geometri bidang

GEOMETRI BIDANG
Disampaikan dalam
PEMBEKALAN OSN-2010 SMP N I KEBBUMEN
Mata Pelajaran: Matematika
Oleh: Murdanu, M.Pd.
Jurusan Pendidikan Matematika
FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta
SEKOLAH MENENGAH PERTAMA NEGERI 1 KEBUMEN
2010
=halaman 1=
GEOMETRI BIDANG
A. Teorema Pythagoras dan Teorema atau Topik lain yang Terkait dengan Teorema
Pythagoras
1. Teorema Pythagoras
Dalam segitiga siku-siku, kuadrat panjang sisi miring samadengan jumlah kuadrat
panjang kedua sisi siku-sikunya.
a
Jika dalam sebuah segitiga siku-siku, a dan
b masing-masing menyatakan panjang
kedua sisi siku-sikunya, dan c menyatakan
panjang sisi miringnya, maka berlaku :
c
c2 = a2 + b2
Gambar 1
b
2. Kebalikan teorema Pythagoras.
Jika dalam suatu segitiga, kuadrat panjang salah satu sisinya samadengan jumlah
kuadrat panjang kedua sisinya yang lain, maka segitiga tersebut merupakan segitiga
siku-siku.
3. Tripel Pythagoras
Perangkat (a, b, c) dari tiga bilangan asli disebut tripel Pythagoras, jika kuadrat dari
bilangan yang terbesar samadengan jumlah kuadrat dua bilangan yang lain.
Jika pada tripel Pythagoras (a, b, c), ketiga elemennya berupa bilangan asli yang
faktor persekutuan terbesarnya adalah 1, maka (a, b, c) disebut tripel Pythagoras
primitif. (3, 4, 5), (5, 12, 13) adalah contoh dua tripel Pythagoras primitif, sedang (15,
20, 25), (10, 24, 26) masing-masing bukan tripel Pythagoras primitif.
4. Teorema Proyeksi Segitiga Miring
Dari teorema Pythagoras dapat diturunkan teorema proyeksi pada segitiga miring,
yaitu segitiga yang bukan segitiga siku-siku.
a. Teorema Proyeksi untuk Sisi di depan Sudut Lancip
1. Dalam suatu segitiga, kuadrat panjang sisi yang berhadapan dengan sudut
lancip samadengan jumlah kuadrat panjang kedua sisi yang lain, dikurangi
dengan dua kali hasilkali panjang salah satu sisi dengan panjang proyeksi
sisi lain ke sisi tersebut.
C
Diketahui: Perhatikan Gambar 2.
‘
b
t
CD
a
AB , m
proyeksi
‘
A
‘
Berlaku:
c–p
p
D
B
c
AC
A
pada
o
90 ,
AB
p
.
a2 = b2 + c2 – 2cp.
panjang
=halaman 2=
GEOMETRI BIDANG
b. Teorema Proyeksi untuk Sisi di depan Sudut Tumpul
Dalam suatu segitiga, kuadrat panjang sisi yang berhadapan dengan sudut tumpul
samadengan jumlah kuadrat panjang kedua sisi yang lain, ditambah dengan dua
kali hasilkali panjang salah satu sisi dengan panjang proyeksi sisi lain ke sisi
tersebut.
C
Diketahui: Perhatikan Gambar 3.
CD
‘
t
b
a
AB , m
proyeksi
(proyeksi
p
D
AC
AC
A
o
90 ,
p
panjang
pada perpanjangan
AB
pada AB )
c
A
Berlaku:
B
a2 = b2 + c2 + 2cp.
Gambar 3
Berarti jika dalam suatu segitiga panjang semua sisinya diketahui, kita
dapat menghitung panjang proyeksi sebuah sisi pada sisi yang lain.
Latihan 1.
1. Selidikilah segitiga yang dideskripsikan ukuran sisi-sisinya berikut, merupakan
segitiga lancip, siku-siku, ataukah tumpul:
a.
ABC, AB = 4, BC = 8, AC = 10
b.
PQR, PQ = 6, QR = 9, PR = 8
c.
KLM, KL = 5, LM = 14, KM = 15
2. Pada ABC, AB = 13, BC = 20, AC = 21. Hitunglah panjang proyeksi sisi BC
ke sisi AB dan ke sisi AC !
5. Teorema Stewart
Jika dalam ABC, x menyatakan panjang ruasgaris yang menghubungkan titik sudut C
dengan titik P yang terletak pada sisi AB, sehingga AP = c1 dan BP = c2, maka berlaku:
2
x c
2
a c1
2
b c2
c 1c 2 c
=halaman 3=
GEOMETRI BIDANG
Diketahui: perhatikan Gambar 4. P pada
dan CP = x.
AB
sehingga AP = c1 dan BP = c2, CD
AB ,
C
2
2
2
Berlaku: x c = a c1 + b c2 – c1 c2 c
‘
b
t
x
A
a
D
‘
‘
P
c1
B
c2
Gambar 4
c
Dengan teorema Stewart tersebut memungkinkan kita untuk menentukan panjang
ruasgaris yang menghubungkan salah satu titik sudut dari sebuah segitiga dengan
sembarang titik pada sisi di depannya, jika letak titik tersebut dan panjang ketiga sisi
segitiga tersebut diketahui.
Latihan 2.
B
1. Berapakah panjang BC sesuai
informasi gambar di sebelah kanan?
13
20
14
A
7
C
A
2. Berapakah panjang A D sesuai
informasi gambar di sebelah kanan?
12
B
6
C
7
8
D
D
=halaman 4=
GEOMETRI BIDANG
6.
Teorema tentang Panjang Garis-tinggi pada sebuah Segitiga yang Diketahui
Panjang Ketiga Sisinya.
Jika dalam ABC yang panjang sisi-sisinya a, b, dan c, panjang garis-tinggi ke sisi-sisi,
BC, AC, dan AB, berturut-turut ta, tb, dan tc, serta s menyatakan setengah keliling
segitiga tersebut, maka berlaku:
ta
2
a
s (s
a )( s
b )( s
c)
tb
2
b
s (s
a )( s
b )( s
c)
tc
2
c
s (s
a )( s
b )( s
c)
C
‘
a
D
‘
b
p
B
‘
Gambar 5
ta
A
Latihan 3.
1. Hitunglah panjang ketiga garis tinggi pada setiap segitiga yang dideskripsikan
ukuran sisi-sisinya berikut:
a. ABC, AB = 4, BC = 8, AC = 10
b. PQR, PQ = 6, QR = 9, PR = 8
c. KLM, KL = 5, LM = 14, KM = 15
2. Hitunglah luas masing-masing segitiga pada nomor 1 tadi !
3. Hitunglah luas segitiga yang sisi-sisinya berukuran 17, 22, dan 39.
=halaman 5=
GEOMETRI BIDANG
7.
Teorema tentang Panjang Garis-berat pada Sebuah Segitiga yang Diketahui
Panjang Ketiga Sisinya (Teorema Apollonius)
Jika dalam ABC yang panjang ketiga sisinya masing-masing a, b, dan c, dan
panjang garis-berat yang melalui titik-titik sudut A, B, dan C berturut-turut adalah ma,
mb, dan mc, maka:
ma
2
1
2
(b
2
c )
2
1
4
a
2
mb
2
1
2
(a
2
c )
2
1
4
b
2
2
1
2
(a
2
b )
2
1
4
c
2
mc
A
‘
‘
c
Diketahui: Perhatikan Gambar 6. D
titik tengah BC , AD = ma.
b
ma
Berlaku :
2
B
C
1
2
D
a
1
2
1
2
ma
(b
2
2
c )
1
4
a
2
a
Gambar 6
Latihan 4.
1. Hitunglah panjang ketiga garis berat pada setiap segitiga yang dideskripsikan
ukuran sisi-sisinya berikut:
a.
ABC, AB = 4, BC = 8, AC = 10
b.
PQR, PQ = 6, QR = 9, PR = 8
c.
KLM, KL = 5, LM = 14, KM = 15
A
3
B
3
C
2.
6
F
8
8
E
8
Pada gambar di sebelah kiri,
trapesium ACDF. Hitunglah
panjang B E
D
3. Jajargenjang ABCD, dengan AB = 5 dan BC = 6. Selidikilah! Apakah
2
2
2
2
2
2
AC
BD
AB
BC
CD
AD ?
=halaman 6=
GEOMETRI BIDANG
8.
Teorema tentang Panjang Garis-bagi-dalam pada Sebuah Segitiga yang Diketahui
Panjang Ketiga Sisinya.
Jika dalam ABC yang panjang sisi-sisinya masing-masing a, b, dan c, diketahui
garis-bagi-dalam ACB memotong sisi AB atas bagian-bagian yang panjangnya c1 dan
c2, serta panjang garis-bagi-dalam tersebut dinyatakan dengan dc, maka berlaku:
2
dc
ab
c1c 2
C
Diketahui: Perhatikan Gambar 7.
1
‘
‘
2
b
ACD
a
dc
D
2
dc
Berlaku:
B
c1
C1
C2
AD = c1 dan DB = c2.
A
‘
BCD atau
ab
c1c 2
c2
Gambar 7
9. Teorema tentang Panjang Garis-bagi-luar pada Sebuah Segitiga yang Diketahui
Panjang Ketiga Sisinya
Jika dalam ABC yang panjang sisi-sisinya masing-masing a, b, dan c, diketahui
garis-bagi-luar
ACB memotong sinargaris BA (memuat sisi AB ) pada titik D dengan
D–A–B (A di antara D dan B) sedemikian, sehingga AB = c, AD = c1, dan BD = c2, serta
garis-bagi-luar tersebut adalah CD yang dilambangkan dengan dc, maka berlaku:
2
dc
c1c 2
Diketahui: Perhatikan Gambar 8.
E
ECD
C
2
‘
1
dc
ACD atau
b
c1
a
2
c
D
A
c2
Gambar 8
C1
C2
AD = c1 dan BD = c2.
Berlaku:
‘
‘
ab
B
dc
c1c 2
ab
=halaman 7=
GEOMETRI BIDANG
Latihan 5.
1.
Pada PQR diketahui PQ = 10, PR = 14, dan QR = 6. Garis-bagi dalam sudut P
memotong Q R di titik S dan garis-bagi-luar sudut P memotong Q R di titik T.
Hitunglah panjang masing-masing: Q S, R S, Q T , P S, dan P T !
2.
KLM siku-siku di titik K, KL = 6, KM = 8. Pada segitiga tersebut dibuat garis
bagi K N . Hitunglah panjang masing-masing: LN , M N , dan K N !
3.
Diketahui ABC siku-siku di titik A, m B = 30o, BC = 6. Garis bagi C
memotong AB di titik D. Hitunglah panjang masing-masing: A D , B D , C D !
B. Teorema-teorema pada Lingkaran
1. Garissinggung lingkaran tegaklurus
g
A
terhadap jari-jari lingkaran ke titiksinggung.
OA
g
O
2.
Sebuah talibusur pada suatu lingkaran tegak
lurus terhadap suatu jari-jari pada lingkaran
yang memotong talibusur tersebut. Jari-jari
tersebut juga merupakan sumbu bagi
talibusur tersebut.
B
P
C
PE
BD dan D C
BC atau DC = BC.
D
E
=halaman 8=
GEOMETRI BIDANG
3.
Sudut antara dua lingkaran yang berpotongan adalah sudut yang dibentuk oleh
perpotongan garis-garis singgung dua lingkaran tersebut di titik-potong kedua
lingkaran yang berpotongan
(P, Q) =
(g,h)
Ph
R
Pg
P
Q
4.
Garis-singgung persekutuan dua lingkaran adalah sebuah garis yang menyinggung
dua lingkaran.
A
O
O
P
A
P
O
A
P
=halaman 9=
GEOMETRI BIDANG
A
B
P
O
A
P
B
O
Latihan 6.
1. Diketahui (M, 5), (N, 3), MN = 10.
(a) Berapakah panjang ruas-garis-singgung -dalam kedua lingkaran tersebut?;
(b) Berapakah panjang ruas-garis-singgung -dalam kedua lingkaran tersebut?
2. Hitunglah masing-masing panjang A S, B S, dan O S dari gambar di bawah !
A
B
5
O
2
9
S
P
=halaman 10=
GEOMETRI BIDANG
A
B
5
S
P
O
5.
Sentral dua lingkaran yang tidak sepusat membagi dua samapanjang talibusur
persekutuan dua lingkaran tersebut.
A
M
P
MN
N
AB
P
AP BP
atau
AP = BP
B
6.
Besar sudut keliling dalam suatu lingkaran samadengan setengah dari besar
busur di depan sudut keliling tersebut.
=halaman 11=
GEOMETRI BIDANG
A
m
1
2
BAC
mBC
B
O
C
m
A
BAC
B
O
C
Latihan 6.
C. Teorema-teorema penerapan teorema sudut keliling:
1
2
mAC
=halaman 12=
GEOMETRI BIDANG
A
AB
B
CD
C
M
D
A
B
S
m ASB
C
1
2
mAB
mCD
O
D
D
m
DSB
1
2
mBD
mAC
C
M
B
S
A
C
AB
A
B
D
M
diameter lingkaran
(a) CD2 = AD × BD
(b) AC2 = AD × AB
=halaman 13=
GEOMETRI BIDANG
C
AS × BS = CS × DS
A
S
M
B
D
B
A
M
P
C
D
AP × BP = CP × DP
P
PA2 = PB × PC
B
C
M
A
A
B
O
N
ON : OM = BN : AM
M
=halaman 14=
GEOMETRI BIDANG
PM : PN = CM : DN
C
M
P
N
D
A
B
C
D
E
M
H
(a) MC
(b) MH
GC .CE .EG
4 .L
L
1
2
K
CEG
ADK
ADK
F
G
K
=halaman 15=
GEOMETRI BIDANG
Soal – soal Latihan
1.
Dalam sebuah segitiga siku-siku, diketahui bahwa panjang kedua sisi siku-sikunya
masing-masing 6 cm dan 8 cm. Hitunglah: panjang garis-tinggi ke sisi miringnya!
2.
Dalam ABC, diketahui AB = 12 cm, m ABC = 60 , dan BC = 8 cm. Hitunglah:
keliling ABC tersebut!
3.
Dalam PQR, diketahui PR = 10 cm, m PQR = 45 , dan QR = 15 cm. Hitunglah:
panjang sisi ketiga dari PQR tersebut!
4.
Dalam ABC, diketahui AB = 8 cm, BC = 6 cm, dan AC = 7 cm. Hitunglah:
panjang ketiga garis-beratnya !
5.
Dalam PQR, diketahui PQ = 14 cm, QR = 13 cm, dan RP = 15 cm. Hitunglah
panjang dari:
a. Proyeksi PR pada QR ;
b. garis-tinggi dari titik sudut Q.
6.
Dari sebuah ABC, diketahui AB = 6 cm, BC = 8 cm, dan AC = 7 cm, titik P
terletak pada BC sedemikian, sehingga P–C–B dan CP 12 BC . Hitunglah panjang
AP !
7.
Diketahui PQR dengan PQ = 10 cm, QR = 6 cm, dan RP = 8 cm. Pada segitiga
tersebut dipilih baris-berat PR dan garis-bagi RT . Hitunglah panjang ST !
8.
Dalam setiap jajargenjang berlaku: jumlah kuadrat panjang kedua diagonalnya
samadengan jumlah kuadrat panjang semua sisinya. Buktikan pernyataan tersebut!
9.
Diketahui trapezium ABCD, dengan AB CD , AB = 20 cm, BC = 13 cm, CD = 6
cm, dan AD = 15 cm.
a. Lukislah dengan cermat, trapezium ABCD tersebut!
b. Hitunglah panjang diagonal AC !
c. Hitunglah luas daerah trapezium ABCD tersebut !
10.
Di halaman depan sebuah sekolah tumbuh pohon
A
cemara A dan di halaman belakang sekolah
tersebut tumbuh pohon mangga B (dilukiskan
pada gambar sebelah kiri). Kedua pohon tersebut
terhalang oleh bangunan sekolah. Jelaskan:
bagaimana cara menentukan jarak kedua pohon
B
tersebut,
karena
tidak
mungkin
pengukuran secara langsung!
11. Diketahui B dengan diameter AC , talibusur-talibusur DE , AE , DC dengan
F AE DC . Jika EF = 4, EA = 16, dan DE = 6, berapakah BC ?
dilakukan
=halaman 16=
GEOMETRI BIDANG
12. Diketahui A dengan jari-jari AB dan AD , garissinggung-garissinggung BC dan
CD
. Jika AB AD dan BC CD , buktikan ABCD suatu persegi.
13. Diketahui P dengan diameter AC , D dan B pada P berlainan pihak terhadap AC .
(a) Jika m CAB = 30, berapakah mAB ?;
(b) Jika mAB = 90, buktikan
ACB samakaki!; (c) Jika AC BC , buktikan AD AB .
14. Pada O terdapat titik-titik A, B, C, dan D secara berurutan sedemikian, sehingga
mAB = 60, mBC = 90, dan mCD = 75. Susun talibusur-talibusur:
AB , BC , CD , dan AD . Segiempat yang terjadi, yaitu ABCD dinamakan
segiempat-talibusur. Jika kedua diagonal pada segiempat tersebut dilibatkan,
jelaskan ukuran sudut-sudut yang terjadi!
15. Dalam intM terdapat talibusur-talibusur yang ujung-ujungnya A, B, C, dan D
sedemikian, sehingga AB CD S dan AB = CD. Buktikanlah: (a) AC BD ; (b)
AS
DS ; (c) CS BS .
16. Diketahui N, P extN, A N, B N, dan C N, PA = NA. Terdapat PN
dengan P–A–N dan A–N–B. Terdapat PC NC . Buktikan: (a) PAC samakaki; (b)
PBC samakaki. Hitunglah: (c) L PAC; dan (d) L PBC.
17. Diketahui P merupakan lingkaran-luar ABC, BD , ABD
CBD, D P, dan
CD ; (b) BE merupakan garis-bagi-luar
DE diameter P. Buktikan: (a) AD
ABC.
18. Diketahui Q merupakan lingkaran-luar ABC dengan m BAC = 50, m ABC =
60, titik A merupakan titik-singgung garis g terhadap Q, titik B merupakan titiksinggung garis h terhadap Q, titik C merupakan titik-singgung garis k terhadap
Q sedemikian, sehingga g h = P, g k = Q, dan h k = R. Hitunglah ukuran
sudut-sudut dalam PQR.
19. Pada O, A O, B O, C O, OA = 4, OA
OB , g
O = C, g
OA =
E, g OA , OE = AE, M AB OC . (a) Hitunglah ukuran sudut-sudut yang
terjadi dengan M sebagai titik-sudutnya!; (b) Berapakah AC ?; (c) Hitunglah L
!
AOBC
20. Diketahui O Q = A, B = O Q, A B, C O dengan A–O–C, dan
D Q dengan A–Q–D. Buktikanlah: (a) AB CD ; (b) B–C–D; (c)
CD
2 OQ ; (d) OQ CD .
21. Diketahui O Q = A, B = O Q, A B, garis g menyinggung O di titik A,
dan garis h menyinggung Q di titik A. Buktikan: (g,h)
QAO.
22. Diketahui (O,10) dan (Q,17), OQ = 21, O Q = A, B = O Q, A B.
Berapakah AB ?
=halaman 17=
GEOMETRI BIDANG
23. Dengan visualisasi ini, buktikan AM BN
A
M
P
N
B
24.
Dua buah sisi dari sebuah segitiga berukuran 17 dan 39. Ukuran garis-berat ke sisi
yang ketiga sepanjang 22. Berapakah luas segitiga tersebut?
25.
Carilah ukuran bagian-bagian sumbu-sumbu yang terdapat di interior sebuah
segitiga yang berdimensi (10 12 14) !
DAFTAR PUSTAKA
De Baan dan J.C.Boss. 1956. Ilmu Ukur. Jilid IIA. Jakarta: J.B. Wolters.
Keedy, Jameson, Smith, Mould. 1967. Exploring Geometry. New York: Holt, Rinehart and
Winston, Inc.
Travers, Dalton, Layton. 1987. GEOMETRY. River Forest, Illionis: Laidlaw Brothers, A
Division of Doubleday & Company, Inc.