(ms.2) kekonvergenan barisan fungsi turunan - Statday

PROSIDING
Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011
ISSN : 2087-5290.
Vol 2, November 2011
(MS.2)
KEKONVERGENAN BARISAN FUNGSI TURUNAN BERORDE FRAKSIONAL
Endang Rusyaman, Kankan Parmikanti, Iin Irianingsih
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Padjadjaran
Jl. Raya Bandung Sumedang Km 21 Jatinangor
Email : [email protected]
Abstrak
Misalkan  adalah orde turunan fraksional suatu fungsi. Jika  diambil dari suku-suku
barisan bilangan real, maka fungsi turunan berorde  akan membentuk barisan fungsi
yang akan disebut sebagai barisan fungsi turunan fraksional. Dalam makalah ini akan
disampaikan hasil penelitian yang menunjukkan bahwa jika barisan bilangan dari orde
fraksional itu konvergen ke suatu bilangan, maka barisan fungsinya juga akan konvergen ke
suatu fungsi turunan fraksional yang berorde sesuai dengan titik kekonvergenan barisan
bilangan tersebut. Pembahasan kekonvergenan akan meliputi kekonvergenan pointwise
dan kekonvergenan uniform.
Kata Kunci : Barisan fungsi, kekonvergenan, turunan fraksional, pointwise, uniform.
1. PENDAHULUAN
Konsep derivative atau turunan dari suatu fungsi, secara tradisional senantiasa
dihubungkan dengan bilangan asli. Artinya jika kita mempunyai sebuah fungsi, maka kita
dapat menentukan turunan ke-1 , ke-2 , ke-3 dan seterusnya. Ide generalisasi dari konsep ini
adalah, bagaimana menentukan turunan ke- dari suatu fungsi dengan  adalah suatu
n
bilangan real. Jadi jika sebelumnya kita kenal notasi Dt f (x) = f (n) (x) sebagai turunan ke-n
dari fungsi f(x) dengan n adalah bilangan asli, maka sebagai generalisasi dari bentuk

tersebut diperkenalkan notasi Dt f (x ) sebagai turunan ke- dari fungsi f(x), dengan 
suatu bilangan real.[4]
Dalam [1, 2, 5] telah didefinisikan dan dibahas tentang turunan fraksional berorde 
dari fungsi f(x) , yaitu
D x f (x ) = lim
h 0
1
hn
n
i
  1
i 0
Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011
 (  1)
f ( x  ih )
 (i  1). (  i  1)
(1)
253
PROSIDING
Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011
dimana
=
ISSN : 2087-5290.
Vol 2, November 2011
. Dengan demikian jika f(x) = x p , maka dengan menggunakan definisi (1)
di atas diperoleh
Dx x p
 ( p  1)
x p  .
( p  1   )
=
(2)
Selain itu, dalam [3] diperoleh hasil bahwa jika f(x) = sin x, maka turunan fraksional orde 
dari f(x) adalah
=
+
.
(3)
Apabila dari turunan fraksional suatu fungsi ini dibentuk suatu barisan fungsi,
berikut akan disampaikan hasil kajian tentang bagaimana hubungan kekonvergenannya
dengan barisan orde fraksional itu sendiri.
2. PEMBAHASAN
Misalkan diambil bilangan real
untuk n = 1, 2, 3, . . . dan f suatu fungsi sembarang. Dengan
mencari turunan fraksional dari f berorde
=
, maka akan diperoleh barisan fungsi turunan
. Dalam pembahasan ini akan disampaikan hasil penelitian yang menunjukkan
bahwa dengan menambahkan syarat-syarat tertentu, jika barisan bilangan dari orde
fraksional itu konvergen ke suatu bilangan, maka barisan fungsinya juga akan konvergen ke
suatu fungsi turunan fraksional yang berorde sesuai dengan titik kekonvergenan barisan
bilangan tersebut. Pernyataan tersebut secara formal adalah sebagai berikut.
Teorema: Misalkan (
( )=
) barisan bilangan real dan f suatu fungsi dengan
( ) ada nilainya untuk setiap n. Jika (
maka barisan fungsi (
Bukti: Diketahui (
( )) =
) konvergen ke  dan
( ) konvergen ke
( ) ada,
( ).
) konvergen ke  berarti untuk setiap  > 0 terdapat bilangan asli N
sehingga untuk n > N berlaku |
− | < , atau
lim
→∞
=
.
Dengan menggunakan sifat-sifat limit diperoleh
lim
→∞
( ) = lim
→∞
( ) = lim
→∞
= ( + 1)
. lim
= ( + 1)
.
→∞
( + 1)
( + 1 − )
1
( + 1 −
1
lim ( + 1 −
→∞
Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011
).
) . lim
→∞
254
PROSIDING
Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011
=
( + 1)
( + 1 − ) .
=
( + 1)
( + 1 − )
( )=
=
( )
Hal ini menunjukkan bahwa barisan fungsi (
(titik demi titik) ke
ISSN : 2087-5290.
Vol 2, November 2011
( )) =
( )
konvergen pointwise
( ).
Sebagai ilustrasi, berikut diberikan dua contoh yang menunjukkan kekonvergenan yang
ditunjukkan pada teorema di atas.
Contoh 1:
Diberikan sebuah barisan bilangan real (
)=
f(x) = x 2 . Dengan demikian diperoleh barisan fungsi (
yang konvergen ke  = 1 dan fungsi
( )) =
yang berdasarkan
rumus (3) adalah:
-
Turunan fraksional orde
=
dari f(x) = x 2 adalah
( )=
-
Turunan fraksional orde
=
dari f(x) = x 2 adalah
( )=
-
Turunan fraksional orde
=
dari f(x) = x 2 adalah
( )=
Jadi ketika (
)=
( )

( )

( )

konvergen ke  = 1 , maka secara bersamaan barisan (
akan konvergen ke ( ) =
( )
( )
= 2 yang tiada lain adalah (
)=
( ))
( ).
Pola kekonvergenan dari barisan fungsi tersebut terlihat dalam Gambar-1, mulai dari grafik
di bawah menuju yang di atas. 
Gambar-1
Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011
Gambar-2
255
PROSIDING
Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011
ISSN : 2087-5290.
Vol 2, November 2011
Contoh 2:
Diberikan sepuluh buah bilangan real (
)=
Dengan demikian diperoleh barisan fungsi (
,
,
( )) =
, … , 1 dan fungsi f(x) = sin x .
sin
yang berdasarkan rumus
(4) adalah:
-
( )=
,
sin = sin
+
-
( )=
,
sin = sin
+
dan seterusnya sehingga diperoleh
,
,
( ) = sin
+
= cos
=
sin =
( ).
Pola kekonvergenan dari barisan fungsi tersebut terlihat dalam Gambar-2, mulai dari grafik
sinus di bawah sebelah kiri menuju grafik cosinus di bawah sebelah kanan. 
Dari kedua contoh di atas dapat dibuktikan bahwa
ke
( ) konvergen uniform (seragam)
( ).
Keberadaan syarat perlu dari teorema di atas, yaitu
( )=
( ) dan
( ) ada
nilainya, benar-benar sangat penting, karena dapat ditunjukkan melalui contoh penyangkal
bahwa bila syarat perlu tersebut dihilangkan, maka teorema tidak dijamin keberlakuannya.
Contoh 3:
Diberikan sepuluh buah bilangan real (
)=
,
1 menunjukkan nilai turunan fraksional berorde
Dari Tabel 1 terlihat bahwa dalam hal
barisan (
) yang genapnya saja maka
,
, … , 1 dan fungsi f(x) = | |. Tabel
dari f di bilangan real x.
( )=
( ) tidak ada nilainya, jika diambil
( )
tetap tidak konvergen. Hal ini
menunjukkan bahwa teorema tidak berlaku apabila syarat perlu tidak dipenuhi.
3. PENUTUP
Mengingat keterbatasan fungsi yang menjadi kajian penelitian ini, maka perlu penelitian
lebih lanjut dengan menggunakan fungsi yang lebih umum, sehingga keberlakuan teorema di
atas akan lebih sahih.
Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011
256
PROSIDING
Seminar Nasional Statistika | 12 November 2011
ISSN : 2087-5290.
Vol 2, November 2011
Tabel 1. Nilai Turunan Fraksional berorde
Nilai
,
( )
,
( )
,
( )
,
( )
,
( )
,
( )
,
( )
,
( )
,
( )
( )
di x < 0
di x = 0
Tidak ada nilai
Tidak ada nilai
−
(2)
(1,8 )
,
Tidak ada nilai
−
(2)
(1,6)
,
Tidak ada nilai
−
(2)
(1,4 )
,
Tidak ada nilai
−
(2)
(1,2 )
,
0
Tidak ada nilai
0
Tidak ada nilai
0
Tidak ada nilai
0
Tidak ada nilai
Tidak ada nilai
-1
Tidak ada nilai
di x > 0
(2)
(1,9 )
(2)
(1,8 )
(2)
(1,7 )
(2)
(1,6 )
(2)
(1,5 )
(2)
(1,4 )
(2)
(1,3 )
(2)
(1,2)
(2)
(1,1 )
1
,
,
,
,
,
,
,
,
,
4. DAFTAR PUSTAKA
[1] Eric Weisstein , 2007 , Fractional Derivative, http://mathworld. wolfram. Com
/fractionalDerivative.html , Download 10/05/2007.
[2] Grunwald-Letnikov, Fractional Differentiation, http://planetMath.Org ./ Fractional
Differentiation.htm, Download 04/06/2007
[3] H. Gunawan, F. Pranolo, E. Rusyaman, 2007, An Interpolation Method That Minimizes an
Energy Integral of Fractional Order. Singapore: Proceeding of Asian Symposium of
Computer Mathematics.
[4] Kankan Parmikanti dan Endang Rusyaman, 2008, Turunan Fraksional dan Aplikasinya,
Seminar Nasional Matematika di Universitas Padjadjaran Bandung.
[5] Mauro Bologna, Short Introduction to Fractional Calculus, http://www.uta.cl/charlas/
vol19 / Download 17/07/2007
[6] Oldham, K.B. and Spanier, J., 1974, The Fractional Calculus: Integration and
Differentiation, York: Academik Press.
Jurusan Statistika-FMIPA-Unpad 2011
257