bab ..... sistem bilangan dan pertidaksamaan

KALKULUS, oleh Gede Saindra Santyadiputra, S.T., M.Cs.
Hak Cipta © 2014 pada penulis
GRAHA ILMU
Ruko Jambusari 7A Yogyakarta 55283
Telp: 0274-889398; Fax: 0274-889057; E-mail: [email protected]
Hak Cipta dilindungi undang-undang. Dilarang memper­banyak atau memindahkan sebagian atau seluruh isi
buku ini dalam bentuk apa pun, secara elektronis maupun mekanis, termasuk memfotokopi, merekam, atau
dengan teknik perekaman lainnya, tanpa izin tertulis dari penerbit.
ISBN: 978-602-262-315-1
Cetakan Pertama, tahun 2014
Semua informasi tentang buku ini, silahkan scan QR Code di cover belakang buku ini
BAB .....
KATA PENGANTAR
P
uji syukur Penulis panjatkan ke hadapan Tuhan Yang Maha Esa karena atas karunia-NYA lah
Buku Kalkulus ini dapat diselesaikan. Buku ini terdiri dari Enam (VI) bab yaitu sistem bilangan
dan pertidaksamaan, fungsi, limit dan kekontinuan, turunan dan integral. Penyajian dalam tiap
babnya dijelaskan secara praktis namun tetap pada pedoman konsep yang berlaku. Pada beberapa
bab sudah dilengkapi dengan handout guna memberikan rangkuman dan latihan bagi para
pengguna buku ini.
Akhir kata saya ucapkan terima kasih kepada segenap rekan-rekan yang terlibat dalam
penyusunan buku ini. Buku ini belumlah sempurna dan akan direvisi secara berkala. Penulis juga
mengharapkan kritik dan saran untuk kesempurnaan buku ini.
Singaraja, Oktober 2013
Penulis.
vi
Kalkulus
BAB .....
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR
DAFTAR ISI
BAB I
SISTEM BILANGAN DAN PERTIDAKSAMAAN
1.1 Pohon Bilangan
1.2 Sistem Bilangan
1.3 Pertidaksamaan
BAB II
FUNGSI
2.1 Apa Fungsi Itu?
2.2 Sifat-sifat Fungsi
2.3 Macam-macam Fungsi
2.4 Komposisi dan Invers Fungsi
v
vii
1
1
3
6
21
21
25
25
31
BAB III LIMIT DAN KEKONTINUAN
3.1 Definisi Limit
3.2 Sifat-sifat Limit
3.3 Limit Sepihak
3.4 Limit Tak Hingga
61
62
63
64
65
BAB IV TURUNAN
4.1 Definisi Turunan
4.2 Aturan Rantai
4.3 Turunan Fungsi Implisit
4.4 Turunan Tingkat Tinggi
73
73
79
81
83
viii
BAB V
Kalkulus
INTEGRAL
5.1 Integral Sebagai Anti Turunan
5.2 Teknik Integrasi
85
85
86
BAB VI APLIKASI INTEGRAL
6.1 Integral Tentu
6.2 Integral Tak Tentu
91
91
96
DAFTAR PUSTAKA
99
-oo0oo-
BAB
BAB I.....
SISTEM BILANGAN
DAN PERTIDAKSAMAAN
Tujuan: Mengetahui batas bilangan yang digunakan dalam kalkulus beserta permasalahan
pertidaksamaanya.
Sub Materi:



Pohon Bilangan.
Sistem Bilangan meliputi nilai mutlak dan selang.
Pertidaksamaan.
M
atematika berkaitan erat dengan bilangan. Bahkan kamus besar bahasa Indonesia mendefinisikan matematika antara lain sebagai ilmu tentang bilangan-bilangan. Sehingga untuk
mempelajari matematika terlebih dahulu harus mengerti sifat-sifat bilangan. Demikian halnya juga
kalkulus yang merupakan bagian dari matematika. Fungsi yang dipelajari dalam kalkulus sebagian
besar mempunyai daerah definisi bilangan riil. Kemudian secara singkat juga akan diperkenalkan
definisi bilangan kompleks dan pertidaksamaan.
1.1 POHON BILANGAN
Bilangan atau himpunan bilangan yang kita kenal sekarang merupakan gabungan pengetahuan dari
banyak orang dan terakumulasi dalam jangka waktu yang sangat panjang. Jenis-jenis bilangan yang
telah kita kenal dari bilangan asli sampai dengan bilangan kompleks dapat dibuat dalam bentuk
pohon bilangan seperti pada gambar 1.1.
2
Kalkulus
Gambar 1.1 Pohon Bilangan
Penjelasan masing-masing jenis bilangan dan contohnya adalah:
1. Bilangan asli (natural numbers) 1,2,3,4,….. Jenis bilangan inilah yang pertama kali digunakan
manusia purba untuk menghitung jumlah ternak dan kepunyaannya yang lain. Bilangan ini
juga sering disebut dengan bilangan bulat positif.
2. Nol, dengan simbol 0, ditemukan oleh suku bangsa India Kuno di sekitar aliran Sungai Indus.
Nol sangat berperan dalam sistem bilangan desimal yang kita gunakan sekarang.
3. Bilangan cacah adalah himpunan gabungan bilangan asli dan nol.
4. Bilangan bulat negatif dinyatakan oleh -1,-2,-3,…. Bilangan ini timbul dari upaya
menyelesaikan persamaan seperti x+a=b, di mana a dan b adalah bilangan asli.
5. Bilangan bulat …., -2,-1,0,1,2,…. adalah himpunan gabungan bilangan cacah dengan bilangan
bulat negatif.
6. Pecahan adalah jenis bilangan berbentuk
m
, dengan m dan n bilangan bulat, m bukan
n
kelipatan dari n, dan n≠0. Pecahan timbul dari penyelesaian persamaan ax=b, di mana a dan
b adalah bilangan bulat.
7. Bilangan rasional adalah himpunan gabungan bilangan bulat dan pecahan atau bisa dikatakan
sebagai bilangan berbentuk
m
, dengan m dan n bilangan bulat dan n≠0.
n
8. Bilangan irasional timbul akibat masalah menentukan sisi miring 2 yang diperoleh dari
segitiga siku-siku oleh Phytagoras. Bilangan ini tidak dapat dituliskan sebagai suatu hasil bagi
dari dua bilangan bulat (lihat Kalkulus dan geometri analitis, Purcell dan Varberg, Edisi ke-4,
hal. 2). Karena bilangan ini tak rasional maka diberi nama bilangan irasional. Contoh lain
bilangan ini adalah 3 , 4 7 atau  .
9. Bilangan riil adalah gabungan bilangan rasional dan irasional.