Document

KALKULUS I
PENDAHULUAN
MATERI DAN BUKU RUJUKAN
• Bab I. Pendahuluan
• Bab II. Fungsi dan Limit
• Bab III. Turunan
• Bab IV. Penggunaan Turunan
• BabV. Integral (Pendahuluan)
Edwin J. Purcell, Dale Varberg, Calculus With
Analysis Geometry 8th- Prentice Hall, 2000
MENGAPA BELAJAR KALKULUS?
Secar Teknis Kalkulus adalah metode
matematika
yang menggunakan proses infinite untuk
menyelesaikan masalah2 finite.
 Tujuan utama Kalkulus adalah menganalisa dua
masalah fundamental:
- problems of change (e.g. motion)
- problems of content (e.g. area, volume)

Bilangan Real dan Notasi Selang
PENGENALAN AWAL
Bilangan Real dan Notasi Selang
Bilangan real meliputi bilangan rasional (seperti ½
dan
2) dan irasional (seperti √2 dan π). Bilangan rasional
meliputi semua bilangan bulat (positif, nol, dan
negatif)
dan pecahan murni. Himpunan semua bilangan real
dilambangkan dengan R.
Bilangan real memenuhi sifat aljabar (terhadap
operasi
penjumlahan dan perkalian), sifat urutan (tentang
<, =,
dan >), dan sifat kelengkapan.
Sifat kelengkapan memungkinkan kita
menyatakan R sebagai suatu garis (yang tak
berlubang), yang disebut garis bilangan real.
GARIS BILANGAN
Pada garis bilangan real, setiap titik menyatakan sebuah
bilangan real. Sebaliknya, setiap bilangan real dapat
dinyatakan sebagai sebuah titik pada garis bilangan real.
(Sebagai perbandingan, himpunan semua bilangan
rasional tidak dapat dinyatakan sebagai sebuah garis.)
Untuk selanjutnya, R menjadi himpunan semesta kita.
Notasi selang di bawah ini akan sering dipakai:
(a,b) = { x є R | a < x < b }
[a,b] = { x є R | a ≤ x ≤ b }
[a,b) = { x є R | a ≤ x < b }
(a,b] = { x є R | a < x ≤ b }
(-∞,b)= { x є R | x < b }
(-∞,b]= { x є R | x ≤ b }
(a,∞) = { x є R | x > a }
[a,∞) = { x є R | x ≥ a }

KERJA KELOMPOK DI KELAS
Buat macam – macam selang dan Gambarkan
 Presentasikan sesuai urutan kelompok
 Siapkan Pertanyaan untuk kelompok lainnya
 Kerjakan Beberapa soal yang berkaitan

Pendahuluan (Lanjutan)
PERTEMUAN 2
SISTEM BILANGAN
(REVIEW)
N : bilangan
asli
Z : bilangan bulat
Q : bilangan rasional
N:
1,2,3,….
Z:
…,-2,-1,0,1,2,..
Q:
a
q  , a, b  Z , b  0
b
R  Q  Irasional
Contoh Bil Irasional
R : bilangan real
2 , 3, 
Bilangan
2; -2; 1,1
Nyata
Irrasional
Khayal
 4  2
Rasional
0,1236
0,1268276
84340-----Bulat
1; 8 ;4
Pecahan
½; 2/7
13






Semua bilangan bulat adalah bilangan rasional, tapi tidak
semua bilangan rasional berupa bilangan bulat
Semua bilangan pecahan adalah bilangan rasional, tapi
tidak semua bilangan rasional berupa bilangan pecahan
Semua bilangan irrasional adalah bilangan berdesimal,
tapi tidak semua bilangan berdesimal adalah bilangan
irrasional.
Bilangan Asli : Semua bilangan bulat positif, tidak
termasuk nol.  A = {1,2,3,4,5,6,…..}
Bilangan Cacah : Semua bilangan positif atau nol.  A =
{0,1,2,3,4,5,6,…..}
Bilangan Prima : bilangan asli yang besarnya tidak sama
dengan satu dan hanya habis dibagi oleh dirinya sendiri. P
= {2,3,5,7,11…..}
14
SIFAT–SIFAT BILANGAN REAL

Sifat-sifat urutan :
Trikotomi
Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku
salah satu dari x < y atau x > y atau x = y
 Ketransitifan
Jika x < y dan y < z maka x < z
 Perkalian
Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz,
sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz

GARIS BILANGAN
Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebut
dengan garis bilangan(real)
2
-3
0 1

Selang
Himpunan bagian dari garis bilangan disebut selang
SELANG
Jenis-jenis selang
Himpunan
{x x < a}
{x x  a}
{x a < x < b}
{x a  x  b}
{x x > b}
{x x  b}
{x x  }
selang
 , a 
Grafik
 , a]
a
a, b
a
[a, b]
b, 
[b, 
, 
a
b
a
b
b
b
PERTIDAKSAMAAN
Pertidaksamaan satu variabel adalah suatu
bentuk aljabar dengan satu variabel yang
dihubungkan dengan relasi urutan.
 Bentuk umum pertidaksamaan :

A x  D x 
<
Bx  E x 

dengan A(x), B(x), D(x), E(x) adalah suku
banyak (polinom) dan B(x) ≠ 0, E(x) ≠ 0
PERTIDAKSAMAAN


Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah
mencari semua himpunan bilangan real yang
membuat pertidaksamaan berlaku. Himpunan
bilangan real ini disebut juga Himpunan
Penyelesaian (HP)
Cara menentukan HP :
1.
Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi :
P ( x) , dengan
<0
Q( x)
cara :
PERTIDAKSAMAAN


2.
3.
Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan
Menyamakan penyebut dan menyederhanakan
bentuk pembilangnya
Dicari titik-titik pemecah dari pembilang dan
penyebut dengan cara P(x) dan Q(x) diuraikan
menjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat
Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada
garis bilangan, kemudian tentukan tanda (+, -)
pertidaksamaan di setiap selang bagian yang
muncul
CONTOH :
TENTUKAN HIMPUNAN PENYELESAIAN
1
13  2x  3  5
13  3  2x  5  3
16  2x  8
8 x4
4 x 8
Hp = [4,8]
4
8
CONTOH :
TENTUKAN HIMPUNAN PENYELESAIAN
2
 2 < 6  4x  8
 8 < 4x  2
8 > 4x  2
 2  4x < 8
1
 x<2
2
 1 
Hp    ,2 
 2 
 12
2
CONTOH :
TENTUKAN HIMPUNAN PENYELESAIAN
3
2 x  5x  3 < 0
2
2x 1x  3 < 0
1
Titik Pemecah (TP) : x  
2
++
--

1
++
3
2
Hp =   1 ,3 
 2 
dan
x3
CONTOH :
TENTUKAN HIMPUNAN PENYELESAIAN
4 2x  4  6  7 x  3x  6
2x  4  6  7 x
2x  7 x  6  4
9 x  10
10
x
9
10
x
9
dan
dan
6  7 x  3x  6
 7 x  3x  6  6
dan
 10x  0
dan
10x  0
dan
x0
10 

Hp =   , 9   [0,  


0
10
9
Dari gambar tersebut dapat disimpulkan :
 10 
Hp = 0, 
 9
CONTOH :
TENTUKAN HIMPUNAN PENYELESAIAN
1
2
<
5.
x  1 3x  1
1
2

<0
x  1 3x  1
3x  1  2 x  2 < 0
x  13x  1
x 3
<0
x  13x  1
TP : -1,
1
3
,3
--
++
-1
Hp =
-1
++
3
3
1 
 ,1   ,3 
3 
PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK
Nilai mutlak x (|x|) didefinisikan sebagai
jarak x dari titik pusat pada garis bilangan,
sehingga jarak selalu bernilai positif.
 Definisi nilai mutlak :

 x ,x  0
x 
 x , x < 0
PERTIDAKSAMAAN NILAI MUTLAK

Sifat-sifat nilai mutlak:
1
2
x  x2
4
x  y
5
x
x

y
y
x  a, a  0   a  x  a
3 x  a, a  0  x  a atau x   a
 x2  y 2
6. Ketaksamaan segitiga
x y  x  y
dan x  y  x  y
SOAL LATIHAN
Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan
1 x  2  1 x
4  2x
x  2 x 1

2
2
x
x3
3 2  x  3  2x  3
4 x 12  2 x  2  2
5
2x  3  4x  5
6 x  3x  2
Sistem Koordinat Cartesius
dan Grafik Persamaan
PERTEMUAN 3
Sistem koordinat Cartesius untuk
bidang terdiri dari dua sumbu
koordinat, sumbu x dan sumbu y,
yang saling tegak lurus dan
berpotongan di titik asal (0,0).
Bidang Cartesius terbagi atas empat kuadran.
Setiaptitik pada bidang Cartesius dapat
dinyatakan sebagai pasangan bilangan (x,y),
dan sebaliknya pasangan bilangan (x,y)
menyatakan titik tertentu pada bidang.
Jarak antara dua titik P(x1,y1) dan Q(x2,y2)
adalah d(P,Q) = [(x1 – x2)2 + (y1 – y2)2]1/2.
Persamaan lingkaran yang berpusat
di (a,b) dan berjari-jari r pada bidang
Adalah (x – a)2 + (y – b)2 = r2.
PERSAMAAN LINGKARAN YANG
DIMAKSUD
(x – a)2 + (y – b)2 = r2.
Persamaan umum garis lurus pada bidang adalah
Ax + By + C = 0
dengan A, B tak keduanya nol. Jika B ≠ 0, persamaan
tadi dapat dinyatakan sebagai
y = mx + c
dengan m menyatakan gradien atau kemiringan garis
tersebut. Persamaan garis lurus yang melalui P(x0,y0)
dengan gradien m adalah
y – y0 = m(x – x0)
CONTOH GRAFIK
Diberikan suatu persamaan (dalam x dan y),
seperti
y =x2
menggambar grafiknya pada bidang Cartesius.
Perhatikan bahwa grafik y = x2 simetris terhadap
sb-y.
(Buat dengan menghitung beberapa titik y sebagai
ordinat, setelah menetapkan titik x sebagai
absis)
GAMBAR YANG DIMAKSUD
LATIHAN
Gambarkan Garfik Persamaan Berikut :
x2 + (y – 7)2 = 12.
6x – 5y = 8.
x = y2.
TUGAS DISKUSI KELOMPOK
Selesaikan soal di Buku Purcell
Tiap sub Bab berikut :
 1.2 no. 14,15, 17.
 1.3 no. 3,5, 7, 13, 17, 21
 1.4 no. 3, 11, 17, 21, 25
 1.5 no. 7, 10, 12.
 1.6 no. 9, 13, 17, 23
 1.7 no. 1, 11, 17, 19.