BAB V RELASI DAN FUNGSI 6.1 Pendahuluan Relasi

BAB V
RELASI DAN FUNGSI
6.1
Pendahuluan
Relasi atau hubungan antara himpunan merupakan suatu aturan pengawasan antar
himpunan tersebut, sebagai contohnya kalimat “adalah ayah b” atau kalimat “4 habis diabgi
2”dan sebagainya. Relasi dapat menyangkut tidak hanya du himpunan, tetapi bisa tiga atau
lebih. Relai yang menyangkut dua himunan dari semestanya disebut binair.
Secara simbolis kalimat”a berada dalam relais R denan b“ dapat disajikan dengan “aRb”
atau “R(a,b).
Definisi 6.1.1. Suatu relasi R dikatakan determinatif pada semesta S atau antara anggota dari
semestanya beralku aRa. Secara matematis dinyatakan dengan notasi.
R refleksif jhj ( ∀a
S).aRa.
Misalnya relasi mencintai antara orang-orang adalab relasi yang refleksif, sebab tidak
ada orang yang tidak mencintai dirinya sendiri. Juga relasi kesejajaran antara garis-garis lurus
adath refleksif, sebab a sejajar dengan a sendiri, untuk setiap garis a.
Suatu relasi disebut non-refleksif jhj sekurang-kurangnya ada satu anggota a yang tidak
berada dalam relasi R dengan dininya sendiri dikatakan” a kongruen b modulo mjhj a-b adalah
kelipatan m. Berikut bukti bahwa relasi kongruensi merupakan relasi ekuivalensi.
Sifat refleksif dipenuhi sebab a-a = 0.m. Sehingga a=a (mod m).
Sifat symetris dipenuhi sebab jika a-b=k.m maka b-a=-k.m (suatu kelipatan (negatif) dari
m juga), sehingga untuk setiap a,b berlaku, apabila a=b (mod m) maka b=a (mod m).
Akhirnya sifat transitif dipenuhi sebab jika diketahui bahwa a=b (mod m) dan b=c (mod
m), maka;
a-b=k1m dan b-c=k2m, sehingga jika dua hal ini dijumlahkan akan diperoleh a-c=(k1
+k2)m=km.
Karena a-c merupakan kelipatan m juga maka a=c (mod m). Jadi terbukti bahwa untuk
setiap tripel a,b,c berlaku, a=b (mod m) dan b=c (mod m) maka a=c (mod m).
Selanjutnya diberikan suatu teorema yang memegang peranan penting dalam
matematika.
Teorema 6.1.6. Suatu relasi ekuivalensi antara anggota-anggotanya dalam himpunan semesta
S, mengakibatkan adanya partisi (penggolongan) di dalam S.
Partisi dalam himpunan S maksudnya bahwa S terbagi atas himpunan-himpunan bagian
(kelas-kelas) masing-masing yang tidak kosong yang saling asing sedemikian hingga setiap
anggota dan S berada dalam salah satu dan hanya satu kelas dari S.
Bukti. Misalkan relasi diatas disebut R, maka R memenuhi sifat refleksif, symetris dan transitif.
Semua elemen-elemen yang berada dalam relasi R dengan a, dikumpulkan dalam suatu
hmpunan, sebut Sa. Jadi Sa= {x
aRa, sehingga a
S/ x R a}. Himpunan Sa tidak kosong sebab R refleksif, jadi
Sa dan Sa mempunyai sekurang-kurangnya satu anggota. Dari ini
disimpulkan bahwa setiap anggota pasti berada dalam sekurang-kurangnya satu kelas, yaitu
yang memuat ia sendiri.
Selanjutnya dibuktikan bahwa, apabila ada dua kelas yang beirisan maka mereka sama.
Misalkan Sa dan Sb beirisan dengan irisannya elemen c. Karena a
R symetris maka aRc dan dari sebab C
Sa, maka cRa, dan karena
Sb maka juga cRb. Dari aRc dan cRb dengan
menggunakan sifat transitif diturunkan aRb, sehingga a
Sb. Selanjutnya untuk setiap p
berlaku pRa dan karena aRb, dengan menggunakan R transitif, maka pRb. Jadi p
Sa
Sb. Maka
terbukti, setiap Sa ⊂ Sb……………….(i).
dan dengan cara yang sama maka dapat dibuktikan Sb ⊂ Sa…………..….. (ii).
dari (i) dan (ii) terbukti Sa Sb.
Dengan demikian terbukti bahwa relasi ekuivalensi akan menyebabkan terbentuknya kelaskelas yang disebut kelas ekuivalensi.
Contoh 6.1.7. Diambil relasi kongruensi modulo 5, antara bilangan-bilangan bulat, kelas yang
ditentukan oleh 2 adalah kelas yang memuatnya dan dinotasikan dengan 2. Apabila a
2 maka
ini berarti bahwa a=2 (m0d 5), yaitu a-2=k.5 atau a=k.5+2, jadi bilangan bulat yang terletak
dalam satu kelas dengan 2 adalah 7,12 dst.
6.2. Fungsi (Pemetaan).
Pada bagian ini akan dibahas pengertian yang sangat penting, yaitu pengertian fungsi
dari suatu himpunan ke himpunan lain. Suatu fungsi juga disebut pemetaan atau mapping.
Fungsi merupakan kejadian khusus dan relasi yang telah dibahas sebelumnya.
Definisi 6.2.8. Suatu fungsi dan himpunan S ke himpunan T adalah suatu aturan pengawanan
dimana setiap anggota S ,mempunyai tepat satu kawan di T.
Himpunan S disebut daerah asal/ domain dan himpunan T disebut kodomain/ daerah
kawan.
Contoh 6.2.9. S himpunan empat dadu, S={D1,D2,D3,D4} dan T himpunan bilangan 1 sampai
6,T={1,2,3,4,5,6}. Suatu lemparan menentukan suatu fungsi dari S ke T.
Diagram diatas memperlihatkan bahwa dadi D1 jatuh dengan mata 3, D2 dengan mata 1 dst.
Dari diagram diatas juga dapat dilihat bahwa setiap anggota S mempunyai kawan dalam
T tetapi sebaliknya tidak perlu artinya boleh ada anggota T yang tidak mempunyai kawan di S.
Dari definisi diatas memperlihatkan bahwa suatu fungsi adalah kejadian khusus dari
suatu relasi, yaitu merupakan suatu relasi dari S ke T dengan setiap anggota dari S mempunyai
kawan dan kawannya tunggal.
Suatu fungsi dari S ke T disajikan dengan notasi F : S
T, apabila s
S, maka
kawannya yang berada dalam T disajikan dengan f(s) dan dikatakan s dibawa ke f(s). Dengan
notasi matematis s
f(s).
Definisi fungsi secara simbolis :
F:S
T jhj (∀ s ∈ S)( ∃! t ∈ T).f(s) = t.
Himpunan anggota-anggota T yang mempunyai kawan disajikan dengan f(S) dan
disebut daerah hasil (range) dari fungsi f.
Pada fungsi diatas domain dari f adalah S={a,b,c,d}, daerah kawan dari f adalah
T={1,2,3,4,5} dan daerah hasil dari f adalah {2,4,5}.
Suatu fungsi dapat juga disajikan denan stau rumus. Misalnya domain dan kodomain
himpunan bilangan-bilangan real:
F: s
f(s)=s2
Apabila anggota sembarang dari himpunan S disajikan dengan peubah “x”sedangkan
anggota sembarang dari himpunan T disajikan dengan peubah “y”maka fungsi diatas dapa
disajikan dengan f:x y=f(x)=x2.
6.3 Rumus-Rumus.
Berikut ini akan diberikan beberapa rumus yang penting, sebelumnya akan diberikan
definisi kesamaan dari dua fungsi dari S ke T.
Definisi 6.3.10. Dua fungsi f dan g dari S ke T dikatakan sama jhj untuk setiap s ∈ S berlakulah
f(s)=g(s). Notasi matematisnya.
f=gjhj (∀ s ∈ S).f(s) = g(s).
Sifat tunggalnya hasil dirumuskan dengan :
S1=S2
Perhatikan bahwa apabila A ⊂ B
f(s1)= f(s2)
f(A) ⊂ f(B).
1
Sebaliknya jika M ⊂ T maka f (M) adalah himpunan bayangan invers dari anggota-anggota M.
f1(M)={s ∈ S/f(s) ∈ M}
Langsung dari definisi diturunkan :
Rumus 2. M ⊂ N
f1(M) ⊂ f1(N)
Rumus 3. f (A ∪ B)=f(A) ∪ f(B).
Bukti. Karena A ⊂ A ∪ B maka f(A) ⊂ f(A ∪ B), demikian juga karena B ⊂ A ∪ B maka
f(B) ⊂ f(A ∪ B), sehingga f(A) ∪ f(B) ⊂ f(A ∪ B)…………(i).
Misalkan sekarang x ∈ f(A ∪ B). Maka ada y∈ A ∪ B sedemikian hingga f(y)=x, karena y ∈ A ∪ B
maka y ∈ A atau y ∈ B. Sehingga f(y) ∈ f(A) atau f(y) ∈ f(B). Karena f(y)=x maka x ∈ f(A) atau
x ∈ f(B), yaitu x ∈ f(A) ∪ f(B).
Maka terbukti x ∈ f(A ∪ B)
x ∈ f(A) ∪ f(B), sehingga didapat,
f(A ∪ B) ⊂ f(A) ∪ f(B)……………………(ii)
Karena (i) dan (ii) maka f(A ∪ B)=f(A) ∪ f(B).
Rumus 4. f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B).
Bukti. Karena A ∩ B ⊂ A maka a(A ∩ B) ⊂ f(A). Demikian juga karena A ∩ B ⊂ B maka f(A ∩ B)
⊂ f(B), sehingga f(A ∩ B) ⊂ f(A) ∩ f(B).
Rumus 5. f1(A ∪ B)=f1(A) ∪ f1(B).
Bukti. f1(A)={s ∈ S/f(s) ∈ B} dengan f(s) ∈ A sebagai syarat keanggotaan untuk f1(A).
f1(B)={s ∈ S/f(s) ∈ B} dengan f(s) ∈ A v f(s) ∈ B}={s ∈ S/f(s) ∈ A ∪ B}=f1(A ∪ B).
Rumus 6. f-1(A ∩ B)=f1(A) ∩ f1(B).
Bukti. Sebagai latihan.
Rumus 7. f-1(A-B)=f-1(A)-f1(B).
Bukti. Sebagai latihan.
6.4. Fungsi Injektif, Surjektif, Bijektif.
Setiap fungsi (pemetaan) dari himpunan S ke himpunan T disebut juga fungsi dari S into
T, dan jika setiap anggota T mempunyai kawan di S maka fungsi itu disebut S onto T. Perhatian
bahwa untuk fungsi yang onto berlaku f(S) = T yaitu daerah hasilnya berhimpit dengana daerah
kawannya (kodomain). Pemetaan yang onto disebut juga surjektif. Istilah ini telah dipakai
secara umum dalam matematik. Dengan symbol logika fungsi surjektif diberikan sebagai
berikut:
f:S
T surjektif jhj (∀t ∈ T )(∃s ∈ S).f(s) = t
Seperti diketahui maka pada suatu fungsi dari S ke T, sesuatu t ∈ T mungkin mempunyai
lebih dari satu kawan didalam S. Pada fungsi dengan sifat setiap t ∈ T yang mempunyai
kawan, hanya mampunyai satu kawan saja, maka fungsinya disebut injektif. Sehingga pada
suatu fungsi yang injektif untuk setiap pasangan s1,s2 ∈ S berlakulah f(s1)
dengan kontraposisinya s1 s2z f(s1)
f(s2)
s1
s2
f(s2). Rumus tersebut digunakan untuk membuktikan
bahwa suatu fungsi itu injektif.
Fungsi yang sekaligus surjektif dan injektif disebut Bijektif, sehingga fungsi Bijektif
adalah fungsi dengan setiap anggota S menentukan dengan tunggal satu anggota dari T dan
sebaliknya. Dapat juga dikatakan sebagai korespondensi satu-satu bertimbal balik.
Contoh 6.4.11. S adalah himpunan bilangan-bilangan bulat dan T demikian juga, Maka fungsi f
yang ditentukan oleh rumus:
n f(n)=0 , jika n ganjil
n f(n)=n/2, jika n genap
adalah fungsi yang surjektif.
Contoh 6.4.12.Misalkan S himpunan bilangan-bilangan bulat non-negatif, sedangkan T adalah
himpunan bilangan-bilangan bulat, maka fungsi f:s f(s)=s+1 adalah fungsi yang injektif tetapi
tidak surjektif, hal ini dengan mudah dapat diterima karena ada anggota T yang tidak
mempunyai kawan di S, yaitu bilangan bulat negatif dan nol.
Contoh 6.4.13. Misalkan S himpunan bilangan Ash dan T himpunan bilangan genap positif.
Perkawanan s ∈ S dengan 2s ∈ T adalah fungsi yang bijektif.
Sebagai bagian akhir diklat ini , berikut diberikan beberapa fungsi khusus.
Definisi 6.4.14.Fungsi identitas adalah suatu fungsi bijektif yang membawa suatu elemen
dalam suatu himpunan ke dirinya sendiri.
Definisi 6.4.15. Misalkan S1 adalah himpunan bagian dari S yaitu S1 ⊂ S. Sedangkan f suatu
fungsi dari S ke T dan g fungsi dari S1 ke T, maka fungsi g dikatakan merupakan restriksi atau
pembatasan pada S1 dan dinotasikan g=fl S1, maka f:S T disebut extensi (perluasan) dari
g:S1 T lewat himpunan S.
6.5. Latihan Soal
1. S adalah himpunan bilangan bulat, sedangkan T himpunan bilangan bulat non-negatif.
Apakah perkawanan f:s f(s)=|s| suatu fungsi? Apabila demikian apakah surjektif/Injektif?
2. S adalah himpunan bilangan real. Apakah perkawanan s ∈ S dengan s/s-1 suatu fungsi dari
S ke S?