Kalkulus I Fungsi Dan Grafik Fungsi

Kalkulus I
Fungsi Dan Grafik Fungsi
Dr. Eko Pujiyanto, S.Si., M.T.
[email protected]
081 2278 3991
eko.staff.uns.ac.id/kalkulus1
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Materi
Fungsi ( Daerah definisi, daerah asal dan
daerah hasil )
 Fungsi Surjektif, Injektif, Bijektif dan
Invers
 Operasi Pada Fungsi dan Fungsi Komposisi
 Grafik Fungsi Dalam Sistem Koordinat
Kartesius

Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Hubungan atau Relasi



Dalam berbagai aplikasi, hubungan/relasi
antara dua himpunan ( sering disederhanakan
menjadi variabel ) sering terjadi.
Misalnya, volume bola dengan jari-jari r diberikan
oleh relasi
4
V   r3
3
Definisi : Diketahui R relasi dari A ke B. Apabila
setiap x  A berelasi R dengan tepat satu
y  B maka R disebut fungsi dari A ke B.
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Fungsi
Fungsi dinyatakan dengan huruf-huruf: f,
g, h, F, H, dst.
 Apabila f merupakan fungsi dari himpunan
A ke himpunan B, maka dituliskan:
f:AB
 Dalam hal ini, himpunan A dinamakan
domain atau daerah definisi atau daerah
asal, sedangkan himpunan B
dinamakan kodomain atau daerah
kawan fungsi f.

Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Daerah Asal dan Nilai

Domain fungsi f ditulis dengan notasi Df,
D f  x  R : f ( x) ada ( terdefinisikan)

Himpunan semua anggota B yang
mempunyai kawan di A dinamakan
range atau daerah nilai fungsi f, ditulis R f
atau Im(f) → Perhatikan gambar berikut
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Fungsi : Daerah Asal dan Nilai
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Fungsi
• Jika pada fungsi f : A  B , sebarang elemen
x  A mempunyai kawan y  B, maka
dikatakan “y merupakan nilai fungsi f di x”
dan ditulis y = f(x).
• Selanjutnya, x dan y masing-masing
dinamakan variable bebas dan variabel tak
bebas.
• Sedangkan y = f(x) disebut rumus fungsi f.
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Daerah Asal dan Nilai

Daerah asal (Df)
D f  x  R : f ( x)  R
D f  x  R sehingga f (x) ada ( terdefinisikan)

Daerah nilai (Rf)
R f  f ( x)  R : x  D f 
R f  berapa f ( x)  R untuk semua x  D f 
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Mencari daerah asal dan daerah nilai
Contoh 1
f ( x)  1  x
D
f
 Di bawah
1 x  0
D
f
 [  1,  )
dan
akar  0
g ( x)   x 2  1
D g  (  ,  )
 x  
0  x2  
   x2  0
  1  x2 1  0 1
    x 2  1  1
R f  0 ,  
   g (x)  1
R g  (  ,  1 ]
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Hubungan Df dan Rf
dengan Grafik Fungsi
Ilustrasi grafik fungsi f
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Hubungan Dg dan Rg
dengan Grafik Fungsi
Ilustrasi grafik fungsi g
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Fungsi Surjektif
Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai
kawan anggota himpunan A, maka f disebut
fungsi surjektif
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Fungsi Injektif
Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai
yang kawan di A, kawannya tunggal, maka f
disebut fungsi injektif
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Fungsi Bijektif


Jika setiap anggota himpunan B mempunyai
tepat satu kawan di A maka f disebut fungsi
bijektif atau korespodensi 1-1.
Mudah dipahami bahwa korespondensi 1-1
adalah fungsi surjektif sekaligus injektif.
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Fungsi Invers


Apabila merupakan
korespondensi 1 – 1,
maka mudah
ditunjukkan bahwa
invers f juga
merupakan fungsi.
Fungsi ini disebut
fungsi invers, ditulis
dengan notasi f 1 .
x  f 1 ( y ) 
y  f ( x)
dengan
D f 1  R f dan R f 1  D f
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Operasi Pada Fungsi
Diberikan skalar real  dan fungsi-fungsi f dan g. ,
maka :
,
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Operasi Pada Fungsi
Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan
domain f dan domain g, kecuali untuk f g


D f g  x  D f  D g : g ( x)  0
,
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Operasi Pada Fungsi
Contoh 2
,
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Fungsi Komposisi
gof
fog
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Syarat Fungsi Komposisi
gof
R f  Dg  
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Syarat Fungsi Komposisi
fog
Rg  D f  
fo g
f(g(x))
g
f
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Daerah asal dan daerah nilai
Fungsi Komposisi
g of
Dg  f  x  D f : f ( x)  Dg 
Rg  f  y  Rg : y  g (t ), t  R f 
fog
D f  g  x  Dg : g ( x)  D f 
R f  g  y  R f : y  f (t ), t  Rg 
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Mencari daerah asal dan daerah nilai fungsi komposisi
Contoh 3
Diberikan fungsi berikut
2
f ( x)  1  x dan g ( x)   x  1
Tentukan
a. D f  g dan R f  g
b. Dg  f dan Rg  f
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Mencari daerah asal dan daerah nilai fungsi komposisi
Contoh 3
a. D f  g dan R f  g
Lihat Contoh 1 → Df, Rf , Dg dan Rg
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Mencari daerah asal dan daerah nilai fungsi komposisi
Contoh 3
a. D f  g dan R f  g
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Mencari daerah asal dan daerah nilai fungsi komposisi
Contoh 3
b. Dg  f dan Rg  f
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Mencari daerah asal dan daerah nilai fungsi komposisi
Contoh 3
b. Dg  f dan Rg  f
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Grafik Fungsi
Dalam Sistem Koordinat Kartesius

Dalam sistem koordinat kartesius
fungsi dapat dibagi menjadi:



Fungsi Aljabar
Fungsi Transenden
Fungsi f disebut fungsi aljabar jika f
dapat dinyatakan sebagai jumlahan,
selisih, hasil kali, hasil bagi, pangkat,
ataupun akar fungsi-fungsi suku banyak.
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Grafik Fungsi
Dalam Sistem Koordinat Kartesius

Contoh fungsi aljabar :
2
f ( x) 


3x  x ( x  1)
23
x2 1
Fungsi yang bukan fungsi aljabar
disebut fungsi transenden.
Beberapa contoh fungsi transenden
adalah
fungsi
trigonometri,
fungsi
logaritma, dsb.
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Grafik Fungsi
Dalam Sistem Koordinat Kartesius

Fungsi Aljabar meliputi :
 Fungsi rasional :
 Fungsi bulat (fungsi suku banyak)
 Fungsi pecah.
 Fungsi irasional.
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Grafik Fungsi
Dalam Sistem Koordinat Kartesius

Fungsi suku banyak berderajat n
mempunyai persamaan
f(x) = Pn(x) = a0 + a1x + . . . + an xn
dengan n bilangan bulat tak negatif , a1, .
. . , an bilangan-bilangan real dan an  0.
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Grafik Fungsi Suku Banyak
a. Fungsi konstan
f ( x)  c
b. Fungsi linear: f(x)= mx + n
Grafik fungsi ini berupa garis lurus dengan
gradien m dan melalui titik .
c. Fungsi kuadrat f ( x)  ax 2  bx  c, a  0
3
2
d. Fungsi kubik f ( x)  a3 x  a 2 x  a1 x  a 0 , a3  0
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Grafik Fungsi Pecah

Fungsi f(x) yang dapat dinyatakan
sebagai hasil bagi dua fungsi suku
banyak
a0  a1 x  ...  a n x n
f ( x) 
b0  b1 x  ...  bm x m
disebut fungsi pecah.
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Grafik Fungsi Pecah

1
Contoh grafik f(x) =
x
dan
x
f ( x) 
x 1
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Grafik Fungsi Irasional

Contoh
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Grafik Transenden
( Fungsi Trigonometri )

Contoh
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Grafik Transenden
( Fungsi Trigonometri )
Pelajari
hubungan
fungsi
trigonometri
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret
Kata inspirasi pertemuan ini
Berfikir
Banyak orang yang berfikir. Tapi,
sedikit yang bertindak. Ingat, tak
seorangpun akan sukes hanya dengan
berfikir, tanpa bertindak. Semua
fikiran, harus diikuti oleh tindakan.
Program Studi Teknik Industri - Universitas Sebelas Maret