Produk Cartesius, Relasi, Relasi Khusus

Produk Cartesius
 Relasi
 Relasi Khusus

RELASI

Jika A dan B masing-masing menyatkan
himpunan yang tidak kosong, maka
produk Cartesius himpunan A dan B
adalah himpunan semua pasangan terutut
(x,y) dengan x  A dan , y  B ditulis
A  B  {( x, y) x  A dan y  B}
Produk Cartesius
Misalkan A  {a, b, c} dan B  {1,2} maka:
A  B  {( a,1), (a,2), (b,1), (b,2), (c,1), (c,2)}
B  A  {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)}
Pengertian Relasi



Antara elemen-elemen dari dua buah himpunan
seringkali terdapat suatu relasi atau hubungan
tertentu.
Misalnya : A = { 2, 3, 5 } dan B = { 1, 4, 7, 10,
14 }
Akan kita tinjau relasi “ adalah faktor dari “
antara elemen-elemen himpunan A dengan
elemen-elemen himpunan B. Tampaklah bahwa :
2 adalah faktor dari 4
2 adalah faktor dari 10
2 adalah faktor dari 14
5 adalah faktor dari 10
Sedangkan 3  A tidak berrelasi dengan suatu
elemenpun dari himpunan B.
Diagram panah
B
A
•1
•2
•4
•3
•7
•5
•10
•14

Relasi tersebut jugan dapat dinyatakan sebagai
himpunan pasangan terurut. Elemen dari
himpunan A yang berrelasi dengan elemen dari
himpunan B di susun menjadi suatu pasangan
terurut, diman elemen dari A pada urutan
pertama dan elemen dari B pada urutan yang
kedua. Jadi kalau relasi “ adalah faktor dari “
tersebut diberi nama R, maka :
R = { (2, 4), (2, 10), (2, 14), (5, 10) }

Jelaslah bahwa R  A x B
Secara umum dapat dikatakan bahwa
suatu reelasi dari himpunan A ke
himpunan B merupakan himpunan bagian
dari A X B ( produk Cartesius A dan B ).
 Definisi: R adalah suatu relasi dari
himpunan A ke himpunan B bhb
RAxB
 A disebut daerah asal (domain), B
disebut daerah kawan (kodomain),






Bila A = B maka relasinya disebut sebagai relasi
pada himpunan A.
Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi
refleksif bhb setiap elemen dari A berrelasi R
dengan dirinya sendiri.
R refleksif pada A bhb. ( xA). (x,x)R
R non-refleksif pada A bhb. ( xA).( x,x)R
R irrefleksif pada A bhb. ( xA).( x,x)R
RELASI KHUSUS
Suatu relasi R pada himpunan A disebut relasi
simetris bhb. Untuk setiap dua elemen x dan y
dalam A, bila x berrelasi R dengan y, maka y
berrelasi R dengan x.
 R simetris pada A bhb
(x,yA).(x,y)R(y,x)R
 R non- simetris pada A bhb
(x,yA).(x,y)R(y,x) R
 R asimetris pada A bhb
(x,yA).(x,y)R (y,x)  R
 R antisimetris pada A bhb
(x,yA).(x,y)R  (y,x)R x=y

RELASI KHUSUS
relasi R pada himpunan A disebut transitif bhb.
Untuk setiap tiga elemen x,y dan zA, bila x
berrelasi R dengan y dan y berrelasi R dengan z ,
maka x berrelasi R dengan z.
 R transitif pada A bhb.
(x,y,zA).(x,y)R  ( y,z )R  (x,z) R
 R non-transitif pada A bhb :
( x,y,z A).(x,y)R  ( y,z )R  (x,z)R
 R intransitif pada A bhb :
( x,y,z A).(x,y)R  ( y,z )R  (x,z)R

RELASI KHUSUS

Suatu relasi R pada himpunan A yang
sekaligus bersifat refleksif,simetris dan
transitif disebut relasi ekuivalensi pada A.
RELASI KHUSUS
Definisi: Keluarga himpunan bagian yang tidak
kosong dari suatu himpunan A disebut
P a r t i s i dari A bhb.
1. Gabungan dari semua himpunan bagian itu
adalah himpunan A sendiri.
2. Setiap dua himpunan bagian yang tidak sama
merupakan dua himpunan yang saling lepas.
Jadi suatu keluarga himpunan bagian yang tidak
kosong dari himpunan A, misalnya
{A1 , A2 , A3 , …..An }, adalah partisi dari A apabila
1. A1 A2  A3  …..  An = A
2. (Ai , Aj ). Ai  Aj  Ai  Aj = 

FUNGSI


Suatu relasi antara anggota-anggota himpunan A
dengan anggota-anggota
himpunan B disebut
Fungsi. (pemetaan) bhb relasi itu mengkaitkan
setiap anggota A dengan tepat satu anggota
B.
f : A  B bhb. ( x  A).( !y  B) . y = f (x)

1.
2.
Perhatikan bahwa suatu fungsi f dari A ke B
adalah suatu relasi yang mempunyai dua
sifat khusus, yaitu:
Setiap anggota himpunan A (daerah asal)
dikawankan dengan anggota himpunan B.
(Seringkali dikatakan bahwa “ daerah asal
dihabiskan “)
Kawan dari anggota-anggota himpunan A
(daerah asal) adalah tunggal. Sifat ini dapat
dinyatakan secara simbolis:
( xi, xj  A). x1 = x2  f (x1) = f (x2)
FUNGSI
Diagram panah
B
A
•1
•2
•3
•5
•4
•7
•10
•14
FUNGSI
Contoh:
Misalkan A : {1, 2, 3, 4}
B : {a, b, c}
Terdapat relasi f : AB
a. f : {(1,a), (2,b), (3,c)}
b. f : {(1,a), (1,b), (2,a), (3,b), (4,c)}
c. f : {(1,a), (2,a), (3,b), (4,c)}

FUNGSI
Contoh:
Misalkan A : {1, 2, 3, 4}
B : {a, b, c}
Terdapat relasi f : AB
a. f : {(1,a), (2,b), (3,c)}  bukan fungsi
hanya relasi biasa
b. f : {(1,a), (1,b), (2,a), (3,b), (4,c)} 
bukan fungsi hanya relasi biasa
c. f : {(1,a), (2,a), (3,b), (4,c)}  fungsi

FUNGSI
FUNGSI
Ada dua macam cara untuk menyajikan
suatu fungsi, yaitu:
1. Cara aturan : fungsi itu disajikan dengan
cara menyatakan aturan yang menentukan
relasi antara angggota – anggota daerah
asal dengan anggota – anggota daerah
kawannya.
Contoh :
f: R R dimana f(x) = x
R = himpunan semua bilangan nyata.

2. Cara himpunan :
Seperti halnya relasi, maka fungsi f dari
A ke B dapat dipandang
sebagai
himpunan bagian (khusus) dari A x B.
Maka fungsi f : R R dimana f ( x ) = x
dapat juga disajikan
sebagai suatu
himpunan, yaitu himpunan bagian dari
RxR:
F = { (x,y)x  R, y R, y = x }
FUNGSI
Kesamaan dua buah fungsi.
 Dua buah fungsi f : A  B dan g : A  B
dikatakan sama bila kedua fungsi itu
mengkaitkan anggota-anggota dari daerah
asalnya dengan anggota-anggota yang sama
didaerah kawannya.
f=g
bhb
(  x A).f(x) = g(x)
 Contoh :
f : R R dimana f(x) = 2(x+1)(x-2)
g : R R dimana g(x) = 2x2-2x-4
Karena f (x ) = 2(x+1)(x-2)
= 2(x2-x-2) = 2x2-2x-4 = g(x)
Maka f = g
FUNGSI
1.
2.
3.
4.
5.
FUNGSI SURJEKTIF/ONTO
FUNGSI INJEKTIF/SATU-SATU
FUNGSI BIJEKTIF/KORESPONDENSI
SATU-SATU
FUNGSI KONSTAN
FUNGSI IDENTITAS
FUNGSI-FUNGSI KHUSUS



Suatu fungsi f : A B disebut fungsi surjektif dari
A kepada (onto) B bila setiap anggota B
merupakan bayangan dari suatu anggota A.
Jadi pada fungsi yang surjektif, daerah hasilnya
berimpit dengan daerah kawan (atau daerah
kawannya dihabiskan ).
f : A  B adalah fungsi surjektif
bhb ( yB) ( xA). y = f (x)
bhb Rf = B
bhb ( yB) f-1 (y) = 
FUNGSI SURJEKTIF/ONTO

Contoh
Diagram panah
B
A
•2
•3
•7
•10
•5
FUNGSI SURJEKTIF
Suatu fungsi f : A  B disebut fungsi
injektif bila anggota – anggota dari B
merupakan bayangan dari tepat satu
anggota A.
 f : A  B adalah fungsi injektif
bhb (  x1,x2  A ). x1  x2  f(x1)  f(x2)
bhb (  x1,x2  A ). f(x1) = f(x2)  x1 = x2

FUNGSI INJEKTIF/SATU-SATU

contoh
Diagram panah
B
A
•1
•2
•3
•5
•4
•7
•10
•14
FUNGSI INJEKTIF
Suatu fungsi f : AB merupakan fungsi
bijektif apabila fungsi f adalah fungsi
surjektif dan sekaligus injektif.
 Fungsi bijektif sering dikatakan fungsi
korespondensi satu-satu.

FUNGSI BIJEKTIF

Contoh
Diagram panah
B
A
•2
•3
•7
•10
•5
•14
FUNGSI BIJEKTIF
Suatu fungsi f : A  B disebut fungsi
konstan bila bayangan semua anggota A
adalah satu anggota yang sama di B.
 f : A  B adalah fungsi konstan
bhb.( !c  B)(xA).f(x) = c
 Contoh:
2. Diagram panah
B
A
1. f(x) = 2

•2
•3
FUNGSI KONSTAN
•5
•7
•10
•14
Suatu fungsi f : A  B disebut fungsi
indentitas bila bayangan dari setiap
anggota dari A ialah dirinya sendiri.
 Daerah asal dan saerah kawan dari suatu
fungsi identits adalah himpunan yang
sama.
 f : A  A adalah fungsi indentitas
bhb.( xA). f(x) = x

FUNGSI IDENTITAS

CONTOH
Diagram panah
A
A
•2
•2
•3
•3
•5
•5
FUNGSI IDENTITAS
Misalkan
A : {a,b,c}
B : {1,2,3}
C: {x, y, z, w}
D: {4,5,6}
f: AB
g: BC
h: CD
i: BD
Tentukan apakah fungsi berikut surjektif, injektif
atau bijektif?
a. f: {(a,2), (b,1), (c,2)}
b. g: {(1,y), (2,x), (3,w)}
c. h: {(x,4), (y,6), (z,4), (w,5)}
d. i: {(1,4), (2,6), (3,5)}
LATIHAN
Dua buah fungsi yang memenuhi syarat tertentu dapat
disusun (dikomposisikan) menjadi suatu fungsi baru
yang disebut fungsi tersusun (fungsi komposisi).
 Misalnya kita mempunyai dua buah fungsi
f : A  B dan g : C  D di mana Rg  A,
CAB

g
f
fog
maka kedua fungsi tersebut dapat disusun menjadi
fungsi baru, yang disajikan dengan lambang
fog:CB
 Dengan aturan
(fog)(x)=f[g(x)]
 ( lambang “ f o g “ dibaca “ f bundaran g “ )
FUNGSI TERSUSUN
CONTOH: Modul halaman 81
Latihan:
1. Misalkan
A : {a,b,c}
B : {1,2}
C: {1,2,3}
D: {x, y, z, w}
f: AB, f: {(a,2), (b,1), (c,2)
g: CD, g: {(1,y), (2,x), (3,w)}
Tentukan g o f!
2. Perhatikan fungsi f(x) = x2 + 3x + 1 dan
g(x) = 2x -3. Tentukan g o f (x)!
FUNGSI TERSUSUN
gof
A
f
C
g
D
.x
a.
.1
b.
.2
c.
.3
.y
.z
.w
CONTOH: Modul halaman 81
Latihan:
1. Misalkan
A : {a,b,c}
B : {1,2}
C: {1,2,3}
D: {x, y, z, w}
f: AB, f: {(a,2), (b,1), (c,2)
g: CD, g: {(1,y), (2,x), (3,w)}
Tentukan g o f : AD
g o f (a) = g(f(a)) = g(2) = x
g o f (b) = g (f(b)) = g (1) = y
g o f ( c ) = g(f (c ) = g(2) = x
FUNGSI TERSUSUN
Perhatikan fungsi f(x) = x2 + 3x + 1 dan
g(x) = 2x -3. Tentukan g o f (x)!
 g o f (x) = g (f(x)) = g (x2 + 3x + 1)
= 2 (x2 + 3x + 1) – 3
= 2x2 + 6x + 2 – 3
= 2x2 + 6x – 1
Sifat-sifat Komposisi Fungsi.
1. Komposisi fungsi bersifat assosiatif, yaitu untuk tiap
tiga buah fungsi f,g dan h yang dapat
dikomposisikan berlakulah: (f o g ) o h=f o (g o h)
2. Bila i adalah fungsi identitas, yaitu i (x) = x untuk
tiap x anggota domainnya, dan i dapat
dikomposisikan dengan suatu fungsi f, maka
i o f = f dan f o i = f.
3. Bila f adalah fungsi bijektif, maka
fof=f of =i
dimana i adalah fungsi identitas.

FUNGSI TERSUSUN

Fungsi nyata ialah fungsi yang daerah
asal dan daerah kawannya adalah
himpunan bilangan – bilangan nyata.
Fungsi Nyata dan Grafik
Fungsi