah satu sisinya sama dengan jumlah
kuadrat dari dua sisi lainnya.
Formula Pythagoras
(Geometri Euklid, lanjutan)
Ada beberapa versi formula Pythagoras,
selain formula sebelumnya, misalnya:
bila segitiga ABC siku-siku di A maka kuadrat
sin B ditambah kuadrat cos B sama dengan 1
atau kuadrat sin C ditambah kuadrat cos C
sama dengan 1.
Formula Pythagoras
(Geometri Euklid, lanjutan)
Versi lain formula Pythagoras:
bila segitiga ABC siku-siku di A maka kuadrat
tg B ditambah 1 sama dengan kuadrat sec B
atau kuadrat tg C ditambah 1 sama dengan
kuadrat sec C.
Formula Pythagoras
(Geometri Euklid, lanjutan)
Versi lain formula Pythagoras:
bila segitiga ABC siku-siku di A maka kuadrat
cotg B ditambah 1 sama dengan kuadrat
cosec B atau kuadrat cotg C ditambah 1
sama dengan kuadrat cosec C.
Teorema 2.1
(Teorema Pythagoras untuk
Geometri Sferik)
Misalkan segitiga ABC siku-siku pada bola
satuan dengan sudut siku-siku di C. Sebagai
biasanya, a, b, dan c berturut-turut panjang
sisi-sisi di depan A, B, C. Maka berlaku:
cos c = cos a cos b.
Perhitungan tersebut menggunakan radial.
Bukti formula Pythagoras
(Geometri Sferik)
Garis besar buktinya menggunakan langkahlangkah:
1. Vektor A = (sin b, 0, cos b),
vektor B = (0, sin a, cos a).
2. Hasilkali skalar dua vektor tersebut adalah
panjang vektor A kali panjang vektor B
kali cos sudut antaranya.
3. Disimpulkan cos c = cos a cos b.
Teorema 2.2
Misalkan segitiga ABC segitiga siku-siku pada
bola satuan dengan sudut siku-siku di C.
Maka berlaku:
sin A = sin a / sin c
cos A = cos a sin b / sin c.
Bukti teorema:
Garis besar buktinya menggunakan langkahlangkah:
1. Hasilkali vektor dari vektor A dengan vektor B adalah
(- cos b sin a, - sin b cos a, sin b sin a).
2. Sudut A adalah sudut antara (0, -1, 0) dan
hasil kali vektor di atas.
3. Dengan hasilkali skalar didapat
cos A = cos a sin b / sin c.
4. Dengan hasilkali vektor didapat sin A = sin a / sin c.
Catatan
1.Teorema Pythagoras dalam Geometri Euklid
berlaku juga pada Geometri Sferik
(Teorema 2.1)
2. Teorema 2.2 juga berlaku pada Geometri
Euklid.